几大放缩方法
大学中常用不等式放缩技巧
大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)(a+b)p≥ap+ bp (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
“三角函数放缩法技巧全总结”
“三角函数放缩法技巧全总结”昨天爱老师在高考数学文章中，承诺过大家今天要具体讲解一下不等式证明技巧——放缩法。
我来履行诺言啦！那为什么要单独挑出“放缩法”来讲呢？那是因为压轴题只要考到不等式证明，一般会用到这个方法，它属于压轴必备技巧哟！快点码起来~ 放缩法其实是在证明不等式成立时，通过放大或缩小，寻找一个中间量而已。
但是说起来简单，真正求解的话还是比较难的，因为中间变量不是直接可以找到的，有时候甚至给了答案我们都看不明白。
所以放缩的一些常见技巧大家还是要熟悉。
一般是裂项放缩，这个方法在数列的裂项相消里是经常用到的。
例如：求下图的值一看就是有分子分母的形式还要累加，对于这种形式我们最熟悉的莫过于数列中的裂项相消的方法。
但是对于这个题目并不是可以直接裂开的，所以我们要先去通过放缩法对其化简成可裂项相消的形式，再去累加求解。
所以本题解法为：其实这只是一个简单的放缩技巧，所以接下来重点来了，一些常见形式的放缩形式的总结如下（部分总结）：对于姐妹不等式我们并不陌生，相反初中我们就已经熟悉这个形式了，只是当时我们是以假分数真分数的形式去记忆去理解，那到了高中我们还是用这个性质记忆口诀”小者小,大者大”。
例如：证明对于这个形式看上去没有好的方法去证明，所以想到放缩法去求解，实质就是根据咱们上边的不等式的基本性质。
一个不等式证明我们求解可能将其分为几部分，分别放缩求解，但是要注意我们放缩的方向是一致的，也就是要不都是放大，要不都是放小，切忌符号混乱。
例如：对于这个不等式，我们有很多项，所以放缩的话可以分别放缩这个方法更适合数列或者函数的形式去放缩，有迭代关系。
例如：对于这个题目，是数列的前n项和的形式，虽然不能转化为等差或者等比数列，但是我们要往这个形式去转化，去求解，去化简，然后又想到三角函数的值他是有范围的，肯定在[-1,1],所以从这可以开始放缩。
这个方法也是更适合数列或函数的形式去放缩。
例如：虽然仅仅只是总结了几个放缩的形式，但其实每个例题都是干货满满，并且需要大家消化和练习。
数列放缩技巧和方法
数列放缩技巧和方法嘿，朋友们！咱今天来聊聊数列放缩这个有趣又有点烧脑的事儿。
你想想，数列就像一群调皮的小精灵，有时候蹦蹦跳跳，让你摸不着头脑。
可一旦你掌握了放缩的技巧，就像是给它们套上了小缰绳，能乖乖听话啦。
比如说，有些数列的项长得特别复杂，这时候咱就得开动脑筋，把它往简单了变。
就像你收拾房间，把乱七八糟的东西归归类，整理得井井有条。
像那种分式的数列，咱可以试试分子分母同乘或者同除一个数。
这就好比给数列穿上了合身的衣服，一下子就好看多了。
还有啊，有些数列的项之间有明显的大小关系，这就是咱们的突破口。
比如说，一个数总是小于另一个数，那咱就大胆地把它缩小，就像给气球放气，让它变得更容易掌控。
再比如说，遇到那种有指数形式的数列，别害怕！咱们可以利用指数函数的性质来放缩。
这就好像你知道了敌人的弱点，一下子就能把它拿下。
举个例子吧，假如有个数列，每一项都是 n 的平方除以 2 的 n 次方。
这时候你就可以想想，2 的 n 次方增长得那叫一个快啊，像火箭一样！而 n 的平方相对就慢多了，就像蜗牛爬。
那咱们就能大胆地把这一项缩小，让整个数列变得温顺起来。
还有那种累加或者累乘的数列，放缩的时候就得小心谨慎，就像走钢丝一样，一步一步来。
别一下子迈太大步，不然可就掉下去啦。
朋友们，数列放缩可不是一蹴而就的事儿，得多练多琢磨。
你不试试，怎么知道自己行不行呢？别看到难题就退缩，要像勇士一样冲上去！总之，数列放缩就像是一场和数字的游戏，只要你用心，就能玩得转！加油吧，朋友们，相信你们都能在数列的世界里畅游！。
2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题
函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
数列的放缩技巧
数列的放缩技巧
数列的放缩技巧主要有以下几种：
1. 利用单调性放缩：如果数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式。
2. 分式放缩：通过改变数列的项的分母来达到放缩的目的。
