质点力学习题课

A
oR
B
D
C
N
f
v = v0e
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− μπ
v
能否计算整个过程所需的时间？
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动量定理及动量守恒定律的解题方法和步骤： 1.确定研究对象； 2.分析物体受力，正确区分物体系统的内力和外力； 3.确定物体系统初、终态的动量，注意动量的矢量性； 4.根据动量定理或动量守恒定律列方程求解。 【注意】： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往 往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同 一时刻的动量之和。
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解：这类题通常应选非惯性系为参考系 mA=2kg ， mB=3kg ， μ=0.25， a0=2m/s2 ②仍以吊车为参考系，则A、B均受到一 个向右的惯性力 T + m Aa0 − f = m Aa′ A
mA g − N = 0 f = μN
T B N
a′ A
f
A T m A a0
北
西
v v
东
v v 则有 v′ ⊥ v,
−1
v v v v v v u = v′ + v , v′ = u − v
v′ θ v v u
故有
南
θ = cos
v = 60 0 , 人跑步方向应为南偏西 60 0 u
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【课后问题】一艘小船在静止的水中的速度为3m/s，一个船 夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时走过的距离最短。问在 下面的情况下，船夫应该选择向哪个方向划船？情况（1）水 流速度为2m/s；情况（2）水流速度为4m/s。假设水流的速度 在各处都是相同的。
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v v v 2 【例1】已知质点运动方程 r = 2 ti + ( 4 − t ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。
( 3 )、因为任一时刻的速度 大小为
2 2 v = v x + vy = 2 1 + t 2
(SI)，求：
dv aτ = = dt
2t 1+ t2
2 2
= 2 (m ⋅ s - 2 ) 2 1+ t2 = 2 (m ⋅ s - 2 )
an = a − aτ =
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【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间 的函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标 原点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在 任一时刻的切向加速度和法向加速度。 dv x 解： )、由定义有 a x = (1 dt
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质点运动的问题分成两类：
v v v (1 )、已知运动方程 r ( t ), 求任一时刻的 v 、 a ， 解题方法是求导；
v v v v ( 2 )、已知 v 、 a 及初始条件 r0、 v 0 求运动方程， 解题方法是积分
A B
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解：这类题通常应选非惯性系为参考系 mA=2kg ， mB=3kg ， μ=0.25， a0=2m/s2 ①以吊车为参考系，则A、B均受到一个 向下的惯性力
T − f = m Aa′ A m A g + m Aa0 − N = 0 f = μN
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则 系统初始动量为 （M + m )V0 人跑动后系统总动量为
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【例6】如图所示的一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内 以角速度 ω 匀速转动，在小球转动一周的过程中，则：（1） 小球动量增量的大小等于多少？（2）小球所受重力的冲量 的大小等于多少？（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于 多少？ 解： （1）等于零
mA g
θ
m B a0
a′ B
m B a0 − T sin θ = m B a ′ sin θ B
m B g − T cosθ = m B a ′ cosθ B a′A = a ′ B
mB g
得T = 12.1N
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【例5】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放置一半径 为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的物块以速度 v0 从A 处沿壁射入，物块与板壁之间的滑动摩擦因数为μ。试求 物块沿板壁从D点滑出时的速率。 解：物块的整个运动中竖直方 向的力不起作用，板壁对物块 的弹力 N 提供向心力，同时也 产生切向的摩擦力 f v2 N = man = m R dv − f = maτ = m dt f = μN
a0
A B N T
a′ A
f
A T B
m B g + m B a0 − T = m B a ′ B a′A = a ′ B
得T = 17.7 N, a′A = a′ = 5.9m ⋅ s -2 B
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mA g
a′ B mB g
m A a0
m B a0
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习题课的目的是培养一种良好的解题习惯和规范化解题。 解题的一般注意事项如下： ①在认真复习的基础上解题，解题过程中绝不能对照例 题； ②搞清题意，分清已知量、未知量，并用适当的符号来 表示，且每一个符号只能代表一个物理量；特别注意矢 量、坐标分量的联系与区别； ③画出简练正确的示意图，建立坐标系，进行受力分 析，搞清各物理量之间的关系；特别注意各量的正负号 及物理意义； ④选用最简便的定律或公式列方程（平时学习一定要注 意各种定律及公式的适用条件和范围）； ⑤列联立方程，先用字母符号运算，最后代入原始数据。 并对答案进行讨论。
(SI)，求：
v v -1 故v0 = 2i (m ⋅ s ), a0 = −2 j (m ⋅ s -2 ) v v v v v ( 2)、r1 = 2i + 3 j r2 = 4i v v v v v Δr = r2 − r1 = 2i − 3 j , v v v v Δr v= = 2i − 3 j (m ⋅ s -1 ) Δt
