电动力学 第三章 习题解答
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华中师大 陈义成
第三章 习题解答
3.1 设在 x < 0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质， x > 0 区域为真空。今有线电流 I 沿 z 轴流动，求磁感应强度 B 和磁化电流分布。 【解】一、选柱坐标系（如图） ； 二、定解问题： 1）
z B1 I
B2 y
x
∫
L
H ⋅ dl = I ；2） ∫∫ B ⋅ dS = 0 ；
边界条件 （）当 R → 0 ， ϕ1 有限，得 bn = 0 当 R → ∞ ， ϕ2 = −H 0 R cos θ ，得 c1 = −H 0 （2）在 R = R0 处， ϕ1 = ϕ2 ，即
∑a R
n
n
0
Pn (cos θ ) = ∑
dn Pn (cos θ ) −H 0 R0 cos θ R0 n+1
- 61 -
华中师大 陈义成
μ − μ0 mi R H 0 R03 cos θ = 3 2 4π R (μ + 2μ0 ) R
于是
m=
法 2：
4π (μ − μ0 ) 3 R0 H 0 μ + 2μ0 3(μ − μ0 ) H 0 B1 − H1 = μ0 μ + 2μ0
M=
4π (μ − μ0 ) 3 4 m = VM = π R03 M = R0 H 0 μ + 2μ0 3
磁化电流分布。 【解】 （1）求磁感应强度 以导体圆柱的对称轴为 z 轴，建立柱坐标系。由于电流 J 沿 z 轴方向，矢势 A 只有
z 分量。因电流是轴对称的，可推知 Az 仅与 r 有关，所以
∇2 Az = ∇2 A(r ) =
2
⎞ 1 ∂⎛ ⎟ ⎜r ∂A ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ r ∂r ∂r
μa1 = −
求解得
- 60 -
华中师大 陈义成
⎛ μ − μ0 ⎞ ⎟ ⎟ a1 = ⎜ 1 − ⎜ ⎟ H0 ⎜ ⎟ ⎝ μ + 2μ0 ⎠
d1 =
n ≠1 时
μ − μ0 H 0 R03 μ + 2μ0
−μ0 (n + 1)d n μnR0 2 n+1
an =
联立求解得
dn R0
2 n+1
， an =
∇× B = 0 ， ∇i B = 0
和边值关系 （1）当 r = 0 ， B1 有限； （2）当 r = ∞ ， B2 → 0 ； （3）当 r = r0 ，
e r×( B2 − B1 ) = μ0αf = μ0 nI e φ
e r i( B2 − B1 ) = 0
根据上面方程和条件，设尝试解为
B1 = αe z B2 = 0
故两者之差为无旋场。 3.3 均匀无限长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为 n ，电流强度为 I ，试用 唯一性定理求管内、外磁感应强度 B 。 【解】选柱坐标系， z 轴为圆柱对称轴，柱内外为真空，电流只分布在 r = r0 的柱
- 57 -
华中师大 陈义成
面上，即 αf = nI e φ ，因此，空间磁感应强度应满足方程
∇× A = B0 e z
即
∂Ay ∂x
第一组解为 A1
−
∂Ax ∂A ∂Ay ∂Ax ∂Az = B0 ， z − = − =0 ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
A1z = A1 y = 0 ， A1x = −B0 y
第二组解为 A2
A2 z = A2 x = 0 ， A2 y = B0 x
两者之差
C = A2 − A1 = B0 xey + B0 yex
ϕ2 = ϕ0 + ϕ ′ ϕ ′ = ϕ2 − ϕ0 = ϕ2 − (−H 0 R cos θ )
=
其中 ϕ0 是外磁场产生的磁标势， ϕ ′ 是球体的磁偶极子产生的磁标势，在远处
μ − μ0 H 0 R03 cos θ 2 (μ + 2μ0 ) R
又磁矩为 m 的偶极子的标势为
mi R ，故 4π R 3
- 58 -
华中师大 陈义成
