线性代数向量空间自测题(附答案)
空间向量及其线性运算练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）①||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a④22=a b b aA ．4B ．3C ．2D ．12.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ）A ．1122EF AB CD =+ B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．1122EF AB CD =--4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ）A ．12x =-，12y = B ．12x =，12y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，12y =6．（2015 四川校级模拟） 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)+0,|AB |sin B ||sin AB ACOP OA AC Cλλ=+∈+∞（），则点P 的轨迹一定通过ΔABC 的（ ）A. 外心B.内心C. 重心D.垂心7．已知空间向量A ，B ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
线性代数作业及参考答案
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
线性空间测试题及答案
线性空间测试题及答案一、选择题1. 线性空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有选项都正确2. 以下哪个不是线性空间的定义条件？A. 向量加法的封闭性B. 标量乘法的封闭性C. 存在零向量D. 向量加法的逆元存在二、填空题1. 线性空间中的向量加法满足_________，即对于任意向量u, v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得u + w = v。
2. 线性空间中的标量乘法满足_________，即对于任意向量v ∈ V和标量a, b，有(a + b)v = av + bv。
三、简答题1. 请简述线性空间的定义。
2. 线性空间中的向量加法和标量乘法需要满足哪些条件？四、计算题1. 给定线性空间V中的向量u = (1, 2)和v = (3, 4)，计算u + v。
2. 若标量a = 2，计算2u。
五、证明题1. 证明线性空间中的向量加法满足结合律。
2. 证明线性空间中的标量乘法满足分配律。
答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：D二、填空题1. 答案：逆元存在2. 答案：分配律三、简答题1. 答案：线性空间是一个集合V，配合两个二元运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件：向量加法的封闭性、结合律、存在零向量、向量加法的逆元存在，以及标量乘法的封闭性、分配律、结合律。
2. 答案：向量加法需要满足封闭性、结合律、存在零向量、逆元存在，而标量乘法需要满足封闭性、分配律、结合律。
四、计算题1. 答案：u + v = (1+3, 2+4) = (4, 6)2. 答案：2u = 2 * (1, 2) = (2, 4)五、证明题1. 证明：设u, v, w ∈ V，则(u + v) + w = u + (v + w)，由向量加法的结合律得证。
2. 证明：设u ∈ V，a, b为标量，则a(bu) = (ab)u，由标量乘法的分配律得证。
线性代数自测习题及答案
自测复习题21填空题 （1） 向量组[][][]1232,2,7,3,1,2,1,5,12a a a T T T ==-=线性 关。
（2） 4维向量组[]11,4,0,2a T =-，[]25,11,3,0a T =-，[]33,2,4,1a T =--，[]42,9,5,0a T =--， []50,3,1,4a T=-的秩是 ，且一个极大无关组为 。
的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4a a a a a a - 。
=⨯m A A n m 则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35 ，m n 。
（6）已知秩为3的向量组1234,,,a a a a 可由向量组123,,βββ线性表示，则向量组123,,βββ必线性 。
（7）设20,,k k βT ⎡⎤=⎣⎦能由[]11,1,1a k T =+，[]21,1,1a k T =+，[]31,1,1a k T =+唯一线性表出，则k 满足 。
（8）设A 为4阶方阵，且()2r A =，则*0A x =的基础解系所含解向量的个数为 。
2选择题（1）设向量组()I 123,,a a a ；1234(),,,a a a a II ；1235(),,,a a a a III ；()V I 12345,,,a a a a a +，且()()3r r I =II =，()4,r III =则()r V I =（ ）。
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5（2）设向量β可由向量组12,,....m a a a 线性表示，但不能由向量组121(),,....m a a a -I 线性表示，若向量组121(),,...,m a a a β-II ，则m a （ ）。
（A ）既不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示（B ）不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示（C ）可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示（D ）可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示（3）n 维向量组12,,.....(3)s a a a s n ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
空间向量的习题及答案
空间向量的习题及答案空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。
本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案解析。
1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积和向量积。
解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。
向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。
2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。
其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。
计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2+ 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4)= √29。
代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。
3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、差和模长。
解析：向量a与向量b的和为：a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
向量a与向量b的差为：a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数第一章习题答案
线性代数第一章习题答案习题1：向量空间的定义向量空间是一个集合V，配合两个运算：向量加法和标量乘法，满足以下公理：1. 向量加法的封闭性：对于任意的u, v ∈ V，有u + v ∈ V。
2. 向量加法的结合律：对于任意的u, v, w ∈ V，有(u + v) + w = u + (v + w)。
3. 向量加法的交换律：对于任意的u, v ∈ V，有u + v = v + u。
4. 存在零向量：存在一个向量0 ∈ V，使得对于任意的v ∈ V，有v + 0 = v。
5. 每个向量都有一个加法逆元：对于任意的v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得v + w = 0。
6. 标量乘法的封闭性：对于任意的实数k和向量v ∈ V，有k * v∈ V。
7. 标量乘法的结合律：对于任意的实数k, l和向量v ∈ V，有(k * l) * v = k * (l * v)。
8. 标量乘法与向量加法的分配律：对于任意的实数k和向量u, v ∈ V，有k * (u + v) = k * u + k * v。
9. 单位标量乘法：对于任意的向量v ∈ V，有1 * v = v。
习题2：线性组合与线性无关线性组合是指由向量空间中的向量，通过加法和标量乘法组合而成的向量。
如果一组向量\{v_1, v_2, ..., v_n\}的任何非平凡线性组合（即不是所有标量系数都是零的组合）都不能得到零向量，那么这组向量就是线性无关的。
