光量子学习题答案
第二章习题答案量子光学（中科院研究生院）
(∆X1)n
=
n m=0
: (∆X1)m :
n!
1
m!(
n−m 2
)!
8
n−m 2
.
由于对于相干态，如果 m = 0，则 : ∆X1m : = 0，所以上式右边在相干态下不为零的 展开项仅为首项
(∆X1)n
=
n!
(
n 2
)!8n/2
=
1·2·3····n
1
·
2
·
3
·
·
·
·
n 2
·
8n/2
=
1·2·3····n
ν π
1/2
exp
−ν
q2 − 2qq0 cos νt + q02 cos2 νt
ν π
1/2
exp
− ν (q − q0 cos νt)2
.
习题 2.4.
习题 2.5.
Y1
=
1 2
Y2
=
1 2i
e−i
θ 2
a
+
ei
θ 2
a†
e−i
θ 2
a
−
ei
θ 2
a†
(∆Y1)2 = Y12 − Y1 2 由此可得
a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r
e−iθ a† cosh r − ae−iθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r
a† cosh r − ae−iθ sinh r a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r |0
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
第七章光的量子性习题及答案
1第七章 光的量子性１. 在深度远大于表面波波长的液体中，表面波的传播速度满足如下规律：v =224()2Fg l p p l r +式中g 为重力加速度，r 为液体密度，Ｆ为表面波的波长．试计算表面波的群速度．解：u = v - l vd dl = ｖ－l dv d l ＝224()2g l p p l r + －l 224(()2d g d r lp p l l +＝3422g F g F l p p lrl p p lr ++ ２. 测量二硫化碳的折射率实验数据为：当＝589 nm .n ¢ = 1.629:当"l =656nm 时，n ¢¢=1.620 试求波长589nm 的光在二氧化硫的相速度、群速度和群折射率。
解：由v = c n 得 v 1 =2997924581.629= 1.840×108 m ／s.v 2 =2997924581.620=1.8506×108 m ／s所以△v = v 2 – v 1 = 1.057×106 m ／s由一般瑞利公式由一般瑞利公式 u = v - l vl ¶¶=1.840×108 - 589 ×1.507×1.507×10106 ／(656 – 589) = 1.747 ×108 m ／sn = c ／v = 299792458 ／1.747×108 = 1.7163. 在测定光速的迈克尔逊旋转棱镜法中，设所用棱镜为正n 面棱柱体。
试导出：根据棱镜的转速、反射镜距离等数据计算光速公式。
解：设反射镜间距离为L 转速V 0 则n 面棱柱每转过面棱柱每转过 一个面，一个面，光往返一个来回。
所用时间光往返一个来回。
所用时间t = 1n ／V 0 = 01nV 所以所以c = 2L ／t = 021LnV = 2LnV 04.试用光的相速度v 和dvd l 来表示群速度u= d dk w，再用v 和dnd l 表示群速度u = d dk w解：(1) 由u = d dk w= v - l v l ¶¶ (2) 由 u = v - l vl¶¶<1 v = c ／n <2>→ dvd l =()cd n d l = －223,(1)c dnn d c dn v dn v dv v v v dn n d n d n d ll l l l l l<>=+=+=+把〈把〈33〉代入〈〉代入〈11〉得dv u =v -d5.计算在下列各种色散介质中的传播的各种不同性质的波的群速度：（1）v = 常量 （2）v = al , ( a 为常量) （3）v = a ／l （在水面上的表面张力波） （4）v = a ／l (5)222v c b l =+(电离层的电磁波，其中c 是真空中的光速，l 是介质中的波长) （6）222c v c a ww em =-(在充满色散介质的直波导管中的电磁波,式中c 为真空中的光速,a 是与波导管有关的常量,()e e w =是介质的介电常数,()m m w =是介质的磁导率)解:(1)l ld dvv u -= ，0,==dv v 常量 所以常量==v u (2)l ld dv v u -=, l l l d a dv a v 2,==，所以222v a a a u ==-=l l l l (3)l l l2/32,ad dv av -==，所以v av u 2322/3=+=l l(4)dv uv d l l =-=()2ad a ad l l l l l -=v 2= (5)dv u v d ll =-=2222222222()d c b c c b d c b l l l l l ++-=+v c 2= (6)kv dk d u ==w w,，)1(11w ww d dvv v d dk u -== 而)(),(,222w m m w e e em w w==-=ac c v2/3222)(])(2[a c d d v v d dv -+-=em w w em w em w w w所以])(21[1w em em w em d d v cu +=6.利用维恩公式求:辐射的最概然频率v m ,辐射的最大光谱密度()m l e 辐射出射度M0(T)与温度的关系. 解: 由维恩位移定律T T b b T m m m 1×Þ=Þ=l l l 由斯沁藩公式()()44T T M T T M ×Þ=s7.