3. 部分放缩：只对数列的部分项进行放缩，常用方法有：舍弃一部分不需要的项，或者将一部分项的值直接取为1等。
4. 迭代放缩：通过多次迭代的方式，逐步将数列的项进行放缩。
5. 基于递推结构的放缩：根据数列的递推公式，通过逐步推导的方式进行放缩。
6. 利用导数不等式放缩：对数列的项进行求导，再利用不等式，达到放缩的目的。
常用放缩方法技巧
常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++!2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =−。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N ∗∈，有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n｝满足：a 1＝32，且a n＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !，求证：np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a −<<; （3）判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）<>11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n nS na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
矩阵范数的放缩
矩阵范数的放缩一、矩阵范数简介矩阵范数是用于衡量矩阵大小的一种方法，它可以描述矩阵各个方面的性质。
在数学和计算机科学领域，矩阵范数具有广泛的应用。
矩阵范数的放缩（scaling）是一种通过改变矩阵的标量系数来改变矩阵范数的方法。
二、矩阵范数的定义矩阵范数可以有不同的定义方式，常用的包括谱范数、Frobenius范数和1-范数等。
下面将介绍几种常见的矩阵范数及其定义。
1. 谱范数谱范数（或称为2-范数）是矩阵的最大奇异值。
对于一个n×n的矩阵A，它的谱范数记作||A||₂，其定义如下：||A||₂ = max{σ₁, σ₂, …, σₙ}其中，σ₁, σ₂, …, σₙ表示A的奇异值。
2. Frobenius范数Frobenius范数是矩阵元素绝对值的平方和的开方。
对于一个m×n的矩阵A，它的Frobenius范数记作||A||₆₄，其定义如下：||A||₆₄ = sqrt(∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)|A(i,j)|²)3. 1-范数1-范数是矩阵列向量的绝对值之和的最大值。
对于一个m×n的矩阵A，它的1-范数记作||A||₁，其定义如下：||A||₁ = max{∑(i=1 to m)|A(i,j)|}三、矩阵范数的放缩方法矩阵范数的放缩方法可以通过改变矩阵的标量系数来改变矩阵范数的大小。
常见的放缩方法包括放大（scaling up）和缩小（scaling down）。
1. 放大矩阵范数放大矩阵范数是指通过乘以一个标量系数使得矩阵范数变大。
具体来说，对于一个矩阵A，若存在标量系数λ > 0，使得放大后的矩阵B满足||B|| > ||A||，则称B是A的放大矩阵。
放大矩阵范数的方法一般有以下几种：(1) 乘以一个标量最简单的放大矩阵范数的方法是乘以一个标量。
设A是一个n×n矩阵，那么我们可以通过乘以一个大于1的标量k来放大矩阵A的范数。
等比例放缩法
等比例放缩法等比例放缩法是一种常见的数学方法，它可以用于解决各种问题，如几何问题、比例问题等。
本文将从基本概念、应用范围和解题方法三个角度来介绍等比例放缩法。
一、基本概念等比例放缩法的核心概念就是等比例。
等比例是指两个数之间的比值相等。
比如，1:2和2:4就是等比例的，因为它们的比值都是1:2。
在等比例放缩法中，我们通常使用比例尺来表示等比例关系。
比例尺是指实际长度与图形长度之间的比值。
比如，1:100的比例尺表示实际长度是图形长度的100倍。
二、应用范围等比例放缩法可以用于解决各种几何问题，如求面积、周长、体积等，还可以用于解决各种比例问题，如求比例系数、比例和等。
下面我们来看几个具体的应用案例。
1、面积问题假设有一个正方形，它的面积是4平方厘米。
现在我们想把它放大到原来的2倍，应该怎么做呢？这时我们可以使用等比例放缩法来解决这个问题。
