专题：椭圆相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)

专题：椭圆相关的二级结论及推导

1.122PF PF a +=：由椭圆第一定义可知。

2.标准方程22

22

1x y a b

+=：由定义即可得椭圆标准方程。

3.11

1PF e d =< ：椭圆第二定义（椭圆平面内到定点 F(c,0)的距离和到定直线 L: ( F 不在 L 上)的距离之

比为常数 (即离心率 e,0

对于椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =

．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2

a x c

=-，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

证明如下：

点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =

的距离的比是常数(0)c a c a

>>，求点M 的轨迹． 证明：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d

a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩

⎭|

，由此得222()x c y c a a x c

-+=-．

将上式两边平方，并化简得2

2

2

2

2

2

2

2

()()a c x a y a a c -+=-．设222

a c

b -=，就可化成22

221(0)x y a b a b

+=>>．

这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．

4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

由两直线夹角公式1212

tan 1k k k k θ-=+得：

()()200

22222222222200000001222222200100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

α++++++-======

++-++-⋅

+

()()200

22222222222200000002222222200200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c

β+--+---======

+-----⋅

-

,0,2

παβαβ⎛⎫

∈∴= ⎪⎝

⎭

同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的外角。

5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ∆是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。则122

F A OH a ==，同理可

得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r d r e e ++===>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。

7．以焦点半径PF 2为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

如图，两圆圆心距为122

2222

PF a PF PF d OM a a r -====-=-，故两圆内切。

8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.

如图，由切线长定理：11

121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11F S FT a c ==+ 而1

12FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。

9．椭圆22

22

1x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b

-=. ()()()()22001210020022,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b --+=易知,设,则

()()00

1122

00:,:y y A P y x a A P y x a a x a x =+=-+- 2222222222222

0002222222

22000000,11P P P ay a y a b a y x y a a a x y x P P x x x a

b x b x b x a b ⎛⎫-=⇒∴-=-==∴-= ⎪⎝⎭则点的轨迹方程为

10．若0

00(,)P x y 在椭圆22221x y a b

+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上 2200221x y a b ∴+=，对22221x y a b +=求导得：'

22220

x yy a b +=

2'

02

0b x y a y ∴=-

∴切线方程为()200020b x y y x x a y -=--即22

000022221x x y y x y a b a b +=+=

11．若000(,)P x y 在椭圆22

22

1x y a b +=外 ，则过P o 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=. 设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：01010202

222

21,1x x y y x x y y a b a b

+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程

00221x x y y a b +=，所以00212

21:P x y a P x y

b

+=