A2 = f ln r + g
边界条件 在 r = 0 处, A1 有限，得到 b = 0 ；在 r = a 处，由式（3-1-13）和（3-1-16） ，有 边值关系
A2 = A1
1 ∂A2 1 ∂A1 = μ2 ∂r μ1 ∂r
、 （4）得 将 A1 、 A2 代入式（3）
5）由 n ⋅ ( B2 − B1 )
x =0
= 0 ，得
ex // eφ
ex ⋅ ( B2 − B1 ) x =0 = 0
三、提出尝试解 由于电流仅沿 z 轴，可以估计 B = Bφ eφ ，又由边值关系 B1n = B2 n ，这在边界上 正好是 B1φ = B2φ 。所以可以期望在半径为 R 的圆周上 B 是相等的： B1 = B2 = B ，如果 这个估计正确，则利用 1）式可算出 B ：
（3） （4）
f ln a + g = −
解这个方程组得
μ1 I f I =− +c ， 2πa μ2 a 4π
f =−
导体内外的矢势分别为
μ2 I μI μI ， g = 2 ln a − 1 + c 2π 2π 4π ⎛ μ1 I 2 ⎞ A1 = ⎜ − r + c⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ez ⎜ ⎝ 4πa ⎠
ρm = −μ0∇i M = 0
所以在球内外磁标势满足
R0
μ
O ϕ1
μ0
z H0
∇ ϕ1 = 0 ∇2ϕ2 = 0
其解为
2
( R < R0 ) ( R > R0 )
ϕ2
⎛ b ⎞ ⎟ ϕ1 = ∑ ⎜ an R n + nn+1 ⎟ ⎜ ⎟Pn (cos θ ) ⎜ ⎝ R ⎠ ⎛ n d ⎞ ⎟ ϕ2 = ∑ ⎜ cn R + nn ⎟ ⎜ ⎟Pn (cos θ ) ⎜ ⎝ R +1 ⎠
⎛ μ2 I r μ1 I ⎞ ⎜− ln − A2 = ⎜ + c⎟ ⎟ ⎟ ez ⎜ ⎝ 2π a 4π ⎠
磁感应强度为
μ1 Ir eθ 2πa 2 μI B2 = ∇× A2 = 2 eθ 2πr B1 = ∇× A1 =
（2）求磁化电流分布 在圆柱体内有磁化电流体分布
⎛ 1 1⎞ ⎛ μ ⎞ μ − μ0 I (μ − μ0 ) I ⎜ − ⎟ ⎜1− 1 ⎟ ⎟ ∇× B1 = −⎜ ⎟J = 1 J M = ∇× M = ⎜ e = 1 ez ⎟ ⎟ 2 z ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ μ0 ⎠ μ0 π a μ0π a 2 ⎝ μ0 μ ⎠ ⎝ ⎛ μ2 − μ0 μ1 − μ0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − αM = n × ( M 2 − M 1 ) = er ×⎜ B B1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ μ1μ0 ⎝ μ2 μ0 ⎠
an = d n = 0
于是
⎛ μ − μ0 ⎞ ⎟ ⎟ ϕ1 = ⎜ 1 H R cos θ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ μ + 2μ0 ⎠
(μ − μ0 ) H 0 R03 cos θ ϕ2 = − H 0 R cos θ (μ + 2μ0 ) R 2
由 H = −∇ϕ ，得
H1 = H2 = H0 +
z
依 ∇ A = −μ J ，在导体圆柱内部
∂A ⎞ 1 ∂⎛ I ⎜ r 1⎟ = −μ1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂r ⎠ πa r ∂r ⎜
在导体圆柱外
(1)
O
A
x
θ r
y P
(2)
∂A ⎞ 1 ∂⎛ ⎜ r 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟= 0 ⎝ ∂r ⎠ r ∂r ⎜
解这两个微分方程得
A1 = −
μ1 Ir 2 + b ln r + c 4πa 2
S
3） lim B = 0 ， R 为垂直于 z 轴的距
R →∞
