线性定常系统非齐次状态方程的解
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
线性定常连续系统状态方程的解
...
eAtI
AtA2t2
...Aktk
...
2!
k!
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
L1[(sIA)1]L1Is
A s2
A2 s3
.
..
Ak1 sk
.
..
I AtA2t2 ...Aktk ...
2!
k!
eAt
❖ 因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0
sI A s2 3s 2 (s 1)(s 2)
(sI
A)1
adj(sI A) sI A
(s
1 1)(s
ห้องสมุดไป่ตู้
2)
s 3
2
1 s
2 s 1
1 s2
s
2
1
s
2
2
1 s 1
1 s2
s
1 1
s
2
2
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A)1]
L1
s
证明 由指数矩阵函数的展开式,有
eAetAsIA t A 2!2t2... A k!ktk...IAsA 2!2s2... A k!ksk...
IA(ts)A2(t22tss2)... Ak(ts)k...
2!
k!
eA(ts)
3) [Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)
e A ( t 2 t 1 ) 1 e A ( t 2 t 1 ) e A ( t 1 t 2 )
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
❖ 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状 态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I
离散化的状态方程
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法 例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
系统离散状态方程（T＝0.1） 可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相 输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
现代控制工程简答题
现代控制工程简答题1、控制系统的基本构成及特点。
2、现代控制理论的主要内容。
3、控制系统的状态空间描述及意义。
4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的动态特性。
参考答案：1、控制系统主要由具有动态特性的被控对象系统、实现控制作用的控制机构、完成数据收集的检测机构，以及实现性能指标评价和信息处理的计算机构等部分构成。
控制系统的主要特点为：以动态系统为控制对象，通过施加必要的操作，实现对象系统状态按照指定的规律进行变化，达到某一特定功能；强调动态过程和动态行为的目的性、稳定性、能观测性、可控性、最优性以及时实性等；控制系统的数学模型主要用微分方程描述，设计方法为动态优化方法。
，2、主要包括五个方面：①线性系统理论（状态空间描述、能控性、能观测性和稳定性分析，状态反馈、状态观测器及补偿理论和设计方法），②建摸和系统辩识（模型结构及参数辩识方法论、参数估计理论），③最优滤波理论（卡尔曼滤波理论），④最优控制理论（经典变分法、最大值原理法、动态规划法），⑤自适应控制理论（模型参考自适应控制方法论、自校正控制方法论、鲁棒稳定自适应理论等）。
3、控制系统的状态空间描述：由状态方程和输出方程组成的状态空间表达式。
状态方程是一个一阶微分方程组，描述系统输入与系统状态的变化关系，即系统的内部描述；输出方程是一个代数方程，主要描述系统状态与系统输出的关系，即系统的外部描述。
意义：状态空间描述反映了控制系统的全部信息，是对系统特性的全部描述，是实现现代控制系统分析、设计的重要手段。
4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的一般形式为：动态特性：系统状态的动态运动（随时间变化过程）受两部分作用，第一部分为系统初始状态的转移作用，即系统的自由运动项；第二部分为控制输入信号激励下的受控作用，即系统的强迫运动项。
适当选择控制输入，可使系统状态在状态空间中获得满足要求的最佳轨线。
1、控制工程理论（控制科学）的基本任务及广义定义。
线性系统的运动分析
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
状态空间表达式解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
5 / 75
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
3 / 75
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
复试现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
线性系统理论第三章
为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动： 当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !
第二章2 线性定常系统非齐次方程的解
Q
1 1
1 2
Q1
2 1
1 1
eAt
Qet Q 1
1 1
1 et
2
0
0 2 1
e
2t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
系统对单位阶跃输入的响应为：
x(t) e At x(0)
t o
2e (t )
2e
(t
)
e 2(t ) 2e 2(
t Φ(t )Bu ( )d
t0
其中Φ(t t0 ) eA(tt0 )
例：求下列系统的单位阶跃响应
x1 x 2
0
2
1 3
x1 x2
0 1 u
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2)
1 1 2 2
若 Q1AQ
则 e At QetQ1
变换矩阵为
x1(t)
x2
(t
)
1
2
et
et e2t
1 2
e2t
本章总结
• 线性系统的响应是以定量分析（即求解系统的 状态空间描述）的方法研究系统的运动特性。
• 决定线性系统状ห้องสมุดไป่ตู้运动行为的是状态转移矩 阵，它由系统的结构参数唯一决定。
• 重点讨论了e At 的各种计算方法及性质。
• 线性系统的响应由零输入响应和零状态响应的 线性叠加，它们分别是对系统的初始状态和输 入的响应。
线性定常系统非齐次方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
X (t) AX(t) Bu (t)
当X(t0 ) t0 0 X(0)时，
第2章线性定常系统的状态方程求解-0407N
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y Cx(t ) Du(t )
系统的初始状态 x (0) x 0 系统的输入 u(t ) 如何确定系统在任意时刻t的状态 x (t )、输 出 y(t ) ？——状态方程求解问题
本章主要内容
线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵 直接计算法 e At 线性变换法 拉氏变换法 线性定常系统非齐次状态方程的解 拉氏变换法
(2)拉普拉斯变换法：
sxs Axs x0,
sI Axs x0
xs sI A x0,
1
Hale Waihona Puke 即xt L1sI A x0
1
e
At
L
1
sI A
1
2.2 状态转移矩阵的性质
性质 1：初始时刻t0=0时的状态转移矩阵为 单位矩阵。即
( A B ) t
e
e e
At
Bt
e e
Bt
At
例：已知状态转移矩阵
2e t e 2t (t ) t 2t 2 e 2 e e t e 2t t 2t e 2e
试求 1 (t ), A.