习题3：基与维数基是向量空间中的一组线性无关的向量，任何该空间中的向量都可以唯一地表示为这组向量的线性组合。
向量空间的维数是其基中向量的数量。
习题4：线性映射的定义与性质线性映射是一个函数T: V → W，它将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，并且满足以下性质：1. 对于任意的u, v ∈ V，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
2. 对于任意的实数k和向量v ∈ V，有T(k * v) = k * T(v)。
数学人教B选修21自我小测：3空间向量的线性运算 含解析
自我小测1．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD→等于( )A.32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG →2．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( )A ．AO →＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) B ．AO →＝13AC 1→ C ．BO →＝12(B A →＋BC →＋BD 1→) D ．BO →＝14(AC 1→＋BD 1→) 3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM→＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝0 5．设点M 是BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM→|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．16．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________.7．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝__________. 8.在平行六面体ABCD - EFGH 中，AG →＝xAC →＋yAF →＋zAH →，则x ＋y ＋z ＝__________.9．在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，求证：AB →＋CB →＋AD →＋CD →＝4EF →.10．已知ABCD - A ′B ′C ′D ′是平行六面体，AA ′的中点为E ，点F 为D ′C ′上一点，且D ′F ＝23D ′C ′. (1)化简：12AA ′→＋BC →＋23AB →； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．参考答案1．解析：MG →－A B →＋AD →＝MG →＋B D →＝MG →＋2MG →＝3MG →.答案：B2．解析：AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→.故选A.答案：A3．解析：MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . ∴应选B.答案：B4．解析：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴BC →－BP →＋BA →－BP →＝0，即PC →＋P A →＝0.答案：C 5．解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|＝4，又M 为BC 的中点，所以|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2. 答案：C6．答案：07．答案：56a ＋92b －76c 8．解析：因为AG →＝AB →＋AD →＋AE →，所以AG →＝AB →＋AD →＋AE →＝x (AB →＋AD →)＋y (AB →＋AE →)＋z (AE →＋AD →)，所以AG →＝(x ＋y )AB →＋(x ＋z )AD →＋(y ＋z )AE →，所以x ＋y ＝x ＋z ＝y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z ＝32.答案：329．证明：左边＝(AB →＋AD →)＋(CB →＋CD →)＝2AF →＋2CF →＝2(AF →＋CF →)＝4EF →＝右边，得证．10．解：(1)由AA ′的中点为E ，得12AA ′→＝EA ′→， 又BC →＝A ′D ′→，D ′F ＝23D ′C ′， 因此23AB →＝23D ′C ′→＝D ′F →. 从而12AA ′→＋BC →＋23AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， 因此α＝12，β＝14，γ＝34.。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中的基是一组向量，以下哪个不是基的性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 张成整个空间D. 可以是空间中的任意向量2. 矩阵A和矩阵B相乘，结果矩阵的行列式等于：A. A的行列式乘以B的行列式B. B的行列式乘以A的行列式C. 两个矩阵的行列式之和D. 无法确定3. 对于线性变换，以下哪个说法是错误的？A. 线性变换保持向量的加法运算B. 线性变换保持标量的乘法C. 线性变换保持向量的长度D. 线性变换保持向量的点积4. 一个矩阵的特征值是指：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的行列式C. 使得矩阵的某个特征向量不为零的标量D. 矩阵的迹5. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵6. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大的线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数或列数7. 线性方程组的解集可以是：A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 无限多个解8. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵的对角线元素之和D. 矩阵的转置矩阵9. 向量空间的维数是指：A. 空间中向量的个数B. 空间中基的向量个数C. 空间中任意向量的个数D. 空间中线性无关向量的最大个数10. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后为任意向量的集合D. 变换后为非零向量的集合二、简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
2. 描述如何计算矩阵的特征值和特征向量。
3. 解释什么是正交矩阵，并给出正交矩阵的一个性质。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定矩阵A = \[\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
(完整版)空间向量小题(答案)
第3章(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,2y,3)，b ＝(1,1,6)，且a ∥b ，则x ＋y 等于( ) A.12 B.34 C.32D ．2解析： ∵a ∥b ，∴x ＝2y ＝36，∴x ＝12，y ＝14.∴x ＋y ＝34.答案： B2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2 解析： a ＋λb ＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)， 因为(a ＋λb )·a ＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1) ＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0， 所以λ＝－2. 答案： D3．若向量(1,0，z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25，则z 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解析： 由题知1，0，z ·2，1，01＋z 2·5＝25，21＋z 2·5＝25，1＝1＋z 2，∴z ＝0. 答案： A4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1－e 2，d ＝3e 1＋2e 2＋e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A.52，32，－1 B.52，12，1 C ．－52，12，1D.52，－12，1 解析： d ＝x a ＋y b ＋z c ＝x (e 1＋e 2＋e 3)＋y (e 1－e 2－e 3) ＋z (e 1－e 2)．∴{ x ＋y ＋z ＝3，x －y －z ＝2，x －y ＝1，∴⎩⎨⎧x ＝52，y ＝32，z ＝－1答案： A5．