质点力学习题课
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质点习题课
选择题答案应选【c】。
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
力学习题课PPT课件
1．如图，两小球质量相等，均为m，开始时外力使劲度 系数为k的弹簧压缩某一距离x，然后释放，将小球m1投 射出去，并于静止的小球m2发生弹性碰撞，碰后m2沿半 径为R的圆轨道上升，达到A点恰与圆环脱离，A与竖直
线所成角q = 60°，忽略一切摩擦力。试求弹簧被压缩的
距离x等于多少？
解: 过程I，发射m1，机械能守恒。 kx2 2 mu120 2
过程III，泥球-板向下运动，泥球-板-弹簧-地球机械 能守恒，弹性势能零点在原长处、重力势能零点在 板的平衡位置。
1 2
k x02
1 2
(m
M
)u 2
1 2
k ( x0
x)2
(m
M
)gx
m
四式联立有，x mg (1 1
2kh )
h
f M
k
(M m)g
G10
3．一质量为m的子弹，水平射入悬挂着的静止砂袋中， 如图所示．砂袋质量为M，悬线长为l．为使砂袋能在竖 直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度 射入？
解: 过程I，子弹-砂袋发生完全非弹性碰撞，动量守恒。
mu0 (m M )u1
过程II，轨道运动，遵循牛顿运动定律和机械能守 恒。以最低点为势能零点，在最高点有，
m M g N m M u 2
R
1 2
m
M
u12
2m
M
gR
1 2
m
M
u
2
m
NG O l M
mgR(1
c osq
)
1 2
mu 2
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
质点力学习题课
G
3
例.一质点沿 X轴作直线运动，其 v t曲线 如图所示。当 t 0时，质点位于坐标原点 ，
vm
s
则t 4.5s时，质点在 X轴上的位置为： A 0. B 5m. C 2m. D 2m. E 5m.
2
1
0
解：x v( t )dt
2.5 4.5
v
m m′
(m m)v m(u v) mv ( m m)v mu v m m
u
v
20
例、 半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水 平面上，在其正上方放置一质量为m的小滑块，当小滑块 从顶端无初速度地滑下后，在图示的 角位置处开始脱 离半径。已知 cos 0.7，求M/m 解：选择m+M为系统，系统水平方向动量守恒：有 m 0 0 MV mv
f G
N
解：受力分析如图： 列 方 程 N F cos300 0
0
30
F
则
F sin300 f G 0
由于 F G
F sin300 G 得出： F cos 300
F sin300 1 0 F cos 30 3
f N
选 B
8
例.设有水平力 F作用于斜面上的质点 m.为了使
y 水 流
变的划速 u 垂直于水流方向离岸划出，求船划过中流
之前相对于岸的运动轨迹。 解： 船，岸 船，水 水，岸 V0 ui xj d/2 t
x
t 0
0
udt ut
o u
V
x 划 船
2
y
V0 xdt d 2
质点力学习题课
2．在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降 机以加速度a1上升时，绳的张力正好等于绳能承受的最大张 力的一半，问升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？ (A)2a1； (C)2a1+g； (B)2(a1+g)； (D) a1+g.
