《几何证明选讲》习题附答案
几何证明选讲(教师版)
BCDO AP1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD=.2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________答案43．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。
解：依题意，BC =，∴AC =5，2AD =.AB AC =15，∴AD =154．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=, 在△POD中由余弦定理，得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与ADAD=DC ，则sin ∠ACO=_________解：由条件不难得ABC ∆为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =，OC =sin BCO ∠==，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=10106．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ，TEAD= ．；7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23；8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝ ．解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =，22237cos 22cos 12121525OD OC θθ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。
高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案）一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1 ）两角对应相等，两三角形相似；（2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3 ）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2 ）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
高考数学二轮专名师讲义：第25讲-几何证明选讲(含答案)
专题九高考数学附带选做题训练第 25 讲几何证明选讲江苏高考理科数学对理科选修附带部分知识的考察只需求认识与理解两个层次(在下表中分别用 A 、B 、 C 表示 )．几何证明是选做题之一，考试中属于简单题．A( 认识 )：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决有关的简单问题．B(理解 )：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有必定综合性的问题．考试说明：序号内容要求A BC1相像三角形的判断与性质定理√2射影定理√3圆的切线的判断与性质定理√4圆周角定理，弦切角定理√5订交弦定理、割线定理、切割线定理√6圆内接四边形的判断与性质定理√例 1 锐角三角形ABC内接于圆O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接 EC，求∠ OEC.解：连接OC.∵ ∠ ABC ＝ 60°，∠ BAC ＝40°，∴∠ ACB＝80° .︵∵ OE⊥ AB ，∴ E 为 AB 的中点，︵︵∴BE和 BC 的度数均为 80° .∴∠ EOC＝80°＋ 80°＝ 160° .∴ ∠ OEC＝ 10° .1如图，圆O 的两条弦AC 、 BD 相互垂直， OE⊥ AB ，垂足为点 E.求证： OE＝2CD.证明：作直径AF ，连接 BF 、CF，则∠ ABF ＝∠ ACF ＝ 90°.1又 OE ⊥AB ， O 为 AF 的中点，则 OE ＝2BF. ∵ AC ⊥BD ，∴ ∠DBC ＋∠ ACB ＝90°.又 AF 为直径，∠ BAF ＋∠ BFA ＝ 90°，∠ AFB ＝∠ ACB ， ∴ ∠ DBC ＝∠ BAF ，即有 CD ＝ BF.1进而得 OE ＝ 2CD.︵ ︵例 2如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过 C 点的圆的切线与BA 的延伸线交于E 点．证明：(1) ∠ ACE ＝∠ BCD ；(2) BC 2＝ BE ·CD.︵ ︵证明： (1) 由于 AC ＝BD ，所以∠ ABC ＝∠ BCD. 由于 EC 与圆相切于点 C ，故∠ ACE ＝∠ ABC ， 所以∠ ACE ＝∠ BCD.(2) 由于∠ ECB ＝∠ CDB ，∠ EBC ＝∠ BCD ， 所以 △ BDC ∽△ ECB ，故 BC ＝CD，即 BC 2＝ BE ·CD.BE BC如图， D 、 E 分别为 △ABC 边 AB 、AC 的中点，直线 DE 交 △ABC 的外接圆于 F 、 G 两点．若 CF ∥AB. 证明：(1) CD ＝BC ；(2) △ BCD ∽△ GBD.证明： (1) 如图，由于 D 、 E 分别为 AB 、AC 的中点，所以 DE ∥ BC.又 CF ∥AB ，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF ＝ BD ＝ AD.而 CF ∥AD ，连接 AF ，所以四边形 ADCF 是平行四边形，故 CD ＝ AF. 由于 CF ∥ AB ，所以 BC ＝ AF ，故 CD ＝BC.(2) 由于 FG ∥BC ，故 GB ＝CF.由(1) 可知 BD ＝ CF ，所以 GB ＝ BD.所以∠ BGD ＝∠ BDG.由 BC ＝CD 知，∠ CBD ＝∠ CDB. 又∠ DGB ＝∠ EFC ＝∠ DBC ， 故△ BCD ∽△ GBD.例 3 如图， AB 是圆 O 的直径， C 、F 是圆 O 上的两点， OC ⊥AB ，过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 的延伸线于点 D. 连接 CF 交 AB 于点 E.求证： DE 2＝ DB ·DA.证明：连接 OF ，由于 DF 切圆 O 于 F ，所以∠ OFD ＝ 90°，所以∠ OFC ＋∠ CFD ＝ 90°.由于 OC ＝ OF ，所以∠ OCF ＝∠ OFC.又 CO ⊥ AB 于 O ，所以∠ OCF ＋∠ CEO ＝90°，所以∠ CFD ＝∠ CEO ＝∠ DEF ，所以 DF ＝ DE. 又 DF 是圆 O 的切线，所以 DF 2＝ DB ·DA ， 即 DE 2＝ DB ·DA.如图，在 △ABC 中，已知 CM 是∠ ACB 的均分线，△ AMC 的外接圆交 BC 于点 N ，且 BN ＝ 2AM. 求证： AB ＝ 2AC.证明：在 △ABC 中，由于 CM 是∠ ACB 的均分线，所以AC ＝AM. ① BC BM由于 BA 与 BC 是圆 O 过同一点B 的割线，所以 BM ·BA ＝ BN ·BC ，即 BABC ＝ BM BN.又 BN ＝ 2AM ，所以BA ＝2AM.②BC BM由①②，得 AB ＝ 2AC.例 4 如图，四边形 ABCD 中，AB 、DC 的延伸线交于点 E ，AD 、BC∠ AED 、∠ AFB 的角均分线交于点 M ，且 EM ⊥ FM. 求证：四边形 ABCD的延伸线交于点内接于圆．F ，证明：连接 EF ，由于 EM 是∠ AEC 的角均分线， 所以∠ FEC ＋∠ FEA ＝ 2∠FEM. 同理，∠ EFC ＋∠ EFA ＝ 2∠ EFM.而∠ BCD ＋∠ BAD ＝∠ ECF ＋∠ BAD＝ (180°－∠ FEC －∠ EFC) ＋ (180°－∠ FEA －∠ EFA)＝ 360°－ 2(∠ FEM ＋∠ EFM)＝ 360°－ 2(180°－∠ EMF) ＝ 2∠ EMF ＝ 180°，即∠ BCD 与∠ BAD 互补．所以四边形ABCD 内接于圆．如图，已知 AP 是圆 O 的切线， P 为切点， AC 是圆 O 的割线，与圆 O 交于 B、 C 两点，圆心O 在∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．(1)证明： A 、P、 O、 M 四点共圆；(2)求∠ OAM ＋∠ APM 的大小．(1)证明：连接 OP、 OM ，由于 AP 与圆 O 相切于点P，所以 OP⊥ AP.由于 M 是圆 O 的弦 BC 的中点，所以OM ⊥ BC.于是∠ OPA＋∠ OMA ＝ 180°，由圆心 O 在∠ PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A 、 P、 O、 M 四点共圆．(2)解：由 (1) 得 A 、P、 O、 M 四点共圆，所以∠ OAM ＝∠ OPM. 由 (1) 得 OP⊥ AP.由圆心 O 在∠ PAC 的内部，可知∠ OPM ＋∠ APM ＝ 90°，所以∠ OAM ＋∠ APM ＝ 90° .1.(2013 江·苏卷 )如图， AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、 C， AC 经过圆心 O，且 BC ＝2OC.求证： AC ＝ 2AD.证明：连接OD ，∵AB 、BC 分别与圆O 相切于点 D 、C，∴ ∠ ADO ＝∠ ACB ＝ 90°.∵ ∠ A＝∠ A ，∴Rt△ ADO ∽ Rt△ ACB ，BC AC∴OD＝AD .∵ BC ＝ 2OC＝2OD ，∴ AC ＝2AD. 2. 如图，在四边形 ABCD 中，△ ABC ≌△BAD. 求证： AB ∥ CD.证明：由△ABC ≌△ BAD ，得∠ ACB ＝∠ BDA ，故 A 、B 、 C、 D 四点共圆，进而∠ CAB ＝∠ CDB.再由△ ABC ≌△ BAD ，得∠ CAB ＝∠ DBA.所以∠ DBA ＝∠ CDB ，所以 AB ∥ CD.3.如图， AB 是圆 O 的直径， D 、E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延伸至点 C，使 BD ＝ DC ，连接 AC 、 AE 、 DE.求证：∠ E＝∠ C.证明：连接AD ，∵ AB 是圆 O 的直径，∴ ∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥ BD.∵BD ＝ DC，∴AD 是线段 BC 的中垂线，∴AB ＝ AC，∴∠B＝∠ C.又 D 、E 为圆上位于 AB 异侧的两点，∴ ∠B＝∠ E.∴ ∠ E＝∠ C.(此题还可连接OD，利用三角形中位线来求证∠ B ＝∠ C)4.(2014 江·苏卷 )如图， AB 是圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠ D.证明：由于 B 、 C 是圆 O 上的两点，所以OB ＝ OC.故∠ OCB ＝∠ B.由于 C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故∠ B 、∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠ B＝∠ D.所以∠ OCB＝∠ D.(此题模拟高考评分标准，满分10 分)(2014 ·州期末泰 )如图， AB 是圆 O 的一条直径，C、D 是圆 O 上不一样于 A 、B 的两点，过B 作圆 O 的切线与AD 的延伸线订交于点M ， AD 与 BC 订交于 N 点， BN ＝ BM. 求证：(1)∠ NBD ＝∠ DBM ；(2)AM 是∠ BAC 的角均分线．证明： (1) ∵ AB 是圆 O 的直径，∴∠ADB＝90° .而BN＝BM，∴ △ BNM为等腰三角形BD 为∠ NBM 的角均分线DBC ＝∠ DBM.(5 分 )∠DBM ＝∠ DAB(2) BM 是圆 O 的切线，∠ CBD ＝∠ CAD T DAB ＝∠ DAC T AM 是∠ CAB 的角∠ DBC ＝∠ DBM均分线． (10 分 )已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延伸线上， CA 切圆 O 于 A 点，∠ ACB 的均分线分别交 AE 、AB 于点 F 、 D.(1) 求∠ ADF 的度数；(2) AC的值．若 AB ＝AC ，求 BC解： (1) ∵ AC 为圆 O 的切线， ∴ ∠B ＝∠ EAC.又 DC 是∠ ACB 的均分线， ∴ ∠ACD ＝∠ DCB ，∴ ∠B ＋∠ DCB ＝∠ EAC ＋∠ ACD ，即∠ ADF ＝∠ AFD.又 BE 为圆 O 的直径，∴ ∠ BAE ＝ 90°，1∴ ∠ ADF ＝ (180 °－∠ BAE) ＝ 45°.(2) ∵ ∠B ＝∠ EAC ，∠ ACB ＝∠ ACB ，∴ △ACE ∽△ BCA ，∴ AC ＝ AE .BC AB又 AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ ACB ， ∴ ∠ B ＝∠ ACB ＝∠ EAC.由∠ BAE ＝90°及三角形内角和知∠ B ＝ 30°.AC AE3 ∴ 在 Rt △ ABE 中，＝＝ tanB ＝ tan30 °＝BC AB3 .。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案
