2018届高考数学第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A版
2018高中数学人教A版浙江一轮参考课件：9-5 椭圆 精品
=1,根据椭圆的定义,要使
焦点在 y 轴,只须 >2,解得 0<k<1.故选 D.
表示椭圆”的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5-������ > 0, 2 2 ������ ������ 解析:要使方程 + =1 表示椭圆,只须满足 ������ + 3 > 0, ������+3 5-������ 5-������ ≠ ������ + 3,
4.如果点 M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 (������ + 3)2 + ������ 2 + (������-3)2 + ������ 2 =6,那么点 M 的轨迹是
线段
.
解析:为左端点为(-3,0),右端点为(3,0)的线段.
-9知识梳理 双击自测
4 三角形,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 . 解析:点 P,F1,F2 构成焦点三角形,根据焦点三角形的面积公式 ������ 2 ������△������1 ������������2 =b tan (其中 b 为椭圆的短半轴长,α 为∠F1PF2 的角度),则
2012 浙江高考,21(解答题) 2013 浙江高考,9(选择题) 2013 浙江高考,21(解答题) 2014 浙江高考,21(解答题) 2015 浙江高考,19(解答题) 2016 浙江高考,7(选择题) 2016 浙江高考,19(解答题)
-3知识梳理 双击自测
1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点 的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距 . 注:若集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c 为常数,则有如下结论: (1)若a>c,则集合P为椭圆上的点 ; (2)若a=c,则集合P为线段F1F2上的点 ; (3)若a<c,则集合P为空集 .
【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第九章9.5椭圆
1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 如图，由题意得，|BF |＝a ，|OF |＝c ，|OB |＝b ，|OD |＝14×2b ＝12b .在Rt △FOB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12，故选B.4．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________． 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又∵21PF F S △＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 引申探究1．在例3中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2．在例3中条件“PF 1→⊥PF 2→”、“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“21PF F S △＝33”，结果如何？解 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为21PF F S △＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)(2017·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4， ∴21F PF S △＝12mn ＝1.题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 (1)C (2)A解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)设M (－c ，m )，则E⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63.题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率． 解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0， 所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k.因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2016·温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点(1，62)，且离心率等于22.点A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，M ，N 是椭圆C 上不同于顶点的两点，且△OMN 的面积等于 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作AP ∥OM 交椭圆C 于点P ，求证：BP ∥ON .(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋(62)2b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 方法一 设直线OM ，ON 的方程为y ＝k OM x ，y ＝k ON x ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k OMx ，x 24＋y 22＝1，解得M (21＋2k 2OM ，2k OM1＋2k 2OM)， 同理可得N (－21＋2k 2ON ，－2k ON1＋2k 2ON)，作MM ′⊥x 轴，NN ′⊥x 轴，M ′，N ′为垂足， S △OMN ＝S 梯形MM ′N ′N －S △OMM ′－S △ONN ′ ＝12[(y M ＋y N )(x M －x N )－x M y M ＋x N y N ] ＝12(x M y N －x N y M ) ＝12(－4k ON 1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ＋4k OM1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ) ＝2(k OM －k ON )1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON，已知S △OMN ＝2，化简可得k OM k ON ＝－12.设P (x P ，y P )，则4－x 2P ＝2y 2P ，又已知k AP ＝k OM ，所以要证k BP ＝k ON ，只要证明k AP k BP ＝－12即可．而k AP k BP ＝y P x P ＋2·y P x P －2＝y 2Px 2P －4＝－12，所以可得BP ∥ON .(M ，N 在y 轴同侧同理可得)方法二 设直线AP 的方程为y ＝k OM (x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝4，得(2k 2OM ＋1)x 2＋8k 2OM x ＋8k 2OM －4＝0，设P (x P ，y P )，则它的两个根为－2和x P ， 可得x P ＝2－4k 2OM 2k 2OM ＋1，y P ＝4k OM 2k 2OM ＋1，从而k BP ＝4k OM2k 2OM ＋12－4k 2OM2k 2OM ＋1－2＝－12k OM .