[C]
3．如图所示，在光滑平面上有一运动物体P， 在P的正前方有一连有弹簧和挡板M的静止物 体Q，弹簧和挡板的质量均不计，P与Q的质 量相等。物体P与Q碰撞后P停止，Q以碰撞 前P的速度运动。在此碰撞过程中，弹簧压缩 量最大的时刻是 (A)P的速度正好变为零时； P (B)P与Q速度相等时； (C)Q正好开始运动时； (D)Q正好达到原来P的速度时。
根据题目的初始条件，积分
可得潜水艇在任意时刻的速度为
v 1 e A t再根 Nhomakorabea速度的定义式
dx vdt
x t
1 e dt
A
t
dx v dt
dx 1 e dt
A
t 0 0
积分得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程 为 A t A x 2 e 1 t
以三角木块为参考系：这是一个非惯性系， 隔离物体受力分析如右图所示。 由上图列出方程：对于三角木块M
X: Y:
X: Y:
N 1 sin Ma1 Mg N 2 N 1 cos 0
mg sin ma1 cos ma 2 mgcos ma1 sin N 0
大学物理学电子教案
质点力学习题课
三个概念：
质点运动学
1. 参考系——为描述物体的运动而选择的标准物 2. 坐标系——定量确定物体相对于参考系的位置 3. 质点 ——把物体当做只有质量没有形状和大小的点
[C]
3．如图所示，在光滑平面上有一运动物体P， 在P的正前方有一连有弹簧和挡板M的静止物 体Q，弹簧和挡板的质量均不计，P与Q的质 量相等。物体P与Q碰撞后P停止，Q以碰撞 前P的速度运动。在此碰撞过程中，弹簧压缩 量最大的时刻是 (A)P的速度正好变为零时； P (B)P与Q速度相等时； (C)Q正好开始运动时； (D)Q正好达到原来P的速度时。
根据题目的初始条件，积分
可得潜水艇在任意时刻的速度为
v 1 e A t再根 Nhomakorabea速度的定义式
dx vdt
x t
1 e dt
A
t
dx v dt
dx 1 e dt
A
t 0 0
积分得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程 为 A t A x 2 e 1 t
以三角木块为参考系：这是一个非惯性系， 隔离物体受力分析如右图所示。 由上图列出方程：对于三角木块M
X: Y:
X: Y:
N 1 sin Ma1 Mg N 2 N 1 cos 0
mg sin ma1 cos ma 2 mgcos ma1 sin N 0
大学物理学电子教案
质点力学习题课
三个概念：
质点运动学
1. 参考系——为描述物体的运动而选择的标准物 2. 坐标系——定量确定物体相对于参考系的位置 3. 质点 ——把物体当做只有质量没有形状和大小的点
质点力学习题课
E = 5000 × 0.02 = 100 J
如果把石块换成钢板，那么钢板获得的动能增大 警告：没有经过训练的人，切勿去尝试， 以免造成伤害！
6、习题1-5
v0
h
y O
l
x
v
x
θ
r
分析：绳上各点的速度相同吗？ 思考：小船越走越快吗？
h v0 a=− 3 i x
2 2
7、一艘小船在静止水中的速度为3m/s，一 个船夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时的 距离最短，若水流速度为4m/s，问船夫应选 择向哪个方向划行？假设水流的速度在各处 都相同。
1 1 2 2 mgh = MvM + mvm 2 2
动量在水平方向上守恒
m(vm )x + M (vM )x = 0
vm = vr + v M
αm
m M h M
(vm )x = vM − vr cos α
vM 2 gh = m cos α 2 (M + m) M + m sin α
∆r
v
r′
o r
A
2、斜抛运动，求最高点处的曲率半径
v0
P A
o
θ
3、轻弹簧，k，原长 l0 ，吊天花板， 将弹簧由长 l1 为变为 l2 ，此过程中弹 性力作的功是多少？
4 、 m1 、 m2 ， 两块水平木板， B 放在地面上，若以 A 在弹 簧（ k ）上的平衡位置为重 力和弹性势能的零点，试 写出系统（A、弹簧、地球） 的总势能表达式. 设弹簧原长时A处于x0位置
v0 = 2 gh
1 2 Ek = Mv 2
m m ∴v = v0 ≈ v0 M +m M
质点力学习题课
v v v P = P0 = C
哈尔滨工程大学理学院
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
（3）力的空间累积 ） 变力的功： 变力的功： = A 势能： 势能：
∫
b
a
v v b F ⋅ d r = ∫ F cos θdr
a
动能定理： 动能定理：A = E k − E k 0
E p ( x, y, z) =
M
B
哈尔滨工程大学理学院
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
点时相对M的速度为 解: (1)设m在B点时相对 的速度为 ，M 设 在 点时相对 的速度为v， 对地的速度为V， 对地的速度为 ，对m,M系统水平方向动 系统水平方向动 量守恒， 地系统机械能守恒. 量守恒，对m,M,地系统机械能守恒 地系统机械能守恒 m ( v − V ) − MV = 0
0
x ∫0 2vdv = −∫l2 g1− l dx m 1 1 v v = 3gl2 =1.21 m/s m g 1 2
