相似三角形中考复习学案(教师用)

相似三角形

一、三角形的相似

考点1 相似三角形的概念及性质

1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边_________①____的三角形叫做相似三角形。

2．相似三角形对应边的比叫做相似比，全等三角形是特殊的相似三角形，两全等三角形的相似比为1。

3．成比例线段与比例性质

成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段。

比例的性质：（1）比例的基本性质：b a =d

c ⇔ad=bc （b

d ≠0） （2）合比性质：b a =d c ⇒b b a +=d

d c + （3）等比性质：b a =d c =…n m ⇒n d b n c a ++++=b

a （

b ＋d ＋……＋n ≠0） 3．相似三角形的对应角________②________，对应边成比例。

4．相似三角形对应中线、对应角平分线及对应高的比等于_________③_______。

5．相似三角形的周长的比等于相似比。

6．相似三角形面积的比等于相似比的__________④_________。

温馨提示：三角形的相似具有传递性，若△ABC ∽△C B A '''，△C B A '''∽△C B A ''''''，则△ABC ∽△C B A ''''''。

7．相似三角形证明线段成比例的一般步骤

（1）先确定比例式中四条线段所在的两个可能相似的三角形。

（2）再找出两个三角形相似所需要的条件。

（3）最后根据以上分析，写出证明过程。

温馨提示：如果两个三角形不相似，则可采用等量代换线段，用中间比进行替代，或利用平行线等知识解答。 考点2 相似三角形的判定条件

1．两角对应相等的两三角形相似。

2．两边对应成比例且_____⑤________的两三角形相似。

3．三边对应_________⑥_______的两三角形相似。

4．几种特殊三角形相似的判定

等腰三角形：（1）顶角或底角相等；（2）腰与底边对应成比例

直角三角形：（1）一锐角相等；（2）斜边和一直角边对应成比例

温馨提示：两边对应成比例，其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似。就好比“边边角”的两个三角形不能全等一样。证明两个角相等，除了用全等等的知识外，证明两个三角形相似也是常用的手段。可类比全等的知

识点来学习相似的性质与判定。

考点3 相似三角形的应用

1．证明角相等或线段成比例等。

2．利用相似三角形的性质计算。

3．应用相似三角形的性质，条件进行探究等。

温馨提示：相似的知识点是初中阶段以及后续学习的重要

考点4 相似多边形的定义

把对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形。

考点5 相似多边形的性质

1．相似多边形的对应角相等；

2．相似多边形的对应边的比相等；相似多边形的对应边的比叫做相似比。

3．相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方；

考点6：位似的定义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

考点7：位似的性质

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k。

（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG 的长为（）

A．1 B．C．D．2

（检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计算。）

这道题目也可以利用相似三角形来计算。有时利用相似三角形解决问题较简便。今天我们复习相似三角形。（出示课题）

二、梳理相似三角形基本图形：

在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。

1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4

(1)若CE= 3，则DE=____ (2)如图（2）若CE=，则DE=____.

2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

3、如图（4），∠ABC=90，BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为（）

（A）36 （B）16 （C）6 （D）

4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,则EF的长为（）

（A）6 （B）16 （C）26 （D）

归纳小结相似三角形的基本图形：

“A”型公共角型公共边角型双垂直型三垂直型（母子型）（母子、子子型）

“X”型蝴蝶型

三、学生探究：

1、在△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.

变式：在Rt△ABC中，∠C=90埃 ?SPAN>AB上一点D作直线DE交另一边于E，

使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.

让学生感受图形从一般到特殊变化时，题目的答案从四解减少到三解。

2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是（）

A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB和△DEF

变式：如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，若使图中△BEF与△ABE相似，需添加条件：。

（让学生感受三垂直型）

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在BC边上，若△ABP与△DCP相似。△APD一定是（）

（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形

变式：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若点P在BC边上，则△ABP与△DCP相似的点P有个。

（进一步让学生感受“三垂直型”，并提醒学生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD∥BC,AD

∠BPC=∠A=∠D,找出图中的相似三角形。

（将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一

般。）

2、如图，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E.

（1）试确定CP=3时点E的位置；