我们可以把原来的正方形的边长放大到原来的2倍，也就是放大到8平方厘米。
这样，我们就得到了一个面积是16平方厘米的新正方形。
2、周长问题假设有一个长方形，它的宽是3厘米，周长是10厘米。
现在我们想把它放大到原来的3倍，应该怎么做呢？这时我们可以使用等比例放缩法来解决这个问题。
我们可以把原来的长方形的宽放大到原来的3倍，也就是放大到9厘米。
这样，我们就得到了一个周长是28厘米的新长方形。
3、体积问题假设有一个立方体，它的边长是2厘米，体积是8立方厘米。
现在我们想把它缩小到原来的1/2，应该怎么做呢？这时我们可以使用等比例放缩法来解决这个问题。
我们可以把原来的立方体的边长缩小到原来的1/2，也就是缩小到1厘米。
这样，我们就得到了一个体积是1立方厘米的新立方体。
三、解题方法在使用等比例放缩法解题时，我们需要掌握基本的解题方法。
下面是一些常见的解题方法。
1、放大和缩小如果要把一个图形放大到原来的n倍，我们只需要把它的边长、面积、体积等等放大到原来的n倍。
如果要把一个图形缩小到原来的n倍，我们只需要把它的边长、面积、体积等等缩小到原来的1/n倍。
高中数学中常见不等式的放缩方法
◆ 成俊 辅
摘要 ：在高中数学中，不等式放缩法常常存在于各种不等式的证明中，其是一种证明不等式成立 与 否的 常见 方 法 ，在 学 习过程 中此 方法 的掌握难 度较 大。文 章 围绕不等 式缩放 方法展 开 ，通 过例 句例 题 的形式 ，详 细说 明其具 体缩放 方 法， 以帮 助 同学们 更好地 掌握 此部分 内容 。 关键词 ：高 中数 学 ；例谈 不等 式的证 明 卟 学周刊 ， ２ ０ １ ３ ， （ ０ ４ ） ： １ ３ ２ — １ ３ ３ ． ［ ２ ］刘 强 ． 谈 构 造 法 证 明 不等 式 卟 科 学 咨 询 （ 教 育 科
研 ） ， ２ ０ １ ２ ． （ ０ ７ ） ： ６ ８
题 目条件 等进 行放 缩 。放 缩法 比较 灵 活 ，实 用性 极强 ，其 所
涉及 的具 体知 识点 也 比较 多 ，要对 其涉 及 到的相关 内容进 行
准确 掌握 ，才 能够 较好 的使用 此 方法 。不等 式放 缩法 的 主要
理论 依据 是不 等式 具有 传递 性 ，在学 习掌 握 、应 用此 方法 时
一
定 要谨记这 一点 。
ｌ ＋口 ｌ 十ｂ １ ＋Ｃ １ ＋ ｃ ＋（ ａ ＋ｂ — ｃ ） １ ＋以 ＋ｂ １ ＋ 口＋ ｂ １＋ ａ＋ｂ
二 、常见 的不等 式放 缩方法
不等 式放 缩法是 建立 在一 定 目标 之 上 的 ，要应 用此 方法
所以，
＜ ＋ ， ｌ ＋Ｃ ｌ － ４ － ａ ｌ － ４ － ｂ
并且 ａ ＋ ｂ ＞ ｃ ， 证明 ＋而 ＞ 。
很 明 显 ，此 题是一 道分 数类不 等式 体 ，在进行 放缩 时 ， 结 合题 设 中 的已知不 等式 条件 ，同时放 缩其分 子 和分母 ，然 后 再进 行计算 就可 以了 。具 体解题 过程如 下 ：
数列的放缩法总结
数列的放缩法总结数列的放缩法是一种常用的证明方法，它可以通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题。
下面是数列的放缩法的详细总结：1. 什么是数列的放缩法？数列的放缩法是一种通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题的方法。
它通常是通过对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质，然后利用这些性质来证明定理或命题。
2. 数列的放缩法的基本思想是什么？数列的放缩法的基本思想是通过对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质，然后利用这些性质来证明定理或命题。
这种变换通常是通过对数列的每一项进行乘法或加法变换，从而得到一个新的数列。
3. 数列的放缩法的具体步骤是什么？数列的放缩法的具体步骤如下：（1）确定要证明的定理或命题。
（2）对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质。
（3）利用这些特殊的性质来证明定理或命题。
4. 数列的放缩法的常用技巧有哪些？数列的放缩法的常用技巧有以下几种：（1）利用数学归纳法。
（2）利用柯西-施瓦茨不等式。
（3）利用阿贝尔变换。
（4）利用柯西定理。
（5）利用特殊的数列性质，如单调性、凸性等。
5. 数列的放缩法的应用范围有哪些？数列的放缩法可以应用于各种数学领域，如代数、几何、概率等。