太阳光谱非常接近于480m nm l =的绝对黑体的光谱.试求在1 s 内太阳由于辐射而损失的质量,并估算太阳的质量减少1% (由于热辐射)所经历的时间(太阳的质量m 0为2.0×1030千克,太阳的半径r 是7.0×108m) 解：由维恩位移公式解：由维恩位移公式m m bT b T l l =Þ=:由斯沁藩公式由斯沁藩公式34484()92.897810() 5.6705110()48010b b M T m s s l ---´===´´´=7.35×107瓦()()()瓦总262872106357.4100.714.341053.74´=´´´´´==×=r T M S T M P b b p由方程由方程P 总t =m 0×1%×c 221800.01 3.8810m c t sP ´´Þ==´总所以在1s 内kg 1015.5109106357.41916262´=´´=×=D c s P m 总损 8.地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量平均值为0.546J.如有有一黑体,它在辐射相同的能量时，温度应为多少？ 解：解：4()0.546109160bM=´=()s m W ×/由斯沁藩公式由斯沁藩公式11()444()891()()()200.145.670510b bM M T T T Ks s-=Þ===´9.若有一黑体的辐出度等于5.70W ／cm 2,试求该辐射最大光谱强度相对应的波长。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子光学答案
量子光学答案一 1：单模光场相干态定义为光子湮灭算符的本征态，即a ααα=。
相干态的三个主要性质：（1） 相干态是非正交和超完备的； （2） 相干态是最小测不准量子态，因而也是量子理论所容许的最接近经典极限的量子态；（3） 相干态下能量的起伏最小，即零点能。
任何相干态的量子起伏都相等，相干态的量子起伏实质上是真空的起伏。
2： 通常引用密度算符来统一地描述量子系统中两类性质不同的系统状态（纯态和混合态）的统计平均。
n n n nP ρψψ≡∑密度算符的物理含义：密度算符ρ包含了有关此系统的所有物理上有意义的信息。
求解量子力学的问题实际上归结为求出系统的密度算符ρ。
3： 压缩态是一类最小测不准态，但在某一正交分量上具有更小的起伏噪音（小于真空起伏）。
两个正交相位算符的均方起伏乘积为最小，但不相等的态称为压缩相干态，俗称压缩态。
4： 利用相干态的对角化矩阵可以将密度算符表示为：*2(,)P d ρααααα=⎰上式中分布函数称*(,)P αα为 Glauber-Sudarshan 表示，即 密度算符的P 表示。
在分布函数的积分形式中，存在以下傅里叶变换形式：22***221(,)P eeed αββαβαααβρββπ--=-⎰其中积分2**221ee d ββαβαβρββπ--⎰存在奇异性，通过比较βρβ-与2eβ-的下降速度的快慢，即可以判断场所处的状态（经典态、纯量子态、相干态）。
由此可见，密度算符的P 表示可以作为非经典场的判据。
5： HBT 实验原理如下图所示：SMP1P2相关器t图 实验HBT来自光源S 的光束经一半透半反的分束器M 后，分成两束光，并分别用两个光电探测器P1和P2测量，探测器输出的光电信号被反馈到一个相关器（符合计数器），其中一路光电信号经过了τ时间的延迟器。
这个装置测量的是在两个不同时空点光场强度的起伏I ∆的关联，而不再是以往光学实验所测量的场本身的关联。
相关器测量到得物理量是在P1和P2处强度起伏的关联。
量子力学习题集及答案
量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。
XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。
3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。
4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。
5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。
6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。
7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。
其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。
8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。
10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。
11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。
12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。
14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。
2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。
量子力学练习题答案
