圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

圆锥曲线光学性质及生活中的应用

杭州高级中学高二（12）：汪愈超、汤凯楠、王小川学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。一、圆锥曲线的光学性质

首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样：

1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．

2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献

3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对

称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。 二、问题转化及证明

在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的

因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出

1若点00(,)P x y 是椭圆22

221x y a b

+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

+=。 2若点00(,)P x y 是双曲线22

221x y a b

-=上任一点，则双曲线过该点的切线方

程为：00221x x y y

a b

-=

图1.3

图1.2 图1.1

3若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+

1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图

2.1）

已知：如图，设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是

过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴

于D

设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.

解：在22

22:1x y C a b

+=上，00(,)P x y C ∈，

则过点P 的切线方程为：00221x x y y

a b

+=

'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线， 则

0000222211':(

)()()y x l x x y b a b a -=-

∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c

D x a

∴22

102022||,||c c F D x c F D c x a a

=+=-

∴2012

20

||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=- ∴

1122||||

||||

F D PF F D PF = ∴PD 是12F PF ∠的平分线 ∴αβ=

∵ββαα'+=︒='+90，故可得βαβα'='⇔=

L

2.双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；

已知：如图，双曲线C 的方程为22

221x y a b

-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是

过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=

解：22

22:1x y C a b

-=

两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(2

2

2

b a

c +=

00(,)P x y 在双曲线上

则过点P 的切线

00221x x y y

a b

-= 切线l 与x 轴交于2

(,0)a D x 。

由双曲线的焦半径公式得

1020|||

|,||||c c

PF x a PF x a a a

=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'

故011102000220|

|

||||||||||,||||||,||||

||c

x a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a

+=+=-==

- 故βαβα'='⇔= ， ∴切线l 为F FP '∠之角分线。

图2.2