v
哈尔滨工程大学理学院
v T
3
1
v T′
l2
o
v x mg
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
7. 如图所示，已知：半径为 的光滑球面， 如图所示，已知：半径为R的光滑球面 的光滑球面， 质量为M的滑块 质量为m 水平速度v 的滑块， 质量为 的滑块 ， 质量为 、 水平速度 0的 油灰球。 油灰球 。 求 ： （ 1） 它们滑至何处 ） 它们滑至何处(θ=？ )脱 ？ 脱 离球面？ 离球面 ？ （ 2） 如欲使二者在 处就脱离球 ） 如欲使二者在A处就脱离球 则油灰球的入射速率至少为多少？ 面，则油灰球的入射速率至少为多少？ v v0 M
力学(质点力学习题课)
d
m1k m m1m 2
2 2
d l d
2 2
如图，质量M =2.0kg 的笼子，用轻弹簧悬挂 起来，静止在平衡位置，弹簧伸长 x 0 0 . 10 m ，今有m =2.0kg 的油灰由距离笼底高 h =0.30m 处自由落到笼子上， 求笼子向下移动的最大距离。
习题四
解：由题意得弹簧的劲度系数
A
m1
k
B
m2
解：（1）释放后，弹簧恢复到原长时，A 要离开墙壁，
设此时 B 的速度为
vB0
，由机械能守恒得
1 2
kx
2 0
1 2
3 m v
2 B0
v B 0 x0
k 3m
A 离墙后，系统在光滑水平面上运动，动量守 恒和机械能守恒，有
m 1 v1 m 2 v 2 m 2 v B 0
k
A
m1
T
B
m2
F
k
O
A
m1
T
B
m2
F
x1
x1 F k
x
解：建立坐标系，设弹簧伸长 x 1 时，A、B所受合外力 为零，有
F kx 1 0
m 对 m 1 、 2 系统（T为内力），由动能定理
WF WK 1 2 1 2
m 1 m 2 v 2
2
m 1v
1 2 m 2v W F
2
代入（2）式得
WT 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
W T 1 W T 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
质点力学习题课
质点力学习题课
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。
(3)、因为任一时刻的速度大小为
2 2 v vx vy 2 1 t2
解：设子弹穿过后两物体的速度分别为vA、 vB， 子弹穿过物体A时有: A B
F t1 ( m A m B )v A F t 1 vA m A mB
子弹继续穿过物体B时有
F t 2 m B v B m B v A F t 2 vB v A mB
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地 面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引 力的功是多少？ a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h R b A F d r Rh R R Mm G dr 2 o Rh r
u
（1）在地面上的人认为刚抛出 瞬时小球的动能
1 1 2 2 对不对？ Ek mu mv 2 2 1 1 1 2 2 2 Ek mu地 mu mv mu v 2 2 2
（2）当车上的人沿车前进的方向抛出小球，车上和地上的 人看抛出小球过程所作的功是否一样？
v
GMm
R Rh
GMmh R (R h)
dr 1 1 GMm 2 r R h R
【例3】已知质点运动方程 r 2ti (4 t 2 ) j (SI)，求： ①质点的初速度和加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。 dr 解：（1）、 v 2 i 2 tj , a 2 j dt -1 故v 0 2i (m s ), a 0 2 j (m s - 2 ) (2)、r1 2i 3 j r2 4i r r2 r1 2i 3 j (m) r v 2i 3 j (m s -1 ) t
第五讲：质点力学习题
v10 v20 = 0
华北电力大学应用物理系
大学物理
m (2) 2 << m 且 v20 = 0 1 v1 ≈ v10 ,v2 ≈ 2v10 ,则 v10 v = 0
20
主讲人:韩颖慧
(3)m2 = m v1 ≈ v20 ,v2 ≈ v10 1
v10
华北电力大学应用物理系
大学物理
主讲人:韩颖慧
小结: 小结:
∴ k dx x
2
= mvdv
华北电力大学应用物理系
大学物理
主讲人: 主讲人 韩颖慧
∫
A/2 A
kdx x
2
= ∫ mvdv
v 0
2k k m v = A A 2
2k ∴v = mA
2
1/ 2
华北电力大学应用物理系
大学物理
主讲人: 主讲人 韩颖慧
2.质量为 m 的小球在外力作用下,由静 质量为 的小球在外力作用下, 止开始从 A 点出发作匀加速直线运动, 点出发作匀加速直线运动, 点时撤消外力, 到达 B 点时撤消外力,小球无摩擦地冲 的半圆环, 上一竖直半径为 R 的半圆环,恰好能到 达最高点 C,而后又刚好落到原来的出发 , 如图所示, 点 A 处,如图所示,试求小球在 AB 段 运动的加速度为多大? 运动的加速度为多大?