所以只需证－12k OM ＝k ON ，即k OM k ON ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，若直线MN 的斜率不存在，易得x 1＝x 2＝±2， 从而可得k OM k ON ＝－12.若直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－42k 2＋1，Δ＝8(4k 2＋2－m 2)>0，S △OMN ＝12|m |·|x 1－x 2|＝12|m |·8(4k 2＋2－m 2)2k 2＋1＝2， 化简得m 4－(4k 2＋2)m 2＋(2k 2＋1)2＝0，得m 2＝2k 2＋1，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2x 1x 2＝m 2－4k 22m 2－4＝2k 2＋1－4k 22(2k 2＋1)－4＝－12. 所以可得BP ∥ON .7．高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.答案 A典例2 (2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， [3分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. [10分]由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① [12分] 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22. [14分]所以离心率的取值范围是(0，22]. [15分]1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1答案 A解析 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－21答案 D解析 当9>4－k >0，即4>k >－5时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9<4－k ，即k <－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5，∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21，故选D. 3．(2016·青岛模拟)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.53 答案 D解析 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－(b a )2＝1－49＝53，故选D. 4．(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x －y －4＝0 B ．9x ＋y －5＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋y －5＝0 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0， 得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)， 即9x ＋y －5＝0，故选B.5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.*6.(2016·济南质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，12) B ．(0，22) C ．(12，1) D ．(22，1) 答案 D解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )，∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0，∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2) ＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0，∴对称轴满足0<－a32(b2－a2)<a，即0<a32(a2－b2)<a，∴a22c2<1，∴c2a2>12.又0<ca<1，∴22<ca<1，故选D.7．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案x220＋y216＝1解析设切点坐标为(m，n)，则n－1m－2·nm＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1. 8．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.9．(2016·石家庄模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)．10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．答案 255 解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a )．设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →，∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－23a ，y 0＝a 3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15， ∴e ＝ 1－b 2a 2＝255. 11．(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ，4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 12．(2016·湖州调测)已知点C (x 0，y 0)是椭圆x 22＋y 2＝1上的动点，以C 为圆心的圆过点F (1,0)．(1)若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．解 (1)当圆C 与y 轴相切时，|x 0|＝(x 0－1)2＋y 20，又因为点C 在椭圆上，所以x 202＋y 20＝1， 解得x 0＝－2±22，因为－2≤x 0≤2，所以x 0＝－2＋2 2.(2)圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20，令x ＝0，y 2－2y 0y ＋2x 0－1＝0，设A (0，y 1)，B (0，y 2)，则y 1＋y 2＝2y 0，y 1·y 2＝2x 0－1，由Δ＝4y 20－4(2x 0－1)>0及y 20＝1－12x 20， 得－2－22<x 0<－2＋22，又由点C 在椭圆上，得－2≤x 0≤2，所以－2≤x 0<－2＋22，|F A |·|FB |＝y 21＋1·y 22＋1＝(y 1y 2)2＋(y 21＋y 22)＋1＝(2x 0－1)2＋4y 20－2(2x 0－1)＋1＝2x 20－8x 0＋8＝2(2－x 0)．所以|F A |·|FB |∈(42－4,2＋22]．13．(2017·宁波调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a 2)， 于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac 2b)． 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b≤0， 整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2.所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1. (2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1， 设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12. 当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2； 当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。
