第五章矩阵的特征值与特征向量习题

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为：（1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即：如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则（1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

线性代数第五章习题课

习题课
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
0 2 2 (1) A = 2 4 2 ; 2 2 0
解
4 10 0 (2) A = 1 3 0 . 3 6 1
解
2. 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 若判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 相似, 相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵. 是对角矩阵.
解
(2) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 2 12 x3 +
12 x1 x2 24 x1 x3 + 8 x2 x3 .
13. 判断下列二次型是否正定. 判断下列二次型是否正定.
二次型的正定性的常用判定法
2 2 (1) 3 x12 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 4 x2 x3 ;
解
5. 设三阶方阵 A 的特征值为
λ1 =1, λ2 = 2, λ3 = 3,
对应的特征向量依次为
1 1 1 p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3 , 1 4 9
又向量 b= (1 , 1 , 3)T . (1) 求 A; (2) 将 b 用 p1, p2, p3 线性表示; 线性表示; (3) 求 Anb;(4)求 A100 . ;(4
�
解
0 0 1 3. 设 A = x 1 y 相似于对角矩阵, 相似于对角矩阵, 1 0 0
求 x 与 y 应满足的条件. 应满足的条件.
解
4. 已知矩阵
2 0 0 A = 0 0 1 0 1 x
与矩阵
2 0 0 相似. B = 0 y 0 相似 0 0 1

线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题

第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

第五章矩阵的特征值和特征向量

x3
x3
0 1
6. 因
为
A 2 3A,令AX X，因为A2 X 2 X，所以有(2 3)X 0而X 0，故A 的特
征值为 0 或者 3，因为 1 2 3 trA , ,所以1 3，2 3 0
7. 因为 AX=0 有非零解，所以 r（A）<n，故 0 为矩阵 A 的特征值，a1,a2
（A）1 3 （B） 33 1 （C）1 22 33 （D） 21 32 8. 设，为四维非零列向量，且，令A T，则 A 的线性无关特征向
量个数为（）
（A）1 (B)2 （3）3 （D）4
9. 设 A,B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是（）
（A） CT AC （B） A1 B1 （C） A* B* （D） A B
21. （1）若A可逆且A ~ B，证明：A* ~ B*;
（2）若 A ~ B,证明：存在可逆矩阵P，使得AP ~ BP.
22.设方程组
2
x1 x1
(a 2)x2
x2
(a 1)x3
x3
1
a 3 有无穷多个解，
x 1
2x2
ax3 3
1
a
0
1
a
，
2
1
，,3
0
为矩阵A的分别属于特征值
为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征
值，若 a1+a3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(a1+a3)= 0 (a1+a3)，注意到 A(a1+a3)=0a1-2a3)=-2a3，故-2a3= 0 (a1+a3)或 0 a1+（ 0 +2）a3=0，

《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量

4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值【分析】利用，把转化为是本题的关键【详解】根据题设有，又于是即也即由此可得
解此方程组，得又由，有故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得
第五章特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式
可解出【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量（1）求与的关系式并写成矩阵形成：；（2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）（Ⅱ）令则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵

第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化扩展例题及求解

的一个特征向量为

1
,求
a,
b,
c
和
的值。
1
[分析]当 A 是抽象的方阵时，求 A 的特征值、特征向量通常需要考虑特征值、特征向量的定
义或等价定义。本题主要考察 A* 和 A 的特征值之间的关系，以及它们有共同的特征向量。
[解]由于 A* ， AA* A E E ，对 A* 两边同时左乘 A ，即有：
1 2 3 2 2 0 fA() | E A | 1 4 3 1 4 3
1 a 5 1 a 5
10 0 ( 2) 1 3 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 1 5
[例
9]设
A

1
4
3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。
1 a 5
[分析]本题主要考察可对角化的条件：n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关
的特征向量，即 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量。
[解]先求特征方程。
（１）如果 2 是特征方程的二重根,则 2 满足方程 2 8 18 3a 0 ,故
a 2 ．
1 2 3
当 a 2 时,
A
的特征值为
2,2,6,矩阵
2E