一、 简答题 1． 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有： （1）对入射光存在截止频率ν0 ，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2） 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关，入射光的强度无关；（3） 截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金 属表面，就有光电子逸出。 2． 简述 Planck 的光量子假设。 答：Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν 的辐射，物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3． 写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答：Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
⎤ ⎥ ⎦
16． 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想
精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17． 简述量子力学的态叠加原理。
答：量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态，
ψ ( x, t) = eip0x / = ⋅ e−iEt / = = e−i(Et− p0x)/ =
14． 写出动量算符、动能算符以及在直角坐标系中角动量各分量的算符的
表达式。 答：动量算符 lpK = −i=∇
动能算符 Tl = 1 (−i=∇)2
2m
角动量各分量的算符
L x
=
−i=
⎛ ⎜
量子力学总结习题考卷及答案
量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。
⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。
⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。
这种电⼦称之为光电⼦。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。
若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。
光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。
⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。
爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。
②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。
⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。
⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集一、填空题1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。
2．索末菲的量子化条件为（ ⎰=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p= ）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ=（ r p i e⋅2/3)2(1π ）， ()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p （ )(p p-'δ ）。
5．动量算符的归一化本征态=)(r p ψ（r p i e⋅2/3)2(1π ），='∞⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p-'δ ）。
6．t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t iex ex ωωψψ25220)(2)(--+ ）。
7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2），几率流密度=（()**2ψ∇ψ-ψ∇ψμi ）。
8．设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中Fˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx F ψψψψ**ˆ ）。
9．波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。
10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
11．)i ex p()()i ex p()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。
12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。
《大学物理AII》作业 No.07 光的量子理论 参考解答
级上的原子数大于低能级上的原子数，这种分布称为（粒子数反转分布） 。 11、 激光器的结构包括： （1）具有（亚稳态）能级，能实现粒子数反转分布的（激 活介质） ； （2）具有“抽运”作用的能量输入系统，即（激励能源） ； （3）具有光 放大作用的（光学谐振腔） 。 12、 某金属在一束绿光的照射下有光电效应产生。当用更强的绿光照射时光电效 应发生的变化是（饱和光电流增大） ；当用强度相同的紫光照射时光电效应发生 的变化是（光电子动能增加或者反向截止电压增加） 。