若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析： ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ， ∴l ⊥α，故选B. 答案： B6．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zC ′C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23 解析： 如图，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋BC →－C ′C →，所以x ＝1,2y ＝1,3z ＝－1， 所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案： B7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析： 以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)．∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)．∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →||CD 1→|＝32×5＝31010.故选C.答案： C8．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)， ∴{ －5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ， 则sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝727＝12，∴θ＝30°.故选C.答案： C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.13 C.32D.33解析：以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．又可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD ，又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13.故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.23D.55解析： 因为A 1B 1∥EF ，G 在A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 的距离即为A 1到平面D 1EF 的距离， 即是A 1到D 1E 的距离，D 1E ＝52， 由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55.故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 解析： 因为a －2b ＝(8，－5,13)， 所以|a －2b |＝82＋－52＋132＝258.答案：25812．设a ＝(2，－3,1)，b ＝(－1，－2,5)，d ＝(1,2，－7)，c ⊥a ，c ⊥b ，且c ·d ＝10，则c ＝________.解析： 设c ＝(x ，y ，z )，根据题意得{ 2x －3y ＋z ＝0，x －2y ＋5z ＝0，x ＋2y －7z ＝10.解得⎩⎨⎧x ＝6512，y ＝154，z ＝512.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫6512，154，512 13．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是________．解析：以C 为坐标原点，CA 、CB 、CP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A (4,0,0)，B (0,3,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95， 所以AB →＝(－4,3,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，0，95，所以AP →在AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以P 到AB 的距离为d ＝|AP |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案： 3。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题1. 线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及它们之间的关系。
以下哪个选项不是向量空间的基本性质？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元存在性答案：C2. 设A是一个3级方阵，且det(A) = 2，那么det(2A)等于多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C3. 在线性代数中，线性变换可以通过什么来表示？A. 矩阵B. 行列式C. 特征值D. 坐标答案：A4. 特征值和特征向量在描述线性变换时具有重要意义。
一个矩阵的特征值和特征向量分别表示什么？A. 变换后矩阵的行列式，变换前矩阵的行列式B. 变换后矩阵的行列式，变换前向量的方向C. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向D. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向答案：B5. 线性代数中的欧几里得空间是一个完备的度量空间，它满足哪些性质？A. 可数性B. 完备性C. 可加性D. 所有上述性质答案：D二、填空题1. 在线性代数中，若一个向量空间的基包含n个向量，则该向空间的维数为______。
2. 设矩阵A = [a_ij]，其中i表示行索引，j表示列索引。
如果A的逆矩阵存在，则A的行列式det(A)不等于______。
3. 对于一个n级方阵A，若存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，则称λ为A的______，v为对应于λ的______。
三、计算题1. 给定矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的秩。
2. 设线性方程组如下：a_1 + 2a_2 + 3a_3 = 64a_1 + 5a_2 + 6a_3 = 127a_1 + 8a_3 + 9a_3 = 18求该方程组的解。
3. 给定一个3级方阵C，其特征值为1，-2和3，求矩阵C。
四、论述题1. 讨论线性变换在几何上的意义，并给出一个具体的例子来说明其作用。
2. 解释何为线性空间，以及线性空间的同构关系是如何定义的。
(完整版)线性代数第三章向量试题及答案
第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。
分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。
请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。
习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。
一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。
两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。
n 维向量组的线性组合也是n 维向量。
定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。
判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。
反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。
试题：线性代数基础概念：向量与向量空间
1.若向量空间V中任意向量都可以由向量集合{v1,v2,...,v n}线性表示，则该集合称为什么？o A. 基向量集o B. 线性无关集o C. 线性相关集o D. 正交集参考答案: A解析: 基向量集表示向量空间中任何向量都可以由该集合中的向量线性表示，且这些向量本身是线性无关的。
2.在三维空间中，向量a=(1,2,3)与向量b=(2,4,6)的关系是？o A. 正交o B. 平行o C. 相交o D. 既不平行也不正交参考答案: B解析: 向量b是向量a的两倍，意味着它们方向相同，因此平行。
3.向量(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)在任何三维向量空间中构成？o A. 一个子空间o B. 一个线性无关集o C. 一个线性相关集o D. 一个正交补空间参考答案: B解析: 这三个向量是三维空间的标准基向量，它们线性无关。
4.线性空间V的子空间W必须满足的条件不包括？o A. 包含V的零向量o B. 对向量的加法封闭o C. 对向量的数乘封闭o D. 必须包含所有V中的向量参考答案: D解析: 子空间W只需满足自身向量的加法和数乘封闭，以及包含V的零向量，并不一定要包含V中的所有向量。