高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 ．1．已知三角形的3 条中位线分别为 3cm 、4cm 、 6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ． 3cmB ． 26cmC ． 24cmD ． 65cm2．要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为 20cm ，那么切合条件的三角形框架乙共有 （）．A ．1种B ．2 种C ．3 种D ．4 种3．在 RtABC 中， CD 是斜边上的高线， AC ∶BC=3 ∶ 1，则 SABC ∶ S ACD 为（ ）．A ．4∶3B ．9∶1C ． 10∶ 1D ．10∶94．如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， BF ⊥ CE 于 F ，那么 S △BFC :S 正方形ABCD =（ ）．A ．1：3B ． 1：4C ． 1：5D ．1：65．在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶ 3，CD ⊥ AB 于 D ， AB ＝ a ，则 DB ＝（）aaC ．a D ．3aA ．B ．24436．若梯形的中位线被它的两条对角线三均分，则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是（）．1122A ．2B ． 3C ． 3D ． 57．如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，4以下结论： ① BAE 30AD，② △ABE ∽△ AEF ， ③ AEEF ，④ △ADF ∽△ECF ．此中正确的个数为（ ）FA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4BEC8．直角梯形的一条对角线把梯形分红两个三角形，此中一个是边长为30 的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．以下图，在 △ABC 中， AC=5 ，中线 AD=4 ，则 AB 边的取值范围是（）．A ．1 AB 9B ． 3 AB 13C ． 5AB 13D ． 9AB13D CFAEB10 ABCD中， AE : EB m : n，若AEF的面积等于 a ，则CDF．如图，平行四边形的面积等于（）．m 2 n 2(m n)2D ．( m n)2A ． 2 aB ． 2 aC ．2a 2anmmn11．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ，对角线 AC ⊥BD ，AD且 AC=12 ，BD=9 ，则此梯形的中位线长是（）．A ． 10B ．2115D ． 12BCC ．2212．如图，设 P 为ABC 内一点，且 2 1CAPAB AC，55则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于（ ）． P1B ．2 31A ．5 C ．D ．552AB二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．若两个相像三角形的周长比为3: 4 ，则它们的三角形面积比是 ____________ ．14．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AC ⊥ BA ， AD=DC=5 ，则 BC 的长是 __________ ．15．已知： △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， BE 的延伸线交AC 于点 F ，则AF____________ ．AC16．在 △ABC 中， AB9，AC 6 ，点 M 在 AB 上且 AM 3 ，点 N 在 AC 上，联络 MN ，使△ AMN 与原三角形相像，则 AN ＝ ___________三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ．17．如图，在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点 E ，求证： AE BF 2DE AF ．（ 10 分）CDEA F B18．如图，正方形DEMF内接于△ ABC，若S ADE1， S正方形DEFM 4 ，求 S ABC（12分）AD P EB M Q F C例 2 图19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ均分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直均分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延伸线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD是 Rt△ ABC的斜边AB上的高， E 是BC上随意一点，EF⊥AB于 F．求证：AC 2AD AF CD EF ．（12 分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90 ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ，111AB c ． CD b ，试说明：2b 2h2．（ 12分）aCb h aA c D B22． 如图，在△ ABC 中，BAC90 ， AD 是BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合）， EFAB ，EGAC ，垂足分别为F ，G ．（ 1）求证：EGCG；AD CD（ 2） FD 与 DG 能否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明原因；（ 3）当 AB AC 时， △ FDG 为等腰直角三角形吗？并说明原因． （ 12 分）AFGBD EC答案与分析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13． 9:1614． 101915．16． 2，或3 217．证明：过 D 作 DG // AB ，交 CF 于 G ，∴AEF DEG ， CDG CBF ，AEDE DG CD ∴，BF，AFDGCB ∵ D 为BC 的中点， CD1 CB ，2DG 1 ， DG 1BF ，BF 2 2AE 2DEAE BF 2DE AF ．AF，即 BF18．解：∵正方形的面积为 4，∴ DE ＝ MF ＝ 2,过 A 点作 AQ ⊥BC 于 Q ，交 DE 于 P ，∵SADE1，∴ AP ＝1，∵DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ APDE ，即 1 2 AQBC 3 BC∴BC ＝6，故 S ABC ＝919．证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直均分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ均分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＡＦ＝C Ｆ，ＢＦ ＡＦ∴ＡＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ．20．证明： AC 2 AD AB ,AC 2 AD AFAD (AB AF) AD BF由于 Rt ADCRt EFB ,因此 ADEF ,CDBF则ADBFCD EF ，AC 2 AD AFCD EF ,即 AC 2 AD AF CD EF ．11121．解：等式 a 2b 2 h 2 建立．原因以下：∵ ACB 90 ,CD AB ，C 公共，∴1ab1AB h ， AB 2a 2b 2 ，2 2 ∴ ab c h ，∴ a 2 b 2 c 2 h 2 ，∴ a 2 b 2(a 2 b 2 )h 2 ，∴a 2b 2 (a 2b 2 )h 2，a 2b 2h2a 2b 2 h 2∴1 a 2b 2，h2a 2b2∴11 1．h 2a 2b 222．证明：在四边形AFEG 中，∵ FAG AFEAGE 90 ，∴ 四边形 AFEG 为矩形， ∴ AFEG ，（ 1）易证∴AFAD EG CG ，而 AFEG ，AD CD CG；CD（ 2） △ ABC 为直角三角形， ADBC ，∴ FADC ， 即 △ AFD ∽△CGD ，∴ ADFCDG ，又CDG ADG 90∴ADFADG90，，即FDG 90 ，∴ FD DG ； （ 3）当 ABAC 时， △ FDG 为等腰直角三角形，原因以下：AB AC ，BAC 90 ，∴ AD DC又由于 △ AFD ∽△ CGD∴FD AD1， FD DGGD DC又 FDG 90∴ △FDG ,△ FDG 为等腰直角三角形．。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)
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高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（一）1．如图，已知在△ ABC 中， CD ⊥AB 于 D 点， BC 2＝ BD ·AB ，则∠ ACB ＝______. 分析： 在△ ABC 与△ CBD 中，由 BC 2＝ BD ·AB ，得 BC ＝ AB，且∠ B ＝∠ B ， BD BC因此△ ABC ∽△ CBD.则∠ ACB ＝∠ CDB ＝ 90°. 答案： 90°2．如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D ， AC ＝ 6，DB ＝ 5，则 AD 的长为 ________．分析：在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB ，∴ AC 2＝ AB ·AD.设 AD ＝ x ，则 AB ＝ x ＋ 5，又 AC ＝ 6， ∴ 62＝ x(x ＋ 5)，即 x 2 ＋5x － 36＝0. 解得 x ＝4 或 x ＝－ 9( 舍去 )，∴ AD ＝ 4. 答案： 43．如下图， 已知在△ ABC 中，∠C ＝ 90°，正方形 DEFC 内接于△ ABC ，DE ∥ AC ，EF ∥ BC ，AC ＝1， BC ＝ 2，则 AF ∶ FC 等于 ________．分析： 设正方形边长为 x ，则由△ AFE ∽△ ACB ，AF FE x 1－ x可得 AC ＝ CB ，即 2＝1 ，因此 x ＝2，于是 AF ＝1.3 FC 2 答案： 124．如图， 平行四边形 ABCD 中，AE ∶ EB ＝ 1∶ 2，△ AEF 的面积为 6，则△ ADF的面积为 ________．分析： 由题意可得△ AEF ∽△ CDF ，且相像比为 1∶ 3，由△ AEF 的面积为 6，得△ CDF 的面积为54，由题意易知SADF ∶ S CDF ＝ 1∶ 3，因此 S ADF ＝ 18.△△ △答案： 185．如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ 4 cm ， AC ＝3 cm ， DE ∥ BC 且 DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分，则 DE ＝ ________.分析： ∵∠ BAC ＝ 90°， ∴ BC ＝ 5 cm.设 AD ＝ x cm ，AE ＝ y cm ，则 x ＋ y ＝ 6.①∵ DE ∥ BC ，得 AD＝ AE ，即 x ＝ y.②ABAC43 由①②得 x ＝24，y ＝18，77∴ DE ＝ x 2＋ y 2＝307 cm.30答案：7cm6．在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠ BAC ＝∠ ADC ，AC ＝ 8，BC ＝ 16，则 CD 为 ________．分析： ∵∠ BAC ＝∠ ADC ，∠ C ＝∠ C ，∴△ ABC ∽△ DAC ，22∴BC ＝AC，∴ CD ＝AC＝ 8＝4.ACCDBC 16答案：4和7．如图，已知在梯形 BD 订交于点 P ，ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC(1)若 AP 长为 4，则 PC ＝ ________；(2)△ ABP 和△ CDP 的高的比为 ______． 分析： (1) ∵AB ∥ CD ， ∴△ APB ∽△ CPD ，∴ AP CP ＝ CD AB ，即 CP 4＝ 26，解得 PC ＝12.(2)由 (1) 及△ ABP 和△ CDP 的高的比等于它们的相像比， 得这两个三角形的高的比为1∶3.答案：(1)12(2)1∶ 38． (2010 ·东卷广 )如图，在直角梯形 ABCD 中， DC ∥AB ， CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝ a ， CD＝ a，点 E ， F 分别为线段 AB ，AD 的中点，则 EF ＝ ________. 2分析：连结 DE ，因为 E 是 AB 的中点，故 a BE ＝ .2又 CD ＝a， AB ∥ DC ， CB ⊥ AB ，∴四边形 EBCD 是矩形．2在 Rt △ADE 中， AD ＝a ， F 是 AD 的中点，故 EF ＝a.2【答案】a2AE 29．如图，已知 AD ∥EG ∥ BC ， AD ＝ 6，BC ＝ 9， AB ＝ 3，则 GF 的长为 ________．分析： ∵ AD ∥ EG ∥BC ，EG AE EF BE∴BC＝AB ， AD ＝BA.∵ AE＝2，∴BE＝1，EF 1 EG 2∴ AD ＝ 3， BC ＝ 3. 又∵ AD ＝ 6， BC ＝ 9， ∴ EF ＝ 2， EG ＝ 6， ∴ GF ＝ EG －EF ＝4.答案： 410．如图，在直角梯形AB ＝ 6，在 AB 上选用一点ABCD P ，使△中，上底 AD ＝ 3，下底 BC ＝ 3 3，与两底垂直的腰和△PBC 相像，这样的点 P 有 ________个． PAD分析： 设 AP ＝ x ，AD AP(1)若△ ADP ∽△ BPC ，则 BP ＝ BC ，即 3 ＝ x，因此 x 2－ 6x ＋ 9＝ 0，解得 x ＝ 3. 6－ x 3 3(2)若△ ADP ∽△ BCP ，则AD＝ AP， BC BP即 3 ＝x ，解得 x ＝3， 3 3 6－ x 2因此切合条件的点 P 有两个． 答案： 两11．如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F. 求证： AE ·AB ＝ AF ·AC . 证明： ∵AD ⊥BC ，∴△ ADB 为直角三角形，又∵ DE ⊥ AB ，由射影定理知，AD 2＝ AE ·AB.同理可得 AD 2＝ AF ·AC ，∴ AE ·AB ＝ AF ·AC .12．如下图，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点E.求证： AE ·BF ＝ 2DE ·AF.证明： 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M ，交 FC 于点 N. 在△ BCF 中， D 是 BC 的中点， DN ∥ BF ，1 ∴ DN ＝ 2BF.