阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题

2ak
2 2
4k 2 1a 2 k 2
1 ak 2 2 a 2k 4 a 2k 4 a 2k 2 2 k 1 k 1
a ak x a 2 2 k 1 k 1
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC
ak 2 ak k2 1
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线
南江石 2018 年 04 月 16 日 2018 年 5 月 8 日 阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 ——点到两定点距离定比。见图 1。 阿氏圆是以定比 m：n（m/n=k）内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。 点点阿氏圆方程，见图 2。
Y
kL
P(x,y)
R
L
X O A
a Xo
C
B
Q
D
图 1 阿氏圆——点到两定点距离定比 根据已知条件列方程：
图 2 点点阿氏圆方程
x 2 y 2 k 2 L2
，
x a 2 y 2 L2
，
x 2 2ax a 2 y 2 L2
k 2 x 2 2ak 2 x a 2 k 2 k 2 y 2 k 2 L2

2

2

2ak 2 2k 1
2
1
2ak
2 2
2 2 4k 2 1 a 2 k 2 R A k 2 R B


x
1 ak 2 2 2 2 2 2 a 2 k 4 a 2 k 4 k 2 RA k 4 RB a 2 k 2 R A k 2 R B 2 k 1 k 1
图 20 题目 4 点圆定比分点
扩展 2：动点 TA 围绕定圆 OA（半径 RA） 运动， 定点 B 与动点 TA 的连线 BTA， 连线 BTA 上有定比分点 P，PTA 长度与 PB 长度之比为定值 k， 则动点 TA 运动时， 定比分点 P 点的运动轨迹是一个圆 OP （半径 RP） ， 且 RA/RP=BTA/BP=1+k， 且 圆 OA 与圆 OP 的两外公切线延伸交点为 P 点。——点圆定比分点。见图 21。
k
2
1 x 2 y 2 2ak 2 x R A a 2 k 2 0
8


2
60
4a
Y TA
RA
P(x,y)
kL
R
L
O OA
a
X C
Xo
图 26 点圆阿氏圆方程
OB
OQ
D
此公式为圆方程式，证明了动点到定点距离与到定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。 令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
2
R1
00 R1
R40
50
A
120
C
B
7 285 .14 7 5 R
R60
14
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
120
C
B
R5
7.
57 28 14
47
14
D
图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比 圆圆阿氏圆方程，见图 9。
图 8 题目 1 题解
Y TA
RA
P(x,y)
kL
L
RB
O OA
9
R50
R
. 95
68
0
84 82
7
R48
120 84
图 27 应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆
图 28 扩展 3 扩展——同心阿氏圆 从前面的点点阿氏圆圆 心公式、圆圆阿氏圆圆心公 式和点圆阿氏圆圆心公式， 可以得知同比例的三个阿氏 圆圆心为同一个点， 圆心的 x 坐标相同：
4 71 85 2 4
5a
47
A
120
C
B
R5
7.
1
2a
D
80
120
图 3 题目 1 点到两点距离定比
图 4 运用方法一内外分点法绘制阿氏圆
绘制阿氏圆的方法二，内分点一对圆法，内分点定比点三点圆法。几何原理，到两定点 距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图 5。
R10
0
.14 R57 7 285 14
2
k
2
1 x 2 y 2 2ak 2 x R A k 2 a 2 R B 0


2

2

此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。 令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k
x
2
1 x 2 2ak 2 x R A k 2 a 2 R B 0
R4 0
图 23 题目 4 题解—— 运用方法八点圆定比分点法解题
7a
0 R5
扩展 3：动点 P 到定圆 OA（半径 RA）作切 线，切点为 TA，动点 P 到切点 TA 的距离 PTA 与 动点 P 到定点 B 的距离 PB 之比为定值 k （PTA/PB =k，k≠1） ，则动点 P 点的运动轨迹是一个圆— —阿氏圆。——点到圆点切距定比。见图 25。
图 15 扩展 1 扩展——同心阿氏圆 从前面的点点阿氏圆圆心公式和圆圆阿氏圆圆心公式， 可以得知两个阿氏圆圆心为同一 个点，圆心的 x 坐标相同：
xQ
ak 2 a a 2 2 k 1 k 1
20
绘制阿氏圆的方法七，同心阿氏圆法。几何原理，扩展 1 扩展。见图 16、图 17、图 18。
a 1 2 2 x a 2 1 k 2 RA k 2 R B a 2 k 2 2 k k 1 1



得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC
ak 2
1 k R
2 2
k 2 R B a 2k 2 k 1
A 2
2
2

xD
6
50
图 17 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 2
R5 14 57 28 14 7.
A
20 60 120
50
C
B
R82 .85
714 286
图 18 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 3 题目 3 见图 19，题目 4 见图 20。
7a 4a
a a
140
0 R7
90
R7
0
图 19 题目 3 点圆定比分点
ak 2
1 k R
k 2 R B a 2k 2 k 1
A 2
2
2

得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
xQ
得到阿氏圆半径：
ak 2 a a 2 2 k 1 k 1
圆圆阿氏圆圆心公式
R
1 2 2 1 k 2 RA k 2 R B a 2 k 2 k 1
2


