高考物理专题复习：追及和相遇问题的多种解法
追及和相遇问题解题技巧
追及和相遇问题解题技巧1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题的两种典型情况(1)速度小者追速度大者这一时刻一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。
试求：自(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么？提示：汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么？提示：位移相等。
尝试解答(1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s(1)解法一：(物理分析法)如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1所以t1＝v自a＝2 sΔx＝v自t1－12at21＝6 m。
解法二：(相对运动法)以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s末速度v t＝v汽车－v自＝0加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1＝v t－v0a′＝2 s最大距离Δx＝v2t－v202a′＝－6 m负号表示汽车在后。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：(极值法)设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx，则Δx＝v自t1－12at21代入已知数据得Δx＝6t1－3 2t21由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，汽车和自行车相距最远，为Δx＝6 m。
高考物理：追击及相遇问题的处理方法!
高考物理：追击及相遇问题的处理方法！追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题。
它通常会涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。
对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系。
追击及相遇问题的处理方法1、追及和相遇问题的求解方法两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间某位置。
基本思路是：①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程④找出时间关系，速度关系⑤解出结果，必要时进行讨论。
方法是：(1)临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远(最近)。
(2)图象法：画出x－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解。
(3)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇。
1、追及问题：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）①当两者速度相等时，追者位移追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。
②若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
③若两者位移相等时，追着速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，当速度相等时两者之间距离有一个最大值。
在具体求解时，可以利用速度相等这一条件求解，也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解。
第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。
①当两者速度相等时有最大距离。
2024届高考物理微专题：追及相遇问题
微专题6追及相遇问题1．(1)“慢追快”型：v 后＝v 前时，Δx 最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v 后＝v 前时，Δx 最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.2.在已知出发点的前提下，可由v －t 图像面积判断相距最远、最近及相遇等情况.3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．1.甲、乙两物体(均可视为质点)从同一出发点沿水平面朝同一方向运动，两物体运动的v －t 图像如图所示，下列说法正确的是()A ．甲、乙两物体同时出发B ．在t ＝4s 时甲、乙两物体相遇C ．前4s 内两物体的平均速度相同D ．相遇前甲、乙最远距离为6m 答案D解析从v －t 图像中可看出乙物体比甲物体延迟3s 出发，选项A 错误；t ＝4s 时，由v －t图像可知，甲、乙两车速度相等，甲的位移为x 甲＝4×42m ＝8m ，乙的位移为x 乙＝1×42m＝2m ，可知两车未相遇，选项B 错误；因为前4s 内两物体的位移不同，所以两物体的平均速度不同，选项C 错误；在t ＝4s 前相同时刻甲的速度比乙的速度大，在达到相同速度前它们之间的距离在变大，甲、乙的速度相等时二者距离最远，由速度—时间图线与横轴围成的面积表示位移大小可求得相遇前甲、乙最远距离为x 甲－x 乙＝6m ，选项D 正确．2.(多选)(2023·山西大学附属中学模拟)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接．为了得到某款无线蓝牙耳机在运动时的最大连接距离，甲和乙两位同学做实验如下：乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，二人间隔17.5m 且之间无障碍，某时刻起甲追乙的v －t 图像如图所示．发现手机在3s 末开始检测到蓝牙耳机信号，则下列判断正确的是()A ．4s 时甲、乙相距最近为8mB ．4s 时甲、乙相距最近为9.5mC ．手机与蓝牙耳机连接上的时间为3sD ．最远连接距离为10m 答案BD解析根据题图可知，4s 时甲、乙速度相等，此时相距最近，4s 内则有x 甲－x 乙＝v 甲t －v 乙t2＝4×4m －4×42m ＝8m ，初始位置乙在甲前方17.5m ，故此时相距9.5m ，选项A 错误，B 正确；由题图可知乙的加速度为a 乙＝Δv 乙Δt ＝44m/s 2＝1m/s 2，在3s 内则有x 甲′－x 乙′＝v 甲t ′－12a 乙t ′2＝4×3m －12×1×32m ＝7.5m ，则有最远连接距离为Δx ＝17.5m －7.5m ＝10m ，选项D 正确；根据图像的对称性可知，3s 内与5s 内甲、乙相距的距离相等，即5s 末手机与蓝牙耳机信号断开，连接上的时间为2s ，选项C 错误．3.(2023·山东日照市模拟)甲、乙两个质点沿着同一直线运动，其中质点甲做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀加速直线运动，它们的位置x 随时间t 的变化规律如图所示．已知t 0时刻，甲的位置为x 0，且此时两图线的斜率相同，下列判断正确的是()A ．乙的加速度大小为x 02t 02B ．t 0时刻，两质点之间的距离为32x 0C ．3t 0时刻，两质点之间的距离为32x 0D ．两质点相遇时，乙的速度大小为2x 0t 0答案B解析由题意可知，甲的速度大小为v 甲＝x0t 0，t 0时刻甲、乙图线的斜率相同，即此时乙的速度大小也为x 0t 0，根据运动学公式则有x 0t 0＝at 0，可得乙的加速度大小为a ＝x0t 02，故A 错误；0～t 0的时间内，乙的位移为x 乙＝12at 02＝x 02，故两质点之间的距离为Δx ＝x 0－12x 0＋x 0＝32x 0，故B正确；0～3t 0时间内，甲的位移为x 甲＝3x 0，乙的位移为x 乙′＝92x 0，两质点之间的距离为Δx ′＝|3x 0－92x 0＋x 0|＝12x 0，故C 错误；设两质点经过时间t 相遇，则有12at 2＝x 0＋v 甲t ，解得t ＝(3＋1)t 0(另一解不符合实际，舍去)，故相遇时，乙的速度大小为v 乙＝at ＝ 3＋1 x 0t 0，故D 错误．4.如图所示，可视为质点的A 、B 两物体相距x ＝7m 时，A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以v A ＝4m/s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时正在摩擦力作用下以初速度v B ＝10m/s 向右匀减速运动，加速度a ＝－2m/s 2，则A 追上B 所经历的时间是()A ．7sB ．8sC ．9sD ．10s答案B解析由题意知，t ＝5s 时，物体B 的速度减为零，位移大小x B ＝v B t ＋12at 2＝25m ，此时A的位移x A ＝v A t ＝20m ，A 、B 两物体相距Δx ＝x ＋x B －x A ＝7m ＋25m －20m ＝12m ，再经过Δt ＝Δxv A＝3s ，A 追上B ，所以A 追上B 所经历的时间是5s ＋3s ＝8s ，选项B 正确．5．(多选)甲、乙两个物体从同一地点出发，在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度时间图像如图所示，则()A ．甲、乙两物体运动方向相同B ．t ＝4s 时，甲、乙两物体相遇C ．在相遇前，甲、乙两物体的最远距离为18mD ．在相遇前，甲、乙两物体的最远距离为20m 答案AD解析由题图可知，两物体的速度均沿正方向，故运动方向相同，A 正确；由题图可知，t＝4s 时，甲、乙两物体的速度相同，4s 之前乙物体的速度比甲物体的速度大，两物体相距越来越远，4s 后甲物体的速度大于乙物体的速度，两物体相距越来越近，故t ＝4s 时两物体相距最远，最远距离Δx ＝x 乙－x 甲＝12×(15－5)×4m ＝20m ，B 、C 错误，D 正确．6．冬季浓雾天气频繁出现．某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30m ，且路面湿滑．