在求解力学问题时 (1) 首先分析运动中有否有守恒量,因 守恒定律适用范围广且计算方便 (2) 其次运用牛顿第二定律的一次积 分形式—动量原理和功能关系 (3) 最后运用牛顿第二定律逐步求解
华北电力大学应用物理系
�
质点作 圆周运 动
主讲人:韩颖慧
r
r = r ′ r
质点从A运 动到B
质点力学习题课
B m2
T2 m3
质点力学习题课
a 2 a a1
解上述方程得：
a3 a a1
a 为m2 相对B的加速度
(m1 2m2 ) g (m1 2m2 )a1 2 a 3.92 m/s 2m2 m1m2 m1m3 4m2 m3 2 a1 g 1.96m/s (下) m1m2 m1m3 4m2 m3
质点力学习题课
一、内容小结
1.运动学
r xi yj zk r r2 r1
dr v dt d r a 2 dt
2
2
v dv a an a n dt
质点力学习题课
dv 由 a 可求： v v0 a dt S S 0 vdt dt
角量与线量的关系：
d d 2 dt dt dr R d
2
v R a R an R
2
质点力学习题课 2.动力学 （1）牛顿运动定律： 自然坐标系
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
同理
a2 1.96 m/s (下) a3 5.88 m/s 2 (上)
2
T1 m1 ( g a1 ) 1.57N T2 T1 / 2 0.784N
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
质点力学习题课
（2）力的时间累积。
动 量：
P mv
I
冲
量：
动量定理：
I P P0
F dt
大学物理-质点力学习题课ppt课件
x1
顿第二定律，小球的运动方程可以得到：
f2 G
x
mdd2tx21 kx1mgF(t)， 即dd2tx21m kx1gFm (t)
令 2=k/m，将F(t)代入，可以得到：
d 2 x1 dt2
2 x1
g
at m
此方程对应的齐次方程的通解为(c1cos t+c2sin t)，
其中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为
• 加速度是位置的函数a=a(x):即a=(F0 / m)+(k/m)x,
d vd v d x d v x
v
a v , a d x v d v
d t d x d t d x 0
v 0
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之 前关闭发动机这时的速率为v0，设水的阻力与轮船的速率 成正比,比例常数为k，求发动机停机后, C所能前进的最大 距离。
;并讨论. d d r t、 d d r t、 d d r t； d d v t、 d d v t、 d d v t 各式的含义.
