2011年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.把答案填在横线上.

1.设集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4}，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B ={−1,3,5,8}，则集合A =.

2.函数f (x )=√x 2+1x −1的值域为.

3.设a,b 为正实数，1a +1b

⩽2√2,(a −b )2=4(ab )3，则log a b =.4.如果cos 5θ−sin 5θ<7(sin 3θ−cos 3θ),θ∈[0,2π)，那么θ的取值范围是

.

5.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为.(用数字作答)

6.在四面体ABCD 中，已知∠ADB =∠BDC =∠CDA =60◦,AD =BD =3,CD =2，则四面体ABCD 的外接球的半径为.

7.直线x −2y −1=0与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，C 为抛物线上的一点，∠ACB =90◦，则点C 的坐标为.8.已知a n =C n 200· 3√6 200−n · 1√2

n (n =1,2,···,95)，则数列{a n }中整数项的个数为.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a,b (a

10.已知数列{a n }满足：a 1=2t −3(t ∈R 且t =±1)，

a n +1=(2t n +1−3)a n +2(t −1)t n −1a n +2t n −1

(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若t >0，试比较a n +1与a n 的大小

.

2011年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷)

11.作斜率为13的直线l 与椭圆C :x 236+y 2

4=1交于A,B 两点(如图所示)，

且P (3√2,√2)在直线l 的左上方.

(1)证明：△P AB 的内切圆的圆心在一

条定直线上；

(2)若∠AP B =60◦，求△P AB 的面积.