( F − mg )Δt = 0 − ( − mv0 )
mv0 F = mg + Δt
F = 985N
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【例7】如图所示，Ａ、Ｂ两木块，质量分别为mA、mB，并 排在光滑的水平面上。今有一子弹水平地穿过木块Ａ、Ｂ， 所用时间分别为 Δt１和 Δt２，若木块对子弹的阻力为恒 力F，求子弹穿过后，两木块的速度各为多少？ 解：设子弹穿过后两物体的速度分别为vA、vB，子弹 穿过物体A时有 A B F ⋅ Δt 1 = (m A + mB )v A
【课后问题】一只苍蝇在离桌面 H 高处水平飞行，在它正下方 的桌面上有一滴蜂蜜.为了尽可能快地吃到这滴蜂蜜，苍蝇应该 怎样飞行？为此需要多少时间？假设苍蝇能够朝任何方向产生 加速度 a . 解：取苍蝇A为参考系，蜂蜜B，苍蝇A朝C 点飞去 1 2
AC = at 2
2
BC =v0t
2 ⎛1 2⎞ at ⎟ = H 2 + ( v0t ) ⎜ ⎝2 ⎠
FΔ t 1 vA = m A + mB
子弹继续穿过物体B时有
F ⋅ Δt 2 = mB v B − mB v A FΔ t 2 vB = v A + mB
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【例8】质量为 m的人站在质量 为 M的车上，开始时一起以速 率 V0沿光滑水平面向左运动。 现在人以相对车为 u的速率向右 跑，求车的速率 Vt
( 2) I = mg ⋅ t = mg ⋅ ( 3) I 2 = − I1 = − mg ⋅
2π
ω
2π
ω
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【问题】 高空走钢丝演员的 质量为50kg，为安全起见演员 腰上系一根5.0m长的弹性安全 带，弹性缓冲时间为1.0s，当 演员不慎跌下时，在缓冲时间 内安全带给演员的平均冲力有 多大？
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【例4】如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量分别为 mA=2kg， mB=3kg。物体Ａ放在水平桌面上，它与桌面的滑动摩擦 因数为μ=0.25。物体B与物体A用轻质细绳并跨过一定滑 轮相连，桌子固定在一吊车内。试求下列两种情况下绳内 的张力 （不计绳和滑轮的质量及轴承摩擦，绳不可伸 长。） ①吊车以 a0=2m/s2 的加速度竖直向上运动； ②吊车以 a0=2m/s2 的加速度水平向左运动；
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【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的 函数。已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原 点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任 一时刻的切向加速度和法向加速度。
2 2 ( 3)、v = v x + v y = 4t 2 + 144t 6
∫
vx
0
dv x = ∫ axdt = ∫ 2dt ⇒ v x = 2t ,...v y = 12t 3
0 0
t
t
同理有 ∫ dx = ∫ v x dt = ∫ 2tdt 得到 0 0 0 v v v 2 4 r = t i + 3t j
( 2)、消去时间得
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x
t
t
y = 3x2
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v v v 2 【例1】已知质点运动方程 r = 2 ti + ( 4 − t ) j ①质点的初速度和初加速度； ②质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ③t=1s时的切向加速度和法向加速度。 v v v v v v dr 解：（1）、 v = = 2i − 2tj , a = −2 j v dt v
v0 t= a
⎛ ⎛ aH ⎞ ⎞ 2 ⎜1 + 1 + ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ v0 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
地面参考系中苍蝇的加速度方向不变！
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牛顿定律的应用问题也分为两类：
(1)、已知 (或分析已知 )系统的受力 , 求各物体的加速度 及相互作用力，用隔离 体图法是求解； ( 2)、如受的力是变力 F ( t )、F (v )、F ( x)， 用牛顿定律的微分形式 求解。
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A
oR
B
D
C
N
f
v
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【例5】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放置一半径 为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的物块以速度 v0 从 处沿壁射入，物块与板壁之间的滑动摩擦因数为μ。试求 物块沿板壁从D点滑出时的速率。 解：
v 2 d v dv dl −μ = = ⋅ R d t dl dt v dv πR μ ∫v0 v = − ∫0 Rdl
dv 1 8t + 864t 5 aτ = = dt 2 4t 2 + 144t 6
2 a n = a 2 − aτ2 = a x + a 2 − aτ2 y
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【例3】假定某日刮北风，风速大小为 u。一运动员在风中跑 步，他对地的速度大小为 v(v=u/2),试问他向什么方向跑时， 会感到风从他的正右方吹来？ 解：这类题的求解关键是画示意图 u v风对地 = u， v人对地 = ，方向待求 2 因人感到风从正右方吹 来，设 v风对人 = v′
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2 cos α = 3
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α = 48
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0
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3 cos β = 4
β = 41
0
4 d′ = d 3
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