解： (1)不y正确，以圆周x运R动c为os例t ：
t x
yRsint r x2y2 R vddrt0,add22 rt 0
结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然
质点力学
运动学的基 本物理量 r,v,a
动力学的基本物 理量之一——力
复习
质点运动的描述 〔在直角坐标系 和自然坐标系）
运动学的两类问题
难
新 内 容
点新
兼
内 容
重
牛顿第二定律的 描述〔在直角坐
切向 法向
点
积分微分 问题
标系和自然坐标 系）
质点运动学习题课
dv dt
et
v2 r
en
v
r
r
d
dt
et
2ren
2 当时at
a
/
2
1 2
an2
at2
, 有3at2
an2 ,即t3
1 23
此时刻的角位置为θ 2 4t3 3.15 rad
3要使an at ,则 324rt 2 r2 12t2 4
t＝0.55ｓ
(C) v v, v v (D) v v, v v
r ：位移的大小
r AB x2 y2
r 位矢长度的变化
r r2 r1 OB OA x22 y22 x12 y12
一般情况下 r r s
t 0, dr ds dr
v ds = dr v dt dt
y
s A r
(1) 质点作圆周运动时的加速度指向圆心； ×
(2) 匀速圆周运动的加速度为恒量；
×
(3) 只有法向加速度的运动一定是圆周运动；×
(4) 只有切向加速度的运动一定是直线运动。√
自然坐标系中，加速度可分解为切向加速度与法向加速度，
切向加速度改变速度大小，法向加速度改变速度方向。
a
dv dt
et
v2
en
C 只有23正确 D 只有34正确
1 3 质点作曲线运动, r表示位置矢量, v表示速度,
a表示加速度, s表示路程, aｔ表示切向加速度． 对下列表达式,即
1 dv＝a； 2 dr ＝v；
dt
dt
3 ds＝v； 4
dt
dv dt
＝aｔ．
下述判断正确的是( D )
A 只有1、4是对的 (B) 只有2、4是对的
质点力学第9讲——质点力学习题课1
课堂讲解
第7题 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动 过程中，卫星对地球中心的 ( A ) （Ａ）角动量守恒，动能也守恒． （Ｂ）角动量守恒，动能不守恒． （Ｃ）角动量不守恒，动能守恒． （Ｄ）角动量不守恒，动量也不守恒． （Ｅ）角动量守恒，动量也守恒．
课堂讲解
第8 题 如图示，两木块质量为 m1 和 m2 ，由一轻弹 簧连接，放在光滑水平桌面上，先使两木块靠近而将弹 簧压紧，然后由静止释放．若在弹簧伸长到原长时，m1 的速率为 v1 ，则弹簧原来在压缩状态时所具有的势能 是(D )
O w
0
r2 a/2
m3 m2
2 3
课堂讲解
பைடு நூலகம்
第2题 一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小 距离分别是 R A 和 R B．设卫星对应的角动量分别是 L A 、 LB ，动能分别是 E kA、E kB ，则应有 ( E )
E E L L （Ａ） B L A ， kB EkA．（Ｂ） B L A ， kB EkA ．
（Ｃ）LB L A ， kB EkA．（Ｄ） B L A ， kB EkA ． L E E （Ｅ）LB L A ， kB EkA ． E
B RB
RA
A
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第3题 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的 水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌 面中心的小孔，该物体原以角速度 w 在距孔为 R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体 ( E ) （Ａ）动能不变，动量改变． （Ｂ）动量不变，动能改变． （Ｃ）角动量不变，动量不变． （Ｄ）角动量改变，动量改变． （Ｅ）角动量不变，动能、动量都改变．
mgl sin
质点力学习题课
解： ( 1 )a
F m
3
4t 10
( 2 )a
F m
3
4 10
x
0.3 0.4x
0. 3 0. 4t a x 3m 1.5m/s2
a t 3s 1 . 5 m / s2
A
3
0
Fdx
3( 3
0
4x)dx
27
I
3( 3
0
4t)dt
27
I mv mv0 mv 10v
v t 3s 2. 7m /s
（C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动
解：
y
b a
x
v
dr dt
2 a ti
2btj
a
dv dt
2ai
2bj
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度 a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：an
at
tgθ
v2 R
dv dt v2 Rtgθ
• 解：由质点动量定理：
7
0
F
dt
mv
0
mv
7
0
F
dt
1 2
7
10 35
7 F dt
0
m
35 1
35 m/s
F(N) 10
t(s)
0
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【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。
• 解：以启动位置为坐 标原点。
由功的定义：
Ao c
则
mivi
C
i
b
a
F
dr
习题课(质点力学)
α
F
mg
f
F
α
N
F
由牛顿二定律列方程： 由牛顿二定律列方程：
x方向:
α
mg
f
α
x
mg sin α − F cos α + f = 0
− µN < f < µN
y
y方向:
N − mg cos α − F sin α = 0
代入 µ = tgε ,
结果： g 结果： m ⋅ tg(α − ε) < F < m ⋅ tg(α + ε) g
0
2.设有水平力 作用于斜面上的质点 .为了使 F m 物体不滑动，对 的大小有何限制？ 物体不滑动， F的大小有何限制？