2018届高三数学理一轮温习第九章平面解析几何第五节椭圆含解析(供参考)
第五节 椭圆A 组 基础题组1.已知方程x 22-x +x 22x -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,+∞) C .(1,2) D.(1,1)2.(2017黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的核心在x 轴上,离心率为3,直线x+y-4=0与y 轴的交点为椭圆的一个极点,那么椭圆的方程为( ) A.x 225+x 29=1B.x 29+x 225=1C.x 225+x 216=1 D.x 216+x 225=13.矩形ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,那么以A,B 为核心,且过C,D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2√3B.2√6C.4√2D.4√34.设椭圆x 24+y 23=1的核心为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3B.3或32C.32D.6或35.已知椭圆x 24+y 2b=1(0<b<2)的左,右核心别离为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( ) A.1B.√2C.32D.√36.已知椭圆的中心在原点,核心在x 轴上,离心率为√55,且过点P(-5,4),那么椭圆的标准方程为 . 7.已知椭圆C 的中心在原点,一个核心为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶√3,那么椭圆C 的方程是 .8.椭圆x 29+y 22=1的左,右核心别离为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则∠F 1PF 2的大小为 .9.已知椭圆的两核心为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),离心率e=√32. (1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l 与此椭圆相交于P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.10.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2别离为椭圆的左,右核心,A 为椭圆的上极点,直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若=2,·=32,求椭圆的方程.B 组 提升题组11.已知椭圆C:x 24+y 23=1的左,右核心别离为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2.假设点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( ) A.√32B.3√32C.94D.15412.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-2√5,0)为C 的左核心,P 为C 上一点,知足|OP|=|OF|,且|PF|=4,那么椭圆C 的方程为( )A.x 225+y 25=1B.x 236+y 216=1C.x 230+y 210=1D.x 245+y 225=113.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右核心,直线y=b 2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是 .14.设F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右核心,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,那么椭圆C 的离心率为 .15.(2016云南检测)已知核心在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O,离心率等于√32,以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5.直线l:y=kx+m 与y 轴交于点P,与椭圆E 相交于A 、B 两个点. (1)求椭圆E 的方程; (2)若=3,求m 2的取值范围.答案全解全析 A 组 基础题组1.C ∵方程x 22-k +y 22k -1=1表示核心在y 轴上的椭圆,因此{2-k >0,2k -1>0,2k -1>2-k,解得{k <2,k >12,k >1,故k 的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),由题意知{c a =35,b =4,a 2=b 2+c 2,解得{a =5,b =4,c =3,因此椭圆的方程为x 225+y 216=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,因此短轴长2b=2√a 2-c 2=2√16-4=4√3.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=√3,c=1,当点P 为短轴端点(0,√3)时,∠F 1PF 2=,△PF 1F 2是正三角形,若△PF 1F 2是直角三角形,那么直角极点不可能是点P,只能是核心F 1(或F 2),现在|PF 1|=b 2a =,=12×32×2=32.应选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的概念可知,|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a=8,因此|AB|=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆核心的弦中,垂直于核心所在座标轴的弦最短,则2b 2a=3.因此b 2=3,即b=√3.6.答案x 245+y 236=1解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0).由离心率e=√55可得a 2=5c 2,因此b 2=4c 2,故椭圆的方程为x 25c 2+y 24c 2=1,将P(-5,4)代入可得c 2=9,故椭圆的方程为x 245+y 236=1.7.答案x 216+y 212=1解析 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).由题意知解得a 2=16,b 2=12.因此椭圆C 的方程为x 216+y 212=1. 