13、相比较于普通光源，激光的优异特性表现为： （方向性好、单色性好、相干 性好、偏振性好等） 。 二、简答题 1、炼钢工人凭观察炼钢炉内的颜色就可以估计炉内的温度，这是根据什么原 理？ 答：将被加热的钢铁视为黑体，根据黑体辐射的维恩位移定律 mT 常数 ，可以 看出随着温度升高，加热的钢体发出光的波长要变短，即可以由暗红变为赤红、 橙色，而最后变白。如果掌握了颜色变化与对应温度变化之间的联系规律，就可 以凭钢炉内的颜色估计出炉内的温度。
3、当康普顿散射角为 90 度时， 试计算下列波长的光子被散射时，损失的能量与 散射前光子的能量的比值。 （1）波长 3cm（微波范围） ； （2）波长 500nm （可见光范围） ； （3）波长 0.1nm （X 射线范围） ； （4）波长 0.001nm （ 射线范围） ； 通过以上计算，对入射光波长与散射的关系能得出什么结论？ 解：设入射光波长 、频率 ，散射光波长 、频率 ；则光子散射时损失的能 量与入射光子能量之比为：
0.0024 nm 2.4 10 12 m 2
由以上计算结果可以看出，入射光的波长愈短，散射时能量损失愈大，则入 射光与散射光的波长差别就愈明显，康普顿效应也就愈明显。
量子力学练习一+解答
量子力学练习一1．爱因斯坦在解释光电效应时，提出 概念；爱因斯坦光电效应方程为 ；电子的康普顿波长为 。
光量子（光子）21v 2h m A ν=+ 20 2.4310Ac h m cλ-==⨯ 2．玻尔氢原子理论的三个基本假设是：（1）（2） （3） 。
定态假设 跃迁假设 角动量量子化假设3．能量为100eV 的电子，其德布罗意物质波的波长为 。
101.210m -⨯4．在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 ； ； 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 波，波函数模的平方()2r ψ表示粒子在空间的几率分布，称为 。
而()2r d ψτ表示 ，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 。
单值的、连续的、平方可积的；几率或概率 几率密度或概率密度；在空间体积d τ中找到粒子的几率或概率；归一化 5．测不准关系/2x x p ∆∆≥ 表明，微观粒子的位置（坐标）和动量 ，这是 的反映，当0→ 时，量子力学将回到经典力学，或者说 可以忽略。
而/2E t ∆∆≥ 说明原子处于激发态时有一定的时间限制，则原子激发能级有一定 ，这是原子光谱存在 的根源。
不能同时具有完全确定的值 粒子的波动－粒子两重性 量子效应 宽度 自然宽度6．在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即ˆp = ，在动量表象中，坐标变为坐标算符，即ˆr=。
i -∇ p i ∇7．设波函数()22xx Aeαψ-=，α为常数，求归一化常数A()222222222*21x x x x dx A e Ae dx Ae dx Aαααψ∞∞∞----∞-∞-∞====⎰⎰⎰其中利用2xe dx ∞--∞=⎰A ＝1/41/22απ⎛⎫⎪⎝⎭8．已知做直线运动的粒子处于状态()11x ixψ=- （1）将()x ψ归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。
2023高考物理量子力学练习题及答案
2023高考物理量子力学练习题及答案一、单项选择题1. 根据量子力学的原理，下列哪个量是离散的？A. 电子的动量B. 电子的位置C. 粒子的质量D. 粒子的速度答案：B2. 在量子力学中，波粒二象性指的是什么？A. 粒子存在着波动性B. 粒子的波动速度与光速相等C. 粒子的波动性与粒子性同时存在D. 粒子的波动性只存在于空间中答案：C3. 下列哪个现象不能用经典物理学解释？A. 光的干涉与衍射现象B. 光电效应C. 康普顿效应D. 高速电子的波动性答案：D4. 以下哪项不是量子力学的基本假设之一？A. 波函数包含了粒子的全部信息B. 波函数的平方描述了粒子在不同位置出现的概率C. 粒子的位置和速度可以同时确定D. 波函数的演化遵循薛定谔方程答案：C5. 根据薛定谔方程，粒子波函数的时间演化是：A. 线性的B. 非线性的C. 随机的D. 不可逆的答案：A二、计算题1. 一束入射光照射到金属表面，发生了光电效应。
入射光的波长为550 nm，逸出功为2 eV，求最大能量的光电子的动能。
答案：入射光的能量E = hc/λ = (6.63 × 10^-34 J·s × 3.00 × 10^8 m/s) / (550 ×10^-9 m) = 1.20 × 10^-19 J最大动能K = E - φ = 1.20 × 10^-19 J - (2 × 1.60 × 10^-19 J) = -0.40 ×10^-19 J2. 一束入射电子的波长为1 nm，通过一个宽度为1 μm的狭缝后，到达屏幕上的交叉区域。
求交叉区域的宽度。
答案：交叉区域的宽度Δx = λL / d，其中L为屏幕到狭缝的距离，d为狭缝的宽度。
根据德布罗意关系，电子的波长λ = h / mv，其中h为普朗克常量，m为电子质量，v为电子速度。
将已知值代入计算，可得Δx ≈ (6.63 × 10^-34 J·s) / (9.1 × 10^-31 kg × 1 × 10^6 m/s) × (1 × 10^-9 m) / (1 × 10^-6 m) ≈ 7.3 × 10^-6 m三、解答题1. 请简要阐述波粒二象性的概念，并说明量子力学中的波函数是如何描述粒子的。
