大学物理第二章习题及答案

1. 一质量为m 的质点在保守力的作用下沿x 方向运动，其势

能为：)x b (ax E P

-=2

，其中b a 、均为大于零的常数。 （1）试求质点所受力的表达式；

（2）确定平衡位置，并讨论平衡位置的稳定性。 （3）若质点从原点0=x 处以0v 开始运动，试问，0v 在什么范围内质点不可能到达无穷远？ 解答：

（1）()()2

32P dE d F ax b x ax x b dx dx ⎡⎤=-=--=-⎣⎦。 （2）平衡位置处：2

320P dE ax abx dx

=-+=， 解得：0x =，或23x b =。且2262P

d E ax ab dx =-+

0=x 时，

20

2

20P

x d E ab dx ==>，稳定平衡，此时min 0P E =

23x b =时，22

2

3

20P x b d E ab dx ==-<，非稳定平衡，此时3

max 427

P E ab =

（3）系统机械能守恒：20012

k p E mv E E E ===+

若质点不能达到无限远，则230 max 14227

P mv E ab <=

解得：0v ≤

。即当0v ≤

时，质点不可能到达无穷远。

2. 一块长为l ，质量为M 的木板静置于光滑的水平桌面上，在板的左端有一质量为m 的小物体（大小可忽略）以0v 的初速度相对板向右滑动，当它滑至板的右端时相对板静止。试求：

（1）物体与板之间的摩擦系数； （2）在此过程中板的位移。

解答：以水平桌面为参照系，以板和小物体组成的系统为研究对象，

（1）在运动过程中，所受合外力为零，系统动量守恒：

v M m mv )(0+=

对系统应用功能原理：()22011mg 2

2

l m M v mv μ-=+-

联立可得：()2

2Mv m M gl

μ=+，M m m v v +=

0。

（2）以水平桌面为参照系，以板为研究对象，设板的位移为S ，

运用动能定理：02

1

2-=

Mv mgS

μ 由上一问得：M

m m v v +=

，()l

g M m 2Mv 20

+=

μ，

整理即得：l M

m m

S +=。

3. 汽车沿着一坡度不大的斜坡以112v =米/秒的速率向上匀速行驶，当此车用同样的功率沿斜坡向下匀速行驶时，车速为220v =米/秒。若此车保持功率不变而沿水平的同样路面以匀速v 行驶，设汽车在水平路面上受到阻力与在斜坡上受到的阻力相同，求v 的大小。

解答：设汽车受的阻力为f ，以汽车和地球组成的系统为研究对象，

运用功能原理：)dA d(A A dE +=外内发内阻+， 两边同时对时间求导数，得：()d dE 0A A dt

dt

++=

内发内阻，

其中：

dA P dt

=内发，

dA fv dt

=-内阻， 则dE

P fv dt

-=

。 上坡过程中：()

1

11sin sin d x P fv mg v mg dt

θθ-== 下坡过程中：()

2

22sin sin d x P fv mg v mg dt

θθ-==

水平路面上：0P fv -= 联立求得：15/v m s =。

4． 在光滑的水平面上有两个质量分别为1m 和2m （21m m <）的物块，2m 上连有一轻弹簧，如图所示。第一次，具有动能0E 的1m 与静止的2m 相碰；

第二次，2m 具有动能0E 去和静止的1m 相碰，两次碰撞均压缩轻弹簧。试问：（1）两次碰撞中哪一次弹簧的最大压缩量较大？

（2）若碰前两物块的总动能为0E ，则0E 如何分配，才能使在两物块碰撞过程中弹簧的最大压缩量最大？

解答：碰撞过程动量守恒，机械能守恒。

（1）对于第一次碰撞：2

011012

E m v =

动量守恒：1101212()m v m m v =+

能量守恒：2

201212

111()2

2

E m m v kl =++ 整理得：22

1012

12

m kl E m m =

+ ① 对于第二次相碰：2

022012

E m v =

动量守恒：2201221()m v m m v =+

能量守恒：2

201221211()2

2

E m m v kl =++

整理得: 21

2012

12

m kl E m m =

+ ② 由于21m m <，比较(a) , (b)得：2212112

2

kl kl >，即12l l >， 即第一次碰撞弹簧的最大压缩量较大。

（2）10200E E E += ③ 动量守恒：1102201212()m v m v m m v +=+ ④

能量守恒：2

201212

11()2

2

E m m v kl =++ ⑤ 由⑤式可知，当0E 固定，120v =时，l 最大，由②③④式联立得弹簧压缩量最大时的能量分配：2

10012m E E m m =+，

120012

m E E m m =+。

5. 如图所示，质量为m 的物体从光滑轨道的顶端A 点，由静止开始沿斜道滑下，在半径为R 的圆环部分的最低点B 与另一质量为M 的静止物体发生弹性碰撞，碰后M 沿圆环上升，并在高度为0h 处脱离圆环，而m 则沿斜道上升后又滑下，并在M 脱离点脱离圆环。试求： （1）m 与M 之比； （2）A 点的高度h 。