离； 4）由 n × ( H 2 − H1 )
x =0
μ
O
μ0
y eφ
= α f ，由于在
x = 0 平面上， H = Heφ ， n = ex ， ex // eφ ，
因而 ex × eφ = 0 （如右图） ，故
μ
μ0
φ
x
⎛B B ⎞ ex × ⎜ 2 − 1 ⎟ = 0 ； ⎝ μ0 μ ⎠ x = 0
⎛ ∂C y ∂C x ⎞ ⎛ ∂C z ∂ C y ⎞ ⎛ ∂Cx ∂Cz ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ e ex + ⎜ ∇×C = ⎜ − + − − ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ z ⎟ ⎟ ⎟ey ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y
⎛ ∂ ( B0 x) ∂ ( B0 y ) ⎞ ⎟ e = ( B − B )e = 0 =⎜ − ⎟ ⎜ 0 0 z ⎟ ⎟ z ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎝
四、验证：经证明，尝试解满足定解问题，由唯一性定理，它是唯一正确的解。 五、求磁化电流分布 1）磁化强度： M =
⎛ 1 1⎞ − H = ⎜ − ⎟ B （磁介质中） μ0 ⎝ μ0 μ ⎠
B
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2）磁化电流密度： J M = ∇ × M = ⎜ 3）磁化电流： I M =
由 x = 0 时， eBiblioteka Baidu // B 以及 M 2 = 0 ，得
α M = n × ( M 2 − M 1 ) = −ex × ⎜
⎛ 1 ⎝ μ0
−
1⎞ ⎟B = 0 μ⎠
3.2 试利用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 ，写出 A 的两种不同表示式， 证明两者之差是无旋场。 【解】以 A 表示沿 z 方向的均匀恒定磁场是
由边值关系（3）定出 α = μ0 nI ，即
(r < r0 ) (r > r0 )
B1 = μ0 nIe z ， B2 = 0
可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。 3.4 稳定电流 I 在半径为 a 的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为
μ1 ，其外充满磁导率为 μ2 的均匀介质。通过矢势 A 求圆柱导体内、外的磁感应强度及
∫
L
H ⋅ dl = ∫
=
πR
B2
0
μ0
⋅ dl + ∫
B1
2π R
B1
πR
μ
⋅ dl
B2
μ0
⋅π R +
⎛ 1 1 ⎞ μ + μ0 ⋅ π R = Bπ R ⎜ + ⎟ = Bπ R = I μ μμ0 ⎝ μ0 μ ⎠
得
B=
μμ0 I μμ0 I ， B1 = B2 = e π ( μ + μ0 ) R π ( μ + μ0 ) R φ
M=
m = VM =
3.6
有一个内外半径为 R1 和 R2 的空心磁介质球，位于均匀外磁场 H 0 内，球的磁
导率为 μ ，求空腔内的场 B ，讨论 μ
μ0 时的磁屏蔽作用。
【解】选取球坐标，球心在原点， z 轴为极轴，沿 H 0 方向，把空间分成Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ三个区域，其磁标势都满足拉普拉斯方程。
法 3： 由式（3-2-17）的证明，有
∂ϕ2 ∂ϕ1 − = −M 1R = −M R ∂R ∂ R
得
H 2 R − H1 R = M R MR = 3(μ − μ0 ) H 0 cos θ μ + 2μ0 3(μ − μ0 ) H 0 μ + 2μ0 4π (μ − μ0 ) H 0 3 R0 μ + 2μ0
于是有
3μ0 H0 μ + 2μ0