A

1
2
3

的秩为
1,故

2
对应有两
1 2 3
个线性无关的特征向量,从而 A 可以相似对角化。
[证]设是 AmnBnm 对应于特征值的特征向量，则

第五章方阵的特征值与特征向量自测题答案

《线性代数》单元自测题答案第五章方阵的特征值与特征向量一、填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。

当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。

2. 解因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ，解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ，则Λ=-AP P 1。

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

第五章：特征值与特征向量填空题

第五章：特征值与特征向量填空题1.1,n A A n 设阶矩阵的元素全为则的个特征值是.123,0n n λλλλ===== 答案：()2.n A kA k λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为常数的一个特征值为，对应的特征向量为.,k λα答案：()3.m n A A m λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:为正整数的一个特征值为，对应的特征向量为.,m λα答案：14.n A A A λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1,αλ答案：5.n A A A λα*已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.,A αλ答案：16..n A P P AP λα-已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，的一个特征值为，对应的特征向量为.1P λα-答案：,()()110110117.,m m m m m m m m n A P f x c x c x c x c f x c A c A c A c λα----=++++=++++ 已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:可逆时，则矩阵多项式的一个特征值为，对应的特征向量为.(),f λα答案：8.T n A A λα已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个特征值为.λ答案：9.n A A E λα+已知阶矩阵的一个非零特征值为，对应的特征向量为，则:的一个，特征值为，对应的特征向量为.1,λλ+答案：()210.,A n A A A E n A A E λ**≠+设为阶矩阵，0为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.若有特征值，则必有特征值.21,A αλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：11.30,20,30,3A A E A E A E A E +=+=+=+=设为阶矩阵，已知则.答案：620012.0020002A B A B λ⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设,,则矩阵有一个特征值.答案：2111121313.31,2,3,ij ij A A A A a A A A -++=设是阶矩阵，已知是中元素的代数余子式，则.1答案：2015.A n E n A A E λ+设是阶方阵，是阶单位阵，若有特征值，则必有特征值.01λ+答案：[]123123123116.31,1,2,,,,=2,4,A P P AP λλλξξξξξξ-==-=-=设是阶矩阵，有特征值其对应特征向量分别为记，-3则.121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦答案：()1211117.246,2335A x A x λλ-⎡⎤⎢⎥====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦设,有特征值二重，则.2-答案：[]18.1,0,1T T n A n E A αααα=-=-=设，矩阵,为正整数，则.()22n a a -答案：()1122333319.,ij A a A a a a ⨯==++=设为3阶矩阵，其特征值为1,2,3,则.6,6答案：220.1,2,3,1,A A -+=若4阶方阵的特征值为则.答案：[]12221.212,=1,1__________.221T A k k α⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦设矩阵向量，是它的一个特征向量，则12-答案：或1111122.4__________.2345A B A B E --=已知阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，，，，则行列式答案：241111111123._____________.11111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的非零特征值是4答案：12311024.3=-1==1,=1______.1A A λλλλξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设阶对称矩阵的特征值，属于的特征向量，则100001010⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：25.42,3,4,5_______________.A B B E -=已知阶矩阵与相似，其特征值为，则行列式24答案：()26.0____________.n A r A =若阶方阵有一个特征值为，且为单根，则1n -答案：3227.332,1-23,8___________.A B A A B E *=--=设阶矩阵有个特征值，，则0答案：()131028.410,262A A *-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦设则的特征多项式的一次因式分解式为____________.()2112λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭答案：。

第五章矩阵的特征值与特征向量习题

第五章矩阵的特征值与特征向量习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。

第五章：特征值与特征向量选择题

B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
2 1 2 5 a 3 1 b 2
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使

线性代数_第5章_特征值与特征向量_-_习题详解[1]