∵ DN ∥AF ，∴△ AFE ∽△ DNE ，∴AE ＝DE . AF DN1 AE 2DE又 DN ＝2BF ，∴ AF ＝ BF ， 即 AE ·BF ＝2DE ·AF .13．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是中线， P 为 AD 上一点， CF ∥ AB ， BP 延伸线交 AC ，CF 于 E ， F ，求证： PB 2＝ PE ·PF.证明：如图，连结 PC ，易证 PC ＝PB ，∠ ABP ＝∠ ACP.∵ CF ∥ AB ，∴∠ F ＝∠ ABP ， 进而∠ F ＝∠ ACP ，又∠ EPC 为△ CPE 与△ FPC 的公共角， 进而△ CPE ∽△ FPC ，∴CP ＝ PE， FP PC∴ PC 2＝ PE ·PF ，又 PC ＝ PB ，∴ PB 2＝ PE ·PF .14．已知： 在 Rt △ABC 中， ∠ ACB ＝ 90°，M 是 BC 的中点， CN ⊥ AM ，垂足是 N ，求证： AB ·BM ＝AM ·BN.2证明：∵ CM ＝ MN ·AM ，∴ BM 2＝ MN ·AM ，∴ BM AM ＝ MN BM ，又∵∠ BMN ＝∠ AMB ，∴△ AMB ∽△ BMN ，∴ AB BN ＝ AM BM ，∴ AB ·BM ＝ AM ·BN.15．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，底边 BC 上的高 AD ＝ 10 cm ，腰 AC 上的高 BE ＝ 12 cm.(1)求证：AB ＝5； BD 3(2)求△ ABC 的周长 . 【分析方法代码 108001159】 分析： (1) 证明：在△ ADC 和△ BEC 中，∵∠ ADC ＝∠ BEC ＝ 90°，∠ C ＝∠ C ，∴△ ADC ∽△ BEC ，∴AC ＝ AD ＝ 10＝ 5.BCBE126∵ AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 的高线， ∴ BC ＝ 2BD ，又 AB ＝ AC ， ∴ AC ＝ AB 5 AB 5 BC 2BD＝ ，∴ BD ＝ .6 3 5(2)设 BD ＝ x ，则 AB ＝ 3x ，在 Rt △ABD 中，∠ ADB ＝ 90°， 依据勾股定理，得 AB 2 ＝BD 2 ＋AD 2，∴53x 2＝ x 2＋102，解得 x ＝ 7.5.5∴ BC ＝ 2x ＝ 15， AB ＝ AC ＝ 3x ＝ 12.5，∴△ ABC 的周长为 40 cm.16．如右图， 在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD ，垂足为 E ，连结 AE ， F 为 AE 上一点，且∠ BFE ＝∠ C.(1)求证：△ ABF ∽△ EAD . (2)若 AB ＝ 4，∠ BAE ＝ 30°， AD ＝ 3，求 BF 的长． 分析： (1) 证明：∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAF ＝∠ AED .又∵∠ BFE ＝∠ C ，∠ BFE ＋∠ BFA ＝∠ C ＋∠ EDA ， ∴∠ BFA ＝∠ ADE . ∴△ ABF ∽△ EAD .4＝8 3， (2)∵ AE ＝ sin 60° 3BF ABAB3 3又AD ＝ AE ，∴ BF ＝AE ·AD ＝ 2 .17．如图， 梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，EF 经过梯形对角线的交点 O ，且 EF ∥ AD .(1)求证： OE ＝OF ；OE OE (2)求 AD ＋ BC 的值；112 (3)求证： AD ＋BC ＝EF . 【分析方法代码 108001160】 分析： (1) 证明：∵ EF ∥ AD ，AD ∥ BC ，∴ EF ∥ AD ∥ BC.OE AE OF DF∵ EF ∥ BC ，∴ BC ＝AB ， BC ＝ DC .AE DF ∵ EF ∥ AD ∥ BC ，∴ AB ＝ DC .∴ OE ＝ OF，∴ OE ＝ OF.BC BCOE BE (2)∵ OE ∥ AD ，∴ AD ＝ AB .由 (1)知， OE BC ＝AEAB ，∴OE ＋ OE ＝BE ＋AE ＝ BE ＋ AE ＝ 1.AD BC AB AB ABOE OE2OE 2OE(3)证明：由 (2)知 AD ＋ BC ＝ 1，∴ AD ＋ BC ＝2.又 EF ＝ 2OE ，∴ EF＋ EF＝ 2， AD BC∴1＋1＝2AD BC EF.18．一块直角三角形木板， 如下图， ∠ C ＝ 90°，AB ＝ 5 cm ，BC ＝ 3 cm ，AC ＝ 4 cm.依据需要， 要把它加工成一个面积最大的正方形木板， 设计一个方案， 应如何裁才能使 正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长． 分析： 如图 (1)所示，设正方形 DEFG 的边长为 x cm ，过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ，交DE 于N ，因为 S △ABC ＝ 1AC ·BC ＝1AB ·CM ，2 2因此 AC ·BC ＝ AB ·CM ，12即 4×3＝ 5·CM ，因此 CM ＝ 5 .因为 DE ∥AB ，因此△ CDE ∽△ CAB .12因此 CN ＝ DE ，即 5 － x.＝ x CM AB 125560因此 x ＝37.如图 (2)所示，设正方形 CDEF 的边长为 y cm ，因为 EF ∥ AC ，因此△ BEF ∽△ BAC .BF EF 3－ y y12因此 BC ＝ AC ，即 3 ＝4，因此 y ＝ 7.60 12 60因为 x ＝37， y ＝ 7 ＝35，因此 x<y.因此当按图 (2) 的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为12cm.7。
数学几何选讲试题答案及解析
数学几何选讲试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，点是线段延长线上一点，连接PN,且满足（Ⅰ）求证：是圆O的切线；(Ⅱ)若圆O的半径为，OA=OM，求MN的长.【答案】（Ⅰ）见解析(Ⅱ) 2【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接ON，∵，则，……2分又，则.,∴，……4分∴，故是圆O的切线．……5分(Ⅱ) .在△BOM中，，,延长BO交圆O于点D，连接DN，由条件知△BOM∽△BND,于是,，即MN=BN-BM=6-4=2.……10分【考点】本题考查切线的判定定理、三角形相似等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.2.如图，，是圆的两条弦，它们相交于的中点，若，，,求圆的半径.【答案】1【解析】解：由，,，得 5分又为中点，，， 10分【考点】本题考查圆的基本性质，相交弦定理等知识，意在考查推理论证能力.3.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点．（1）求证：≌；（2）若求．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）在ΔABE和ΔACD中，∵，∠ABE=∠ACD．又∠BAE=∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，∴Δ≌Δ（角、边、角）． 5分（2）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，∴BC=BE=4．设AE=，易证ΔABE∽ΔDEC，∴，从而.又，，∴，解得.因此. 10分【命题意图】本题考察弦切角定理、等腰三角形的性质、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.4.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.（1）证明：B、D、H、E四点共圆；（2）证明：CE平分∠DEF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）在△ABC中，因为∠ABC＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．（2）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由（1）知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD.可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.【点评】熟记圆的切线性质、圆周角定理、切割线定理、相交弦定理，这些知识点是解决有关圆的问题的关键，要好好理解．5.如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .【答案】【解析】本题考查平面几何证明，利用三角形相似即可求解，属于容易题。
几何证明选讲解三角形排列组合(教师版)
几何证明选讲练习 姓名_______________1．如图，在中，，，过作的外接圆的切线，，与外接圆交于点，则的长为__________．【答案】2．如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD //AC ． 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ． 若AB = AC ， AE = 6， BD = 5， 则线段CF 的长为______．【答案】833．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC =_________．【答案】4．如图， 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ， 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ． 已知PD =2DA =2， 则PE =_____．【答案】.6 ABC 090C ∠=060,20A AB ∠==C ABC CD BD CD ⊥BD EDE5.A ED CB O 第15题图5．如图2，O 中，弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为____________．【答案】23 6．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为___________．【答案】8 7．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ．若PA=3，916PD DB =：：，则PD=_________；AB=___________．【答案】95；4 解三角形练习1．如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=点D在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______．【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题．【解析】（法1）过A 作AE ⊥BC,垂足为E ，∵AB=AC=2，BC=∴E 是BC 的中点，且EC=O D EBACRt AEC ∆中，AE=又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=（法2） ∵AB=AC=2，BC=由余弦定理知，cos C =2222AC BC AB AC BC +-⨯∴C=30°， 在△ADC 中，∠ADE=45°，由正弦定理得，sin sin AD AC C ADC=∠， ∴AD=sin sin AD C ADC ∠=12⨯2．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A．3 B．6 C3 D6【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =2AB AD a ==,在ABD ∆中,由余弦定理得： 222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-=13，所以sin A=，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，所以2sin C =，解得sin CD ． 3．,EF 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A ．1627B ．23 CD ．34【答案】D4．在△ABC 中， 4ABC π∠=，AB 3BC =，则sin BAC ∠ =（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C5．ABC ∆中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________．【答案】36．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，求边BC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长．排列组合练习题1．有6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【解析】选①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人．2．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用．4()A 13()B 14()C 23()D 24D 261315132C -=-=4244,,,,,a a b b c c【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有．3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484解析：,答案应选C ． 另解：． 4． 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况；若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况；综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，则所有可能出现的情况共20种，故选C ．5．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种； 4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D6．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）．【解析】概率为 语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语三门文化课相邻有种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有种排法． 32212⨯⨯=472885607216614151641122434316=-=--⨯⨯=--C C C C 472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C 313=C 624=C 225460C C =455C =3____53344A A 3312122223A C C A C3故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为5。