8.答案 120° 解析由椭圆概念知,|PF 2|=2,|F 1F 2|=2×√9-2=2√7.在△PF 1F 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|?|PF 2|==-12,∴∠F 1PF 2=120°.9.解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知c=√3,ca =√32,因此a=2,则b=1,所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由{x 24+y 2=1,y =x +m消去y,得5x 2+8mx+4(m 2-1)=0,则Δ=64m 2-4×5×4(m 2-1)>0,整理,得m 2<5(*). 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4(m 2-1)5,y 1-y 2=x 1-x 2,|PQ|=√2[(-8m 5)2-16(m 2-1)5]=2. 解得m=±√304,知足(*),因此m=±√304. 10.解析 (1)∠F 1AB=90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,因此有OA=OF 2,即b=c.因此a=√2c,因此e=ca =√22. (2)由题知A(0,b),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=√a 2-b 2,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c 2,y=-b 2,即B (3c 2,-b2).将B 点坐标代入x 2a 2+y 2b 2=1,得94c 2a 2+b 24b 2=1,即9c 24a 2+14=1,解得a 2=3c 2①.又由·=(-c,-b)·(3c2,-3b2)=32,得b 2-c 2=1,即a 2-2c 2=1②. 由①②解得c 2=1,a 2=3,从而有b 2=2. 因此椭圆的方程为x 23+y 22=1.B 组 提升题组11.B 由椭圆方程知c=√4-3=1,因此F 1(-1,0),F 2(1,0),因为椭圆C 上的点A 知足AF 2⊥F 1F 2,因此可设A(1,y 0),代入椭圆方程可得y 02=94,因此y 0=±32.设P(x 1,y 1),则=(x 1+1,y 1),又=(0,y 0),因此·=y 1y 0,因为点P 是椭圆C 上的动点,因此-√3≤y 1≤√3,故·的最大值为3√32,选B.12.B 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),焦距为2c,右核心为F',连接PF',如下图.因为F(-2√5,0)为C 的左核心,因此c=2√5.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP ⊥PF'.在Rt △PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=√|FF'|2-|PF|2=√(4√5)2-42=8.由椭圆概念,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,因此a=6,a 2=36,于是b 2=a 2-c 2=36-(2√5)2=16,因此椭圆的方程为x 236+y 216=1.13.答案√63解析 由已知条件易患B (-√32a,b 2),C (√32a,b2),F(c,0), ∴=(c +√32a,-b 2),=(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得·=0,因此(c -√32a)(c+√32a)+(-b 2)2=0, c 2-34a 2+14b 2=0, 即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0, 亦即3c 2=2a 2,因此c 2a2=23,则e=ca =√63.14.答案√33解析 如图,设PF 1的中点为M,连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点,因此OM 为△PF 1F 2的中位线. 因此OM ∥PF 2,因此∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°. 因为∠PF 1F 2=30°,因此|PF 1|=2|PF 2|. 由勾股定理得|F 1F 2|=√|PF 1|2-|PF 2|2=√3|PF 2|, 由椭圆概念得2a=|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a=3|PF 2|2,2c=|F 1F 2|=√3|PF 2|⇒c=√3|PF 2|2, 则e=ca =√3|PF 2|2·23|PF 2|=√33.15.解析 (1)依照已知设椭圆E 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0), 由已知得ca =√32, ∴c=√32a,b 2=a 2-c 2=a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5, ∴4√a 2+b 2=2√5a=4√5,∴a=2,∴b=1. ∴椭圆E 的方程为x 2+y 24=1.(2)依照已知得P(0,m),设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由{y =kx +m,4x 2+y 2-4=0得,(k 2+4)x 2+2mkx+m 2-4=0. 由已知得Δ=4m 2k 2-4(k 2+4)(m 2-4)>0, 即k 2-m 2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x 1+x 2=-2kmk 2+4,x 1x 2=m 2-4k 2+4. 由=3得x 1=-3x 2,∴3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=12x 22-12x 22=0.∴12k 2m 2(k 2+4)2+4(m 2-4)k 2+4=0,即m 2k 2+m 2-k 2-4=0.当m 2=1时,m 2k 2+m 2-k 2-4=0不成立,∴k 2=4-m 2m 2-1.由题意知k ≠0,m ≠0,结合m 2k 2+m 2-k 2-4=0,知k 2-m 2+4=m 2k 2>0, ∴4-m 2m 2-1-m 2+4>0,即(4-m 2)m 2m 2-1>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).。
2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件文
x2 y 2 2.已知F1,F2是椭圆 + =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点. 16 9
在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( A.6 B.5 C.4 D.3
)
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边
的长度为16-10=6. 3.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于
(
1 A. 2
) B.2
2
C.4
1 D. 4
答案 D
y2 1 由x + =1(m>0)及题意知,2 =2×2×1,解得m=1 ,故选D. 1 m 4 m
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为 (
A.