t 2t 2 e e 1 (t ) (t ) t 2t 2 e 2 e
1 I A 0
6
0 1 ( 1)( 2)( 3) 0 11 6
因此 (t 1 ) (t 2 ) e A( t1 t 2 ) (t 1 t 2 )
2.2 状态转移矩阵的性质
性质4：状态转移矩阵的逆矩阵。 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 证明：由性质3得： (t t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (0) I 根据逆矩阵的定义，则： 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 性质5：通过状态转移矩阵进行状态转移。 x (t 2 ) (t 2 t 1 ) x (t 1 ) 证明： x(t 1 ) (t 1 ) x(0), x(0) 1 (t 1 ) x(t 1 ) (t 1 ) x(t 1 )
3.3线性定常非齐次状态方程的解
At 0 t
= Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ Φ ( t − τ )Bu( τ )dτ
0
t
（3.3.9）
事实上，对初始时刻 t0 = 0 的情况，也可应用 拉普拉斯变换法求解非齐次状态方程,即
x (t ) = L−1 [( sI − A) −1 ] x (0) + L−1 [( sI − A) −1 Bu( s )]
−1 −1
−1
−1
−1
−1
3 3 3 1 1 − − + − + 2 s ( s + 1) 2s ( s + 3) s 2( s + 1) 2( s + 3) −1 −1 =L =L 1 3 1 1 + − 2( s + 1) − 2( s + 3) 2 s ( s + 1) 2s ( s + 3) − 1 + 1.5e −t − 0.5e −3t = −t −3t 0.5e − 0.5e
3e −( t −τ ) − e −3( t −τ ) 1 t = ∫0 −( t −τ ) 2 e − e −3( t −τ )
− 3e −( t −τ ) + 3e −3( t −τ ) 0 dτ −( t −τ ) −3( t −τ ) −e + 3e 1
− 1 + 1.5e −t − 0.5e −3t 1 t − 3e −(t −τ ) + 3e −3( t −τ ) = ∫0 −( t −τ ) dτ = −3( t −τ 3e 0.5e − 0.5e
现代控制理论教案
现代控制理论理论教案绪论【教学目的】了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。
【教学重点】了解控制理论发展的三个阶段并掌握各阶段的主要任务。
【教学方法及手段】课堂教学【课外作业】阅读教材【学时分配】2学时【教学内容】本教材绪论部分主要讲述了以下几个问题：一、控制理论发展简况1）古典控制理论：研究对象以单输入、单输出线性定常系统为主，以传递函数为系统的基本描述，以频率法和根轨迹法为主要分析与设计手段。
2）现代控制理论以状态状态空间模型为基础，可研究多输入、多输出、时变、非线性等各种对象；研究系统内部结构的关系提出了能控性、能观测性等重要概念，提出了不少设计方法。
3）大系统与智能控制阶段。
二、现代控制理论的基本内容(1)线性多变量系统理论。
这是现代控制理论中最基础、最成熟的部分。
它揭示系统的内在想律，从能控性、能观测性两个基本概念出发，研究系统的极点配置、状态观测器设计和抗干扰问题的一般理论。
(2)最优控制理论。
在被控对象数学模型已知的情况下，寻求一个最优控制规律(或最优控制函数)，使系统从某一个初始状态到达最终状态并使控制系统的性能在某种意义下是最优的。
(3)最优估计理论。
在对象数学模型已知的情况下，最优估计理论研究的问题是如何从被噪声污染的观测数据中，确定系统的状态，并使这种估计在某种意义下是最优的。
由于噪声是随机的，而且是非乎稳随机过程(随机序列)，这种憎况下的状态估计是卡尔曼提出和解决的，故又称卡尔曼滤波。
这种滤波方法是保证状态估计为线性无偏最小估计误差方差的估计。
(4)系统辨识与参数估计。
这是基于对象的输入、输出数据、在希望的估计准则下，建立与对象等价的动态系统(即建立对象的数学模型)，由于效学模型一船地说，是由阶致和参数决定的。
因此，要决定系统的阶数和参数(即参数估计)。
三、本课程的基本任务该课程是工业自动化专业的一门重要的专业基础课程。
现代控制理论复习
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s )G1 ( s )]−1 或 = [ I + G1 ( s )G2 ( s )]−1 G1 ( s )
2 0 1 1 1 2 9 8
[ 第二章总结] 1 .线性定常齐次状态方程的解 2 .矩阵指数函数 e At 3 .状态转移矩阵 Φ ( t − t0 ) Φ ( t , t ) 0 4 .线性定常非齐次状态方程的解 5 .线性时变系统状态方程的解 1 、线性定常系统运动分析 1 ）齐次状态方程的解：
2 0 1 1 1 2 9 2 2
4 、李氏第二法判稳 李氏第二法判稳思路：寻找李氏函数 李氏第二法判稳思路 李氏第二法稳定性定理
G11 G12 G G Y(s) G(s) = = C(sI − A)−1 B + D = 21 22 M M U(s) Gm1 Gm2 L G1r L G2r L M L Gmr
G( s ) 的每个元素的含义：
Yi ( s ) 表示第i 个输出中，由第j 个输入变量所引 Gij ( s ) = 个输入变量间的传递关系 U j ( s ) 起的输出和第j
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 0
约当标准型法：当A 的特征值为 λ1（n 重根）
λ1t e = Q M 0 0 te λ1t L O O L 1 t n−1e λ1t ( n − 1)! −1 O M Q O te λ1t 0 e λ1t
x ( t ) = Φ ( t − t0 ) x ( t0 )
2 ）非齐次状态方程的解：
x( t ) = Φ ( t ) x( 0) + ∫ Φ ( t − τ ) Bu(τ )dτ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(t 0)(0 ( )) (t ( )) (t )
（3）可逆性： Φ1(t) Φ(t)
由（1），(t t) I, 由（2），(t)(t) I.