几何证明选讲(全国卷文科)
几何证明选讲（2011-2015全国卷文科）（一）新课标卷1.（2011.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．2.（2012.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明： (Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBDFGDE AB C（二）全国Ⅰ卷1.（2013.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
2.（2014.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线=.与DC的延长线交于点E，且CB CE∠=∠；（I）证明：D E=，（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB MC ∆为等边三角形.证明：ABC3.（2015.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E . （I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线； （II ）若3OACE = ，求ACB ∠的大小.（三）全国Ⅱ卷1.（2013.全国2卷22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF ,B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)若DB=BE=EA,求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值2.（2014.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明: （I ）BE=EC ；（II ）AD ·DE=2PB 2。
几何证明选讲试题及参考答案
几何证明选讲试题及参考答案几何证明是属于宣讲的一个知识点，关于这些的是试题有哪些呢?下面就是学习啦给大家的几何证明选讲试题内容，希望大家喜欢。
(1)四边形BCDE的外接圆是不是连接四边形中任意三点的三角形的外接圆?答案是肯定的!(2)三角形的外接圆半径与解三角形中的哪个定理联系很紧密?——正弦定理正弦定理的表达形式： = = =2R,其中这里边的R，就是三角形的外接圆半径。
那么，我们只要找到三角形的一边长和该边所对的角，就能将半径求出，而不需做出圆心。
解题过程：在△ABC中，连接DE、CD,根据AE=4，AC=6易知， .则DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = = 所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .这种解题方法的掌握，是在有了扎实的基本功基础上的巧妙联想和合理推测证明，有利于学生知识体系的构建和基础知识的提升。
线、角、相交线、平行线规律1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n-1)条。
规律2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。
规律3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n-1)条。
规律4线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
规律5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n-1)个。
规律6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n(n-1)个。
规律7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n(n-1)对对顶角。
规律8平面上若有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)个。
规律9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
规律10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n-1)个。
规律11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
高二数学几何选讲试题答案及解析
高二数学几何选讲试题答案及解析于点，过点作两1.如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（1）求证：；（2）若是⊙的切线，且，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径，推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点，推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；（2）圆的切线的性质定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线；若已知条件中直线与圆的公共点不明确，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径；（3）掌握与圆有关的比例线段，如相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理.试题解析：解：（I）∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝∠D，1又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC. 5分（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴＝12 ①∵AD∥EC，∴，∴②由①、②解得（∵x>0，y>0）∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12. 11分2【考点】（1）证明直线与直线平行；（2）求切线长.2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，D是AB的中点，∠ADE=∠ACB，则DE=_________．【答案】.【解析】首先由知，∽，所以.然后因为AB=8，D是AB的中点，所以.又AC=7，BC=6，所以，即.【考点】相似三角形的性质.3.如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN=_________．【答案】1.【解析】因为AC为⊙O的直径，OB⊥AC，且OC=，OM=1，所以，. 设，由相交弦定理知，即，所以，即.【考点】与圆有关的比例线段.4.如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点，若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】四边形是圆的内接四边形，它的两对对角互补，进而得到∽，因而有，故选择B.【考点】平面几何中的圆与四边形.5.如图在△中,∥,,交于点,则图中相似三角形的对数为( ).A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】,;又,,故选B.【考点】相似三角形.6.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以AE. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长.【答案】【解析】利用相交弦定理可得到的等量关系，并结合已知条件可计算出,利用切割线定理可得到的等量关系，并结合前面所得可得结果.试题解析：由相交弦定理得，由于，可解得，所以.由切割线定理得，即.【考点】相交弦定理，切割线定理.8.若一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为A．7.2 cm2B．6 cm2C．12 cm2D．24 cm2【答案】B【解析】长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8 (cm)，故由射影定理知斜边长为＝5 (cm)，∴三角形的面积为×5×2.4＝6 (cm2)．9.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.【答案】【解析】连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，即BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.10.如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝4，PC＝PD.求CD 的长．【答案】10【解析】解设CD＝x，则PD＝x，PC＝x.由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，∴4×4＝x·x，x＝10.∴CD＝10.11.如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2.AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径r＝________.【答案】【解析】依题意，△PBA∽△ABC，所以＝，即r＝＝＝.12.如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于A．3∶14B．14∶3C．17∶3D．17∶14【答案】B【解析】过Q点作QM∥AP交BC于M，则＝＝，又∵＝，∴＝.又＝＝，＝＝，∴＝，∴＝.13.如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有①∠AED＝∠B②＝③＝④DE∥BCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.14.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】设AP＝x，则PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，则＝，即＝，得x＝<7，符合条件．(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P 有3个．15. 在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，AD ＝2，则四边形ABCD 的面积是______． 【答案】4【解析】因∠B ＝∠D ＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA 与CD 的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE ，由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形，所以DE ＝AD ＝2，所以S △ADE ＝×2×2＝2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ， 所以＝2＝2＝3.∴S △EBC ＝3S △EDA ，∴S 四边形ABCD ＝S △EBC －S △ADE ＝4.16. 如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝8，BD ＝7，求DC 的长．【答案】9【解析】解 ∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ， ∴△CAD ∽△CBA.∴＝＝.∴AC ＝，AC ＝.∴＝.设CD ＝x ， 则＝，解得x ＝9.故DC ＝9.17. 如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．【答案】5【解析】由相交弦定理知 EA·EB ＝EC·ED. (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.18. 如图所示，已知BC 是⊙O 的弦，P 是BC 延长线上一点，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.19.(拓展深化)如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】(1)见解析 (2)cm【解析】(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以∠1＝∠2.