无穷小的比较
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七节无穷小的比较-精品
lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim
lim
1
0，
因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
§1.7 无穷小的比较
12
定理2(等价无穷小替换定理)
设~, ~ 且 lim A(或 ),
则
lim
lim A(或 ).
证 lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或 ).
13
若~ ~
且
lim
存
在
则
lim
lim
例例 8 求 lim tan 2 x x 0 s in 5 x
1
例2
因 为 lim n
n 1
n2
所以当 n 时 1 是比 1 低阶的无穷小
n
n2
例例33 因 为 lim x 2 - 9 6 x3 x -3
所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小
6
❖ 阶的比较举例
例例44 因 为 lim 1- c os x 1
x0 x2
2
所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小
2
n
1-co sx~ 1x2. 2
可以推广
8
lx im 01-xc2oxs12
例6 证:当 明 x 0时 ,4xta3n x为 x的四阶 . 无
解
lim
x0
4 x tan 3
x4
x
4lim(tanx)3 4, x0 x
故x当 0时 ,4xta3n x为 x的四阶. 无穷
例7 当 x 0 时 ,求 ta x - s nx i关 nx 的 于 .阶数
lim sin x lim x lim 1 1 x0 x3 3x x0 x3 3x x0 x2 3 3
14
等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 代替.给 0 型未定式的极限运算带来方便.
定理2(等价无穷小替换定理)
设~, ~ 且 lim A(或 ),
则
lim
lim A(或 ).
证 lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或 ).
13
若~ ~
且
lim
存
在
则
lim
lim
例例 8 求 lim tan 2 x x 0 s in 5 x
1
例2
因 为 lim n
n 1
n2
所以当 n 时 1 是比 1 低阶的无穷小
n
n2
例例33 因 为 lim x 2 - 9 6 x3 x -3
所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小
6
❖ 阶的比较举例
例例44 因 为 lim 1- c os x 1
x0 x2
2
所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小
2
n
1-co sx~ 1x2. 2
可以推广
8
lx im 01-xc2oxs12
例6 证:当 明 x 0时 ,4xta3n x为 x的四阶 . 无
解
lim
x0
4 x tan 3
x4
x
4lim(tanx)3 4, x0 x
故x当 0时 ,4xta3n x为 x的四阶. 无穷
例7 当 x 0 时 ,求 ta x - s nx i关 nx 的 于 .阶数
lim sin x lim x lim 1 1 x0 x3 3x x0 x3 3x x0 x2 3 3
14
等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之 比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限 代替.给 0 型未定式的极限运算带来方便.
无穷小的比较
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x x 2 x 5. lim x 0 o( x ) 3 3 x
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
一、填空题： tan 3 x 1、lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2、lim =________. x 0 (sin x ) m ln( 1 2 x ) 3、lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4、lim =________. 2 x0 x arctan x x n 5、lim 2 sin n =________. n 2
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
无穷小量的比较(4)全
2、若 lim f (x) c, (c 0)则称f (x)与g(x)为同阶无穷小。 xx0 g(x)
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
2024/10/27
'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
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1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
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'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
高等数学《无穷小比较》课件
说明:
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
无穷小的比较
在无穷小的比较中，我们关注两个无穷小比值的极限，以此反映它们趋于零的“快慢”程度。设α及β为无穷小，若β与α的比值极限为0，则β是比α高阶的无穷小；若极限为无穷大，则β是比α低阶的无穷小；若极限为非零常数，则β与α是同阶无穷小；若该常数为1，则称β与α是等价无穷小。此外，还有k阶无穷小的概念。文档通过多个例子具体阐释了这些定义，并引出了关于等价无穷小的两个重要定理：定理1指出，β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)；定理2表明，在求两个无穷小比值的极限时，分子及Байду номын сангаас母都可用等价无穷小来代替，从而简化计算。这些结论在微积分学中有广泛应用，对于理解和分析函数在某点的局部行为具有重要意义。
1-7无穷小的比较
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时, sin x ~ x ,
sin x x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
常用等价无穷小: 当x 0时,
1 2 1 cos x ~ x . 2
y 1 2 x 2
y 1 cos x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) 1 2 x ~ e 1, 1 cos x ~ x , (1 x ) a 1 ~ ax (a 0) 2
x
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证明： （必要性） 设 ~ ， lim lim 1 0， o()，即 o()． （充分性）设 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ．
ln 1 ( x 1) ln x x 1 （2）lim lim ln[1 ( x 1)] 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)
1 ( x 1) sin x 1 lim sin 1 （3）lim 不存在. x 1 x 1 x 1 x 1
lim( ) 证明： lim lim lim lim lim .
tan 2 x 例4 求 lim x 0 sin 5 x
解： x 0 时， tan 2 x ~ 2 x,
sin 5 x ~ 5 x .
tan 2 x 2x 2 故 lim . lim x 0 sin 5 x 5 x 0 5 x
第九节无穷小的比较
式． 例如, 当x 0时,
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x 2 .