量子光学习题解答
e e =e e e 令 λ =1，即 e = e e e = e ee A ↔ B ，则有 e = e ee 。
A+ B
=e
λA
λB
−1 λ 2C 2
−1 λ 2C 2
A B
λA
λB
−1 C 2
−1 [ A, B ] 2
A
B
A+ B
1 [ A, B ] 2
B
A
1.3
α 为参数，A,B 不对易，求证
∴e
−α a + a
f ( a , a + )e
α a +a
= f (ae , a + e ) 。
α
−α
（c）的另一种证法： 由 1.2 题的（1）式，易得 [a + , a n ] = −na n −1 ， [a , a + n ] = na + n −1 ∴[a + a, a n ] = − na n ， [aa + , a + n ] = na + n 由 1.3 题结果，易得 e
1 ∂2 A =0 2 c ∂t 2
（1 ）
(i = x , y , z )
在直角坐标系中，分离变量
Ai ( r , t ) = Ai ( r ) Ai (t )
（2）
代入（1）式，有
∇2 Ai ( r ) Ai ( r )
2
=
1 ∂ 2 Ai ( t ) c2 ∂t 2 Ai ( t )
2
= −k 2
+ + + + + + + + + + +
21量子光学习题思考题
习题2121-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长m λ，利用维恩定律便可求出T 。
已知太阳、北极星和天狼星的m λ分别为60.5010m -⨯，60.4310m -⨯和60.2910m -⨯，试计算它们的表面温度。
解：由维恩定律：m T b λ=，其中：310898.2-⨯=b ，那么：太阳：362.8981057960.510m bT K λ--⨯===⨯； 北极星：362.8981067400.4310m bT K λ--⨯===⨯；天狼星：362.8981099930.2910m bT K λ--⨯===⨯。
21-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为K 3的黑体辐射，试计算： （1）此辐射的单色辐出度的峰值波长； （2）地球表面接收到此辐射的功率。
解：（1）由m T b λ=，有342.898109.66103m b m T λ--⨯===⨯； （2）由4M T σ=，有：424P T R σπ=⨯地，那么： 328494(637010) 5.67103 2.3410P W π-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯。
21-3．已知000K 2时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为259.0。
设灯泡的钨丝面积为2cm 10，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。
解：∵4P T S σ=⋅黑体，消耗的功率等于钨丝的幅出度，所以，44840.2591010 5.67102000235P S T W ησ--==⨯⨯⨯⨯⨯=。
21-4．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。
现观测到某恒星热辐射的峰值波长为m λ；辐射到地面上单位面积的功率为W 。
已测得该恒星与地球间的距离为l ，若将恒星看作黑体，试求该恒星的半径。
（维恩常量b 和斯特藩常量σ均为己知） 解：由m T b λ=恒星，4M T σ=，考虑到恒星辐射到地面上单位面积的功率⨯大球面=恒星表面辐出的功率，有：22444W l R T ππσ⋅=⋅恒星恒星，∴R =恒星21-5．分别求出红光（5710cm λ-=⨯），X 射线（A 25.0=λ），γ射线（A λ21024.1-⨯=）的光子的能量、动量和质量。
近代物理--光的量子性--习题解答
= 4 . 34 × 10 −12 ( m ) = 4 . 34 × 10 − 3 nm
λ − λ0 =
2h sin m 0c
2
ϕ
2
ϕ = 63 ° 2 4 ′
2h
m0 c
1 3 × 10 −12
c2 1 9 . 11 × 10 − 31 × 3 × 10 8 (1 − + 6 . 63 × 10 − 34
1 1 − 0 .6 2
(4.34 − 3) ×10−12 = × 9.11× 10−31 × 3 ×108 −34 2 × 6.63 ×10 = 0.5255 )
ϕ =π
1 1 − ) ×109 0.0708 0.0732
2 × 6.63 × 10 −34 π λ = 0.0708 × 10 + sin 2 2 9.11 × 10 −31 × 3 × 10 8 = 0.0756 × 10 −9 (m )
−9
∆E = 6.63×10−34 × 3 ×108 ( = 1.78 ×10−16 (J ) = 1115eV
0
h
− 34 − 7
c A 3 × 10 4 . 2 × 10 ( m ) ×
8 − 19
× 10
2 . 96 × 10 296 nm
2.解 解
2h sin ∆λ = m 0c
2
ϕ
2
λ = λ0 + ∆λ = λ0 +
c
2h 2 ϕ sin m0c 2
)
∆E = hc( 1
∆E = hγ 0 − hγ = h
ϕ =
λ = λ0 +
π
2
2h ϕ sin 2 m 0c 2
2019年光量子学习题答案.doc
《光量子学基础》习题答案（沈建其提供，2009年6月）说明：习题难度非常低，大多习题均可以在ppt 中直接找到答案。