因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)解因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，＝，AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝cm.20.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为A．1B．C．D．【答案】C【解析】⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，∴OB＝＝R，∴BC＝OC＋OB＝R＋R＝R＝3，∴R＝，∴BD＝BC－2R＝3－＝.21.若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.【答案】1或－1【解析】由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1. 22.(拓展深化)如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.【答案】见解析【解析】证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.23.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O24.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD的长为A．m sin2α B．m cos2αC．m sin αcos α D．m sin αtan α【答案】C【解析】由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcos αsin α.故选C.25.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．【答案】【解析】在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.∵E为AB的中点，∴＝＝，∴＝.26. (拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．【答案】(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析 (2)【解析】解(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.以下证明：△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2.又∵△AMF∽△BGM，∴＝∴BG＝＝＝.又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，∴CG＝4－＝.∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.27.如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.【答案】3∶22∶1【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.∵BF∶EF＝3∶2，∴＝＝.∴AC∶AE＝3∶2.又DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即＝.∴＝.即＝＝2，即＝2.∴AD∶BD＝2∶1.28.如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.【答案】见解析【解析】证明如图所示，连接AE交DC于O.∵四边形ACED是平行四边形．∴O是AE的中点．∵在梯形ABCD中，DC∥AB，在△EAB中，OF∥AB，又∵O是AE的中点，∴F是EB的中点，∴EF＝BF.29.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形中度数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由于上底和两腰长已知，故要求梯形面积，关键是要找出底边上和高，由于图形中无法再分析出边与边的关系，所以我们可以从角的方向入手，求梯形的内角。
几何证明练习选讲-带解析答案
几何证明选讲一、选择题．(·北京理，)如图，，，分别与圆切于点，，，延长与圆交于另一点.给出下列三个结论：①＋＝＋＋；②·＝·；③△∽△.其中正确结论的序号是()．①②．②③．①③．①②③[答案][解析]本题主要考查了圆的切线及有关定理．依题意：①正确，由圆的切线可知：＝＋＝＋，∴＋＝＋＋.②正确，∵·＝且＝，∴·＝·.③错误．若△∽△，则＝，即·＝·.这与·＝矛盾，故选.．自圆外一点引圆的切线，切点为，为的中点，过引圆的割线交圆于，两点，且∠＝°，∠＝°，则∠的大小为()．°．°．°．°[答案][解析]因为与圆相切于点，所以＝·.而为的中点，所以＝，则＝·，∴＝.又∠＝∠，所以Δ∽△，所以∠＝∠，在△中，由∠＋∠＋∠＝°，即∠＋∠＋∠＝°，所以°＋°＋∠＝°，从而∠＝°.二、填空题．(·天津理，)如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且＝＝，＝.若与圆相切，则线段的长为．[答案][解析]本题主要考查切割定理及相交弦定理，设每份为，则＝，＝，＝，根据相交弦定理：·＝·，则＝，∴＝，由切割定理：＝·＝，∴＝，∴＝.．(·湖南理)如图所示，过⊙外一点作一条直线与⊙交于，两点．已知＝，点到⊙的切线长＝，则弦的长为．[答案][解析]根据切线长定理：＝·，＝＝＝.所以＝－＝－＝.．(·徐州模拟)如图，在梯形中，∥，与相交于点，过点的直线分别交，于，，且∥，若＝，＝，则＝.[答案][解析]∵∥，∴＝＝＝，∴＝，∵∥，∴＝＝，∴＝＝×＝，同理可求得＝＝×＝，∴＝＋＝.．(·湘潭模拟)如图，已知⊙的直径＝，为圆周上一点，＝，过点作⊙的切线，过点作的垂线，垂足为，则＝.[答案][解析]易得△为直角三角形，且∠＝°，∴＝＝＝.又∠＝∠，∴△∽△，∴＝，∴＝＝＝.三、解答题．(·江苏，) 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与(>)．圆的弦交圆于点(不在上)．求证：为定值．[解析]证明：连接，并延长分别交两圆于点和点，连结，.因为圆与圆内切于点，所以点在上．故，分别为圆，圆的直径．从而∠＝∠＝.所以∥，于是＝＝＝.所以为定值．．如图所示，已知⊙与⊙相交于、两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.()求证：∥；()若是⊙的切线，且＝，＝，＝，求的长．[解析]()∵是⊙的切线，∴∠＝∠，又∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥.()设＝，＝，∵＝，＝，∴＝()∵∥，∴＝，∴＝()由()、()解得(\\(＝＝))(∵>，>)∴＝＋＋＝，∵是⊙的切线，∴＝·＝×，∴＝.一、选择题．如图，是两圆的交点，是小圆的直径，和分别是和的延长线与大圆的交点，已知＝，＝，且＝，则＝()．．．．[答案][解析]设＝＝，则由割线定理，得·＝·，即(＋)＝(＋)，化简得＋－＝，解得＝或＝－(舍去)，即＝，＝，因为为直径，所以∠＝°，即∠＝°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠＝°，则＋＝(勾股定理)∴＋＝，∴＝.[点评]本题关键是设出＝＝，利用割线定理，通过解一元二次方程求出.．如图所示，矩形中，＝，＝，将此矩形折叠使点落在边的中点处，则折痕的长为()．[答案][解析]过作∥交于，则四边形为平行四边形．∴＝. ∵折叠后点与点重合，折痕为，∴与关于对称．∴⊥，∴⊥.∴∠＝∠，∴△∽△.∴＝.∵＝，＝，＝＝，∴＝＝，∴＝＝＝.二、填空题．(·湖南，)如图，，是半圆周上的两个三等分点，直径＝，⊥，垂足为，与相交于点，则的长为．[答案][解析]本小题考查内容为几何证明——圆与三角形相似．如图，连结，，，∠＝°，＝，∴＝.又∵△∽△，∴＝，＝，＝，∴＝，∴＝.．(·北京理)如图，⊙的弦，的延长线交于点，若⊥，＝，＝，＝，则＝；＝.[答案][解析]首先由割线定理不难知道·＝·，于是＝，＝，又⊥，故为直径，因此∠＝°，由勾股定理可知＝－＝，故＝.．(·广东文)如图，在直角梯形中，∥，⊥，＝＝，＝，点，分别为线段、的中点，则＝.[答案][解析]本题考查了最常规的平面几何知识，如图连接，綊，∴为矩形，∴⊥，又为中线，∴＝＝，为中位线，∴＝.．(文)(·广东文，)如右图，在梯形中，∥，＝，＝，，分别为，上点，且＝，∥，则梯形与梯形的面积比为．[答案]∶[解析]本题主要考查平面解析几何．利用面积公式．将线段与延长交于点(如图所示)，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得＝，＝，故梯形与梯形的面积比为∶.(理)(·广东理，)如图，过圆外作一点分别作圆的切线和割线交圆于，，且＝，是圆上一点使得＝，∠＝∠，则＝.[答案][解析]本题考查圆、圆的切线、相似三角形等平面几何知识．由圆的切线性质可知∠＝∠，又∠＝∠，所以△∽△，所以＝，而＝，＝，∴＝，∴＝，＝.三、解答题．(·新课标理，)如图，、分别为△的边、上的点，且不与△的顶点重合，已知的长为，的长为，，的长是关于的方程－＋＝的两个根．()证明：、、、四点共圆；()若∠＝°，且＝，＝，求、、、所在圆的半径．[解析]()证明：如图，连接，在△和△中，·＝＝·，即＝.又∠＝∠，从而△∽△.因此∠＝∠.所以，，，四点共圆．()＝，＝时，方程－＋＝的两根为＝，＝.故＝，＝.如图，取的中点，的中点，分别过，作，的垂直，两垂线相交于点，连接.因为，，，四点共圆，所以，，，四点所在圆的圆心为，半径为.由于∠＝°，故∥，∥.从而＝＝，＝(－)＝.故，，，四点所在圆的半径为.．(·辽宁理，)如图，，，，四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且＝.()证明：∥;()延长到，延长到，使得＝，证明：，，，四点共圆．[解析]()因为＝，所以∠＝∠.因为，，，四点在同一圆上，所以∠＝∠.故∠＝∠.所以∥.个人整理资料，仅供交流学习()由()知，＝.因为＝，故∠＝∠，从而∠＝∠. 连结，，则△≌△，故∠＝∠.又∥，∠＝∠，所以∠＝∠.所以∠＋∠＝°.故，，，四点共圆．。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题及答案
高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（二）1． (2010 ·津卷天 )如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸 AB 和 DC订交于点P.若PB ＝ 1， PD ＝ 3，则 ADBC 的值为 ________．分析：∵∠P ＝∠ P ，∠ A ＝∠ PCB ，∴△ PCB ∽△ PAD .PB BC 1∴ PD ＝ AD ＝3.答案：132．(2010 湖·南卷 )如下图，过⊙ O 外一点 P 作一条直线与⊙ O 交于 A ，B 两点，已知 PA ＝ 2，点 P 到⊙ O 的切线长 PT ＝4，则弦 AB 的长为 ______．分析： 由切割线定理知 PT 2＝PA ·PB ，2∴ PB ＝ 4＝ 8.∴弦 AB 的长为 PB －PA ＝ 8－ 2＝ 6. 2答案： 63．如下图，已知PC 、 DA 为⊙ O 的切线， C 、A 分别为切点， AB 为⊙ O 的直径，若 DA ＝ 2， CD ＝ 1，则 AB ＝ ________.DP 2分析： 由 CD ＝DA ＝2，∴ DP ＝ 4.2 2在 Rt △ADP 中， AP ＝ 4 － 2 ＝ 2 3.2由切割线定理： PC ＝ PA ·PB ，∴ 62＝ 2 3(2 3＋ AB)，∴ AB ＝ 4 3. 答案：4 34． (2010 ·西卷陕 )如图，已知 Rt △ ABC 的两条直角边AC ， BC 的长分别为 3 cm ，BD4 cm ，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ，则 DA ＝ ________. 分析： ∵∠ C ＝ 90°， AC 为圆的直径，∴ BC 为圆的切线， AB 为圆的割线．∴ BC 2＝ BD ·BA ，即 16＝BD ·5，解得 BD ＝16.5∴ DA ＝ BA － BD ＝5－ 16 9BD ＝ 16. 5 ＝ .∴DA 916 5 答案：95． (2010 ·东东莞广 )如图，已知 PA 、PB 是圆 O 的切线， A 、B 分别为切点， C 为圆 O 上不与 A 、 B 重合的另一点，若∠ ACB ＝ 120°，则∠ APB ＝ ________.分析： 连结 OA 、OB ，∠ PAO ＝∠ PBO ＝90°，∵∠ ACB ＝ 120°，∴∠ AOB ＝ 120°.又 P 、 A 、O 、 B 四点共圆，故∠ APB ＝ 60°.答案：60°PC 6． (2010切圆 O 于·东佛山广 )如图，点 C 点， CD ⊥AB 于 D P 在圆点，则 O 直径 AB 的延伸线上，且CD ＝ ________.PB ＝ OB ＝ 2，2分析：由切割线定理知， PC ＝PA ·PB ，又 OC ⊥PC ，故 CD ＝PC ·OC ＝2 3×2＝ 3.PO4答案：37．如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于点 A ，且 AC ＝ 2 2 cm ，过 C 的割线 CMN交 AB 的延伸线于点 D ， CM ＝MN ＝ ND ，则 AD 的长等于 ________cm.分析： 由切割线定理知 |CA |2＝ |CM | ·|CN|＝ 2|CM |2，由于 |CA |＝2 2，因此 |CM|＝ 2， |CD |＝ 6，22答案：2 78． (2010 广·东卷 )如图， AB ，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们订交于AB 的中点 P ， PD ＝2a，∠ OAP ＝ 30°，则 CP ＝______. 3分析： ∵ AP ＝ PB ，∴ OP ⊥AB .3又∵∠ OAP ＝ 30°，∴ AP ＝ 2 a.由订交弦定理得 CP ·PD ＝AP 2，∴ CP ＝ AP 2 3 2 3 9＝ a × ＝ a.PD 4 2a 8答案：98a9．(2010 北·京卷 )如图， ⊙ O 的弦 ED ，CB 的延伸线交于点 A.