几大放缩方法

高等（泰勒、定积分）放缩

这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。 一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是：

(2)()2

0000000()()()()()()()...()1!2!!

n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-++-

特别的，取00x =，我们有

(2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!!

n n

f f f f x f x x x n '=++++

下面列举常见的泰勒展开式：

()

()()()

212135

21...1!2!!

1sin ...3!5!21!

n

x

n n n n x x x e o x n x x x x x o x n --=+++++-=-++++- ()()()22

4

211cos 1...2!4!2!

n

n n x x x x o x n +-=-++++ ()

()()()

35

5123

12tan 315

11ln 1...123n

n n x x x x o x x x x x x o x n

+=++++=-+++-+ ()21

1...1n n x x x o x x

=+++++- 上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln 等）转化为一元多项式，便于导数求解。

定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2

()f x x =的图像与x 轴从1到3围成的图形的面积（如下图）

阴影部分的面积S 3

233331

1

11180

313

333

x dx x ==

=⨯-⨯=⎰

。积分的运算就相当于导数的逆运算，32231

1

,3

3

x x x x 求导就是的原函数就是，所以放缩中就会利用构造图形比较面积大小来出题，这时它的背景就是定积分，著名的2003年江苏高考压轴题就是典型的例子，后面会有介绍。

二 相关不等式

相关不等式其实也就是泰勒的产物，这里单独拎出来是有目的的，这是因为下面所涉及的不等式是高考中极为常见的，现在整理出来望读者熟记。 “数学分析基本不等式”： 对0,ln(1)1x

x x x x

∀><+<+有不等式

① 这条不等式非常常见，一般较为基本的高考题都以它作为命题背景。 将1x t +整体换成，则有下面非常有用的不等式： 1

11lnt 1t t

>-

<<-当t 时， ② 进一步，我们将①的右边加强，可得 0x ∀>，

ln(1)x +<

③

不等式③用导数证明很容易，此处不再赘述。

我们若再继续探索，又可会发现，还可以对①的两边加强，有

<

=，

2

22002121(2)(1)

x x x x x x x x x x x >⇔->⇔>++++++，所以有不等式：

20,

ln(1)2x x x x ∀><+<+ ④ 同样，不等式④用导数证也很容易，请读者自己一试。

例1 （2012江苏高考填空压轴）

,,534,ln ln ,b

a b c c a b c a c b a c c a

-≤≤-≥+已知正数满足：则的取值范围是_

解答 由45c 3)545(4)7b

a b b c a a

-+≤+-⇒≤（

ln ln ln ln 1(b b a a a

a c c c c =-≥-≥≤再由即lnx x-1)

故 [,7]b

e a

∈

点评：熟悉背景①的同学最多只需1分钟就可以做完，而采用标准答案线性规划的做法起码得花上3、5分钟的时间，所以优势还是很明显的。

例2（2012辽宁高考21题）

设()ln(1)f x x ax b =++++，曲线()y f x =与直线3

2

y x =

在（0,0）处相切 （1） 求,a b 的值

（2） 证明：当02x <<时，9()6

x

f x x <

+ 解答：第一问很简单，易得0,1a b ==-。重点我们落在第二问，看到第二问，一个很朴素的想法就是构造函数9()()6

x

g x f x x =-

+，证明()g x 在区间（0,2）中恒小于0，但是这样

做的话会得到()g x '

=，接下来又要对分子换元再

求导，甚是麻烦，也不一定能做下去，而当年提供的两种标准答案都涉及均值不等式的构造，甚是巧妙，但在紧张的考场上未必能想到。这时我们若熟悉不等式①，则就可以把ln 去掉，尝试放缩建立新的加强的不等式，如下：

9ln(1)10692ln 106

x

x x x

x ++-

<+⇔-

<+

下一步尝试把根号拿去，91)106

x

x +--<+（利用不等式①）

316

x

x ⇔<

+

令t =

t ∈，最后就交给二次函数了，事实上也证明结果是对的，读者可