万有引力定律和开普勒三定律的互相推导
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������ ⃗=
⃗ ������ 2 ������ ������������ 2
= (������̈ − r������̇ 2 )������ ⃗⃗⃗⃗ 0
(3)
(3)表明了行星在任意位置的加速度方向(也就是受力方向)都在矢径那条 直线上。 把椭圆的极坐标方程变为 ������ = ������(1 + ������������������������������) 对上式方程两边求二阶导,可得: ������̈ − ������������̇ 2 0 = ������̈ = ∙ ������ + ������������̇ 2 ������ 所以 ������̈ − ������������̇ 2 = −
从开普勒三定律推导万有引力定律
开普勒第一定律:行星围绕太阳的运动轨迹是一个椭圆,太阳在椭圆的一个 焦点上。 ������ = ������ 1 + ������������������������������
������2 ������
上式为椭圆的极坐标方程。 这里������ =
是焦参数, ������ = √1 −
̇) (������ 2 ������ ������ 2
2
∙ =−
������
1
4������2 ������2 ������2 ������ 2
∙
������ ������2
∙
1 ������ 2
= −4������ 2 ∙
������3 ������ 2
∙
1 ������ 2
(4)
开普勒第三定律: 行星轨迹椭圆的半长轴的三次方和运动周期的平方成正比。 即
+ ������������������������������
(5)
选择������的起始位置,使得上式中 const=0. 引入记号������ =
������2 ������������
、e = √1 +
2������������2 ������������2
,
轨迹方程(5)可写成 ������⁄ ������ = 1 + e������������������������ 这正是圆锥曲线方程的极坐标形式。 (开普勒第一定律) ① E<0 时, 偏心率0 ≤ ������ < 1, 轨迹为椭圆形, 特别当 e=0 时, 轨迹为圆形; ② E>0 时,偏心率������ > 1,轨迹为双曲线的一支; ③ E=0 时,偏心率������ = 1,轨迹为抛物线。 (上面的 M、m、������分别是质点的角动量、质量和引力场常数,均为常数值) 三、 假设行星(质点)运动轨迹是一个椭圆。 则在(6)式中椭圆的半长轴为������ = 半短轴为b = 由开普勒第二定律可知:������������ = 周期 0~T, 那么 ������ =
(������⁄������ 2 )������������
(������⁄������ 2 )������������ √2������[������+������]−������2
������ ������
将上式积分可得: ������ = ∫
√2������[������+������]−������2
������ => 2������������ = ������������
(S 为椭圆的面积, T 为运动周期) ; 椭圆面积为������ = ������������������ 结合(7)、(8)、(9)、(10)四式可得: ������ = 2������������3⁄2 √ ������ ������ = ������������ √ ������ 2|������|3
2
������
������2 ������2 ������ 2
=> ������������ =
������������ 2 ������
(1)式中可写成������������ =
������������ => ������������ = 2
������������
2
(4)
对比(3) 、 (4) ,消去 dt,得 ������������ =
������3 ������ 2
= ������������������������������,记太阳的质量为 M,则 ⃗ = ������������ ������ ⃗ = ������ 记万有引力常数为 4������ 2 ������3 ∙ ≈ 6.67 × 10−11 (������3 /������������ ∙ ������ 2 ) ������ ������ 2 于是可以得到万有引力定律的数学表达式: ������������ ⃗ = −������ ������ ������ ⃗⃗⃗⃗ ������ 2 0 ������ = ������ 2 ������ ⃗ 4������ 2 ������3 ������������ 2 )������ = ������(������̈ − r������̇ ⃗⃗⃗⃗ = −( ∙ ) ∙ 2 ⃗⃗⃗⃗ ������ 0 ������������ 2 ������ ������ 2 ������ 0
+ ������(������)
������ ������
在平方反比的引力(万有引力)中,质点(行星)的势能������(������) = − ������ 为正常数,在无穷远处,势能为 0. 则遵循平方反比引力的质点机械能可写成:
������ = ������������̇ 2 +
2
1
������2 2������������ 2
������ 2������ ������ 1−������ 2 ������ √1−������ 2
(6)
=
������ 2|������| ������ √2������|������|
(7) (8)
=
������ 2������
������������,设积分时间为行星椭圆运动的一个
(9) (10)
������ ⃗⃗⃗⃗ ������ ������ 2 0
. (1)
