§1.2 标量场及其梯度

1、标量场定义及图示
对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量
函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标
量函数ƒ(r)是定义于V 内的标量场。

o r
f (r)
V
标量场有两种：
与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) 表示；
与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t )表示。

§1.2标量场及其梯度
等值线
标量场的图示--等值线(面)。

const
z y x f )( ,,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？作图原则：
1）等值线(面)不能相交，
2）相邻等值线（面）差值为常数。

2、梯度
点位移导致ƒ的改变(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )
ƒ+dƒƒd l y
z x
o 线元矢量：
d l =d x
e x +d y e y +d z e z (1)梯度的导出
右图中，由(x,y,z ) 点到邻近的(x +dx,y +dy,z +dz )点的微分位移d l 将导致场函数有一微分增量d f
标量场的相应微增量d ƒ则为：
z z f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(d ⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x z
f y f x f f )(z y x z
f y f x f f gradf e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇=标量场ƒ(x,y,z )在(x,y,z )点的梯度(gradient ) 定义为：
l d d ⋅∇=f f
因此⋅
∂∂+∂∂+∂∂=)(d z y x z f y f x f f e e e （d x e x +d y e y +d z e z ）(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )ƒ+dƒƒd l 梯度定义式
（梯度定义式）
(2)方向导数与梯度的关系
偏导数、、分别叫做ƒ 在x 、y 、z 方向上的方向导数，用梯度表示为
x f ∂∂y f ∂∂z
f ∂∂⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪
⎬
⎫
∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂⋅⋅⋅z z y y x x f f z f
f f y f f
f x f e e e )()()(推广到ƒ(x ,y ,z )在某点沿任意矢量
l 方向的方向导数，则应表为l
l f f l f
e ⋅∇=∇=∂∂)(式中，e l 是l 的单位矢量。

（3）梯度的物理意义
•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；
•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；
•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等
值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
例1 电位场的梯度
•与过该点的等位线垂直；
•数值等于该点的最大方向导数；
•指向电位减少的方向。

电位场的梯度
（4）哈密顿算子▽（读作del 或nabla ）直角坐标系中的具体形式为
z
y x z y x ∂∂
+∂∂+∂∂=∇e e e 使用算符时注意几点：
∇•单独存在没有任何意义；
•算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。

•在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。

∇2∇=∇⋅∇0=∇⨯∇∇
（5）梯度的基本运算公式
=∇c （c 为常数）
f c cf ∇=∇)(g
f g f ∇±∇=±∇)(g
f f
g g f ∇+∇=∇)(()2
)(g g f f g g f ∇-∇=∇
u
u f u f ∇'=∇)()(
（6）梯度运算的几个基本关系式
•相对坐标标量函数 f (r -r ')
f
f ∇'-=∇证明：在直角坐标系中f (r -r ') =f (x -x '，y -y '，z -z '))(z y x z y x z f y f x f z f y f x f e e e e e e '
∂∂+'∂∂+'∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂z f z f y f y f x f x f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,,令x -x '=X ，y -y '=Y ，z -z '=Z ，应用复合函数求导法则可得;X )(X X X ∂∂=∂'-∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂=∂∂f x x x f x f x f X
)(X X X ∂∂-='∂'-∂⋅∂∂='∂∂⋅∂∂='∂∂f x x x f x f x f 即有x f x f '∂∂-=∂∂上式重写为等式若成立，则应有
同理可得z f z f y f y f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,证毕。

f
f ∇'-=∇
•相对位置矢量R =r -r '的模R =|r -r '|
R R
R e R ==∇231R
R R R e R -=-=∇在直角坐标中z y x z z y y x x e e e R )()()('-+'-+'-=••1/2222])()()[(z z y y x x R '-+'-+'-=R x x R x x z z y y x x x z z y y x x x R )()(221])()()[(])()()[(2221/222221'-='-⋅='-+'-+'-∂∂'-+'-+'-=∂∂⋅-则
同理有于是,R y y y R )('-=∂∂R z z z R )('-=∂∂R
z y x z
y x R z z y y x x R z R
y R x R R e R
e e e e e e =='-+'-+'-=∂∂+∂∂
+∂∂=∇])()()[(1
根据算符的微分特性可得
222111
R R R R R R R
e R -=⋅-=∇-=∇（
R ≠0）231R
R R R e R -=-=∇
例2求f = 4e 2x -y+ z 在点P 1（1，1，-1）处的由该点指向P 2（-3，5，6）方向上的方向导数。

)(24e )(24e )(e 4)(4e 2222z y x z x-y z x-y z x-y z x-y z y x f e e e +-=+-∇=∇=∇=∇++++)4(2)(24e 1121z y x z y x --P f e e e e e e +-=+-=∇974481744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212z y x z y x z y x R e e e e e e e e e R e ++-=++-=++-++-+--==解：
于是，f 在P 1 处沿R 12 方向上的方向导数为：
[]9
20
714)1()4(294
9
7
44
)(24 121211-=⨯+⨯-+-⨯=++-+-=∇=∂∂⋅⋅z
y x z y x P
P f R f e e e e e e e
例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面x 2 +y 2+z 2=9 和x 2+y 2=z+3在P (2,-1,2)处相交的锐角。

S 1S 2θ∇f 1(2,-1,2)∇f 2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：
f 1= x 2 + y 2 + z 2 f 2 = x 2+y 2-z
求P 点处的梯度
P ()
z y x x z y x f e e e e e e 424222p z y p 1+-=++=∇()z y x x y x f e e e e e e 124122p z
y p 2--=-+=∇()6
364242221==+-+=∇f ()()211242222=-+-+=∇f θcos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅
θ
cos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅()()
2138
2164
41621624424cos 12121=-++=-+-=∇∇∇∇=-⋅⋅z y x z y x f f f f e e e e e e θ2138
cos 1-=∴θ。