1 3
)
B.
2 2
3 3
C.
2 2
D.
1 2
x2 y 2 答案 B 2x +3y =m(m>0)⇒ + =1, m m 2 3 2 m m 2 m 1 ∴c = - = ,∴e = ,又0<e<1,∴e3 = .故选B. 2 3 6 3 3
考点突破
考点一 椭圆的定义及标准方程 典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且 和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (
x2 y 2 A. - =1 64 48
)
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. + =1 C. - =1 D. + =1 48 64 48 64 64 48 x2 y 2 3 (2)已知椭圆C: + =1( a > b >0) 的左、右焦点为 F 、 F , 离心率为 ,过 1 2 2 2 a b 3 F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3 ,则C的方程为
《椭圆》人教A版高中数学实用课件1
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
你能从图中找出表示
a,c, a2 c2 的线段吗？
a2 c2
a
令 b a2 c2
x2 y2 则方程（1）可化简为 a 2 b 2
人 教 A 版 数学 选修1 -1第二 章2.1. 1椭圆及 其标准 方程课 件 共 2 2张PP
1
C
（a>b>0)
人 教 A 版 数学 选修1 -1第二 章2.1. 1椭圆及 其标准 方程课 件 共 2 2张PP
人 教 A 版 数学 选修1 -1第二 章2.1. 1椭圆及 其标准 方程课 件 共 2 2张PP
圆的标准方程推导过程
y
如何求椭圆的方程？
r M(x,y)
类比
C(a,b)
0
x
F1
F2
如图，建立直角坐标系 …（1）建系
设M（x,y）是圆上任意一点… （2）设点
圆C就是集合P={M||MC|=r} … （3）列式
椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F 2 的距离的和等于常数
（| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注：若 |M F 1||M F 2||F 1F 2| ,则M点的轨迹为线段. 若 |M F 1||M F 2||F 1F 2| ,则M点的轨迹不存在.
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
2018版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A版
y2
+ b 2 =1(a>b>0)
x2
-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 长轴 A1A2 的长为 为 2b |F1F2|= e=
������ ������
-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
-11考点1 考点2 考点3
考点 1
椭圆的定义及其标准方程
������2 C:������2
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆
+
������2 ������
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为
椭圆 C 上的一点,且������������1 ⊥ ������������2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b= . (2)(2016 山西孝义模拟)已知椭圆
+
������2 =1 5
D.以上答案都不对
关闭
C
答案
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
+
������2 ������
3.已知椭圆
√3
������2 C:������2
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 ) + +
2a
;短轴 B1B2 的长
2c
∈(0,1)
c2=a2-b2
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
高考数学一轮复习 《第九章 平面解析几何》95椭圆课件
如 图所示， △ ABC的周 长为： |AC|＋ |AB|＋ |BC| ＝|AC|＋ |CF2|＋|AB|＋ |BF2|＝2a＋ 2a ＝4a＝ 4 3
答案 C
讲评 (1)椭圆定义式： |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) (2)如 此 类的三 角形周 长恒为 4a.
2．椭圆3x2＋ky2＝ 3的一个焦点是(0， ________.
线 ，恰好通 过椭圆的 左焦点 F1， 且它的 长轴端点A与 短 轴端点
又2a＝ 3×2b，∴a＝9，
y2 x2 ∴方程为81＋ 9 ＝1.
综
上所述，
椭圆方程
x2 为9＋
y2＝
1或
y2 x2 81＋ 9 ＝
1.
a＝ 2c， (2)由已知，有
a－ c＝ 3，
a＝ 2 3， 解得
c＝ 3，
从 而 b2＝ a2－ c2＝ 9，
x2 y2
x2 y2
∴所求椭圆方程为12＋ 9 ＝1，或 9 ＋12＝1.