2
sin x x o( x), 1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
y 1 x2 2 y 1 cos x
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 关于代数和中各无穷小不能分别代换.
例 5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
x x lim x0 (2 x)3
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o()．
lim
lim
o()
lim（１＋o()） 1，
~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达
故当 x 时 f ( x)和g( x)不能比较.
一、填空题：
练习题
1、lim tan 3x =__________. x0 sin 2x
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
第六讲-无穷小与无穷小的比较全篇
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
12
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则
lim( x) lim ( x)
例如, limarcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x
x0
x
(1
x
2
)
1 3
1
例3. 求
lim
x0
cos x 1
.
解:
13
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
( 4 ) 1 , 1 n .
n n1
解:
lim
x0
4 3
x3 x2
0,
所以 x 0 时,4x3 o 3x2
1
lim n
n 1
,
n2
当n
时
,
1 n
是
比
1 n2
低
阶
的
无
穷
小.
lim x2 16 8, x4 x 4
所以 x 4 时, x2 16与 x 4是同阶无穷小
1
lim x0
x0
sin 3x
解 tan5x 5x, sin3x 3x, 1 cos x 1 x2 2
5x 1 x2 原式 lim 2
x0 3x
5 1 x lim 2
5.
x0 3
3
16
二、无穷大
定义3
在变量
y的变化过程中，如果
1 y
为无穷小量.
则称变量 y在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大。
记作: lim y
例如:(1). lim(x 1) 0, 所以 x 1 为 x 1 时的无穷小量.
高数课件5无穷小的比较
2
tan x − sin x 例4 求lim . 3 x→0 sin 2x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 ×lim = x →0 3 = 0. (2 x )
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
2.将x换成∀f ( x ) → 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式
β α−β ∵ lim = 1, ∴ lim = 0, α α
于是有 α = β + o(α ). α
即 α − β = o(α ), α
同理也有 β = α + o( β )
一般地有 即α与β等价
例5 解
tan5x − cos x + 1 . 求lim x→0 sin 3x
∵ tan x = 5 x + o( x ), sin 3 x = 3 x + o( x ), 1 2 1 − cos x = x + o( x 2 ). 2 1 2 5 x + o( x ) + x + o( x 2 ) 2 原式 = lim x→0 3 x + o( x )
例1 证明:当x →0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。
在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。
首先，我们来回顾下无穷小的定义。
如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，<ε成立，则称该数列{a_n}为无穷小。
换句话说，数列的极限为零时，我们称它为无穷小。
对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：1.同类无穷小的比较：如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，<ε成立，则称{a_n}的无穷小阶比{b_n}的无穷小阶低。
2.常数和无穷小的比较：对于任意确定的有限实数a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。
3.多项式和无穷小的比较：对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，<M*，P(x)，成立，则称{a_n}为P(x)的更高阶无穷小。
使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。
下面举几个例子来说明。
例子1：求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。
因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。
所以我们可以得到以下关系：n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。
根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。
因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
无穷小的比较
1
1
x0 x
ax 1
lim
1
x0 x ln a
(5) lim 1 cos x 1
x0 1 x2 2
x 0时sin x ~ x x 0时arcsinx ~ x
x 0时 ln(1 x) ~ x
x 0时ex 1 ~ x
x 0时ax 1 ~ x ln a x 0时1 cos x ~ 1 x2
4、利用等价无穷小计算下列极限:
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换
例5 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
A(A
0)
f(x)与g(x)为同阶无穷小.
1 称f(x)与g(x)等价无穷小,记f(x) ~ g(x)
若 lim f ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量. xX g( x)
例1 :当x 0时, x 1000x3与x相比是(C )无穷小.
(A)高 阶; (B)低 阶; (C)等 价; (D)同 阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
无穷小的比较【高等数学PPT课件】
第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
无穷小的比较
1 2
所以1 cos x 是关于 x 的二阶
无穷小；
因为 lim sin x 1 所以sin x 与 x 是等价无穷小 . x0 x
定理1 设 , , , 是同一过程中的无穷小，且
~ , ~ , 且 lim 存在，则
lim lim .
o( ) ;
若lim , 则称 是比 低阶的无穷小；
若 lim C 0, 则称 与 是同阶无穷小；
若
lim
k
C
0,
则称 是关于 的 k 阶无穷小；
若 lim 1, 则称 与 是等价无穷小， 记作 ~ .