若 BD ⊥ AE ，AB ＝ 4， BC ＝ 2， AD ＝ 3，则 DE ＝ ______， CE ＝ ______.分析： 由圆的割线定理知：∴ AE ＝ 8，∴ DE ＝ 5.连结 EB ，∵∠ EDB ＝90°，∴ EB 为直径．∴∠ ECB ＝ 90°.由勾股定理，得2 222 22＝ 16－ 9＋ 25＝ 32.EB＝DB＋ ED＝AB －AD ＋ED 在 Rt △ECB 中， EB 2＝ BC 2＋ CE 2＝ 4＋ CE 2，∴ CE 2＝ 28，∴ CE ＝ 2 7. 答案： 5 2 710．如图， PC 切⊙ O 于点 C ，割线 PAB 经过圆心 O ，弦 CD ⊥AB 于点 E ，已知⊙O 的半径为 3，PA ＝ 2，则 PC ＝________， OE ＝ ________.分析： 由于 PB ＝ PA ＋ AB ＝ 8，因此在⊙ O 中，由切割线定理得：2PC ＝ PA ·PB ＝ 2×8＝ 16，故 PC ＝ 4；在 Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝ PE ·PO ，2则 PE ＝PC＝ 169PO5 .故 OE ＝ PO － PE ＝ 5.答案：4511．如图，自圆 O外一点P 引切线与圆切于点A ，M为PA 的中点，过M 引割线交圆于 B 、 C 两点．求证：∠ MCP ＝∠ MPB.证明： ∵ PA 与圆相切于 A ， ∴ MA 2＝ MB ·MC.∵ M 为 PA 的中点，∴ PM ＝ MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ，∴PM ＝MBMC PM .∵∠ BMP ＝∠ PMC ，∴△ BMP ∽△ PMC ， ∴∠ MCP ＝∠ MPB.12．如图，已知在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB为半径的圆与 AB 交于点 E ，与 AC 切于点 D ，连结 DB 、DE 、OC.若 AD ＝ 2，AE ＝ 1，求 CD 的长．2分析：由切割线定理得 AD ＝ AE ·AB ，又∵∠ OCD ＝∠ ADE ＝ 90°－∠ CDB ，∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ACO ，∴ AD ＝AC ，即 2＝CD ＋2，CD ＝3.AE AO12.5答： CD 的长等于 3.13． (2010 ·苏卷江 )如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延伸线于点 C ，若 DA ＝ DC ，求证： AB ＝ 2BC.证明： 如下图，连结 OD ， BD ，由于 CD 为⊙ O 的切线， AB 为直径， 因此∠ ADB ＝∠ ODC ＝ 90°. 因此∠ ODA ＝∠ BDC . 又由于 DA ＝DC ， 因此∠ DAB ＝∠ DCB . 因此△ ADO ≌△ CDB .因此 OA ＝BC ，进而 AB ＝ 2BC.14．已知弦 AB 与⊙ O 半径相等，连结 OB 并延伸使 BC ＝ OB. (1)问 AC 与⊙ O 的地点关系是如何的； (2)试在⊙ O 上找一点 D ，使 AD ＝ AC. 分析： (1) ∵AB 与⊙ O 半径相等， ∴△ OAB 为正三角形，∠ OAB ＝ 60°＝∠ OBA ，又∵ BC ＝ OB ＝ AB ，∴∠ C ＝∠ BAC ＝ 30°，故∠ OAC ＝ 90°， ∴AC 与⊙ O 相切．(2)延伸 BO 交⊙ O 于 D ，则必有 AD ＝ AC.∵∠ BOA ＝ 60°， OA ＝ OD ，∴∠ D ＝ 30°， 又∵∠ C ＝ 30°，∴∠ C ＝∠ D ，得 AD ＝AC.15． (2010 ·宁卷辽 )如图，△ ABC 的角均分线 AD 的延伸线交它的外接圆于点 E.(1)证明：△ ABE ∽△ ADC ；1(2)若△ ABC 的面积 S ＝2AD ·AE ，求∠ BAC 的大小．分析： (1) 证明：由已知条件，可得∠ BAE ＝∠ CAD. 由于∠ AEB 与∠ ACB 是同弧所对的圆周角， 因此∠ AEB ＝∠ ACD . 故△ ABE ∽△ ADC .AB AD(2)由于△ ABE ∽△ ADC ，因此 AE ＝ AC ， 即 AB ·AC ＝ AD ·AE .1 1又 S ＝ AB ·ACsin ∠ BAC ，且 S ＝ AD ·AE ，2 2故 AB ·ACsin ∠BAC ＝ AD ·AE.则 sin ∠ BAC ＝ 1，又∠ BAC 为△ ABC 的内角，因此∠ BAC ＝ 90°.16．如图， AB 、 CD 是圆的两条平行弦， BE ∥AC ，并交 CD 于 E ，交圆于 F ，过 A 点的切线交 DC 的延伸线于 P ， PC ＝ED ＝ 1， PA ＝ 2.(1)求 AC 的长；(2)求证： EF ＝ BE.2分析： (1) ∵PA ＝PC ·PD ， PA ＝2， PC ＝ 1，∴ PD ＝ 4.∵∠ PAC ＝∠ CBA ，∠ PCA ＝∠ CAB ，∴△ PAC ∽△ CBA ，∴ PC ＝ AC，∴ AC 2＝ PC ·AB ＝ 2，∴ AC ＝ 2.AC AB(2)证明：∵ CE ·ED ＝ BE ·EF ， BE ＝ AC ＝ 2，∴ EF ＝ 2·1＝ 2，∴ EF ＝BE . 217．如图， PA 切⊙ O 于点 A ，割线 PBC 交⊙ O 于点 B ，C ，∠ APC 的角均分线分别与 AB ， AC 订交于点 D ， E ，求证：(1)AD ＝ AE ；(2)AD 2＝ DB ·EC.【分析方法代码 108001161】证明： (1) ∠AED ＝∠ EPC ＋∠ C ，∠ ADE ＝∠ APD ＋∠ PAB.由于 PE 是∠ APC 的角均分线，故∠ EPC ＝∠ APD ，又 PA 是⊙ O 的切线，故∠ C ＝∠ PAB. 因此∠ AED ＝∠ ADE .故 AD ＝AE .∠ PCE ＝∠ PADEC PC(2) ∠ CPE ＝∠ APD ? △ PCE ∽△ PAD ? AD ＝PA ； ∠ PEA ＝∠ PDB AE PA∠ APE ＝∠ BPD ? △ PAE ∽△ PBD ? DB ＝ PB .又 PA 是切线， PBC 是割线 ? PA2＝ PB ·PC? PB PA ＝PCPA .故EC＝AE，又 AD＝ AE，故 AD 2＝ DB ·EC. AD DB18．如图，已知AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点 D ，延伸 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F ，连结 FB 、FC .(1)求证： FB ＝ FC；(2)求证： FB 2＝ FA·FD ；(3)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径，∠ EAC＝ 120 °，BC＝6 cm，求 AD 的长 . 【分析方法代码 108001162】分析：(1) 证明：∵ AD 均分∠ EAC，∴∠ EAD＝∠ DAC.∵四边形 AFBC 内接于圆，∴∠ DAC＝∠ FBC.∵∠ EAD ＝∠ FAB＝∠ FCB ，∴∠ FBC＝∠ FCB ，∴ FB＝ FC .(2)证明：∵∠ FAB＝∠ FCB＝∠ FBC，∠ AFB ＝∠ BFD ，FB FA∴△ FBA ∽△ FDB .∴FD＝FB，∴FB2＝ FA·FD .(3)∵ AB 是圆的直径，∴∠ACB＝ 90°.1∵∠ EAC＝ 120°，∴∠ DAC ＝∠ EAC＝ 60°，∴∠ BAC＝∠ BFC ＝60°，∠ FDB ＝30°，∴△ FBC 为正三角形，又 BC＝ 6，在 Rt△ ABC 中，∴ AC＝2 3，∴在 Rt△ ACD 中， AD ＝ 4 3.。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)
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高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（一）1．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD·AB，则∠ACB ＝______.解析： 在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD·AB， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD.则∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案： 90°2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________．解析： 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB·AD.设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6，∴62＝x(x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4或x ＝－9(舍去)， ∴AD ＝4. 答案： 43．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF∶FC 等于________．解析： 设正方形边长为x ，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF AC ＝FE CB ，即x 2＝1－x 1，所以x ＝23，于是AF FC ＝12.答案： 124．如图，平行四边形ABCD 中，AE∶EB＝1∶2，△AEF 的面积为6，则△ADF 的面积为________．解析： 由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54，由题意易知S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.答案： 185．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4 cm ，AC ＝3 cm ，DE ∥BC 且DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分，则DE ＝________.解析： ∵∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5 cm.设AD ＝x cm ，AE ＝y cm ，则x ＋y ＝6.①∵DE ∥BC ，得AD AB ＝AE AC ，即x 4＝y3.②由①②得x ＝247，y ＝187，∴DE ＝x 2＋y 2＝307cm.答案： 307cm6．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 为________． 解析： ∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案： 47．如图，已知在梯形ABCD 中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC 和BD 相交于点P ，(1)若AP 长为4，则PC ＝________； (2)△ABP 和△CDP 的高的比为______． 解析： (1)∵AB ∥CD ， ∴△APB ∽△CPD ， ∴AP CP ＝AB CD ，即4CP ＝26， 解得PC ＝12.(2)由(1)及△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1∶3. 答案： (1)12 (2)1∶38．(2018·广东卷)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析： 连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.【答案】 a29．如图，已知AD ∥EG ∥BC ，AD ＝6，BC ＝9，AEAB ＝23，则GF 的长为________．解析： ∵AD ∥EG ∥BC ， ∴EG BC ＝AE AB ，EF AD ＝BE BA . ∵AE AB ＝23，∴BE AB ＝13， ∴EF AD ＝13，EG BC ＝23. 又∵AD ＝6，BC ＝9， ∴EF ＝2，EG ＝6， ∴GF ＝EG －EF ＝4. 答案： 410．如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析： 设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP， 即333＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案： 两11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE·AB＝AF·AC.证明： ∵AD ⊥BC ， ∴△ADB 为直角三角形，又∵DE ⊥AB ，由射影定理知， AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.12．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明： 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF.∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC ，CF 于E ，F ，求证：PB 2＝PE·PF.证明： 如图，连结PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. ∵CF ∥AB ，∴∠F ＝∠ABP ， 从而∠F ＝∠ACP ，又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC，∴PC 2＝PE·PF，又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE·PF.14．已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ， 求证：AB·BM＝AM·BN.