可依此计算0时刻的状态值
x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
x(t2) (t2 0)x(0)
(t2 ) (t2 t1)(t1 0)
2.2.2、状态转移矩阵的性质
（1）状态转移矩阵初始条件：
Φ(0) I
也即： (t t) I
意为状态向量从时刻 t 转移到t ，显然保持不变。
（2）组合性： (t)( )=(t )
dt
2!
k!
=A(I+At L 1 Akt k +L ) k!
x(t) eAtx0,t 0.
令：
eAt Φ(t)
e
A
(
t
t
0
)
Φ(t t0 )
则有：
状态转移矩阵
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。
注2：状态转移矩阵的物理意义：
x(0)
ax(0)(t
t0 )
1 a2 x(0)(t 2!
t0 )2
L
1 ak k!
x(0)(t
t0
)k
L
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L 微分方程：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地
在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0)
x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
x(t1) (t1 0)x(0)
x(t2) (t2 t1)x(t1)
x(t2) (t2 t1)(t1 0)x(0)
代入微分方程： x&(t) Ax(t) A(b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L ) 对 x(t )求导： x&(t) b1 2b2 (t t0 ) 3b3 (t t0 )2 L kbk (t t0 )k 1 L
其解即为自由解。
x(t) |t t0 x(0)
非齐次状态方程：
x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
其解为自由运动和强迫运动之和。
2.1.2、齐次状态方程的解：
状态方程
x(t) Ax(t)
求 x(t) ?
启发：一阶标量微分方程 x&(t) ax(t), x(t0 ) x(0)
u0
x
( A, B)
x& Ax , x(t) |t t0 x(0)
2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用
下的运动，称为强迫运动。 u
x
( A, B)
x& Ax Bu , x(t ) |tt0 x(t0 ) 0
齐次状态方程： x& Ax ,
（4） Φ&(t) AΦ(t) Φ(t)A Φ(0) A
eAt I At 1 A2t2 L 1 Aktk L
2!
k!
（5）
AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
d eAt A 2 A2t L k Akt k 1 L
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
)x(t0)
x(t) eA(tt0 )x(t0 )
eA(tt0 )
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
A矩k (阵t 指t0数)k函L数
结论：考虑齐次状态方程 x(t) Ax(t)，
若初始状态为x(t0 ) x0, 其解为：x(t) eA(tt0)x0,t t0,
dx ax dx a dt ln x ln x(0) a(t t0 )
dt
x
x(t) ea(t t0 ) x(0)
指数函数：
ea(t t0 )
1 a(t t0 )
1 a2 2!
(t
t0
)2
L
1 ak (t k!
t0 )k
L
x(t)
若 t0 0, 其解为x(t) eAtx0,t 0.
矩阵指数 eAt 把系统的状态 x(0)转移到 x(t)，也把它称为 状态转移矩阵，记为 (t) 。 (t) 是一般的表示形式
2.2 状态转移矩阵
2.2.1、状态转移矩阵的含义
线性定常系统的齐次状态方程的解：
x(t) eA(tt0)x0,t t0,
b0
Ab0
(t
t0
)
1 2!
A2b0
(t
t0
)2
L
1 k!
Akb0
(t
t0
)k
L
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
) b0
t t0 x(t0 ) b0
x(t) (I A(t
t0)
1 2!
A2
(t
t0
)2
第二章 控制系统状态空间表达式的解
本章主要内容：
• 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2.1.1 线性定常系统的运动
1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
由初始状态引起的运动称自由运动。
比较以上两式系数有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kb k Abk 1
b1 Ab0
b
2
b 3
1312AA2131!bb!A21A23bb00
b k
1
k
Ab1k k!
A1
k
b0
x(t) b0 b1 (t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L