5.若向量集合{v1,v2,v3}在向量空间V中线性无关，则下列哪项一定为真？o A. 向量v1可以由{v2,v3}线性表示o B. 向量v1,v2,v3形成的矩阵一定是可逆的o C. 向量{v1,v2,v3}的线性组合可以表示V中的任何向量o D. 向量{v1,v2,v3}的线性组合只能表示V中部分向量参考答案: B解析: 若三个向量线性无关，它们构成的矩阵行列式不为零，因此矩阵一定是可逆的。
6.向量(1,2)和(3,4)是否构成ℝ2的一个基？o A. 可以，只要它们线性无关o B. 不能，它们维度不匹配o C. 可以，只要它们的线性组合能表示ℝ2中所有向量o D. 不能，因为它们不够正交参考答案: A解析: 在ℝ2中，两个线性无关的向量就可以构成一个基。
《线性代数》单元自测题
《线性代数》基础习题第一章 行列式一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。
2． 在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。
3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取 。
4．已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为 。
5． 行列式=600300301395200199204100103__ __。
二、 计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。
2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。
3．计算ab b a b a b a D n 000000000000=4．计算nD n 222232222222221=5．计算ab b b b a b bb b a bb b b a D n = 6．计算4443332225432543254325432=D 7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。
第二章 矩阵一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221,则R(A)= 。
2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1--mA = 。
3．=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20092010100001010534432121001010100 。
4．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。
5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()321A A A A =，()32122A A A B =，则*B = 。
线性代数向量空间自测题(附答案)
《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟）一、选择、填空（20分，每小题4分）1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。
（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量；（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。
3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a aa a W ij 22121211，则它的维数为 ，一组基为 。
5．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。
二、计算题（60分）1.（15分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ，向量α=（2，3，3）T（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。
（2）求α关于这两组基的坐标。
（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+（1）证明：321,,βββ是一组基。
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《第四章 向量空间》 自测题 （75
分钟）
一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。
（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；
（B ）R n 中，分量是整数的所有向量；
（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；
（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令
414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，
则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。
3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a a a a W ij 2212
1211，则它的维数为 ，一组基为 。
5．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。
二、计算题（60分）
1.（15分）设R 3的两组基为：
T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T
（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。
（2）求α关于这两组基的坐标。
（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，
⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+01113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x
3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足
3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+
（1）证明：321,,βββ是一组基。
（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。
（3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。
4．（10分）已知A 是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A －E|。
三、证明题（20分）
1. （5分）设0321=++γβαk k k ，且031≠k k 。
证明：),(),(γββαL L =。
2. （5分）设A 为正交矩阵，证明：A *为正交矩阵。
3．（10分）设A 、B 为n 阶正交矩阵，且|A|≠|B|。
证明：A+B 为不可逆矩阵。
参考答案
一、选择、填空
1． A
2． dimW=3，一组基为.,,321βββ
3． dimW=n-2，一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221 ==-=-ααα
4． dimW ＝3，一组基为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,1000,0001。
5． a =21，b =2
1
二、计算题
1．(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121
(2) α关于321,,ααα的坐标是（0，1，1）
α关于321,,βββ的坐标是（1，1，2）
（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121,626161,313131。
2．解空间的维数是2，一组基为T T )1,0,3
7,92(,)0,1,38,91(21-=-=αα。
3．（1）提示：证明321,,βββ与321,,ααα等价，从而r(321,,βββ)=3，线性无关。
（2）基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001211010。
（3）向量α关于基321,,βββ的坐标为(2，-5，1)。
4． ()
()0)1(121=-⇒--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T k T T 。
三、证明题
1. 提示：证明两个向量组等价，即},{},{γββα≅，则生成子空间),(),(γββαL L =。
2. 证明： ()()E AA A A A A A A A A A T T T T ====----11211*)(*。
3．提示：0111=+⇒+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A。