证明： ∵CM 2＝MN·AM， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN·AM， ∴BM AM ＝MN BM， 又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM， ∴AB·BM＝AM·BN.15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长.【解析方法代码108001159】 解析： (1)证明：在△ADC 和△BEC 中，∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD ，又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＝x 2＋102，解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝12.5，∴△ABC 的周长为40 cm.16．如右图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C.(1)求证：△ABF ∽△EAD.(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解析： (1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED. 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠EDA ， ∴∠BFA ＝∠ADE. ∴△ABF ∽△EAD.(2)∵AE ＝4sin 60°＝833，又BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD＝332.17．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD. (1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC的值；(3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.【解析方法代码108001160】解析： (1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC.∵EF ∥BC ，∴OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵EF ∥AD ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC.∴OE BC ＝OFBC，∴OE ＝OF. (2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BEAB.由(1)知，OE BC ＝AEAB，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB＝1.(3)证明：由(2)知OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC ＝2.又EF ＝2OE ，∴EF AD ＋EFBC＝2，∴1AD ＋1BC ＝2EF.18．一块直角三角形木板，如图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解析： 如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC·BC＝12AB·CM，所以AC·BC＝AB·CM，即4×3＝5·CM，所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB.所以CN CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BAC.所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4，所以y ＝127.因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x<y.所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
高中几何证明选讲课后练习及答案解析
高中几何证明选讲课后练习及答案解析1、[选修4-1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：①BE=EC;②AD·DE=2PB2.证明：①∵PC=2PA，PD=DC，∴PA=PD，△PAD为等腰三角形.连接AB，那么∠PAB=∠DEB=β，∠BCE=∠BAE=α，∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE，∴β+α=β+∠DBE，即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.②∵AD·DE=BD·DC，PA2=PB·PC，PD=DC=PA，BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA)，PB·PA=PB·2PB=2PB2.2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=2+2sinα(x=2cosα)(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足→(OP)=2→(OM)，点P的轨迹为曲线C2.①求C2的参数方程;②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=3(π)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：①设P(x，y)，那么由条件知M2(y).由于M点在C1上，所以=2+2sinα(y)，即y=4+4sinα(x=4cosα).从而C2的参数方程为y=4+4sinα(x=4cosα)(α为参数).②曲线C1的极坐标方程为=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为=8sinθ.射线θ=3(π)与C1的交点A的极径为1=4s in3(π)，射线θ=3(π)与C2的交点B的极径为2=8sin3(π).所以|AB|=|2-1|=2.3、 [选修4-5：不等式选讲]函数f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈R).①当m=5时，求不等式f(x)≤12的解集;②假设不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：①当m=5时，f(x)≤12即|x-5|+|x+6|≤12，当x<-6时，得-2x≤13，即x≥-2(13)，所以-2(13)≤x<-6;当-6≤x≤5时，得11≤12成立，所以-6≤x≤5;当x>5时，得2x≤11，即x≤2(11)，所以5故不等式f(x)≤12的解集为2(11).②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|，由题意得|m+6|≥7，那么m+6≥7或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范围是(-∞，-13]∪[1，+∞).三道题让你快速“吃透”几何选讲，你还在等什么呢?更多数学资讯，尽在数学网。
「精选」人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解及参考答案-精选文档
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010) [答案] A[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32[答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。
高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)
相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的相关概念比例线段：对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=． 知识点2：比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点:4：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=0.618AB ≈．知识点5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE //Θ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形的周长比等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；②位似中心可取在多边形的一条边上；③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.圆的章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇔d r <⇔点C 在圆内；2、点在圆上⇔d r =⇔点B 在圆上；3、点在圆外⇔d r >⇔点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r >⇔无交点；2、直线与圆相切⇔d r =⇔有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r <⇔有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇔ 无交点 ⇔d R r >+； 外切（图2）⇔ 有一个交点⇔d R r =+；AD相交（图3）⇔ 有两个交点⇔R r d R r -<<+； 内切（图4）⇔ 有一个交点⇔d R r =-； 内含（图5）⇔ 无交点 ⇔d R r <-；五、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论.即：AB 是直径;②AB CD ⊥;③CE DE =;④ 弧BC =弧BD ( );⑤ ;中任意2个条件推出其他3个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、 圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③图4图5»»BCBD =»»AC AD =DB AB AOOC OF=;④推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半.符号语言：①∵在Oe中，C D∠∠、都是弧AB所对的圆周角∴C D∠=∠②∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠图形语言：推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90︒的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在Oe中，AB是直径∴=90C︒∠;或∵=90C︒∠∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在△ABC中，∵OA OB OC==∴△ABC是直角三角形或=90C︒∠八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.»»BA ED=符号语言：∵在O e 中，四边形ABCD 是内接四边形 ∴180180C BAD B D DAE C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠，， 图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，180180C BAD B D ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∴A B C D 、、、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，DAE C ∠=∠ ∴A B C D 、、、四点共圆 九、 切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是O e 的切线 图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵PA PB 、是的两条切线 ∴=PAPB 且PO 平分APB ∠图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.符号语言：∵BAC ∠是圆的一个弦切角 ∴BAC APC ∠=∠4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅图形语言：PO DC BA OE DCBADEC BPAO十、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在O e 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，::2OD BD OB =（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，::OE AE OA =（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，::2AB OB OA =十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。
数学选修4-1几何证明选讲解答题