它可以用于证明各种定理和命题，如不等式、极限、级数等。
在数学竞赛中，数列的放缩法也是一种常用的证明方法。
总之，数列的放缩法是一种常用的证明方法，它可以通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
数列放缩法
数列放缩法数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它通常用于证明不等式。
该方法的基本思想是利用已知的不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的不等式。
这种方法在数学竞赛和研究中被广泛使用，因为它可以使证明更加简单和直观。
一般来说，数列放缩法可以分为两种类型：基于平均值不等式（AM-GM不等式）的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）的放缩。
这两种方法都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
基于平均值不等式的放缩方法通常适用于求证一些简单的不等式，例如求证a+b>=2√ab。
该方法的基本思想是利用AM-GM不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。
例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a+b)/2>=√ab，然后应用AM-GM不等式即可得到证明。
基于柯西-施瓦茨不等式的放缩方法通常适用于求证一些复杂的不等式，例如求证(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)。
该方法的基本思想是利用柯西-施瓦茨不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。
例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>= (a+b+c)^2，然后应用柯西-施瓦茨不等式即可得到证明。
除了AM-GM和柯西-施瓦茨不等式外，数列放缩法还可以使用其他的不等式，例如夹逼准则、均值不等式等。
这些不等式都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
值得注意的是，数列放缩法虽然可以使证明更加简单和直观，但也存在一些限制和注意事项。
首先，该方法只适用于证明不等式，不能用于证明其他类型的数学问题。
其次，该方法需要掌握一定的数学知识和技巧，否则容易出现错误。
最后，该方法只能在特定的条件下使用，不能滥用。
综上所述，数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它可以使证明更加简单和直观。
该方法可以分为基于平均值不等式的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式的放缩两种类型，还可以使用其他的不等式。
放缩的方法
放缩的方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊放缩这档子事儿。
你说放缩像不像咱生活里的魔法呀？有时候，咱面对一些庞大复杂的东西，就好像面对一团乱麻，不知从哪儿下手。
这时候放缩就派上用场啦！就好比你有一大块蛋糕，一下子吃不完，咋办呢？咱可以把它缩小一点呀，先尝尝味道，了解个大概，这就是放缩的魔力。
比如说在数学里，那些复杂的图形、长长的算式，看着就让人头疼。
但通过放缩，嘿，一下子就变得简单多啦。
就像走在一条弯弯曲曲的小路上，突然找到了一条捷径，那感觉，爽歪歪呀！再想想看，生活中不也经常有这样的情况吗？有时候我们面对一个巨大的目标，感觉遥不可及，心里直打鼓。
这时候咱就得学会放缩呀！把那个大目标分解成一个个小目标，就像把大象切成小块，一口一口地吃。
这样一来，是不是感觉压力小了很多，也有信心去完成啦？你看那爬山，山那么高，一眼望不到顶，要是光想着一下子就爬到顶，那不得腿软呀。
但咱可以一段一段地来呀，先爬到半山腰看看风景，休息一下，再接着往上爬。
这就是放缩在生活中的应用呀！还有啊，我们和人相处不也是这样嘛。
有些人一开始接触感觉好难相处，好像浑身是刺。
但咱可以试着把他缩小来看呀，从一些小细节入手，慢慢去了解他，也许就会发现他其实也有很可爱的一面呢。
放缩也不是随便乱用的哦，就像你不能把蛋糕缩得太小，都看不到样子了，那还有啥意义呢。