一辆小汽车以15m/s 的速度由南向北行驶，某时刻，司机突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以3m/s 的速度同向匀速行驶，于是鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2m/s 2的加速度减速行驶，卡车于2s 后以2m/s 2的加速度加速行驶．以下说法正确的是()A ．因两车采取了必要的加、减速措施，所以两车不会追尾B ．虽然两车采取了加、减速措施，但加速度过小，两车仍会追尾C ．在卡车开始加速时，两车仅相距9mD ．两车距离最近时只有12m 答案A解析设小汽车匀速行驶的速度为v 1，减速时的加速度大小为a 1；卡车匀速行驶时的速度为v 2，加速运动时的加速度大小为a 2，后车刹车后经过时间t 两者共速，则有v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t－2s)，解得t ＝4s ，在时间t 内小汽车的位移为x 1＝v 1t －12a 1t 2＝44m ，卡车加速行驶的时间为t ′＝t －2s ＝2s ，在时间t 内，卡车的位移为x 2＝v 2t ＋12a 2t ′2＝16m ，因x 2＋30m ＞x 1，故两车不会追尾，此时两车相距最近，距离为Δx ＝x 2＋30m －x 1＝2m ，故A 正确，B 、D 错误．在卡车开始加速时，两车相距Δx ′＝(30＋3×2)m －(15×2－12×2×22)m ＝10m ，故C错误．7．现有一辆摩托车由静止开始先以2.5m/s 2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25m/s 匀速行驶，追赶前方以15m/s 的速度同向匀速行驶的卡车．已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200m ，则：(1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少；(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车．答案(1)245m(2)32.5s解析(1)由题意得摩托车匀加速运动最长时间t 1＝v ma＝10s此过程的位移x 1＝v m 22a＝125m<x 0＝200m所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车．在追上卡车前当二者速度(设为v )相等时相距最远，设从开始经过t 2时间速度相等，最大间距为x m ，则v ＝at 2解得t 2＝va＝6s最大间距x m ＝(x 0＋v t 2)－12at 22＝245m.(2)设从开始经过t 时间摩托车追上卡车，则有v m 22a＋v m (t －t 1)＝x 0＋v t 解得t ＝32.5s.8．在一条平直的公路上，一货车以30m/s 的速率匀速行驶时，司机突然发现前方40m 处有一自行车以5m/s 的速率同道、同方向匀速行驶．司机立即开始制动．(这段公路很窄，无法靠边让道)(1)若货车刹车后以大小为5m/s 2的加速度做匀减速运动．通过计算分析骑自行车的人是否有危险？若无危险，求两车相距最近时的距离；若有危险，求出从货车发现自行车开始到撞上自行车的时间．(2)若货车司机发现自行车时，自行车也恰好发现货车，自行车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，加速度大小为2m/s 2(两车均视为质点)．货车也立即刹车做匀减速直线运动(不计反应时间)，为避免碰撞，问：货车加速度至少多大才能避免相撞(结果保留两位有效数字)．答案(1)2s(2)5.8m/s 2解析(1)当货车和自行车共速时，两者距离最近，则v 0－at ＝v ，解得t ＝5s此时货车的位移x 1＝v 0＋v 2t ＝87.5m自行车的位移x 2＝v t ＝25m 因x 1>x 2＋Δx可知货车已经和自行车相撞；由位移关系，设经过时间t ′两车相撞，则v 0t ′－12at ′2＝Δx ＋v t ′解得t ′＝2s(t ′＝8s 舍去)(2)两车恰不相撞时，两者共速，则v 0－a ′t ″＝v ＋a 1t ″，v 0t ″－12a ′t ″2＝Δx ＋v t ″＋12a 1t ″2，解得a ′＝5.8m/s 2.。
常见的追及与相遇问题类型及其解法
追及与相遇问题专题知识要点：一、相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S，分析时要注意：（1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；（2）、两物体各做什么形式的运动；（3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程；二、追及是指两个物体在追赶过程中处在同一位置,问题的特征及处理方法：常见的情形有三种：1 速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度相等，即。
例: 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。
例:一车处于静止状态,车后距车S0=25m处有一个人,当车以1m/s2的加速度开始起动时,人以6m/s的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时。
提示：此类问题常涉及相撞，相撞是指两个物体在追赶过程中处在同一位置时后者速度大于前者速度，零界点是：两物体在同一位置时速度相等，恰巧不相撞。
例：一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰车事故？例:火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v1＞v2司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件？三、分析追及问题的注意点：⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
高一物理追及相遇问题的解法
高一物理追及相遇问题的解法高一物理中，追及相遇问题是一类典型的运动问题，涉及到两个或多个物体同时进行直线运动，并在某一时刻相遇的问题。
解决这类问题的关键是要熟悉速度、时间和距离之间的数学关系，并结合画图和列方程的方法进行求解。
以下是追及相遇问题的解法。
解法一：相对运动法相对运动法是一种基于相对概念的解题方法，该方法适用于两个物体以相对速度进行直线运动的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体相对运动的特点，即两个物体之间的相对速度关系。
2.画出示意图，并标明每个物体的运动方向和起始位置。
通常可以使用箭头表示物体的运动方向。
3.根据物体的相对速度和相对位置关系，得出追及相遇的时间和距离的关系。
4.列方程，解方程，得出问题的解。
解法二：时间比法时间比法基于物体在相同时间内应走过的距离相等的原则，适用于给出两个物体的初始位置和速度，求它们相遇时间或相遇位置的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度，并画出示意图。
2.假设两个物体相遇时间为t，根据速度、时间和距离的关系可以得出两个物体行驶的距离。
比如，设第一个物体的速度为v1，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d1=v1*t；设第二个物体的速度为v2，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d2=v2*t。
3.根据题目条件，得出物体行驶的距离之间的关系。
这个关系可以是等于、大于、小于等种情形。
4.根据物体行驶的距离之间的关系及相遇时间与行驶距离的关系，列方程，解方程，求出问题的解。
解法三：套公式法套公式法是追求解题的简便和快捷，适用于两个物体在相对静止或相对匀速运动的情况。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度。
2.判断两个物体的相对运动关系，即判断两个物体是否追及相遇。
如果两个物体的相对速度为0，则相对运动停止，此时两个物体处于静止状态，无需继续计算。
3.如果两个物体在匀速直线运动，可以利用时间、速度和距离之间的关系，套用公式进行求解。
追及相遇问题解题技巧
追及相遇问题解题技巧引言在解题过程中，我们经常会遇到追及相遇问题。
这类问题描述了两个物体以不同的速度运动，我们需要求解它们何时相遇。
追及相遇问题在数学和物理领域中都有很重要的应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决此类问题。
问题背景假设有两个物体A和B，分别以速度Va和Vb在同一直线上运动。
物体A的初始位置为Xa，物体B的初始位置为Xb。
我们需要找到它们相遇的时间点T。
方法一：使用代数方程一种常见的解决追及相遇问题的方法是使用代数方程。
假设物体A相对于物体B的速度为Vr（Vr = Va - Vb），物体A的初始位置相对于物体B的初始位置为Xr （Xr = Xa - Xb）。
那么，我们可以得到以下方程：Xr + Vr * T = 0解这个方程，可以得到T的值，即可求得相遇时间。
方法二：使用相对速度另一种解决追及相遇问题的方法是使用相对速度概念。
相对速度表示两个物体相对于彼此的速度差。
假设相对速度为Vr，相对位置为Xr。
我们可以得到以下方程：Xr = Vr * T同样地，解这个方程即可得到T的值。
方法三：使用图像解法除了代数方程和相对速度方法，我们还可以使用图像解法解决追及相遇问题。
我们可以根据速度和位置的关系绘制出物体A和物体B的运动图像。
两个物体相遇的位置即为它们的交点。
示例问题让我们通过一个具体的示例问题来演示上述的解题技巧。
问题：物体A从位置0出发，以每秒2米的速度向正方向运动。
物体B从位置10出发，以每秒3米的速度向负方向运动。
它们何时相遇？方法一解答：物体A相对物体B的速度为2米/秒 - (-3米/秒) = 5米/秒。
物体A相对物体B的初始位置为0米 - 10米 = -10米。
根据代数方程 Xr + Vr * T = 0，我们可以得到 -10米 + 5米/秒 * T = 0。
解这个方程，我们可以得到T = 2秒，即它们在2秒后相遇。