3(μ − μ0 ) R03 ( H 0 i R) R (μ − μ0 ) R03 H 0 − (μ + 2μ0 ) R 5 (μ + 2μ0 ) R8 B1 = 3μμ0 H0 μ + 2μ0
B2 = μ0 H 0 +
求诱导磁矩：法 1 球体外的标势
⎡ 3( H 0 i R ) R H 0 ⎤ μ − μ0 − 3⎥ μ0 R03 ⎢ 5 ⎢ R R ⎥⎦ μ + 2μ0 ⎣
⎛ 1 ⎝ μ0
S
−
⎛ μ ⎞ 1⎞ ⎟ ∇ × B = ⎜ − 1⎟ J f μ⎠ ⎝ μ0 ⎠
∫∫
S
J M ⋅ dS = ∫∫ ∇ × M ⋅ dS =
∫
L
M ⋅ dl
=∫
4）磁化电流线密度：
3π 2
π 2
⎛ 1 1⎞ μ − μ0 I ⎜ − ⎟B1 Rdφ = μ + μ0 ⎝ μ0 μ ⎠
（3）在 R = R0 处， B1n = B2 n ，即
∑ μna R
n n
n−1
0
Pn (cos θ ) = ∑
n
−(n + 1)d n Pn (cos θ )μ0 − μ0 H 0 P 1 (cos θ ) R0 n+2
由（2）和（3） ， n =1 时
a1 R0 =
d1 − H 0 R0 R0 2 2μ0 d1 − μ0 H 0 R03
⎛ μ2 − μ0 μ2 I μ1 − μ0 μ1 Ir ⎞ ⎟ = er ×⎜ − e e⎟ ⎜ θ 2 θ⎟ ⎜ ⎟ r a 2 2 μ μ π μ μ π ⎝ 2 0 ⎠ 1 0 r =a
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=
(μ2 − μ1 ) I ez 2πμ0 a
3.5 将一磁导率为 μ ，半径为 R0 的球放入均匀磁场 H 0 内，求总磁感应强度 B 和 诱导磁矩 m 。 【解】取球坐标系，球心在原点， z 轴为极轴，沿 H 0 方向， H 0 = H 0 ez 。设球 置入前原点的标势为零。 由于球体均匀磁化
第三章 习题解答
3.1 设在 x < 0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质， x > 0 区域为真空。今有线电流 I 沿 z 轴流动，求磁感应强度 B 和磁化电流分布。 【解】一、选柱坐标系（如图） ； 二、定解问题： 1）
z B1 I
B2 y
x
∫
L
H ⋅ dl = I ；2） ∫∫ B ⋅ dS = 0 ；
边界条件 （）当 R → 0 ， ϕ1 有限，得 bn = 0 当 R → ∞ ， ϕ2 = −H 0 R cos θ ，得 c1 = −H 0 （2）在 R = R0 处， ϕ1 = ϕ2 ，即
∑a R
n
n
0
Pn (cos θ ) = ∑
dn Pn (cos θ ) −H 0 R0 cos θ R0 n+1
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μ − μ0 mi R H 0 R03 cos θ = 3 2 4π R (μ + 2μ0 ) R
于是
m=
法 2：
4π (μ − μ0 ) 3 R0 H 0 μ + 2μ0 3(μ − μ0 ) H 0 B1 − H1 = μ0 μ + 2μ0
M=
4π (μ − μ0 ) 3 4 m = VM = π R03 M = R0 H 0 μ + 2μ0 3
磁化电流分布。 【解】 （1）求磁感应强度 以导体圆柱的对称轴为 z 轴，建立柱坐标系。由于电流 J 沿 z 轴方向，矢势 A 只有
z 分量。因电流是轴对称的，可推知 Az 仅与 r 有关，所以
∇2 Az = ∇2 A(r ) =
2
⎞ 1 ∂⎛ ⎟ ⎜r ∂A ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ r ∂r ∂r
μa1 = −
求解得
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⎛ μ − μ0 ⎞ ⎟ ⎟ a1 = ⎜ 1 − ⎜ ⎟ H0 ⎜ ⎟ ⎝ μ + 2μ0 ⎠
d1 =
n ≠1 时
μ − μ0 H 0 R03 μ + 2μ0
−μ0 (n + 1)d n μnR0 2 n+1