第5章特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量练习5.11. 证明特征值与特征向量的性质3.设01()mm z a a z a z ϕ=+++ 是一个多项式. 又设0λ是矩阵A 的一个特征值, α是其对应的一个特征向量, 则00100()mm a a a ϕλλλ=+++ 是矩阵多项式01()m m A a E a A a A ϕ=+++ 的一个特征值, α仍是其对应的一个特征向量.证由0A αλα=得01()m m A a a A a A ϕαααα=+++()()01000m m a a a λλαϕλα=+++=再由定义得证.2. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122113221A的全部特征值与特征向量.解由()()2()33A f E A λλλλ=-=-+得A 的特征值为3,3321-===λλλ（二重）.当31=λ时，解齐次方程组()03=-x A E 得基础解系T )1,1,1(1=α所以，属于31=λ的全部特征向量为11αk （01≠k ）.当332-==λλ时，解齐次方程组()03=--x A E 得基础解系T )1,2,1(2-=α所以，332-==λλ的全部特征向量为22αk （02≠k ）.3. 求平面旋转矩阵cos sin sin cos G θθθθ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值.解由()2cos sin 2cos 1sin cos f E G λθθλλλθλθλθ--=-==-+-得矩阵G 的两个特征值为1cos λθθ=+，2cos λθθ=-4. 已知[]T1,1,1α=-是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A的一个特征向量. 试确定b a ,的值及特征向量α所对应的特征值.解设α所对应的特征值为λ，则由λαα=A , 即0)(=-αλA E ，得21212120531530121120a ab b λλλλλλ---++=⎛⎫⎛⎫⎧⎪ ⎪⎪---=⇔-+-+=⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-+----=⎝⎭⎝⎭⎩0 解之得1,0,3-==-=λb a .5. 设3阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ, 与之对应的特征向量分别为[][][]T T T1232,1,1,2,1,2,3,0,1ααα=-=-=求矩阵A .解由假设123123[,,][,2,3]A αααααα=矩阵],,[321ααα可逆，所以1123123[,2,3][,,]A αααααα-=249143120153143164--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=320361182636. 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-, 求行列式*1A A A --+. 解记A 的特征值为1231,1,2λλλ==-=,则1232A λλλ==-，112A A A *--==-A*111123A A A A A A A A -----+=--+=-+故*1A A A --+的特征值为13,(1,2,3)i i i i μλλ-=-+=，计算得12312,2,2μμμ=-==所以*11232A A A μμμ--+==-7. 设2A A =, 证明A 的特征值只能是0或1. 解设λ是A 的特征值，则2()ϕ=-A A A 有特征值2()(1)ϕλλλλλ=-=-由于()ϕ=A O ，故其特征值全为零，所以()(1)0ϕλλλ=-=，从而0=λ或1=λ.8. （1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设21,λλ为矩阵阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1ξ和2ξ, 证明2211ξξk k +（0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量.证（1）设A 的对应于特征向量α的特征值有1λ和2λ，即12,A A αλααλα==由此推出12()0λλα-=，由于0α≠，因此12λλ=.（2）（反证）假设2211ξξk k +是A 的特征向量，对应的特征值为μ，即()()11221122A k k k k ξξμξξ+=+由222111,ξλξξλξ==A A ，得()11221122111222A k k k A k A k k ξξξξλξλξ+=+=+()1122k k μξξ=+移项()()1112220k k λμξλμξ-+-=因{}12,ξξ线性无关，所以1122()0,()0k k λμλμ-=-=由0,021≠≠k k 得12λλμ==，这与21λλ≠矛盾.5.2 方阵的对角化练习5.21. 证明相似矩阵的性质1～7.性质1 相似关系是一种等价关系. 即具有：（1）自反性：~A A ；（2）对称性：~~A B B A ⇒；（3）传递性：~,~~A B B C A C ⇒. 证（1）由1E AE A -=，得~A A（2）设1P AP B -=，则1111()A PBPP BP ----==，~B A（3）设111122,P AP B P BP C --==，则112112P P AP P C --=，11212()()PP A P P C -=，~A C . 性质2 设B A ~, 又01()mm x a a x a x ϕ=+++ , 则()~()A B ϕϕ；证设1P AP B -=，则()112012()m m P A P P a E a A a A a A P ϕ--=++++1121012m m a E a P AP a P A P a P A P ---=++++ ()()2111012()mm a E a P AP a P AP a P AP B ϕ---=++++=性质3 设B A ~, 又A 可逆, 则B 可逆且11~--B A；证设1P AP B -=，由于B 是可逆矩阵的乘积，所以B 可逆. 且()111PAP B ---=，111P A P B ---=，11~--B A性质4 设B A ~, 则()()A B f E A E B f λλλλ=-=-=；证见正文.性质5 设B A ~, 则A 与B 的特征值相同；证由性质4即得证.性质6 设B A ~, 则B A =；证由行列式等于所有特征值的乘积以及性质5即得证. 性质7 设B A ~, 则tr()tr()A B =.证由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证. 2. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12yB 已知A 与B 相似，求y x ,. 解由tr tr A B =和B A =得22122x y y +=+-⎧⎨-=-⎩解和0,1x y ==.3. 设3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ,（1）求可逆矩阵P 使得1-P AP 为对角矩阵；（2）计算106()f A A E =--A .解（1）易求得A 的特征值为1,2-，对应的特征向量分别为(1,2),(2,1)TT. 