得把握好那个度，不能过度放缩，不然就会失去原来的味道啦。
咱平时解决问题也是呀，放缩得恰到好处，才能既简单又准确地找到答案。
不然放缩过头了，答案都变样啦，那不就白忙活啦。
总之呢，放缩这玩意儿就像我们生活里的一个小助手，能帮我们把复杂的事情变简单，把困难的目标变容易。
咱可得好好利用它，让我们的生活变得更加轻松、有趣。
你们说是不是呀？放缩就是这么神奇，这么好用，大家可别小瞧它哟！。
根号的放缩方法
根号的放缩方法
根号的放缩方法即用数学方法把根号改写为其他形式以便于计算或比较大小。
下面介绍三种根号的放缩方法：
1. 整式放缩法
当根号中的被开方式为一个整式时，可以利用完全平方公式对根号进行化简。
例如：
$$\sqrt{16x^2+25y^2}=\sqrt{(4x)^2+(5y)^2}$$再利用勾股定理即可得到：$$\sqrt{16x^2+25y^2}= \sqrt{(4x)^2+(5y)^2}=
\sqrt{(4x)^2}+\sqrt{(5y)^2}= 4x+5y$$
2. 有理化分母法
当根号中的被开方式为分式时，可以运用有理化分母法化简根号。
例如：$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$然后再根据需要进行化简。
3. 拆分因式法
当根号中的被开方式可以被拆分为两个因式相乘时，可以利用乘法分配律对根号进行化简。
例如：$$\sqrt{12}=\sqrt{3\times
4}=\sqrt{3}\times\sqrt{4}=2\sqrt{3}$$
通过这些根号放缩的方法，我们可以更加方便地进行数学计算，简化数学推导的过程。
根号的放缩方法
根号的放缩方法
根号是数学中常见的符号，代表着数的平方根。
在数学中，我们经常需要对根号进行一些放缩操作，以便更好地处理问题。
一种常见的放缩方法是使用三角不等式。
对于任意实数a和b，我们有：
√(a+b) ≤√a + √b
这个不等式非常有用，因为它可以帮助我们处理根号中的和。
例如，如果我们想要计算√(x+y)，其中x和y都是正实数，我们可以使用三角不等式：
√(x+y) ≤√x + √y
因此，我们可以得出结论，√(x+y)的值不会超过√x + √y。
这个结论对于求根号中的和非常有用。
另一种常见的放缩方法是使用分子分母的有理化。
如果我们有一个形如√(a+b)/(c+d)的表达式，我们可以将其有理化为一个更方便处理的形式。
具体来说，我们可以将分子和分母都乘以√(c+d)，然后化简得到：
√(a+b)/(c+d) = √(a+b)×√(c+d)/(c+d)
这个放缩方法通常用于简化根号中的分数。
除了上述方法，我们还可以使用其他一些放缩方法，例如夹逼定理和柯西不等式等。
这些方法可以帮助我们更好地处理根号中的表达式，从而简化问题的求解过程。
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高等（泰勒、定积分）放缩这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。
一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是：(2)()20000000()()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '=+-+-++-特别的，取00x =，我们有(2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!!n nf f f f x f x x x n '=++++下面列举常见的泰勒展开式：()()()()21213521...1!2!!1sin ...3!5!21!nxn n n n x x x e o x n x x x x x o x n --=+++++-=-++++- ()()()224211cos 1...2!4!2!nn n x x x x o x n +-=-++++ ()()()()35512312tan 31511ln 1...123nn n x x x x o x x x x x x o x n+=++++=-+++-+ ()211...1n n x x x o x x=+++++- 上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln 等）转化为一元多项式，便于导数求解。