an =
联立求解得
dn R0
2 n+1
， an =
∇× B = 0 ， ∇i B = 0
和边值关系 （1）当 r = 0 ， B1 有限； （2）当 r = ∞ ， B2 → 0 ； （3）当 r = r0 ，
e r×( B2 − B1 ) = μ0αf = μ0 nI e φ
e r i( B2 − B1 ) = 0
根据上面方程和条件，设尝试解为
B1 = αe z B2 = 0
故两者之差为无旋场。 3.3 均匀无限长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为 n ，电流强度为 I ，试用 唯一性定理求管内、外磁感应强度 B 。 【解】选柱坐标系， z 轴为圆柱对称轴，柱内外为真空，电流只分布在 r = r0 的柱
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面上，即 αf = nI e φ ，因此，空间磁感应强度应满足方程
∇× A = B0 e z
即
∂Ay ∂x
第一组解为 A1
−
∂Ax ∂A ∂Ay ∂Ax ∂Az = B0 ， z − = − =0 ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
A1z = A1 y = 0 ， A1x = −B0 y
第二组解为 A2
A2 z = A2 x = 0 ， A2 y = B0 x
两者之差
C = A2 − A1 = B0 xey + B0 yex
ϕ2 = ϕ0 + ϕ ′ ϕ ′ = ϕ2 − ϕ0 = ϕ2 − (−H 0 R cos θ )
=
其中 ϕ0 是外磁场产生的磁标势， ϕ ′ 是球体的磁偶极子产生的磁标势，在远处
μ − μ0 H 0 R03 cos θ 2 (μ + 2μ0 ) R
又磁矩为 m 的偶极子的标势为
mi R ，故 4π R 3
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A2 = f ln r + g
边界条件 在 r = 0 处, A1 有限，得到 b = 0 ；在 r = a 处，由式（3-1-13）和（3-1-16） ，有 边值关系
A2 = A1
1 ∂A2 1 ∂A1 = μ2 ∂r μ1 ∂r
、 （4）得 将 A1 、 A2 代入式（3）
5）由 n ⋅ ( B2 − B1 )
x =0
= 0 ，得
ex // eφ
ex ⋅ ( B2 − B1 ) x =0 = 0
三、提出尝试解 由于电流仅沿 z 轴，可以估计 B = Bφ eφ ，又由边值关系 B1n = B2 n ，这在边界上 正好是 B1φ = B2φ 。所以可以期望在半径为 R 的圆周上 B 是相等的： B1 = B2 = B ，如果 这个估计正确，则利用 1）式可算出 B ：
（3） （4）
f ln a + g = −
解这个方程组得
μ1 I f I =− +c ， 2πa μ2 a 4π
f =−
导体内外的矢势分别为
μ2 I μI μI ， g = 2 ln a − 1 + c 2π 2π 4π ⎛ μ1 I 2 ⎞ A1 = ⎜ − r + c⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ez ⎜ ⎝ 4πa ⎠
ρm = −μ0∇i M = 0
所以在球内外磁标势满足
R0
μ
O ϕ1
μ0
z H0
∇ ϕ1 = 0 ∇2ϕ2 = 0
其解为
2
( R < R0 ) ( R > R0 )
ϕ2
⎛ b ⎞ ⎟ ϕ1 = ∑ ⎜ an R n + nn+1 ⎟ ⎜ ⎟Pn (cos θ ) ⎜ ⎝ R ⎠ ⎛ n d ⎞ ⎟ ϕ2 = ∑ ⎜ cn R + nn ⎟ ⎜ ⎟Pn (cos θ ) ⎜ ⎝ R +1 ⎠
⎛ μ2 I r μ1 I ⎞ ⎜− ln − A2 = ⎜ + c⎟ ⎟ ⎟ ez ⎜ ⎝ 2π a 4π ⎠
磁感应强度为
μ1 Ir eθ 2πa 2 μI B2 = ∇× A2 = 2 eθ 2πr B1 = ∇× A1 =