令1221P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11232121121222123P AP D ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1061()()f A P D D E P -=--1061211112121(2)(2)1213⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211121279640121959216403213---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 设101121002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵；（2）计算k A ；（3）设向量0(5,3,3)Tα=, 计算0kA α. 解（1）按对角化的方法易求得()132110,,011100P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，1001101111P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭和1212Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP（2）由1Λ-=P AP 1Λ-⇒=A P P所以1111()()()k k ΛΛΛΛ----==A P P P P P P P P11020011021011110112221100211102kk kk k k k ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）（方法1）先按（2）先计算k A ，再计算kA α.k A αT (322,22,32)k k k =⨯++⨯.（方法2）先求α在基231,,ααα下的分解，然后再求αkA . 解α=Px 得1,2,3121===x x x所以α在基底231,,ααα下的分解为23123αααα++=则23123ααααk k k k A A A A ++=22331123αλαλαλk kk ++=23121223αααk k k +⨯+⨯=T (322,22,32)k k k =⨯++⨯5. 已知方阵1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与对角矩阵相似, 且2=λ是A 的二重特征值.（1）求x 与y 的值.（2）求可逆矩阵P 使AP P 1-为对角矩阵. 解（1）111111222333000E A x y x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)12,2r E A x y -=⇒==-（2）求另一个特征值3λ2332426A λλ==⨯⇒=解()20E A x -=得基础解系（见下面P 的前两列），解()60E A x -=得基础解系（见下面P 的第三列）.111102013P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1226P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6. 设矩阵3221423A kk -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）确定k 的值使A 可对角化.（2）当A 可对角化时, 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵. 解（1）求A 的特征值232211)(1)423E A k k λλλλλλ---=+-=+--+(－1231,1λλλ==-=A 可对角化()10r E A k ⇔--=⇔=（2）方法同前111200021P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 1111P AP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题五1. 设23A A E O -+=，证明A 的特征值只能是1或2. 证设λ是A 的特征值，则2()3A A E ϕ=-+A 有特征值2()31(1)(2)ϕλλλλλ=-+=--由于()ϕ=A O ，故()ϕA 的特征值全为零，所以()(1)(2)0ϕλλλ=--=从而1λ=或2λ=.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和都等于1，证明1λ=矩阵A 的特征值. 提求：(1,1,,1)Tα= ,A αα=. 证设(1,1,,1)T α= ,A αα=.3. 证明n ()2n ≥阶Householder 矩阵2T H E uu =-（其中,1n T u R u u ∈=）有1n -个特征值1, 有一个特征值1-.提示：方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- , 直接验证i i H αα=. 又Hu u =-.证方程组0Tu x =有1n -个线性无关的解向量记为(1,2,,1)i i n α=- ,即0,(1,2,,1)T i u i n α==-于是()()22,(1,2,,1)T T i i i i i H E uu u u i n ααααα=-=-==-上式说明H 有1n -个特征值1. 又()()22T T Hu E uu u u u u u u =-=-=-上式说明H 有一个特征值1-. 综上，H 的特征值为111,1n n λλλ-==== .4. 设A 是n m ⨯矩阵, B 是m n ⨯矩阵, 证明AB 与BA 有相同的非零特征值. 特别地，如果m n =, 则AB 与BA 的特征值完全相同.证法1 由m n m n λλλ--=-E AB E BA （设m n ≥）立即得证.证法2 设λ是AB 的一个非零特征值，对应的特征向量为α，即λαα=)(AB用B 左乘上式得)())((αλαB B BA =只要再证明0≠αB ，上式说明λ也是BA 的特征值. 如果0=αB ，将其代入式λαα=)(AB 得左边()==AB α0，右边λ=≠α0（0,λ≠≠α0）矛盾. 因此0≠αB .同理，BA 的非零特征值也是AB 的特征值.5. 设A 与B 都是n 阶矩阵，()λϕ是B 的特征多项式，证明()A ϕ可逆的充要条件是矩阵A 和B 没有公共的特征值.证设n λλλ,,,21 为B 的特征值，则()()()()n λλλλλλλϕ---= 21从而()()()12()n A A E A E A E ϕλλλ=---于是12()n A A E A E A E ϕλλλ=---因此()0||≠A ϕ⇔0||≠-A E i λ（n i ,,2,1 =）⇔n λλλ,,,21 不是A 的特征值⇔A 与B 没有公共的特征值.6. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b B 21 已知A 与B 相似. （1）求b a ,；（2）求可逆矩阵P ，使B AP P =-1.提示：A 与B 有相同的特征多项式，比较两个特征多项式的系数. 解（1）分别求得A 与B 的特征多项式32()(tr )(4)A f E A A a A λλλλλ=-=-+---B E f B -=λλ)(32(tr )(2)B b B λλλ=-+--由)()(λλB A f f =得tr tr A B =，B A =，42a b --=-即2=-b a ，42a b --=-解得2,0-==b a（2）由于A 与B 相似，所以A 的特征值与B 的特征值相同，就是B 的对角元2,2,1321-==-=λλλ再求出对应于这些特征值的特征向量分别为T T T )1,0,1(,)1,1,0(,)1,2,0(321-==-=ααα令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111012100,,321αααP则有B AP P =-1.7. 