方法二解答：相对速度为5米/秒，相对位置为-10米。
2022年高考物理一轮复习 第1章 专题强化2 追及相遇问题
专题强化二追及相遇问题目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.题型一追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当v B＝v A时，若x B>x A＋x0，则能追上；若x B＝x A＋x0，则恰好追上；若x B<x A＋x0，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.4.常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.(2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况.①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，说明追不上或不能相遇.(3)极值法设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值.(4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、求解相关问题.例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v ＝6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？ 答案 2 s 6 m解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t ，两车间的距离为Δx ，则有v ＝at 所以t ＝va ＝2 sΔx ＝v t －12at 2＝6 m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则Δx ＝v t －12at 2代入已知数据得Δx ＝6t －32t 2由二次函数求极值的条件知：t ＝2 s 时，Δx 有最大值6 m 所以t ＝2 s 时两车相距最远，为Δx ＝6 m.解法三(图象法)：自行车和汽车的v －t 图象如图所示，由图可以看出，在相遇前，t 1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t 1＝v 1a ＝63 s ＝2 s ，Δx ＝v 1t 12＝6×22m ＝6 m.追及与相遇问题的两种典型情况假设物体A 追物体B ，开始时，两个物体相距x 0，有两种典型情况：(1)初速度小的匀加速运动的物体A 追匀速运动的物体B ，当v A ＝v B 时，二者相距最远. (2)初速度大的匀减速运动的物体A 追匀速运动的物体B ，当v A ＝v B 时，①若已超越，则相遇两次. ②若恰好追上，则相遇一次. ③若没追上，则无法相遇.例2 (2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A 、B 两车在同一直线上向右匀速运动，B 车在A 车前，A 车的速度大小为v 1＝8 m/s ，B 车的速度大小为v 2＝20 m/s ，如图1所示.当A 、B 两车相距x 0＝28 m 时，B 车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a ＝2 m/s 2，从此时开始计时，求：图1(1)A 车追上B 车之前，两者相距的最大距离； (2)A 车追上B 车所用的时间；(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A 车在B 车刹车的同时也应刹车的最小加速度.答案 (1)64 m (2)16 s (3)0.25 m/s 2解析 (1)当A 、B 两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v 1＝v 2－at 1 代入数据解得：t 1＝6 s此时，根据位移时间的关系得：x A 1＝v 1t 1 x B 1＝v 2t 1－12at 12Δx m ＝x B 1＋x 0－x A 1 代入数据解得：Δx m ＝64 m(2)B 车刹车到停止运动所用时间： t 0＝v 2a ＝10 s发生的位移：x B 2＝v 222a ＝100 m此时：x A 2＝v 1t 0＝80 m 则：x A 2＜x 0＋x B 2，可见此时A 车并未追上B 车，而是在B 车停止后才追上B 车停止后A 车运动时间为：t 2＝x 0＋x B 2－x A 2v 1＝6 s故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16 s(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小v22 2a ＋x0＝v122a A代入数据解得：a A＝0.25 m/s2.1.(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？答案(1)5 m/s2(2)1 m/s2解析(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10 m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自＝v自t汽车的位移为：x汽＝v汽t－12at2假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′代入数据整理得：12at2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5 m/s2.汽车的加速度至少为5 m/s2.(2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′整理得：(12a ′＋2)t 2－10t ＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解， 即得：Δ′＝102－20a ′－80≤0 解得：a ′≥1 m/s 2.自行车的加速度至少为1 m/s 2.2.(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4×100米接力赛，冠军被巴西队以38秒05获得.如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s 的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s 2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以v ＝10 m/s 的速度跑到接力区前端s 0＝14.0 m 处向乙发出起跑口令.已知接力区的长度为L ＝20 m.图2(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？ 答案 (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s解析 (1)设乙加速到交接棒时运动时间为t ， 则在甲追及乙过程中有：s 0＋12at 2＝v t代入数据得：t 1＝2 s ，t 2≈4.67 s(不符合乙加速最长时间t m ＝v a ＝103 s ，故舍去)此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x ＝12at 12＝6 m(2)乙加速时间为：t 乙＝v a ＝103s设甲在距离接力区前端为s 时对乙发出起跑口令 则在甲追及乙过程中有：s ＋12v t 乙＝v t 乙代入数据得：s ≈16.7 m(3)棒在(2)情形下以v ＝10 m/s 的速度运动，所以有：t ′＝Lv ＝2 s.题型二 图象法在追及相遇问题中的应用1.根据两个物体的v －t 图象分析追及相遇问题：(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算. (2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.2.根据两个物体的运动状态作出v －t 图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v －t 图象，再通过定量计算分析得出结果. 利用v －t 图象分析追及相遇问题更直观、简捷.例3 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v －t 图像如图3所示.已知两车在t ＝3 s 时并排行驶，则( )图3A.在t ＝1 s 时，甲车在乙车后B.在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案 BD解析 根据v －t 图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.t ＝3 s 时，甲、乙两车并排行驶，此时v 甲＝30 m/s ，v 乙＝25 m/s ，由v －t 图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s 内甲车位移x 甲＝12×3×30 m ＝45 m ，乙车位移x 乙＝12×3×(10＋25) m ＝52.5 m.故t ＝0时，甲、乙两车相距Δx 1＝x 乙－x 甲＝7.5 m ，即甲车在乙车前方7.5 m ，选项B 正确；0～1 s 内，x 甲′＝12×1×10 m ＝5 m ，x 乙′＝12×1×(10＋15) m ＝12.5 m ，Δx 2＝x 乙′－x 甲′＝7.5 m ＝Δx 1，说明在t ＝1 s 时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A 、C 错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x ＝x 甲－x 甲′＝45 m －5 m ＝40 m ，选项D 正确.例4 (2020·河北石家庄市模拟)在水平直轨道上有两列火车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题) 答案 见解析 解析 方法一 图象法利用v －t 图象求解，先作出A 、B 两车的v －t 图象，如图所示.