分数阶PID控制器参数整定与控制效果

PID 控制器是工业上应用最广泛的控制器之一，它在控制整数阶被控对象时能取得很好的控制效果；然而，对于一些复杂的实际系统，用分数阶微积分建模比整数阶模型更为精确，为了得到更好的控制效果，将控制器的阶次扩展到分数阶得到PI λD μ控制器模型。本文对包括PI λD μ控制器积分阶次λ、微分阶次μ在内的5个参数，提出了一种基于遗传算法整定分数阶PID 控制器参数的方法，仿真结果表明，对于分数阶系统，采用PI λD μ控制器会取得比常规PID 控制器更好的控制效果，并验证了本方法的有效性。

PI λD μ控制器比常规PID 控制器多了两个可调参数积分阶次λ和微分阶次μ，控制器参数的整定范围变大，控制器能够更灵活的控制受控对象，但是控制器参数的增多也使得参数的整定变得困难，控制器参数的好坏将直接影响着控制效果。

我们给出了一种基于遗传算法直接整定PI λD μ控制器5个参数的方法，并对分数阶控制器和整数阶控制器

对同一被控对象的控制效果进行了比较，最后给出了一个实际系统的分数阶模型，通过仿真，对比了本文方法和其他参数整定方法，给出相应结论。

分数阶系统是用分数阶数学模型能更好描述的一类系统。为了区别整数阶模型，分别用fc G 和ic G 表示PI λD μ控制器和常规PID 控制器，Gf 和Gi 表示分数阶被控对象和整数阶被控对象。分数阶控制器传递函数，)(s G fc 的表达式如下：

μλs K s K K s G d i P fc ++=-)(

其中，积分阶次λ、微分阶次μ都大于0，对比于常规的PID 控制器

s K s K K s G d i p ic ++=-1)(

可以看出，PI λD μ控制器多了两个可调参数，当积分阶次λ、微分阶次μ都取1时，PI λD μ

控制器即为常

规PID 控制器，可见常规PID 控制器是PI λD μ控制器的特殊形式。

根据式（6）可以得到分数阶控制系统单位反馈结构图如图1所示 分数阶积分K i

s -λ+-E(s)

Y(s)Gf(s)

比例Kp 分数阶微分K d s μ

R(s)Gfc(s)

图1 单位负反馈分数阶闭环控制系统结构图

从图1中可以得到，分数阶闭环系统的传递函数

)

()(1)()()()()(s G s G s G s G s R s Y s G fc f fc f s +== 分数阶系统的时域分析

考虑一类简单的分数阶微分方程

)()()

()()(121121t u t y D a t y D a t y D a t y D a n n t n t n t t =++++--αααα

其中，u(t)为某已知函数，假设输出信号y(t)及其各阶导数的初始均为0，则可以由Laplace 变换写出系统传递函数模型

n n s

a s a s a s a s G n n αααα++++=--1211211)(

本文采用Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义，可以得到y(t)的每个阶次的微分如下：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=

-≈∑∑-=--=-)()()()(][1)(

][

0)(

jh t y t y h jh t y h t y D h a t j j h a t j j

t a i i i i i αααααωω 将上式带入方程中（8）可以写出分数阶微分方程的数值解为

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑∑∑-===)()(1)(][1)(11jh t y h a t u h

a t y h a t j j n i i n i i i i i αααω 应用上述算法就可以求得任意输入的分数阶系统的数值解，编写了一个step （）函数来求解一般微分方程的单位阶跃响应曲线。

对于图1所示的分数阶控制系统，编写了feedback （）函数来求取分数阶闭环系统的传递函数，应用step （）函数来求得整个闭环系统的单位阶跃响应。

基于实数编码遗传算法的分数阶PID 控制器参数整定

分数阶PID 控制器是整数阶PID 控制器的一般形式，由于其积分、微分阶次可以在0～2范围内任意取值，所以较整数阶PID 控制器更具灵活性．然而其参数整定是人们非常关注的问题，因为各参数取值及参数组合将直接影响控制器控制性能．本文采取了实数编码遗传算法进行参数寻优，该方法是一种不需要任何初始信息并可以寻求全局最优解的、高效的优化组合方法。

参数编码及初始种群的产生

实数编码具有很高的精度，可以在大空间内搜索。与二进制编码相比，实数编码改善了算法的复杂性，提高了运算效率，不需要对二进制个体的每一位进行操作，克服了二进制编码对解空间划分的不均等性,具有更好的搜索性能[11]。

初始种群作为遗传迭代运算的出发点，它的好坏将直接影响最终的运算结果，在标准遗传算法中通常使用随机的方法生成初始种群。初始种群不仅要求群体规模要适当，而且应在解空问内均匀分布。

适应度函数的确定

适应度函数用于对每代种群中个体的适应度进行检测评估，用与个体适应度成正比的概率来决定当前种群中每个个体遗传到下一代群体中的概率的大小，从而决定该个体的取舍。为了获得满意的动态特性，本文选取误差绝对值时间积分性能指标（ITAE ）作为参数选择的最小目标函数，目标函数的取值越小越好，同时为了保证系统响应的快速性，在目标函数中加入了系统的调节时间ts ，得到目标函数

适应度函数 f=1/J

由前面介绍的方法求得分数阶闭环控制系统的单位阶跃响应，根据单位阶跃响应曲线来求取目标函数J 。 遗传算法优化分数阶PID 控制器参数步骤

利用实数编码遗传算法优化分数阶PID 参数具体步骤入下：

（1）确定Kp 、Ki 、Kd 、λ、μ这5个参数的大致范围，进行编码；

（2）随机产生n 个个体构成初始种群P （0）；

（3）将种群中各个个体解码成对应的参数值，用此参数求系统单位阶跃响应曲线，再求得目标函数值J 及适应度函数f=1/J ；

（4）应用复制、交叉和变异算子对种群P （t ）进行操作，产生下一代种群P （t+1）；

（5）重复步骤（3）和（4），直至参数收敛或者达到预定目标。

仿真研究

分数阶系统一般可以近似为以下三种简单的结构[12]：