数学选修4-1几何证明选讲解答题第一篇：数学选修4-1几何证明选讲解答题选修4-1：几何证明选讲一、填空题1.(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．二、解答题3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB∶AC为定值．5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． a 26．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O 于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长．9.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE平分∠DEF.10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．答案231．2 2.3CE3．证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以BE＝.又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEAEAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDCACCE所以，ADBE所以AC·BE＝CE·AD.4.证明如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．π从而∠ABD＝∠ACE.2所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2所以AB∶AC为定值．5．解连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF26．证明(1)∵PC切圆O于点C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①PAAM同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM又∵PC2＝PA·PB，③由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．证明连结AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB ＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD 内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA∴AB2＝BE·CD.8．解方法一连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2方法二过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE ＝60°，可得OE，DE＝，22在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.449．证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH ＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，FBFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB所以FB2＝FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因为BC＝6，2所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)．cos∠DAC第二篇：2007-2012新课标数学几何证明选讲解答题汇总1、如图，已知AP是εO的切线，P为切点，AC是εO的割线，与εO交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．（2007新课标）A【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM．因为AP与εO相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是εO的弦BC 的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．，P，O，M四点共圆．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．所以∠OAM+∠APM=90°．A2、如图，过圆O外切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．一点M 作它的一条切线，OP=OA；（Ⅰ）证明：OMε（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90．（2008课标卷）ο23、如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009课标卷）(1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD ＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；2（Ⅱ）BC=BF×CD。
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《几何证明选讲》习题一、选择题1. 若三角形三边上的高为a b c 、、，这三边长分别为6、4、3，则::a b c =（ ） A . 1:2:3 B . 6:4:3 C . 2:3:4 D . 3:4:62. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC分成面积相等的两部分，那么:DE BC =（ ）A . 1:2B . 1:3 C. D . 1:13. 圆内接三角形ABC 角平分线CE 延长后交外接圆于F ，若2,FB =1EF =，则CE =（ ）A . 3B . 2C 4. 在ABC 中，90BAC ∠=，D 是BC 边的中点，AE AD ⊥，AE 交CB 的延长线于E ，则下面结论中正确的是A . AED ∽ACB B . AEB ∽ACDC . BAE∽ACE D . AEC ∽DAC5. 在Rt ABC中，C ∠为直角，CD AB ⊥垂足为D ，则下列说法中不正确的是（ ）A . 2CD AD DB = B . 2AC AD AB =C . AC BC AD BD = D . BC 是ACD6. 已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设,BP x EF y ==，那么下列结论中正确的是（ ）A . y 是x 的增函数B . y 是x 的减函数C . y 随x 先增大后减小D . 无论x 怎样变化，y 是常数7. (理科做)一圆锥侧面展开图为半圆，平面α与圆锥的轴成45角，则平面α与该圆锥侧面相交的交线为A . 圆B . 抛物线C . 双曲线D . 椭圆8. 如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，BPD α∠=，那么CDAB=（ ） A . sin α B . cos αC . tan αD .1cot tan αα= 二、填空题9. 平面////αβγ，直线1l 与,,αβγ依次交于A B C 、、，直线 2l 与,,αβγ依次交于D E F 、、，则:AB BC ________:DE EF （填,,=><）10. 如图，EF 是O 的直径，MN 是O 的弦，10,EF cm =8MN cm =，则E F 、两点到直线MN(第10题图) (第11题图)11. 如图，1O 过O 的圆心O ，与O 交于A B 、两点，C 在O 上，CB 延长线交1O 于点D ，CO 延长线交1O 于E ，108EDC ∠=，则C ∠=__________12. 相交两圆1O 与2O 的公共弦长3AB =，延长AB 到P 作PC 切1O 于C ，PD 切2O 于D ，若2PC =，则PD =__________13. 如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠=__________(第13题图) (第14题图)14. 如图，AB 是O 的直径，D 是O 上一点，E 为 BD的中点，O 的弦AD 与BE 的延长线相交于C ，若18,AB =12,BC =则AD =__________ 15. 梯形ABCD 中，底2,AD =6,BC =EF 为中位线，对角线BD AC 、与EF 分别交于M N 、，则MN =__________16. 如图，AD CE 、分别是ABC的两条高，则 (1) A E D C 、、、四点__________（是否共圆） (2) BDE __________BAC(∽,≌),为什么？(3) 10,AC =4sin 5B =，则DE =__________17. 如图，PC 是O 的切线， C 为切点，PAB 为割线，4,PC =8,PB =30B ∠= ，则BC =__________(第17题图) (第18题图)18. 如图ABC的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D ，若1,AB =AD 30ADB ∠=，则ABCACDS S = __________.19. 如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，O 的弦PN 切A 于点N ，8,PN =则A 的半径为__________(第19题图) (第20题图)20. 如图ABC中，D 是AB 的一个三等分点，//DE BC ，//EF BC ，2AF =，则AB =__________21. 如图，在ABC中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，DAB DBA ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.(第21题图) (第22题图)22. 如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC外接圆的直径，圆半径为5，4AD =，则AB AC = __________参考答案一、选择题1. C 由三角形面积公式：111643222a b c ⨯=⨯=⨯，643a b c ∴==，设3c k =，则,,643k k k a b c ===，::::2:3:4643k k ka b c ∴==.2. C 依题意:1:2ADE ABC S S = ,:DE BC ∴=3. A A C FB C ∠=∠ ,ACF ABF ∠=∠,BCF ABF ∴∠=∠又BFE CFB ∠=∠ ，FBE ∴ ∽FCB ，得::FB FC FE FB =, ::FB FC FE FB =,4FC ∴=,从而3CE =.4. C 设1CAD ∠=∠，2BAE ∠=∠,由AD DC =得1C ∠=∠，而1D A B ∠+∠=290D A B ∠+∠=12∴∠=∠，故2C ∠=∠，又E E ∠=∠，BAE ∴ ∽ACE5. C 由射影定理知A 、B 正确，因为CD AB ⊥，所以ACD 外接圆O 中，AC 是直径，又AC BC ⊥,故BC 是圆O 的切线. 6. D EF 是APR 的中位线，12EF AR ∴=（常数）.7. D 圆锥侧面展开图中心角180360l r =⨯，12l r ∴=，母线与轴的夹角为30°，而平面α与圆锥的轴成45°，45°>30°，所以截线是椭圆. 8. B PCD∽PAB CD PD ABPB∴=, AB是半圆O 的直径，90ADB ∴∠= ，cos PD PBα∴=. 二、填空题 9. =10. 6 提示：由E O F 、、向直线MN 引垂线，垂足分别为E O F '''、、，则有26EE FF OO '''+===11. 36° EDBO 四点共圆，18010872EOB ∴∠=-=,OC OB = ,1362C EOB ∴∠=∠= . 12. 2 由切割线定理知22PC PA PB PD == ，PC PD ∴=13. 45° 连接BD ，BD 与EC 相交于点F ，设1CED ∠=∠,2DFE ∠=∠ 1A ACE ∠=∠+∠ ,2CDB ECD ∠=∠+∠,CDB A ∠=∠,ECD ACE ∠=∠,12∴∠=∠,而90ADB ∠= .14. 14 连接AE ，AB 是直径，AE BE ∴⊥，又E 是 BD的中点，B A E E A C ∴∠=∠，从而E 是BC 中点，6BE EC ∴==，18AB AC ==，由CD CA CE CB =得(18)18612AD -⨯=⨯，故14AD =. 15. 2 ////EF AD BC ，1,1EM NF ∴==，()MN EF EM NF =-+1()()2AD BC EM NF =+-+1(26)222=+-=. 16. (1) 共圆 (2)∽ (3)6.,AD BC CE AB ⊥⊥ D E ∴、都在以AC 为直径的圆上，即A E D C 、、、四点共圆，BED ACB ∴∠=∠，又DBE ABC ∠=∠，BDE ∴ ∽BAC ，3cos 5DE BD B AC AB ===（B 为锐角），365DE AC ∴==. 17.连接AC ，2PC PA PB = ，2PA ∴=，30ACP B ∠=∠=，在PAC 中，由正弦定理得24sin 30sin PAC=∠，sin 1PAC ∴∠=，从而90PAC ∠= ，60P ∠= ，90PCB ∠=，BC ∴==18.2在ABD中，由正弦定理得sin sin AD ABABD ADB=∠∠，即1sin sin 30ABD =∠，1sin 22ABD ∴∠==，从而45ABD ∠=，45CAD ∴∠= ，105ACD ∠= ，从而1054560BAC ∠=-=1212sin sin ABC ACD AB AC BACS S AC AD CAD ∠=∠2===19.连接NQ MA 、，90PNQ ∠= ,90PMA ∠= ，34PM PA PN PQ ∴==，又8PN =，6PM ∴=，而2P M P O PQ =，3624R R ∴=，2OA R ∴==20. 92 ////AB AC DE BC AB AD AD AE AD AC AD AFEF DC AF AE ⎫⇒=⎪⎪⇒=⎬⎪⇒=⎪⎭2AD AB AF ⇒= ，设B D x =，则2A D x =，3AB x =，而2AF =246x x ∴=32x ∴=,92AB =. 21. 15 DAB DBA ∠=∠ ，AD BD ∴=，又AD 是中线，BD DC ∴=，易知90BAC ∠= ，AE BC ⊥ ，由射影定理得2AB BE BC = ，27BC ∴=，271215CE ∴=-=.22. 40 连接BE ，ABE∽ADC，AB AEAD AC∴=， 41040AB AC AD AE ∴==⨯= .。