设经过t 时间两车刚好不相撞， 则对A 车有v A ＝v ′＝v 0－2at 对B 车有v B ＝v ′＝at 以上两式联立解得t ＝v 03a经时间t 两车的位移之差为原来两车间距离x ，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 x ＝12v 0·t ＝12v 0·v 03a ＝v 026a所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax . 方法二 临界条件法两车不相撞的临界条件是，A 车追上B 车时其速度与B 车相等.设从A 、B 两车相距x 到A 车追上B 车时，A 车的位移为x A 、末速度为v A 、所用时间为t ；B 车的位移为x B 、末速度为v B ，运动过程如图所示.对A 车有x A ＝v 0t ＋12(－2a )t 2，v A ＝v 0＋(－2a )t对B 车有x B ＝12at 2，v B ＝at由两车位移关系有x ＝x A －x B追上时，两车不相撞的临界条件是v A ＝v B 联立以上各式解得v 0＝6ax故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax .课时精练1.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图1中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t 2时刻并排行驶.下列说法正确的是( )图1A.两车在t 1时刻也并排行驶B.在t 1时刻甲车在后，乙车在前C.甲车的加速度大小先增大后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大 答案 BD解析 t 1～t 2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t 2时刻两车并排行驶，则t 1时刻甲在乙的后面，A 项错误，B 项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C 项错误，D 项正确.2.(2020·广东深圳市第一次调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t ＝0时，甲在乙前方16 m 处，它们的v －t 图象如图2所示，则下列说法正确的是( )图2A.甲、乙在t ＝2 s 和t ＝10 s 时刻并排行驶B.甲、乙在t ＝4 s 和t ＝8 s 时刻并排行驶C.在t ＝6 s 时刻，乙车在甲车前8 m 处D.在t ＝6 s 时刻，乙车在甲车前18 m 处 答案 B解析 由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a 1＝126m/s 2＝2 m/s 2的匀加速运动；乙做初速度为v 0＝6 m/s ，加速度为a 2＝12－66 m/s 2＝1 m/s 2的匀加速运动；两车相遇时满足：v 0t ＋12a 2t 2＝s 0＋12a 1t 2，即6t ＋12×1×t 2＝16＋12×2t 2，解得t 1＝4 s ，t 2＝8 s ，即甲、乙在t ＝4 s和t ＝8 s 时刻并排行驶，选项A 错误，B 正确.在t ＝6 s 时，甲的位移：x 1＝12×2×62 m ＝36 m ；乙的位移：x 2＝6×6 m ＋12×1×62 m ＝54 m ，可知此时乙在甲的前面，Δx ＝x 2－x 1－s 0＝54 m－36 m －16 m ＝2 m ，选项C 、D 错误.3.(2020·湖南永州市高三三模)在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v －t 图象如图3所示，下列说法正确的是( )图3A.甲车的加速度大于乙车的加速度B.若t ＝24 s 时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 mD.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s 以后的某时刻发生的 答案 C解析 甲车的加速度大小a 1＝⎪⎪⎪⎪Δv 1Δt 1＝1648 m/s 2＝13 m/s 2乙车的加速度大小a 2＝⎪⎪⎪⎪Δv 2Δt 2＝2040 m/s 2＝12 m/s 2所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A 错误；t ＝24 s 时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t ＝24 s 时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B 错误； 0～24 s 内，甲车的位移x 1＝16＋82×24 m ＝288 m乙车的位移x 2＝20＋82×24 m ＝336 m两者位移之差Δx ＝x 2－x 1＝48 m所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m ，故C 正确；t ＝24 s 时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D 错误.4.(多选)(2020·河北衡水中学高三月考)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v －t 图象如图4所示.根据图象提供的信息可知( )图4A.6 s 末乙追上甲B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 mC.8 s 末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 mD.在0～4 s 内与4～6 s 内甲的平均速度相等 答案 BC解析 根据题图图象可知，在0～4 s 内甲的平均速度v 1＝4＋82 m/s ＝6 m/s ，在4～6 s 内甲的平均速度v 2＝8＋02 m/s ＝4 m/s ，D 错误；在0～6 s 内，甲的位移x 甲＝v 1×4 s ＋v 2×2 s ＝32 m ，乙的位移x 乙＝6×4 m ＝24 m ，因此6 s 末乙未追上甲，A 错误；当两者速度相等时，距离最远，即5 s 末距离最远，此时x 甲′＝4＋82×4 m ＋4＋82×1 m ＝30 m ，x 乙′＝5×4 m ＝20 m ，最远距离Δx ′＝10 m ，B 正确；6 s 以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32 m ，所用时间t ＝x 甲v 乙＝324 s ＝8 s ，C 正确. 5.(2020·江西重点中学协作体第一次联考)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，t ＝0时刻，甲车在乙车前20 m 处，它们的v －t 图象如图5所示，下列说法正确的是( )图5A.甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度B.甲车启动15 s 时，乙车落后甲车的距离最大C.乙车启动时，甲在乙车前方50 mD.t ＝25 s 时，乙车正好追上甲车答案 B解析 由v －t 图象斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A 错误；10～15 s 时间内，乙车在后，较慢，甲车在前，较快，在t ＝15 s 时，两车速度相等，则此时两车距离最大，B 正确；t ＝10 s 时，乙车启动，在0～10 s 内，通过v －t 图象中图线与时间轴所围“面积”表示位移可得，甲车的位移x 甲＝12×10×10 m ＝50 m ，t ＝0时两车相距20 m ，故乙车启动时两车相距(50＋20) m ＝70 m ，故C 错误；0～25 s 内，甲车的总位移：x 甲′＝50 m ＋10×(25－10) m ＝200 m ，乙车运动的总位移：x 乙′＝12×10×20 m ＋20×(25－20) m ＝200 m ，此时x 甲′＋20 m>x 乙′，甲车在乙车的前方，故D 错误.6.(2019·广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化图象如图6所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )图6A.在0～4 s 内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动B.在0～2 s 内，两车间距逐渐增大，2～4 s 内两车间距逐渐减小C.在t ＝2 s 时，甲车的速度为3 m/s ，乙车的速度为4.5 m/sD.在t ＝4 s 时，甲车恰好追上乙车答案 C解析 根据题图图象可知，在0～4 s 内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小的加速直线运动，故A 错误；加速度—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，当t ＝4 s 时，两图线与t 轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车的间距最大，故B 、D 错误；在t ＝2 s 时，乙车的速度为v 乙＝12×(1.5＋3)×2 m/s ＝4.5 m/s ，甲车速度为v 甲＝1.5×2 m/s ＝3 m/s ，故C 正确.7.(2020·河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图7所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v 1＝40 km/h 的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v 2＝5 m/s 的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L 1＝5 m ，到汽车前沿所在直线的距离L 2＝8 m.已知汽车的车长d 1＝5 m 、车宽d 2＝2 m ，汽车加速时的加速度大小a 1＝4 m/s 2，刹车时的加速度大小a 2＝5 m/s 2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是( )图7A.汽车应保持原速通过B.汽车应刹车减速C.