α µ 为斜面的摩擦角。 已知斜面倾角 ，且 = tgε, ε为斜面的摩擦角。 µ为质点与斜面间的摩擦 系数。 系数。 m 解：研究
m
受力分析如图： 受力分析如图： N
(A )
dυ = a dt
(B )
dr = υ dt
(C )
ds =υ dt
(D )
dυ = at dt
(c 答案： 答案：)
2. 质点在 质点在xoy平面内运动，运动方程为： 平面内运动， 平面内运动 运动方程为： x=2t , y=19-2t2 (SI) 求： （1）质点运动的轨迹方程； ）质点运动的轨迹方程； 时的速度和加速度； （2）t=1 s时的速度和加速度； ） 时的速度和加速度 （3）t=2 s时的位置矢量； 时的位置矢量； ） 时的位置矢量 时的位移矢量； （4）t=1 s到t=2 s时的位移矢量； ） 到 时的位移矢量 （5）何时位置矢量与速度相互垂直？ ）何时位置矢量与速度相互垂直？
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质点力学习题课
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的 函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原 点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任 一时刻的切向加速度和法向加速度。
2 2 ( 3)、v = v x + v y = 4t 2 + 144t 6
mA g
θ
m B a0
a′ B
m B a0 − T sin θ = m B a ′ sin θ B
m B g − T cosθ = m B a ′ cosθ B a′A = a ′ B
mB g
得T = 12.1N
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质点力学习题课
【例5】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放置一半径 为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的物块以速度 v0 从A 处沿壁射入，物块与板壁之间的滑动摩擦因数为μ。试求 物块沿板壁从D点滑出时的速率。 解：物块的整个运动中竖直方 向的力不起作用，板壁对物块 的弹力 N 提供向心力，同时也 产生切向的摩擦力 f v2 N = man = m R dv − f = maτ = m dt f = μN
【课后问题】一只苍蝇在离桌面 H 高处水平飞行，在它正下方 的桌面上有一滴蜂蜜.为了尽可能快地吃到这滴蜂蜜，苍蝇应该 怎样飞行？为此需要多少时间？假设苍蝇能够朝任何方向产生 加速度 a . 解：取苍蝇A为参考系，蜂蜜B，苍蝇A朝C 点飞去 1 2
AC = at 2
2
BC =v0t
2 ⎛1 2⎞ at ⎟ = H 2 + ( v0t ) ⎜ ⎝2 ⎠
dv 1 8t + 864t 5 aτ = = dt 2 4t 2 + 144t 6
2 a n = a 2 − aτ2 = a x + a 2 − aτ2 y
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【例3】假定某日刮北风，风速大小为 u。一运动员在风中跑 步，他对地的速度大小为 v(v=u/2),试问他向什么方向跑时， 会感到风从他的正右方吹来？ 解：这类题的求解关键是画示意图 u v风对地 = u， v人对地 = ，方向待求 2 因人感到风从正右方吹 来，设 v风对人 = v′
北
西
v v
东
v v 则有 v′ ⊥ v,
−1
v v v v v v u = v′ + v , v′ = u − v
v′ θ v v u
故有
南
θ = cos
v = 60 0 , 人跑步方向应为南偏西 60 0 u
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【课后问题】一艘小船在静止的水中的速度为3m/s，一个船 夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时走过的距离最短。问在 下面的情况下，船夫应该选择向哪个方向划船？情况（1）水 流速度为2m/s；情况（2）水流速度为4m/s。假设水流的速度 在各处都是相同的。
FΔ t 1 vA = m A + mB
子弹继续穿过物体B时有
F ⋅ Δt 2 = mB v B − mB v A FΔ t 2 vB = v A + mB
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phypzq@
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【例8】质量为 m的人站在质量 为 M的车上，开始时一起以速 率 V0沿光滑水平面向左运动。 现在人以相对车为 u的速率向右 跑，求车的速率 Vt
A
oR
B
D
C
N
f
v = v0e
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− μπ
v
能否计算整个过程所需的时间？
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动量定理及动量守恒定律的解题方法和步骤： 1.确定研究对象； 2.分析物体受力，正确区分物体系统的内力和外力； 3.确定物体系统初、终态的动量，注意动量的矢量性； 4.根据动量定理或动量守恒定律列方程求解。 【注意】： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往 往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同 一时刻的动量之和。
a0
A B N T
a′ A
f
A T B
m B g + m B a0 − T = m B a ′ B a′A = a ′ B
得T = 17.7 N, a′A = a′ = 5.9m ⋅ s -2 B