定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2()f x x =的图像与x 轴从1到3围成的图形的面积（如下图）阴影部分的面积S 3233331111180313333x dx x ===⨯-⨯=⎰。
积分的运算就相当于导数的逆运算，322311,33x x x x 求导就是的原函数就是，所以放缩中就会利用构造图形比较面积大小来出题，这时它的背景就是定积分，著名的2003年江苏高考压轴题就是典型的例子，后面会有介绍。
二 相关不等式相关不等式其实也就是泰勒的产物，这里单独拎出来是有目的的，这是因为下面所涉及的不等式是高考中极为常见的，现在整理出来望读者熟记。
“数学分析基本不等式”： 对0,ln(1)1xx x x x∀><+<+有不等式① 这条不等式非常常见，一般较为基本的高考题都以它作为命题背景。
将1x t +整体换成，则有下面非常有用的不等式： 111lnt 1t t>-<<-当t 时， ② 进一步，我们将①的右边加强，可得 0x ∀>，ln(1)x +<③不等式③用导数证明很容易，此处不再赘述。
我们若再继续探索，又可会发现，还可以对①的两边加强，有<=，222002121(2)(1)x x x x x x x x x x x >⇔->⇔>++++++，所以有不等式：20,ln(1)2x x x x ∀><+<+ ④ 同样，不等式④用导数证也很容易，请读者自己一试。
例1 （2012江苏高考填空压轴）,,534,ln ln ,ba b c c a b c a c b a c c a-≤≤-≥+已知正数满足：则的取值范围是_解答 由45c 3)545(4)7ba b b c a a-+≤+-⇒≤（ln ln ln ln 1(b b a a aa c c c c =-≥-≥≤再由即lnx x-1)故 [,7]be a∈点评：熟悉背景①的同学最多只需1分钟就可以做完，而采用标准答案线性规划的做法起码得花上3、5分钟的时间，所以优势还是很明显的。
例2（2012辽宁高考21题）设()ln(1)f x x ax b =++++，曲线()y f x =与直线32y x =在（0,0）处相切 （1） 求,a b 的值（2） 证明：当02x <<时，9()6xf x x <+ 解答：第一问很简单，易得0,1a b ==-。
重点我们落在第二问，看到第二问，一个很朴素的想法就是构造函数9()()6xg x f x x =-+，证明()g x 在区间（0,2）中恒小于0，但是这样做的话会得到()g x '=，接下来又要对分子换元再求导，甚是麻烦，也不一定能做下去，而当年提供的两种标准答案都涉及均值不等式的构造，甚是巧妙，但在紧张的考场上未必能想到。
这时我们若熟悉不等式①，则就可以把ln 去掉，尝试放缩建立新的加强的不等式，如下：9ln(1)10692ln 106xx x xx ++-<+⇔-<+下一步尝试把根号拿去，91)106xx +--<+（利用不等式①）316xx ⇔<+令t =t ∈，最后就交给二次函数了，事实上也证明结果是对的，读者可自行验证。
例3. 求证：()111121123n n++++>+-()1,n n N >∈.解析: 考虑函数()1f x x=在区间[],1i i +()1,2,3,,i n =上的定积分.如图，显然11111i idx i i x +=⋅>⎰-（矩形面积大于曲线所围面积）对i 求和，11111nn i ii i dx i x+==>∑∑⎰111n dx x +=⎰ 112n x +⎡⎤=⎣⎦()211n =+-.例4 （2003江苏高考压轴题）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线C ：2x y =，C 上的点1Q 的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点()1n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点1n Q +.()1,2,,n Q n n =的横坐标构成数列{}n a .（Ⅰ）试求1n a +与n a 的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(；（Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++--<∑. 解析:（l ）121()n n a a a a-=（取对数递推型数列，过程略）.证明（II ）：由1a=知21n n a a +=，∵112a ≤，∴2311,416aa ≤≤. 所以这个数列是一个递减数列，结论中又有1()k k a a +-，显然提示我们累加。