汽车应加速通过D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞答案 C解析 小狗走过L 1距离的时间为t 1＝L 1v 2＝55s ＝1 s 汽车的速度v 1＝40 km/h ≈11.1 m/s ，若保持原速行驶，则在t 1时间内的位移为x 1＝v 1t 1＝11.1 m因为L 2＋d 1>x 1>L 2则小狗会与车相撞，选项A 错误；若汽车刹车减速，则在t 1＝1 s 内的位移x 2＝v 1t 1－12a 2t 12＝8.6 m>L 2， 则汽车也会与小狗相撞，选项B 错误；若汽车加速通过，则在t 1＝1 s 内的位移x 3＝v 1t 1＋12a 1t 12＝13.1 m>L 2＋d 1＝13 m则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.8.在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图8a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是()图8A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾B.在t＝5 s时追尾C.在t＝3 s时追尾D.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾答案 C解析根据v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时(t＝5 s)，小汽车相对于大卡车的位移为35 m>30 m，所以会追尾，选项A错误；在t＝3 s时，小汽车相对于大卡车的位移等于30 m，此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在t＝2 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20 m，小于开始时的距离30 m，所以刹车不失灵时不会追尾，选项D错误.9.(2020·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶.(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)答案(1)6 m/s(2)20 s225 m(3)20 s解析(1)赛车3 s末的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝12a1t22解得t 2＝20 s此时赛车的速度v ＝a 1t 2＝2×20 m/s ＝40 m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v 0＝a 1t 3得两车速度相等时，经过的时间t 3＝v 0a 1＝102s ＝5 s 两车最远相距Δs ＝v 0t 3＋200 m －12a 1t 32 ＝(10×5＋200－12×2×52) m ＝225 m. (3)假设再经t 4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得v t 4－12a 2t 42＝v 0t 4 解得t 4＝15 s赛车停下来的时间t ′＝v a 2＝404s ＝10 s 所以t 4＝15 s 不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动.设再经时间t 5两车第二次相遇，应满足v 22a 2＝v 0t 5 解得t 5＝20 s.10.(2020·安徽安庆市怀宁县第二中学高三月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s 后警车发动起来，并以2.5 m/s 2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h 以内.求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车.答案 (1)75 m (2)12 s解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t 1时间两车的速度相等.则：t 1＝v 1a ＝102.5s ＝4 s x 货＝v 1()t 0＋t 1＝10×(5.5＋4) m ＝95 mx 警＝12at 12＝12×2.5×42 m ＝20 m所以两车间的最大距离Δx ＝x 货－x 警＝75 m(2)警车达到最大速度v ＝90 km/h ＝25 m/s 的时间：t 2＝v a＝10 s 此时两车的位移分别为x 警′＝v 22a ＝2522×2.5m ＝125 m x 货′＝v 1()t 0＋t 2＝10×(5.5＋10) m ＝155 m两车距离Δx ′＝x 货′－x 警′＝30 m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt 时间追上货车，则：Δt ＝Δx ′v －v 1＝2 s 所以警车发动后要经过t ＝t 2＋Δt ＝12 s ，才能追上货车.。
高一物理-追及与相遇问题专题-多种解法详讲
[例2]：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机 发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正
以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大 小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a
应满足什么条件？
方法一：公式法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系： v1 at v2
t0
t/s
20
则a 0.5m / s2
物体的v-t图像的斜率表 示加速度,面积表示位移.
方法三：二次函数极值法
若两车不相撞， 其位移关系应为
v1t
1 2
at 2
v2t
s0
代入数据得 1 at2 10t 100 0 2
其图像(抛物线) 的顶点纵坐标必 为正值,故有
4 1 a 100 (10)2
专题 “追及和相遇”问 题
“追及和相遇”问题
两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线 运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。
“追及和相遇”问题的特点：
（1）有两个相关联的物体同时在运动。 （2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。
“追及和相遇”问题解题的关键是：
s
v自t
1 2
at 2
6t
3 2
t2
3 (t2 4t 4) 6 2
3 (t 2)2 6 2
当t=2s时，△s有最大值。
s汽
△s
s自
sm 6m
[探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多 大?汽车运动的位移又是多大？
s 6T 3 T 2 0 T 4s 2
v汽 aT 12m / s
s汽
1 2
完整版)高中物理相遇和追及问题(完整版)
完整版)高中物理相遇和追及问题(完整版)相遇追及问题是物理学中的一个重要考点和热点。
其中，追及问题分为速度小者追速度大者和速度大者追速度小者两种类型。
对于速度小者追速度大者的情况，可以根据匀加速追匀速、匀速追匀减速和匀加速追匀减速三种情况来分析。
对于速度大者追速度小者的情况，则可以根据匀减速追匀速、匀速追匀加速和匀减速追匀加速三种情况来分析。
在解决追及问题时，需要注意物体运动的位移方程和时间关系，以及隐含的临界条件，例如速度相等时的最大距离或最小距离等。
除了联立方程外，还可以利用二次函数、图象法和相对运动知识来求解。
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形。
在解决相遇问题时，需要注意两物体在相遇处的位置坐标相同。
首先要列出两物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系。
其次，要寻找隐含的临界条件，例如匀减速运动时是否停止运动等。
最后，可以利用相对运动知识和图象法来求解。
利用两物体相遇时必处在同一位置，可以寻找两物体位移间的关系。
另外，需要寻找问题中隐含的临界条件，这与追及中的解题方法相同。
例1中，物体A以10m/s的速度匀速前进，物体B以2m/s的加速度从静止开始做匀加速直线运动。
要求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。
解法一：物理分析法。
A做10m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度为2m/s的匀加速直线运动。
开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小。
A、B间距离有最大值的临界条件是υA=υB。
设两物体经历时间t相距最远，则υA=at。
把已知数据代入两式联立得t=5s。
在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为sA=υAt=10×5m=50m，sB=at=1/2×2×5m=25m。
A、B再次相遇前两物体间的最大距离为Δs=sA-sB=50m-25m=25m。
解法二：相对运动法。
本题求解的是A、B间的最大距离，所以可以利用相对运动求解。
高考总复习.追及和相遇问题
vt v0 0 (6) t s 2s a 3
由速度位移关系：
2 vt2 v0 0 (6) 2 s m 6m 2a 23
2 vt2 v0 2as
v v 2as
2 t 2 0
2 t 2 0 2
v v 0 (6) m 6m 两车的最大距离为： s 2a 23
解法2：（图像法）
由v-t图像的斜率表示物体的加速度，可得当 两车的速度相等（即v=6）时的时间为t0 由
v/ms-1
汽车
tan a
6 3 t0
6 tan 3 t0
6
o α
t0 2s
自行车
t0
t/s
当t0=2s两车速度相等时两车的距离最大。由v-t图像的面积表示位移，可 1 x 2 6m 6=2s m 得两车的最大距离为 t0 时面积之差，即图象中三角形的面积： 2
-6表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.