F为焦
点的椭圆
，
a＝
1，
c＝
1 2
，
b2＝
3 4
，
所以
动点
P的轨迹方程为x2＋43y2＝ 1.
【答案】 x2＋ 43y2＝ 1
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同 侧顶点的距离为 3； (3)经过点P (－ 2 3，1)， Q ( 3，－2)两点；
• (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． • 【分析】 (1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝2a，可求
2018届高考数学第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A版
+
������2 ������2
=1,
则 2a=2 2,c=1,所以 a= 2,b=1. 所以点 P
������2 2 的轨迹方程为 +y =1. 2
(2)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,������������1 ⊥ ������������2 , 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以 2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2. 所以������△������������1 ������2 = 2|PF1||PF2|=2×2b2=b2=9. 所以 b=3.
������2 ������2 (2)已知 F1,F2 是椭圆 C:������2 + 2 =1(a>b>0)的两个焦点,P ������
为椭圆 .
3
-14考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
解析: (1)因为点 P 在线段 ME 的垂直平分线上, 所以|PF|=|PM|,所以|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|EM|=2 2. 所以点 P 的轨迹为以 E,F 为焦点的椭圆.
-3知识梳理
考点自测
1.椭圆的定义 平面内到两定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆.两定点F1,F2叫做椭圆的 焦点 . (1)当 2a>|F1F2| 时,点P的轨迹是椭圆; (2)当 2a=|F1F2| 时,点P的轨迹是线段; (3)当 2a<|F1F2| 时,点P不存在.
高中数学 第九章9.5椭圆(共87张PPT)
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故 a＝4. ∴b2＝8. 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 16 8 ________________．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
2
的直线 l 交 C 于 A， 两点， B 且△ABF2
题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高
【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形；且焦点到同侧 顶点的距离为 3，则椭圆的标准方程
x2 y2 x2 y2 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 12 9 9 12 为____________________________；
图形 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
得 e (0<e<1)．
性 质
范围 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
A1(－a,0)， 顶点 A2(a,0) B2(0，b) 性 质 焦距 离心率 a，b，c 的关系 轴 A1(0，－a)， A2(0，a) B2(b,0)
基础知识 题型分类
.
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图，F1、F2 分别是椭圆 C： x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0)的左、 右焦点， 是椭圆 C 的顶点， A a2 b2
B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点， 1AF2＝60° ∠F . (1)求椭圆 C 的离心率； (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a，b 的值．
高考数学统考一轮复习第九章9.5椭圆课件文新人教版ppt
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．[2021·广东省七校联合体考试]已知椭圆C的方程为xa22
+
y2 b2
＝1(a
＞ ＝2bc＞，0则)，椭焦圆距C为的2离c，心直率线为l_：__y_＝3__4_2_x与．椭圆C相交于A，B两点，若|AB|
()
A．1x52 + 1y02＝1 C．1x02 + 1y52＝1
B．2x52 + 2y02＝1 D．2x02 + 1y52＝1
解
析
：由题
意知c2＝5，可
设椭圆
方程为
x2 λ+5
+
y2 λ
＝
1(λ>0)
，把点
A(3，－2)代入得λ+95 + 4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆
的方程为x2 + y2＝1.
考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一：求离心率的值
[例1]
[2021·长沙市高
三年
级统一模拟
考试
]
设椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝
1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0＜t＜b)，已知动
点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，
则椭圆C的离心率为( )
y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是
容易被忽略而导致求最值错误的原因．
【小题热身】
一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆．( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × ) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)ya22 + bx22＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × ) (6)xa22 + by22＝1(a>b>0)与ya22 + bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
高考数学大一轮复习第九章解析几何第四节椭圆课件理
本节主要包括2个知识点： 1.椭圆的定义和标准方程； 2.椭圆的几何性质
突破点(一) 椭圆的定义和标准方程
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__， 两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距__．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[例1] (2016·江苏高考)如图，在平面直
角坐标系xOy中，F是椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞
0)的右焦点，直线y＝
b 2
与椭圆交于B，C两
点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
b2 [解析] 将y＝b2代入椭圆的标准方程，得xa22＋b42＝1，
(2)若点 P 在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2 的面积． 解：设 P 点坐标为(x，y)，x<0，y>0，∵∠F2F1P＝120°， ∴PF1 所在直线的方程为 y＝－ 3(x＋1)．
y＝－ 3x＋1， 则解方程组x42＋y32＝1，
可得yx＝＝3－5853，.