一、 向心力场中,角动量守恒:������ = ������������ 2 ������̇ = ������������������������������ 矢径扫过的面积微元为������������ = ������ 2 ������������,结合(1)可得
−
������ ������ ������������
2 √ 2 [������+������]− ������ ������ ������ ������2 ������2
(2) (3)
可得������̇ =
������������ ������������
= √ [������ + ] −
������ ������ ������ ������������
用万有引力定律推导开普勒三定律
⃗ = − ������������������ 万有引力定律数学表达式: ������ ������0 (G 为引力常数, m 是行星的质量, 2 ⃗⃗⃗⃗
������
′
⃗=− m’是太阳质量),设������ = ������������������′,则������
⃗ ������������ ������������
= ������������ ⃗ = ������
⃗ ������ 2 ������ ������������ 2
,������ ⃗ 是物体的加速度。
则行星 x 方向和 y 方向上的加速度分量分别为: ������ 2 (������������������������������) = (������̈ − ������������̇ 2 )������������������������ − (2������̇ ������̇ + ������������̈ )������������������������ ������������ 2 ������ 2 (������������������������������) = (2������̇ ������̇ + ������������̈ )������������������������ + (������̈ − ������������̇ 2 )������������������������ ������������ 2 ⃗⃗⃗⃗ 记 r 方向上的单位向量⃗⃗⃗⃗ ������0 = = (������������������������, ������������������������), ������0 ̇ = ������̇ (−������������������������, ������������������������)则加速度
2 1
U(r)表示势能
化成极坐标的形式:������ = ������������̇ 2 + ������������ 2 ������̇ 2 + ������(������)
2 2
1
1
把(1)代入上式,得������ = ������������̇ 2 +
2
1
������2 2������������ 2
2
1
(2)
行星绕太阳一州的时间设为 T, 则经过 T 时间内矢径扫过的面积刚好为整个 椭圆的面积������������������,那么对(2)式分离变量求积分后可得 1 ������������������ = ������ 2 ������̇ ������ 2 可化为: ������ 2 ������̇ = 对两边求导后得: (������ 2 ������̇ )′ = 2������̇ ������̇ + ������������̈ =Байду номын сангаас0 这样(1)中的最后一项就去掉了,(1)式可重新写成 2������������������ = ������������������������������ ������
(1)
开普勒第二定律:在相同的时间内,矢径扫过的面积相同。 也就是说矢径扫过的面积随着时间的变化率是一个常数, 矢径扫过的面积微 元为������������ = ������ 2 ������������,那么
2 ������������ ������������ 1
= ������ 2 ������̇ = ������������������������������
������ ������
2
+ ������������������������������
解积分可得:������ = ������������������������������������
������⁄������−������������ ⁄������
2 2 √2������������+������ ������ ⁄ 2 ������
2 1
������S ������ = = ������������������������������ ������������ 2������ 即太阳到行星的矢径扫过的面积随时间的变化率是一个常数, 那么在相同的 时间内,矢径扫过的面积相同。 (开普勒第二定律) 二、 因为向心力是保守力,所以在向心力场中,质点的机械能守恒: ������ = ������������ 2 + ������(������)
说明行星 (质点) 运动的周期依赖于行星 (质点) 的机械能。 从上式还可知: ������ ������ 2 = 4������ 2 ������3 ������ 亦即: ������ 2 4������ 2 ������ = ������3 ������ 所以,行星运动周期的平方与它椭圆轨迹半长轴的三次方成正比。 (开普勒 第三定律)
������2 ������2
是离心率, ������和
������是椭圆的半长轴和半短轴,������是行星到太阳的距离。 行星的坐标可以用向量的记号表示成 ������ ⃗ = (������������������������������, ������������������������������),由牛顿第二定律 ⃗= 可知������
������ ⃗ ������
向量 ������ ⃗=
⃗ ������ 2 ������ ������������ 2
= (������̈ − r������̇ 2 )������ ⃗⃗⃗⃗ 0+(
(2������̇ ������ ̇ +������������ ̈) ̇ ������
⃗⃗⃗⃗ )������ ̇ 0