本节课结束
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追及和相遇问题
作 者： 单 位： 学科学习 鲁科版
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两个物体在同一时刻
能否到达相同的空间位置的问题
1.两个关系：即时间关系和位移关系。 这两个关系可以通过运动示意图得到。 2.一个条件：即两者速度相等。 两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离 最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
追及和相遇问题的常用解题方法
（1）基本公式法： 根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度 关系中列式求解。 （2）图象法： 正确画出物体运动的v--t图象，根据图象的斜率、截距、 面积的物理意义结合三大关系求解。 （3）相对运动法： 巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态。
【精编版】2019年高考物理专题复习：追及和相遇问题的多种解法
追及和相遇问题的多种解法【例题1】公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s ，两车相距s 0=100m ，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向，问：两车在0-9s 内会不会相遇？【解法1】公式法从题图知道，2/10-s m a =甲（前3s ），2/5s m a =甲（后6s ）；0=乙a （前3s ），2/5-s m a =乙（后6s ），首先建立坐标系（一维坐标），如图所示则甲的速度为t v 1030-=甲（前3s ），0=甲v （t=3s 时刻），t v 5=甲(后6s)，s m v /30=甲（t=9s 时刻）乙的速度为s m v /30=乙（前3s ），s m v /30=乙（t=3s 时刻），t v 530-=乙(后6s)，0=乙v （t=9s 时刻）则甲的位置坐标为2530100t t x -+=甲（前3a ），m x 145=甲（t=3s 时刻），25.2145t x +=甲（后6s ），m x 235=甲（t=9s 时刻）乙的位置坐标为t x 30=乙（前3s ），m 90=乙x （t=3s 时刻），25.23090t t x -+=乙（后6s ），m x 180=乙（t=9s 时刻） 我们要一段一段地判断，前3s ，m 90=乙x （t=3s 时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。
后6s ，m x 235=甲，m x 180=乙（t=9s 时刻），乙甲x x >，所以也不能相遇。
这样够不够呢？不够假设在后6s 内，甲、乙相遇，则令乙甲x x =，即25.2145t +=25.23090t t -+，得关于t 的一元二次方程0553052=+-t t ，判别式020********<-=⨯⨯-=∆，所以方程无解，即甲、乙不能相遇。
【解法2】临界法我们先计算在前3s 不能相遇（如上，略），然后分析，在后6s 内，开始乙的速度大于甲，所以乙在追甲，距离越来越近，当二者速度相等时（临界情况），如果能追上甲，就能追上，如果不能追上，就不能追上了，因为（假设二者在两条道上）速度相等之后，甲的速度就大于乙了，二者就会越来越远了。
高中物理追及相遇问题
第三讲追及相遇问题1．追及、相遇问题的实质讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时刻能否到达相同的位置的问题。
(1)两个等量关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可以通过画草图得到。
(2)一个临界条件：即二者速度相等，它往往是物体能否追上、追不上或两者相距最远、最近的临界条件。
2．解答追及、相遇问题的常用方法首先要表示物体的位置就应该建立坐标系（通常是一维坐标系），然后利用时间关系表示物体的位置坐标。
(1)物理过程分析法：算出速度相等时两者的位移，然后利用位置坐标确定其位置关系判断能否追上。
(2)数学方程判别式法：设相遇时间为t，位置坐标相等通常得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。
若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
(3)图象法：a、作出两者位置—时间图像，相交表示相遇，纵坐标之差是何物理意义？b、作出两者距离—时间图像，图像与t轴相交表示相遇。
c、将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题。
其中速度图像考查较多？(4)相对运动法：以其中一个物体为参考系，找出另一个物体的相对初速度、相对加速度，列出相对位移的表达式。
【例1】甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；(2)到两车再次相遇所需的时间。
解题技巧紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
【例2】A、B两车在同一直线上，同向做匀速运动，A在前，速度为v A＝8 m/s，B在后，速度为v B＝16 m/s，当A、B两车相距x＝20 m时，B车开始刹车，做匀减速运动，为避免两车相撞，刹车后B车的加速度应为多大？变式训练：(多选)(2014·湖南十二校联考)汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动，设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以此速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始()A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B两车相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．A车追上B车后，两车不可能再次相遇课后演练：1．如图1所示为甲、乙两物体的x－t图象，则()A．甲、乙两物体都做匀速直线运动B．若甲、乙两物体在同一直线上运动，则一定会相遇C．t1时刻甲、乙相遇D．t2时刻甲、乙相遇2．如图2所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v－t图象。
高中物理-追及和相遇问题
V自
t/s
t t′
t=v自/a= 6 / 3=2（s）
s
v自t
1 2
t
v自
6m
/
s
2s
1 2
2s
6m
/
s
6m
2）在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标
有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。
所以由图得相遇时t′=2t=4 s v′ = 2v自=12 m/s
思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加
者距离有一个较大值。
速度小 的加速 追速度 大的
当两者速度相等时有最大距离 若两者位移相等，则追上。
练习1. 做直线运动的甲、乙物体的位移—时间
图象，由图象可知（ ABD ）
A.甲起动的时间比乙早t1秒 B.当t＝t2时两物体相遇 C.当t＝t2时两物体相距最远图3 D.当t＝t3时两物体相距S0米
2m/s2的加速度做匀减速直线运动，则从此时 开始A车经多长时间可追上B车？
v汽= 10m/s a= -6m/s2
v自= 4m/s
10m
追上处
A车追上B车可能有两种不同情况：
B车停止前被追及和B车停止后被追及。
解答：设经时间t 追上。依题意：vBt + at2/2 + x = vAt
10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去)
追和被追的两物体的速度相等是关键。
速度大 的减速 追速度 小的
当速度相等时，若追者位移仍小于被追击者位移，则 永远追不上，此时两者间有最小距离。
当两者位移相等时，且两者速度相等时，则恰 能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度， 则被追击者还有一次追上的机会，其间速度相等时两
高中物理追击和相遇问题专题(含详解)
直线运动中的追及和相遇问题一、相遇和追及问题的实质研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
二、 解相遇和追及问题的关键1.画出物体运动的情景图2.理清三大关系（1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =±（3）速度关系：v A=v B两者速度相等往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
三、追及、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解.说明:追及问题中常用的临界条件:⑴速度小者加速追速度大者,速度在接近，但距离在变大。
追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者, 速度在接近，但距离在变小。
追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上. 四、典型例题分析：(一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）： 1.当v 1< v 2时，两者距离变大； 2．当v 1= v 2时，两者距离最大；3．v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。
【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？(二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）： 1．当v 1> v 2时，两者距离变小；2．当v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次； ③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。
高三物理复习课件 追及和相遇问题
汽车 A 以 vA＝4 m 的速度向右做匀速直线运 动，发现前方相距 x0＝7 m 处、以 vB＝10 m/s 的速度 同向运动的汽车 B 正开始匀减速刹车直到静止后保持 不动，其刹车的加速度大小 a＝2 m/s2.从此刻开始计 时．求：
(1)A 追上 B 前，A、B 间的最远距离是多少？(2)经过多长时间 A 恰好追上 B?