证
lim
lim
lim
lim
lim
lim
说明 定理1又称为等价无穷小的替换准则．它表明
在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价
无穷小来代替．
例1 求 lim tan 2x . x0 sin 5x
例如，
因为 lim 3x2 0 所以 3x2 是比 x 高阶的无穷小； x0 x
因为
lim
n
1 1
n n2
所以 1 n
是比 1 n2
低阶的无穷小；
因为 lim x2 9 6 所以 x2 9 与 x -3 是同阶无穷小； x3 x 3
因为
1 cos
lim
x0
x2
x
cos x
所以
tan x sin x
无穷小的比较
例1 证明 : 当x → 0时, tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
tan x − sin x 解 ∵ lim x→0 x3
1 sin x 1 − cos x = lim( ⋅ ⋅ ) 2 x → 0 cos x x x 1 sin x 1 − cos x 1 = lim ⋅ lim ⋅ lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 x x →0 x 2
β ( ２ ) 如果 lim = ∞，就说 β 是比 α 低阶的无穷小． 低阶的无穷小． α β ( 3) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α β 特殊地， 如果 lim = 1, 则称 β 与 α 是等价的无穷小; 特殊地， α 记作 α ~ β;
β (4) 如果 lim k = C ≠ 0, k > 0, 就说 β 是 α 的 k 阶的 αin
π
x + cos(a + bx )
lim f ( x ) = f ( −1) .
练习题答案
3 一、1. ； 2
0, m < n 2. 1, m = n ； 3. 2； ∞ , m > n
6.
a ； n
4. ∞ ；
5. x ；
1 ； 2
7. 3； 3；
8.
1 , 2. 2
例如， 例如，
x2 ∵ lim = 0， x →0 3 x
sin x ∵ lim = 1， x →0 x
即 x 2 = o( 3 x ) ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小 ．
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【例42】
二、 等价无穷小
【例43】
二、 等价无穷小
二、 等价无穷小
【例44】
试证明：如果α~β，则α－β是比α(或β)高阶的无穷小.反之， 如果α－β是比α(或β)高阶的无穷小，则α~β .
谢谢聆听
x~x,1 cos x~12x2,ln(1+x)~x,ex－1~x,ax －1~xln a,n1+x－1~1nx.
二、 等价无穷小
注
当x→0时，x为无穷小.在常用等价无穷小中，用任 意一个无穷小f(x)代替x后，上述等价关系依然成立.
例如，x→0时，有sinx3~x3, e－x2－1~－x2,ln (1+4x)~4x，等等.
一、 无穷小阶的定义
定义14
设α，β是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且α≠0. (1) limβα=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α). (2) limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小. (3) limβα=c(c≠0)，则称β与α是同阶无穷小 limβα=1，则称β与α是等价无穷小，记为α~β. (4) limβαk=c(c≠0,k>0)，则称β是α的k阶无穷小.
二、 等价无穷小
定理22
设α，α′，β，β′是自变量在同一变化过程中的无穷小，且 α~α′，β~β′，limβ′α′存在，则
定理22表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都 可以用等价无穷小代换.因此，若无穷小的代换运用得当，则可简 化极限的计算.
二、 等价无穷小
定理23
α与β β=α+o(α).
一、 无穷小阶的定义
例如，就前述三个无穷小x，x2， sin x(x→0)而言，x2是比x高阶的无穷 小，x是比x2低阶的无穷小，而sinx与x 是等价无穷小.
一、 无穷小阶的定义
【例36】
【例37】
【例38】
一、 无穷小阶的定义
【例39】
二、 等价无穷小
根据等价无穷小的定义，可以证明当x→0 sin x~x,tan x~x,arcsin x~x,arctan
无穷小的比较
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、 无穷小阶的定义
根据无穷小的运算性质，两个无穷小的和、差、积仍是 无穷小.但两个无穷小的商，却会出现不同情况.例如，当 x→0时，x，x2，sin x都是无穷小，而
从中可看出各无穷小趋于零的快慢程度：x2比x快些， sin x与x大致相同，即无穷小之比的极限不同，反映了无 穷小趋向于零的快慢程度不同.下面给出无穷小阶的定义.
证必要性.设α~β，则
二、 等价无穷小
【例40】
二、 等价无穷小
【例41】
应用等价无穷代换的原则是:乘除可用,加减慎用.也就是 说,求两个无穷小相乘或相除的极限时,可以分别用它们的等价 无穷小代换;但是,当出现两个无穷小相加或相减时,若分别用它 们的等价无穷小代换来求极限,就有可能导致错误的结论,因此 应慎用.请看下面的例子.