设A 是3阶方阵，x 是3维列向量，矩阵2,,P x Ax A x ⎡⎤=⎣⎦可逆，且x A Ax x A 2323-=求矩阵1B P AP -=.解()()2322,,,,32AP Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-()2000000,,103103012012x Ax A x P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1000103012P AP B -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭8. 设A 是3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323A ααα=+.（1）证明123,,ααα线性无关. （2）令[]123,,P ααα=，求1P AP -. 解（1）设1122330k k k ααα++=两边左乘A()11223230k k k αααα-+++=上面两式相减113220k k αα-=12,αα线性无关，130k k ==，代入前面式子20k =. 说明123,,ααα线性无关.（2）()()1231223,,,,AP A A A ααααααα==-+()123100100,,011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设212122221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1098()65A A A A ϕ=-+解 A 的特征值为1231,1,5λλλ=-==，对应的特征向量分别为1231111,1,1201ααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令123111[,,]111201P ααα--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则111213306222P ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1115P AP D --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而()109810981()6565A A A A P D D D P ϕ-=-+=-+11222402240448P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10. 设,(2),0,0nR n αβαβ∈≥≠≠, TA αβ=. 证明当0Tβα≠时, A 可对角化；当0T βα=时, A 不可对角化.证设0Tβα≠. 由ααβααβα)()(T T A ==知A 有特征值01≠=αβλT，对应的特征向量αξ=1.再设齐次方程组0=x T β的1-n 个线性无关解为n ξξ,,2 ，则T T ()()0i i i i ====A ξαβξαβξξ0说明A 有特征值02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξ,,2 .综上，A 的n 个特征值为01≠=αβλT，02===n λλ ，对应的特征向量为n ξξξ,,,21 （它们线性无关）. 因此，A 可对角化. 相应的对角矩阵为T diag(0,,0,)βα设0Tβα=. 由2()()()T T T T A αβαβαβαβ===OA 的特征值全是零（n 重）. 但属于0λ=的线性无关的特征向量个数为()()1T n r A n r n n αβ-=-=-<所以A 不可对角化.11．求解微分方程组11212122d 51,(0)11d 62d 11,(0)0d 44x x x x t x x x x t⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 解写成矩阵形式5/61/2,1/41/4dxAx A dt --⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 1321,131/12P P AP D --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1y P x -=，dyDy dt =，3(0)1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1121122,t ty c e y c e--==由初值定出常数123,1c c ==1233213t t e x Py e --⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭/121/1229e 2e 3e 3e t t t t x x ----⎧=+⎨=-⎩12．在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总人口不变，且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后的农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为n x 和n y （1n n x y +=）.（1）求关系式11n n n n x x A y y ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中的矩阵A ；（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即000.50.5x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求n n x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解（1）11pq A p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）由()()[]1(1)(1)1pqE A p q pqλλλλλ-+--==------+得A 的特征值为121,1p q r λλ==--=再求得对应的特征向量为121,1q p αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令11q P p -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1121P AP r λλ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是11A P P r -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11111111n n n q A P P r p r p q p q --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1nn nn q pr q qr p q p pr p qr ⎡⎤+-=⎢⎥+-+⎣⎦000.510.5n n n n n n n x x q pr q qr A y y p q p prp qr ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2()12()2()n n q p q r p q p q p r ⎡⎤+-=⎢⎥++-⎣⎦。