（2）求磁化电流分布 在圆柱体内有磁化电流体分布
⎛ 1 1⎞ ⎛ μ ⎞ μ − μ0 I (μ − μ0 ) I ⎜ − ⎟ ⎜1− 1 ⎟ ⎟ ∇× B1 = −⎜ ⎟J = 1 J M = ∇× M = ⎜ e = 1 ez ⎟ ⎟ 2 z ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ μ0 ⎠ μ0 π a μ0π a 2 ⎝ μ0 μ ⎠ ⎝ ⎛ μ2 − μ0 μ1 − μ0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − αM = n × ( M 2 − M 1 ) = er ×⎜ B B1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ μ1μ0 ⎝ μ2 μ0 ⎠
an = d n = 0
于是
⎛ μ − μ0 ⎞ ⎟ ⎟ ϕ1 = ⎜ 1 H R cos θ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ μ + 2μ0 ⎠
(μ − μ0 ) H 0 R03 cos θ ϕ2 = − H 0 R cos θ (μ + 2μ0 ) R 2
由 H = −∇ϕ ，得
H1 = H2 = H0 +
z
依 ∇ A = −μ J ，在导体圆柱内部
∂A ⎞ 1 ∂⎛ I ⎜ r 1⎟ = −μ1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂r ⎠ πa r ∂r ⎜
在导体圆柱外
(1)
O
A
x
θ r
y P
(2)
∂A ⎞ 1 ∂⎛ ⎜ r 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟= 0 ⎝ ∂r ⎠ r ∂r ⎜
解这两个微分方程得
A1 = −
μ1 Ir 2 + b ln r + c 4πa 2
S
3） lim B = 0 ， R 为垂直于 z 轴的距
R →∞
离； 4）由 n × ( H 2 − H1 )
x =0
μ
O
μ0
y eφ
= α f ，由于在
x = 0 平面上， H = Heφ ， n = ex ， ex // eφ ，
因而 ex × eφ = 0 （如右图） ，故
μ
μ0
φ
x
⎛B B ⎞ ex × ⎜ 2 − 1 ⎟ = 0 ； ⎝ μ0 μ ⎠ x = 0
⎛ ∂C y ∂C x ⎞ ⎛ ∂C z ∂ C y ⎞ ⎛ ∂Cx ∂Cz ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ e ex + ⎜ ∇×C = ⎜ − + − − ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ z ⎟ ⎟ ⎟ey ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ∂z ∂y ⎠ ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y
⎛ ∂ ( B0 x) ∂ ( B0 y ) ⎞ ⎟ e = ( B − B )e = 0 =⎜ − ⎟ ⎜ 0 0 z ⎟ ⎟ z ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎝
四、验证：经证明，尝试解满足定解问题，由唯一性定理，它是唯一正确的解。 五、求磁化电流分布 1）磁化强度： M =
⎛ 1 1⎞ − H = ⎜ − ⎟ B （磁介质中） μ0 ⎝ μ0 μ ⎠
B
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2）磁化电流密度： J M = ∇ × M = ⎜ 3）磁化电流： I M =
由 x = 0 时， eBiblioteka Baidu // B 以及 M 2 = 0 ，得
α M = n × ( M 2 − M 1 ) = −ex × ⎜
⎛ 1 ⎝ μ0
−
1⎞ ⎟B = 0 μ⎠