v设向 撞1＝3． ？vs0＋通过a后过1t再1＝计经0算；过时说间明t2两甲车、 在 x 乙＝0～v0t19＋vs0t内 2＋会21a3不t22 会相
乙两车速度相等，
解得 x 乙－x 甲＝90 m＜x0＝
此时距离最近： a2t2＝v0＋a3t2
100 m，故不会相撞． 答案： 见解析
•1、所有高尚教育的课程表里都不能没有各种形式的跳舞：用脚跳舞，用思想跳舞，用言语跳舞，不用说，还需用笔跳舞。 •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、教育始于母亲膝下，孩童耳听一言一语，均影响其性格的形成。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
追及和相遇问题
解答追及、相遇问题的常用方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间 某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件， 在头脑中建立起一幅物体运动关系的图象． (2)极值法：设相遇时间为 t，根据条件列方程，得 到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论．若 Δ＞0， 即有两个解，说明可以相遇两次；若 Δ＝0，说明刚好 追上或相遇；若 Δ＜0，说明追不上或不能相遇． (3)图象法：将两物体运动的速度—时间图象在同 一坐标系中画出，然后利用图象分析求解相关问题．
•8、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不 能在他的身上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。 2021/11/222021/11/222021/11/222021/11/22
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追及和相遇问题的多种解法【例题1】公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s ，两车相距s 0=100m ，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向，问：两车在0-9s 内会不会相遇？【解法1】公式法从题图知道，2/10-s m a =甲（前3s ），2/5s m a =甲（后6s ）；0=乙a （前3s ），2/5-s m a =乙（后6s ），首先建立坐标系（一维坐标），如图所示则甲的速度为t v 1030-=甲（前3s ），0=甲v （t=3s 时刻），t v 5=甲(后6s)，s m v /30=甲（t=9s 时刻）乙的速度为s m v /30=乙（前3s ），s m v /30=乙（t=3s 时刻），t v 530-=乙(后6s)，0=乙v （t=9s 时刻）则甲的位置坐标为2530100t t x -+=甲（前3a ），m x 145=甲（t=3s 时刻），25.2145t x +=甲（后6s ），m x 235=甲（t=9s 时刻）乙的位置坐标为t x 30=乙（前3s ），m 90=乙x （t=3s 时刻），25.23090t t x -+=乙（后6s ），m x 180=乙（t=9s 时刻） 我们要一段一段地判断，前3s ，m 90=乙x （t=3s 时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。
后6s ，m x 235=甲，m x 180=乙（t=9s 时刻），乙甲x x >，所以也不能相遇。
这样够不够呢？不够假设在后6s 内，甲、乙相遇，则令乙甲x x =，即25.2145t +=25.23090t t -+，得关于t 的一元二次方程0553052=+-t t ，判别式020********<-=⨯⨯-=∆，所以方程无解，即甲、乙不能相遇。
【解法2】临界法我们先计算在前3s 不能相遇（如上，略），然后分析，在后6s 内，开始乙的速度大于甲，所以乙在追甲，距离越来越近，当二者速度相等时（临界情况），如果能追上甲，就能追上，如果不能追上，就不能追上了，因为（假设二者在两条道上）速度相等之后，甲的速度就大于乙了，二者就会越来越远了。
设甲、乙速度相等，即t 5=t 530-，解得=t 3s ，此时，25.2145t x +=甲=167.5m ，25.23090t t x -+=乙=157.5，因为甲乙x x <，所以，甲、乙不能相遇。
【解法3】图象法 （1）t -v 图象甲的速度为t v 1030-=甲（30≤≤t ），）（甲3-5t v =(93≤<t )，乙的速度为s m v /30=乙（30≤≤t ），t v 530-=乙(93≤<t )，用电子计算机Excel 作出甲（图中Va ）和乙（图中Vb ）的速度图象图如下图。
根据图象“面积”表示位移的方法，从图象可以得到，当s t 6=时刻，两车速度相等，从0=t 到s t 6=，两车位移分别为m x 5.6731521330211=⨯⨯+⨯⨯=甲，则甲车的位置坐标为m x 5.1671005.67=+=甲，乙车的位移和位置坐标都是m x 5.157321530330=⨯++⨯=乙， 因为甲乙x x <，所以甲乙两车不能相遇。
（2）t x -图象甲、乙的位置坐标分别为2530100t t x -+=甲（30≤≤t ），23-5.2145）（甲t x +=（93≤<t ）， t x 30=乙（30≤≤t ），23-5.23-3090）（）（乙t t x -+=（93≤<t ）用电子计算机Excel 作出两车的位置坐标图象如下图。
从图象可以得到，甲车和乙车没有相遇。
同时还可以看出，s t 6=时刻，甲、乙距离最近。
【解法4】相对运动法以上都是以地面为参照物（默认），以下以B 车为参照物。
A 相对B 的初位置为m x 1000=。
A 相对B 的加速度=a 2/10s m -（30≤≤t ）， =a 2/10s m （93≤<t ） 则A 车的速度00=v （0=t 时刻）， s m v /30-=（s t 3=时刻）所以，A 车相当于B 的位置为21021100t x ⨯-=（30≤≤t ），m x 55=（s t 3=），23-10213-3055）（）（t t x ⨯+-=（93≤<t ）。
用电子计算机Excel 作出两车的相对位置坐标图象如下图。
从图象可以得到，甲车和乙车相对位置先靠近s 60-，后远离s 96-，当6s t =时刻，距离最近为10m ，所以，两车没有相遇。
