差分方程模型

差分方程模型

数学建模讲座

一、关于差分方程模型简单的例子

1. 血流中地高辛的衰减

地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下：

设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则

1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01−=−=∆+

2. 养老金问题

对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下：

设第n 月的存款额为n a ，则

100001.11−=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)

3. 兔子问题（Fibonacci 数）

设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下：

==+=−−12

12

1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342

3214

3

21221

1

F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔

(因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1−n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)

4．车出租问题

A ，

B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出：

n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数

则 +=+=++n n n n

n n y x y y x x 7.04.03.06.01

1 (一阶线性差分方程组)

(问题模型可进一步推广)

二 差分方程的解法

类比: 差分方程是数列间关系; 微分方程是函数间关系 定义1. 形如02211=++++−−−k n k n n n a b a b a b a L 的差分方程，称为}{n a 的k 阶常系数线性齐次差分方程，其中i b 为常数，0≠k b 且

k n ≥. 022

11=++++−−k k k k b x b x b x L 称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。

定理1（单根情形）若特征方程恰有k 个相异的特征根

k x x x ,,,21L ，则差分方程的通解为 n

k k n n n x c x c x c a +++=L 2211.

例1 求解兔子问题 ==+=−−121

2

1F F F F F n n n

解：差分方程的特征方程为 012

=−−x x

特征根 2

51,25121−=+=x x 通解为 n

n

n c c F

−+ +=25125121, 由初始条件 121==F F 得: = −+

+=−++)

2(1251251)1(12512512

22121

c c c c 解得 −==515121c c 故

−− +=n

n n F 25121551

定理 2 (重根情形) 若特征方程的相异特征根为12,,,t x x x L , 重数依次为t m m m ,,,21L , 其中k m m m t =++L 21,则差分方程的通解为：

121211111211212222()()m m n n n m m a c c n c n x c c n c n x −−=+++++L L

112()t t m n t t tm t c c n c n x −++++L L

(定理1包含在定理2之中)

定理 3 若差分方程的特征方程的特征根出现一对共轭虚根，

−=+=iv

u x iv

u x 21 和相异的2−k 个根

k x x ,,3L , 则差分方程的通解为：n

k k n

n

n

n x c x c n c n c a ++++=L 3321sin cos θρθρ.

定义2 形如)(2211n f a b a b a b a k n k n n n =++++−−−L

(k b b b ,,,21L 为常数，0≠k b ,0)(≠n f ,k n ≥) 的差分方程为k 阶常系数线性非齐次差分方程。称

011=+++−−k n k n n a b a b a L

为其对应的齐次方程。

定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解,即

n n

n a a a +=*

,

其中*n a 为通解, n a 为特解.

例2(地高辛问题)解 1.05.01+=+n n a a

齐次特征方程 05.0=−λ, 齐次方程通解 n n

c a )5.0(*=. 设特解为D a n =, 代入1.05.0+=D D 得0.2D =，于是所求通解

为2.0)5.0(+=n

n

c a 例3 (养老金问题)解法1 100001.11−=+n n a a

齐次特征方程001.1=−λ, 齐次方程通解n

n

c a )01.1(*=. 设特解为 D a n =, 代入代入原方程得 100000=D . 通解为 100000)01.1(+=n n c a .

解法2(化齐) 100001.11−=−+n n a a ,100001.11−=−−n n a a .

相减得001.101.211=+−−+n n n a a a , 特征方程001.101.22

=+−λλ.

0)1)(01.1(=−−λλ,通解为1(1.01)n n a c c =+，代入原方程得

1000)01.1(01.101.11111−=−−⋅+++c c c c n n , 1100000c =.

故 100000)01.1(+=n

n

c a . 例4 求非齐次差分方程n

n n n a a a 2442

1=+−−−的通解. 解法1 齐次特征方程0442

=+−λλ, 二重根2=λ,

对应齐次方程的通解为n n n n c c a 222

1*⋅+=. 因

n

n f 2)(=中, 2 是2 重根,故设特解为n

n n A a 22⋅⋅=

代入得12A =, 故通解为1

22

1222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a 方法2(化齐) n

n n n a a a 24421=+−−−,132122)44(2−−−−⋅=+−n n n n a a a

相减得12361280n n n n a a a a −−−−+−=,特征方程081262

3=−+−λλλ 特征根2=λ为三重根,通解为n

n n n n c n c c a 22223

21⋅+⋅+=. 代入原方程得312c =,故1

22

1222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a