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mA g
a′ B mB g
m A a0
m B a0
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2 2 v = v x + vy = 2 1 + t 2
(SI)，求：
dv aτ = = dt
2t 1+ t2
2 2
= 2 (m ⋅ s - 2 ) 2 1+ t2 = 2 (m ⋅ s - 2 )
an = a − aτ =
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【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间 的函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标 原点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在 任一时刻的切向加速度和法向加速度。 dv x 解： )、由定义有 a x = (1 dt
A B
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解：这类题通常应选非惯性系为参考系 mA=2kg ， mB=3kg ， μ=0.25， a0=2m/s2 ①以吊车为参考系，则A、B均受到一个 向下的惯性力
T − f = m Aa′ A m A g + m Aa0 − N = 0 f = μN
2012-2-28 phypzq@ 1
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质点运动的问题分成两类：
v v v (1 )、已知运动方程 r ( t ), 求任一时刻的 v 、 a ， 解题方法是求导；
v v v v ( 2 )、已知 v 、 a 及初始条件 r0、 v 0 求运动方程， 解题方法是积分
( F − mg )Δt = 0 − ( − mv0 )
mv0 F = mg + Δt
F = 985N
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【例7】如图所示，Ａ、Ｂ两木块，质量分别为mA、mB，并 排在光滑的水平面上。今有一子弹水平地穿过木块Ａ、Ｂ， 所用时间分别为 Δt１和 Δt２，若木块对子弹的阻力为恒 力F，求子弹穿过后，两木块的速度各为多少？ 解：设子弹穿过后两物体的速度分别为vA、vB，子弹 穿过物体A时有 A B F ⋅ Δt 1 = (m A + mB )v A
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A
oR
B
DCNf来自vphypzq@
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【例5】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放置一半径 为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的物块以速度 v0 从 处沿壁射入，物块与板壁之间的滑动摩擦因数为μ。试求 物块沿板壁从D点滑出时的速率。 解：
v 2 d v dv dl −μ = = ⋅ R d t dl dt v dv πR μ ∫v0 v = − ∫0 Rdl
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v v v 2 【例1】已知质点运动方程 r = 2 ti + ( 4 − t ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。 v v v v v v dr 解：（1）、 v = = 2i − 2tj , a = −2 j v dt v
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【例6】如图所示的一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内 以角速度 ω 匀速转动，在小球转动一周的过程中，则：（1） 小球动量增量的大小等于多少？（2）小球所受重力的冲量 的大小等于多少？（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于 多少？ 解： （1）等于零
(SI)，求：
v v -1 故v0 = 2i (m ⋅ s ), a0 = −2 j (m ⋅ s -2 ) v v v v v ( 2)、r1 = 2i + 3 j r2 = 4i v v v v v Δr = r2 − r1 = 2i − 3 j , v v v v Δr v= = 2i − 3 j (m ⋅ s -1 ) Δt
phypzq@ 3
2012-2-28
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v v v 2 【例1】已知质点运动方程 r = 2 ti + ( 4 − t ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。
( 3 )、因为任一时刻的速度 大小为
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习题课的目的是培养一种良好的解题习惯和规范化解题。 解题的一般注意事项如下： ①在认真复习的基础上解题，解题过程中绝不能对照例 题； ②搞清题意，分清已知量、未知量，并用适当的符号来 表示，且每一个符号只能代表一个物理量；特别注意矢 量、坐标分量的联系与区别； ③画出简练正确的示意图，建立坐标系，进行受力分 析，搞清各物理量之间的关系；特别注意各量的正负号 及物理意义； ④选用最简便的定律或公式列方程（平时学习一定要注 意各种定律及公式的适用条件和范围）； ⑤列联立方程，先用字母符号运算，最后代入原始数据。 并对答案进行讨论。
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则 系统初始动量为 （M + m )V0 人跑动后系统总动量为