x(甲相对于乙）0102030405060708090100110012345678910x(甲相对于乙）【例题2】在平直公路上有甲乙两辆汽车同时从同一地点沿同一方向做匀加速运动，他们速度的平方随位移变化的图象如图所示，则 A.甲车的加速度比乙车的加速度大B.在5.0=x m 处甲、乙两车的速度相等C. 在5.0=x m 处甲、乙两车相遇D. 在0.1=x m 处甲、乙两车相遇【解法1】公式法根据ax v 22=，甲车x v 42=，得2/2s m a =甲乙车122+=x v ，得2/1s m a =乙，所以乙甲a a >，A 正确。
在5.0=x m 处，22乙甲v v =，所以甲、乙两车的速度相等，B 正确甲车，t v 2=甲，2221t t a x ==甲甲乙车，因为2220/1s m v =乙，所以s m v /10=乙，所以t v +=1乙，25.0t t x +=乙 在5.0=x m 处，乙甲x x =，有的同学认为在此处甲乙相遇，而选C 。
但根据2221t t a x ==甲甲=0.5，得s t 7.05.0≈=甲，根据25.0t t x +=乙=0.5，解得s 4.01-2≈=乙t ，所以甲、乙两车不是同时到达5.0=x m 处，所以在5.0=x m 处甲、乙两车没有相遇，C 错误。
同样的方法，在0.1=x m 处，乙甲x x =，但根据2221t t a x ==甲甲=1.0，得s t 0.1=甲，根据25.0t t x +=乙=1.0，解得s 7.01-3≈=乙t ，所以甲、乙两车不是同时到达x=1.0m 处，所以在0.1=x m 处甲、乙两车没有相遇，D 错误。
【答案】AB【延伸】那么，甲乙两车能不能相遇呢？在哪儿相遇呢？若乙甲x x =，即225.0t t t +=，解得s t 2=，代入得m x 4=，所以，两车在s t 2=时刻m x 4=位置相遇。
用电子计算机Excel 作甲、乙车位移随时间变化的图象，如下图。
从图像也可以得到，当s t 2=时，两车在m x 4=处相遇。
所以，CD 错误。
同时也可以看出，当s t 1=，乙甲v v =，甲乙相距最远（相遇前）。
【解法2】速度图象法用电子计算机Excel 作甲乙的速度图象，如下图。
从图象可以看出，当s t 1<，乙甲v v <，乙在前，甲在后，甲、乙距离越来越远；当s t 1-，乙甲v v =，甲乙相距最远（相遇前）；当s t 1>，乙甲v v >，甲追乙，甲、乙距离越来越近；当s t 2=，乙甲x x =（用“面积”计算位移），甲、乙相遇。
【解法3】相对运动法以甲为参照物，则乙相当于甲，初速度s m v /10=，加速度222/1/2/1s m s m s m a -=-=，所以位移为25.0t t x -=，用电子计算机Excel 作乙相对于甲的位移图象，如下图。
解读：当s t 1<，乙在前，甲在后，乙相对甲距离越来越远；当s t 1-，乙相对甲距离最远（相遇前）；当s t 1>，乙相对甲距离越来越近；当s t 2=，乙相对甲距离为零，即甲、乙相遇，之后，乙相对甲位移为负，即乙在甲后。
【解法4】时间-位移图象法以位移x 为自变量，分别求出同一位移的时间，根据2t x =，所以x t =甲；根据25.0t t x +=，解得1-12+=x t 乙。
用电子计算机Excel 作甲、乙的x t -图象，如图所示。
从图象可以看出，当m x 5.0=的位置，乙甲t t ≠，即甲、乙不是同时到达mx 5.0=的位置，所以C 错误。
当m x 0.1=的位置，乙甲t t ≠，即甲、乙不是同时到达mx 0.1=的位置，所以D 错误。
从图象还可以看出，当m x 4=的位置，s 2==乙甲t t ，即甲、乙同时到达m x 4=的位置，即甲、乙在m x 4=的位置相遇。
【例题3】如图所示，甲、乙两小球位于h=45m 的同一高度，零时刻由静止释放甲球，1s后再由静止释放乙球，释放后两球均做自由落体运动。
（重力加速度g 取10m/s 2），求：（1）释放乙球时，甲球离地高度（2）甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离（3）从甲小球下落开始计时，分析全过程甲、乙两球之间的竖直距离与时间的关系，并用图像准确表示。
（球落地后立即原地静止）（1）释放乙球时，甲下落高度h 1= gt 12/2=5m甲乙t /sΔy /m0 510 15 20 25 30得甲离地高度Δh 1=h —h 1=40m（2）由h = gt 22/2 得甲球落地时间t 2=3s ，此时乙下落高度h 2= g (t 2—1)2/2=20m 所以甲、乙之间的距离Δh 2=h —h 2=25m（3）从甲下落开始计时，甲下落高度⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<=≤≤=)s 43(45)s 30(21y 121t y t gt ， 乙球下落高度⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=≤≤=)s 41()1(21)s 10(0y 222t t g y t ，两者之间的高度差Δy =y 1—y 2 在0~1s 内，y 1= gt 2/2，y 2=0，两球的竖直距离随时间的关系为Δy 1= y 1—y 2=gt 2/2=5t 2在1~3s 内，y 1= gt 2/2，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy 2=y 1—y 2=10t-5在3~4s 内，y 1= 45m ，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy 3=y 1—y 2=40＋10t —5t 2则图像如图所示【解法2】图象法在0~1s 内，y 1= gt 2/2，y 2=0，两球的竖直距离随时间的关系变化为Δy 1= y 1—y 2在1~3s 内，y 1= gt 2/2，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy 2=y 1—y 2在3~4s 内，y 1= 45m ，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy 3=y 1—y 2用电子计算机Excel 表格，第一列是时间t ，从0到4，间隔为0.01；第二列是甲下落的距离，公式记为2*2*51a a y =（0-3s ）及451=y （3-4s ）；第三列是乙下落的距离，公式记为)10(02s y -=及)112*)112(*52--=a a y （(1-3s)；第四列是两小球的竖直距离随时间的变化关系，即上述的y ∆，公式记为22a b dy -=。