3.2 试利用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 ，写出 A 的两种不同表示式， 证明两者之差是无旋场。 【解】以 A 表示沿 z 方向的均匀恒定磁场是
由边值关系（3）定出 α = μ0 nI ，即
(r < r0 ) (r > r0 )
B1 = μ0 nIe z ， B2 = 0
可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。 3.4 稳定电流 I 在半径为 a 的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为
μ1 ，其外充满磁导率为 μ2 的均匀介质。通过矢势 A 求圆柱导体内、外的磁感应强度及
∫
L
H ⋅ dl = ∫
=
πR
B2
0
μ0
⋅ dl + ∫
B1
2π R
B1
πR
μ
⋅ dl
B2
μ0
⋅π R +
⎛ 1 1 ⎞ μ + μ0 ⋅ π R = Bπ R ⎜ + ⎟ = Bπ R = I μ μμ0 ⎝ μ0 μ ⎠
得
B=
μμ0 I μμ0 I ， B1 = B2 = e π ( μ + μ0 ) R π ( μ + μ0 ) R φ
M=
m = VM =
3.6
有一个内外半径为 R1 和 R2 的空心磁介质球，位于均匀外磁场 H 0 内，球的磁
导率为 μ ，求空腔内的场 B ，讨论 μ
μ0 时的磁屏蔽作用。
【解】选取球坐标，球心在原点， z 轴为极轴，沿 H 0 方向，把空间分成Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ三个区域，其磁标势都满足拉普拉斯方程。
法 3： 由式（3-2-17）的证明，有
∂ϕ2 ∂ϕ1 − = −M 1R = −M R ∂R ∂ R
得
H 2 R − H1 R = M R MR = 3(μ − μ0 ) H 0 cos θ μ + 2μ0 3(μ − μ0 ) H 0 μ + 2μ0 4π (μ − μ0 ) H 0 3 R0 μ + 2μ0
于是有
3μ0 H0 μ + 2μ0
3(μ − μ0 ) R03 ( H 0 i R) R (μ − μ0 ) R03 H 0 − (μ + 2μ0 ) R 5 (μ + 2μ0 ) R8 B1 = 3μμ0 H0 μ + 2μ0
B2 = μ0 H 0 +
求诱导磁矩：法 1 球体外的标势
⎡ 3( H 0 i R ) R H 0 ⎤ μ − μ0 − 3⎥ μ0 R03 ⎢ 5 ⎢ R R ⎥⎦ μ + 2μ0 ⎣
⎛ 1 ⎝ μ0
S
−
⎛ μ ⎞ 1⎞ ⎟ ∇ × B = ⎜ − 1⎟ J f μ⎠ ⎝ μ0 ⎠
∫∫
S
J M ⋅ dS = ∫∫ ∇ × M ⋅ dS =
∫
L
M ⋅ dl
=∫
4）磁化电流线密度：
3π 2
π 2
⎛ 1 1⎞ μ − μ0 I ⎜ − ⎟B1 Rdφ = μ + μ0 ⎝ μ0 μ ⎠
（3）在 R = R0 处， B1n = B2 n ，即
∑ μna R
n n
n−1
0
Pn (cos θ ) = ∑
n
−(n + 1)d n Pn (cos θ )μ0 − μ0 H 0 P 1 (cos θ ) R0 n+2
由（2）和（3） ， n =1 时
a1 R0 =
d1 − H 0 R0 R0 2 2μ0 d1 − μ0 H 0 R03
⎛ μ2 − μ0 μ2 I μ1 − μ0 μ1 Ir ⎞ ⎟ = er ×⎜ − e e⎟ ⎜ θ 2 θ⎟ ⎜ ⎟ r a 2 2 μ μ π μ μ π ⎝ 2 0 ⎠ 1 0 r =a
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华中师大 陈义成
=
(μ2 − μ1 ) I ez 2πμ0 a
3.5 将一磁导率为 μ ，半径为 R0 的球放入均匀磁场 H 0 内，求总磁感应强度 B 和 诱导磁矩 m 。 【解】取球坐标系，球心在原点， z 轴为极轴，沿 H 0 方向， H 0 = H 0 ez 。设球 置入前原点的标势为零。 由于球体均匀磁化