0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22＋__xb_22_＝__1_ (a＞b＞
0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
椭圆定义的应用
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角
答案：B
2. [考点一](2017·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版-新
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第九章 解析
a>c (3)当________ 时，P 点不存在．
(1)[ 教材习题改编] 已知双曲线两个焦点分别为 F1( － 5,0) ， F2(5,0)．双曲线上一点 P 到 F1，F2 距离之差的绝对值等于 6，则
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2－ ＝1(x≤－1)． 8
x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线 4 12
9 右支上的动点，则 |PF|＋ |PA |的最小值为________ ．
[解析]
如图所示，
设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)． 由双曲线的定义及标准方程得 |PF|－ |PE |＝4， 则|PF|＋ |PA |＝4＋ |PE |＋ |PA |. 由图可得，当 A，P，E 三点共线时， (|PE |＋ |PA |)min＝ |AE |＝5， 从而|PF|＋ |PA |的最小值为 9.
必考部分
第九章
解析线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单 几何性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解 双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合的思想．
考点 1
双曲线的定义
双曲线的定义
距离的差的绝对值 等于常数 平面内与两个定点 F1，F2 的__________________
( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 ． 这 两 个 定 点 叫 做
双曲线的焦点 双曲线的焦距 ________________ ，两焦点间的距离叫做__________________ ．
2018年高考数学(理)人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 9-5
B(0,-2)为圆心的圆上,求 k 的值. 思考 如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?
-10考点1 考点2 考点3
(1)3 解析: 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,������������1 ⊥ ������������2 , 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2.
关闭
C.
解析 答案
-6知识梳理 双基自测
1 2 3 4 5
������2 3.已知椭圆 C:������2
√3
+
������2 ������
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 )
直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0). D.以上答案都不对 由题意知,当焦点在 x 轴上时,c=2,b=1, 则a
C a 则
2
������2 + =1 5
关闭
当焦点在 y 轴上时,b=2,c=1,
2
������2 2 =5,所求椭圆的标准方程为 +y =1. 5 ������2 =5,所求椭圆标准方程为 5 ������2 + =1.故选 4
������2 1,所以 y=± 1,把 y=± 1 代入 5 ������2 √15 √15 + 4 =1,得 x=±2 ,又 x>0,所以 x= 2 ,
√15
2
高考数学复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课件理新人教A版
(2)设所求椭
圆方程为
y2 25－k
＋9－x2 k＝1(k<9)，将
点(
3，－
5)
的坐标代入可得（2－5－5k）2＋（9－3）k 2＝1，解得 k＝5(k＝21 舍 去)，所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
【答案】 (1)A (2)C
[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0， m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)．
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
范围 性
质 对称
性
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：____x_轴__、__y_轴____
对称中心：(0，0)
顶点
轴 性 质 焦距
离心率 a，b，c 的关系
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
①②两式联立，解得mn＝＝1319.， 所以所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
答案：x92＋y32＝1
2．已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F(－2，0)，且长轴长 与短轴长的比是 2∶ 3，则椭圆 C 的方程是________________． 解析：设椭圆 C 的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
已知椭圆 mx2＋4y2＝1 的离心率为 22，则实数 m 等于
() A．2 C．2 或 6
B．2 或83 D．2 或 8
【解析】 显然 m>0 且 m≠4，当 0<m<4 时，椭圆长轴在 x 轴