图 21 扩展 2 点圆定比分点
7
方法八，点圆定比分点法，几何原理见扩展 2 点圆定比分点。见图 21、图 22、图 23。
601707 261.91 7 62954 149.66
101. 7349 4975
101.
4975 7349
5 R3
0 R7
80 90
0 R7
140
图 22 题目 3 题解—— 运用方法八点圆定比分点法解题 题目 5，点到点的距离与点到圆切线的长度 之比为定比。见图 24。
50
0 R6
A
120
C
B
714 285 4 1 . R57 R82 .85 R6 714 0 286
图 16 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 1
6
R7
5.
在绘制阿氏圆的基础上 绘制出题目 2，见图 14
65
71 2
2a
12 8
3a
20
60
A
120
C
B
60
714 285 4 1 . R57 R82 . 85 714 28
，
1
xD
ak 2 ak k2 1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
xQ
得到阿氏圆半径：
ak 2 a a 2 2 k 1 k 1
点点阿氏圆圆心公式
R
ak k 1
2
题目 1 图见图 3。 绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题，首先要绘制出阿氏圆。 绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。几何原理，阿氏圆是内外 两个分点连线为直径的圆。见图 4。
a 2k 2
k2 1 ak 2 a a 2 2 k 1 k 1
xQ
得到阿氏圆半径：
点圆阿氏圆圆心公式
R
1 2 1 k 2 RA a 2 k 2 k 1
2


绘制阿氏圆的方法九，点切距定比法，点到圆点切距定比法。几何原理，扩展 3，见图 27。 扩展 3 扩展：动点 Pp 到两定点 A、B 的距离之比为定值 kp，动点 Pt 到定圆 OA（同 A 点）切线长度与到定点 B 的距离之比 kt，两比值相等（kp=kt≠1）时，两点 Pp、Pt 运动轨 迹的阿氏圆是两个同心圆。见图 28。

题目 2，点到两圆切线定比，见图 10。 绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三 公切线定比分点法。几何原理，到两定圆切 线长度为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 11。
40
3a
2a
5 R1
R2 0
60
图 10 题目 2 点到两圆切线定比
4
绘制阿氏圆的方法五， 定比切线点一对圆法，公切 线定比分点定比切线点三点 圆法。几何原理，到两定圆 切线长度为定比的点在阿氏 圆上，三点定圆。见图 12。 绘制阿氏圆的方法六， 定比切线点两对圆法，定比 切线点三点圆法。几何原理， 到两定圆切线长度为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 13。
a 1 2 x a 2 1 k 2 RA a 2 k 2 2 k 1 k 1


得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC
ak 2
1 k R
2
2 A
a 2k 2
k2 1 ak 2
xD
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
1 k R
2
2 A
120
图 24 题目 5——点到圆点切距定比
图 25 扩展 3——点到圆点切距定比 点圆阿氏圆方程，见图 26。 根据已知条件列方程：
x 2 y 2 R A k 2 L2
2
，
x a 2 y 2 L2
x 2 2ax a 2 y 2 L2 k 2 x 2 2ak 2 x a 2 k 2 k 2 y 2 k 2 L2
R1
5
R7 5. 65 71 21 28 0 2 R
60
图 11 运用方法四三公切线法绘制阿氏圆
65 5. R7 2 21 71
45
R
15
R2
0
8
60
图 12 运用方法五定比切线点一对圆法绘制阿氏圆
30
R1 5
R2 0
60 60
40
图 13 运用方法六定比切线点两对圆法绘制阿氏圆
5
R7 5. 65 71 21 28
k
2
1 x 2 y 2 2ak 2 x a 2 k 2 0


此公式为圆方程式，证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。 令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k
x
1
2
2
1 x 2 2ak 2 x a 2 k 2 0

2ak 2 2k 1 x
45
30
40
R2 0
R15
60
图 14 题目 2 题解 扩展 1 扩展：动 点 Pp 到两定点 A、B 的距离之比为定值 kp， 动点 Pt 到两定圆 OA （同 A 点） 、 OB （同 B 点） 切线的长 度之比 kt，两比值相 等（kp=kt ≠1）时， 两点 Pp、 Pt 运动轨迹 的阿氏圆是两个同 心圆。见图 15。
R40
A
120
C
B
图 5 运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆 绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。 在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。 阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA） 、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P 的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
k
x 1
2
2
1 x 2 2ak 2 x R A a 2 k 2 0

2
2ak 2 2k 1
2ak
2 2
2 4k 2 1 a 2 k 2 R A


x
ak 2 1 2 2 2 a 2 k 4 a 2 k 4 k 2 RA a 2 k 2 R A 2 k 1 k 1
a
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R
X D
C
Xo
OB
图 9 圆圆阿氏圆方程
3
根据已知条件列方程：
x 2 y 2 R A k 2 L2
2
，
x a 2 y 2 RB 2 L2
2
x 2 2ax a 2 y 2 RB L2 k 2 x 2 2ak 2 x a 2 k 2 k 2 y 2 k 2 RB k 2 L2