重庆大学数值分析20123-2013 试卷

重庆大学数值分析课程试卷

2012 ~2013 学年第 1学期

开课学院：数统学院课程号：

考试日期：

考试方式：

考试时间 120 分钟

一、 选择题（3分/每小题，共15分）

1、以下误差公式不正确的是（ A ）

A. B. C ． D.

2、通过点，的拉格朗日插值基函数，满足（C ）

A. ,

B. ,

C. ,

D. ,

3、已知等距节点的插值型求积公式 ，则（ C ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4、解线性方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ B ）

A. B. C. D.

5、已知差商，，，，则（ B ）

A. 5

B. 9

C. 14

D. 8

二、 填空题（3分/每小题，共15分）

1取作为数的近似值，则有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5

()()()1212x x x x εεε-=-()()()1212x x x x εεε+=+()()()122112x x x x x x εεε=+()()22x x x εε=()00,x y ()11,x y ()0l x ()1l x ()000l x =()110l x =()000l x =()111l x =()001l x =()111l x =()001l x =()110l x =()()3

5

2

k k k f x dx A f x =≈∑⎰3

k k A ==

∑Ax b =(

)

()1k k x Bx f +=+()1A ρ<()1B ρ<()1A ρ>()1B ρ>021[,,]5f x x x =402[,,]9f x x x =234[,,]14f x x x =032[,,]8f x x x =420[,,]f x x x =3.141592x = 3.141592654...x 学院专业、班年级学号姓名

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

3、若，则梯形求积公式的截断误差为：

4、迭代法收敛的充分必要条件是：

5. 方程组的Jacobi 迭代格式为：

三、 已知线性方程组

1、求出系数矩阵的1范数。

2、作系数矩阵的Doolittle 分解并求解这个方程组。

令，则25

()2

[,]f x C a b ∈3''

()()2

b a f η--()1n n x x ϕ+=()'1x ϕ<12123153x x x x -=⎧⎨+=⎩22

1(1)()1

(1)()

3153k k k k x x x x ++⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩1231232258538149x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1232583814A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1A =

四、 用牛顿法求在附近的实根，精确到四位有效数

字（8分）

解：由，得

故 =

将 代入迭代格式得

五、 用经典的四阶R-K 方法求初值问题

在x ＝0.2处的值，取步长h ＝0.1（13分）

()3310f x x x =--=02x =()3310f x x x =--=()'233f x x =-()

1()

k k k k f x x x f x +=-'323133k k k k x x x x ----02x ='(0)1

y xy

y ⎧=⎨=⎩11223(,),22,22i i i i i i K hf x y K h K hf x y K h K hf x y =⎧⎪

⎛⎫

⎪=++ ⎪⎪⎝⎭

⎨

⎛⎫

⎪=++ ⎪⎪⎝

⎭⎪

112341

(22)

6

i i y y K K K K +=++++

代入公式得：

=

=1.00501

同理可算出y 2

六、 已知连续函数的如下数值表

试构造差商表，并求的近似值（小数点后保留5位）（12分）

1000.1(,)0K f x y =⋅=2000

0.1(0.05,)0.10.0510.0052K f x y =⋅++=⨯⨯=3000.005

0.1(0.05,)0.10.05 1.00250.00501252

K f x y =⋅++

=⨯⨯=4000.1(0.1,0.005012)0.10.1 1.0050120.01005012K f x y =⋅+

+=⨯⨯=1012341(22)6y y K K K K =++++1

1(00.010.0100250.01005012)6++++()y f x =()0.23f 000,1x y ==

七、 用n=5的复化梯形公式计算积分（小数点后保留4位）（7分）。

解：，，，，，

=

八、 确定下列公式的待定参数，使其代数精度尽可能的高，并指明求积公式的代数精度(12分)

解：令对求积公式准确成立，则

解该线性方程组得：

所以得： 1

0I xdx =⎰00x =115x =225x =335x =44

5

x =51x =1

5

h =

()505123422h I h h h h h h =

++⋅+++⎡⎤⎣⎦1123410121055552

⎡⎤⎛⎫=++⋅+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1

0120

113

()()()()424

f x dx A f A f A f ≈++⎰

2()1,(),()f x f x x f x x ===01201201211

1314

242119116

4163A A A A A A A A A ⎧

⎪++=⎪

⎪++=

⎨⎪⎪++=⎪⎩012212,,333A A A ==-=1

0211123()()()()343234

f x dx f f f =

-+⎰