∵当1k≥时，23116k a a +≤≤， ∴1211111111()()()161632nn k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤-=-<∑∑. 证明（Ⅲ）：由1a =知21k k a a +=∴1211()3nk k k k a a a ++--<∑21111()3nkk k k aa a ++-⇔-<∑ 下面我们先证明一个引理：2111()3k k k a a a ++-<331()k k a a +- 引理的证明：由21k k a a +=，上式可转化为56361133k k k k a a a a -<- ①由于101a <<，所以数列{}n a 是单调递减数列，切对于任意正整数n,都有01n a << 所以令k a =(0,1)x ∈，构造函数36563561112(),()+3333f x x x x x f x x x x =--+=-即 3451()(1)(2)3f x x x x x =-+-变形得显然()0f x >，所以①式成立，即引理得证！所以2333111111111()()333nn kk k k k k k aa aa a a +++-=-<-<<∑∑ 点评：很多同学都感到那个引理巧妙无比，都会纳闷这个引理是怎么得出来的，题目中又没给什么信息。
其实原理就是我讲过的定积分，题目不是给了一张图吗？！这就是最有利的条件，再想想定积分是什么，不就是图形面积吗，21211()()k k k k k k a a a a a a ++++-=-恰表示阴影部分面积，而阴影面积是小于2x y =与x 轴围成的面积的，所以显然有12211()kk a k k k a a a ax dx +++-<⎰，进一步即得2121111()()nnkk k k k k k k aa a a a a ++++---=-∑∑121kk na a k x dx +-<∑⎰120a x dx <⎰311133a =<，所以引理跟定积分如出一辙，只是换了一种初等的表述方法罢了。
例5 设数列{}n n a 的前n 项和为S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，试求解如下问题：（1）n a 的通项公式 （2）证明：231231111(1)(1)(1)......(1)n ne a a a a -++++> 解答：（1）首先把首项求出来，易知112a =1n n n a S S -=-，再把1n S -代入方程20n n x a x a --=中，易得1210n n n S S S --+= 1(1)(1)0n n n S S S -⇔---= 111(1)(1)1n n n n S S S S --⇔-=--+- 111111n n S S -⇔=+-- 1n nS n ∴=+，进一步得1(1)n a n n =+（2）先进行化简工作，231231111(1)(1)(1)......(1)n ne a a a a -++++>23(112)(123)......[1n(n 1)]e n -⇔+⨯+⨯++>下面是套路，取个对数ln ，得1ln[1(1)]2n 3nk k k =++>-∑此时我们想到上面介绍的不等式20,ln(1)2x x x x ∀><+<+ 2(1)ln[1(1)](1)2k k k k k k +++>++所以顺势想下去得到112(1)ln[1(1)](1)2nnk k k k k k k k ==+++>++∑∑14(2)(1)2nk k k ==-++∑ 14(2)(1)nk k k =>-+∑11124()1nk n k k ==--+∑24n >- 这时我们发现放缩得有一咪咪过头，那么再想想前面讲的保留开头几项再放缩，立马我们改正为如下： 112(1)ln[1(1)](1)2nnk k k k k k k k ==+++>++∑∑14(2)(1)2nk k k ==-++∑ 2442n 1(11)2(1)2nk k k ==--⨯++++∑2112n 14()1nk kk =>---+∑23n >-综上，原题圆满解决！断开分组放缩有些数列不等式切入口很小，一不小心就放缩得过大，而且很难对整串数列统一放缩，这时我们就要将数列分成若干段，对每段用不同的方法进行放缩逼近，最后再结合起来进行证明，这种方法技巧性非常强，需要根据每段的具体情况选取最适合它的放缩幅度最小的手段来放缩，下面就看几个例子。