三角形中线等分面积的应用

第5讲

例说三角形中线等分面积的应用

如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝

12BD·AE ，S △ADC ＝12

DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积

例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=

4

ab

，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。

解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=

4

ab

，从而得S △ＢＥＧ

=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于

31×4ab =12

ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×

12ab =3

2ab

。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．

（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，

则S 1=________（用含a 的代数式表示）；

（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结

DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；

（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若

阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．

发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如

图1

图2

A

E

图4

D

A

B

C F 图5 图3

A

B

图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．

应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？

分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。

解：（1）由CD=BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC 、△ACD ，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S 1=a ；

（2）若连接DA ，则DA 就是△ECD 的中线，中线AD 将△ECD 分成△CDA 、△EDA ，它们的面积相等；所以S 2=2a ；

（3）根据以上分析，可知△BFD 、△CED 、△EAF 面积都

为2a ；所以S 2=6a ；

发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是S △DEF =

S 3+S △ABC =6a +a =7a ；即扩展一次后的△DEF 的面积是原来

△ABC 面积的7倍。

应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72a ， 扩展三次后S 总3=S 总2=73a ， 拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m 2）

说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结

论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

二、巧分三角形

例3、如图7，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。 解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 1

3

BE ，

则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.

图6

D E A

B C

F H

M

图7

图8

图9

5432

1

方法2：在BC 边上截取DC 3

1

=

BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1:2: 3（如图9）.

想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值

例2 在数学活动中，小明为了求

23411111

22222

n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求

23411111

22222

n ++++⋅⋅⋅+的值. 分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的

2

1

，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。

解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为

234111111

222222n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222

n n ++++⋅⋅⋅+=-.

说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.

三角形内角和定理及外角性质的应用

三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．

三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角

例2 (08太原)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60° 解：由三角形内角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，

由三角形内角和定理，得

∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．

二、判断三角形的形状

例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得

图10