第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)

【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1

1

k2

1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3

1

，其中
k3

0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量是 A 的属于特征值的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值的特征向量是 ( ) ．
【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
年，数学四）设矩阵
A

k
1
k

，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为：（1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即：如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则（1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、解：
A 1(2)3 6 0
A可逆

第五章矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量习题一矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________． 2．若λ0为A 的特征值，则A k (k 为正整数)有特征值为________．3．若α为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值．二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A ~kE ，则A =________．2．若n 阶方阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2=________．． 3．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20002000λ 且A ~B ，则λ=________．4．A 可对角化当且仅当． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是．二、 1．设A =[a ij ]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113222x和B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y21是相似矩阵．求x与y；习题三实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵T，使ATT1-为对角矩阵．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=34243222A②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1222223B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵．三、已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵B =A 3-5A 2试求：(1) 矩阵B 的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B |和|A -5E |．四、设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201021313，求 (1) A 的所有特征值与特征向量；(2) 判断A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使A 化为对角形矩阵； (3) 计算A m ．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（）（A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵；（D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101；（Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T 1-可对角化；④ T B T m 1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数）（A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确； (D) ① 正确．二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵． 7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -．自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________． 7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ 10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为 ,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，λ1，λ2是A 的特征值，α1，α2是A 的分别对应于λ1，λ2的特征向量，则( )．(a ) λ1=λ2时，α1，α2一定成比例 (b ) λ1=λ2时，α1，α2一定不成比例(c ) λ1≠λ2时，α1，α2一定成比例 (d ) λ1≠λ2时，α1，α2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) λE -A =λE -B (b ) |λE -A |=|λE -B |(c ) |λE -A |~λE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( )(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T 有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.λ1，λ2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于λ1，λ2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当λ1≠λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当λ1≠λ2时，则X 1，X 2是A 相应于λ1，λ2唯一的两个线性无关的特征向量 (c ) 当λ1=λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当λ1=λ2时，则X 1，X 2必为A 相应于λ1，λ2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1）试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量．3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求（1）矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求（1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵；（3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值． 5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一二次型及表示方法一、填空题1．二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 2x 3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________．3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵. 二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使B AC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型. 1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5．对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7．对称矩阵的特征根都是_____________.二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1) 3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2) 3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1）（1） 3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B T A 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n ．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE -为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________. 9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么T AA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X T BX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T =A(c ) B T =B (d ) A T =A 且B T =Bii. ii. 2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C T C(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T ≠0，有X T AX >0．iii.iii. 3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2． (a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3 iv. iv. 4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B(c ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC =B(d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P AQ =Bv.v. 5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( ) (a ) A T (b )A -1 (c ) A +E (d ) A -E vi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )． (a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是 vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n )(b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix. ix. 9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x.x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵． (a ) A *+B * (b ) A *-B * (c ) A *B * (d ) k 1A *+k 2B *三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换. （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵. 七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A . 九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：n E A 22>+.。

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