第一次习题：1．计算（1）：de Broglie 波长均为5埃（Å）的电子、中子与光子的动量与能量各为多少？答：这三种粒子的动量都是3424106.6310 1.3310510p h λ---⨯===⨯⨯Kg ·m/s (或241.310-⨯ Kg ·m/s)。
电子的动能 ()224218300 1.33100.96510220.91110k pE m ---⨯===⨯⨯⨯J 6.03=eV （或6eV ） （1电子伏特＝191.6010-⨯焦耳）中子的动能 ()224221270 1.33100.5261022 1.6710k p E m ---⨯===⨯⨯⨯J 20.33010-=⨯eV 以上使用牛顿力学的动能公式（6.03eV 远比电子的静止能量20m c 约0.5MeV 小，0.0033eV 远比中子的静止能量20m c 约990MeV 小，说明没有必要使用相对论来计算） 但光子是相对论性粒子，必须用相对论来计算：光子动能（总能）2481.3310 3.0010k E pc -==⨯⨯⨯J ＝4.001610-⨯J=2.50310⨯eV 。
说明：虽然以上问题中，牛顿力学的动能公式是非常良好的近似，但使用相对论亦可。
有的学生计算了动能部分，有的学生计算了总能量2E mc =，答案是开明的，都属对，但要知道2E mc =与动能22p m 之间如下关系：粒子总能量2E mc =，动质量m =2E mc =可以用泰勒展开：2246001...2E m c m v av bv =++++，其中20m c 为静止能量（rest energy ）, 2012m v 为牛顿动能（它只是2E mc =的一部分）。
只有当低速的时候，220012m c m v +才重要，其中2012m v更重要。
大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础
其中，m为粒子的质量，U为粒子在外力场中的势能函数，E是粒子的总能量。
·在无限深方势阱中的粒子能量为
整数n称为量子数。每一个可能的能量值称为一个能级。
·在势垒有限的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做势垒贯穿。
7．电子运动状态
·量子力学给出的原子中电子的运动状态由以下四个量子数决定
·在不同的热力学温度T下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长 ，维恩从热力学理论导出T和 满足如下关系
其中b是维恩常量。
3．斯忒藩—玻尔兹曼定律
·斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度 与温T的关系
其中 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。对于一般的物体
称发射率。
4．黑体辐射
·黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率 成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量 被称为一个量子。黑体辐射的能量为 ，其中n＝1，2，3，…，等正整数，h为普朗克常数。
解：每个光子能量为 ，其中 为普朗克常量且
则，100个波长为550nm的光子的光功率为
10-5（1）广播天线以频率1MHz、功率1kW发射无线电波，试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量I0＝1.3kW/m2，计算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数（人的瞳孔面积约为 ,光波波长约为550nm）。
解：（1）每个光子能量为 ，由
10-7“光的强度越大，光子的能量就越大”，对吗？
答：不对,光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。一定频率的光强度越大，表明光子数量越多，但每个光子的能量是一定的，只与频率有关，与光子数目无关。
10-8什么是康普顿效应？
答：考察X射线通过物质时向各个方向的散射现象发现，在散射的X射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。
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光量子学习题答案《光量子学基础》习题答案（沈建其提供，2009年6月）说明：习题难度非常低，大多习题均可以在ppt 中直接找到答案。
第一次习题：1．计算（1）：de Broglie 波长均为5埃（Å）的电子、中子与光子的动量与能量各为多少？答：这三种粒子的动量都是3424106.6310 1.3310510p h λ---⨯===⨯⨯Kg ·m/s(或241.310-⨯ Kg ·m/s)。
电子的动能 ()224218300 1.33100.96510220.91110k pE m ---⨯===⨯⨯⨯J 6.03=eV（或6eV ）（1电子伏特＝191.6010-⨯焦耳）中子的动能()224221270 1.33100.5261022 1.6710k pE m ---⨯===⨯⨯⨯J 20.33010-=⨯eV以上使用牛顿力学的动能公式（6.03eV 远比电子的静止能量20m c 约0.5MeV 小，0.0033eV远比中子的静止能量20m c 约990MeV 小，说明没有必要使用相对论来计算）但光子是相对论性粒子，必须用相对论来计算： 光子动能（总能）2481.3310 3.0010k E pc -==⨯⨯⨯J ＝4.001610-⨯J=2.50310⨯eV 。
说明：虽然以上问题中，牛顿力学的动能公式是非常良好的近似，但使用相对论亦可。
有的学生计算了动能部分，有的学生计算了总能量2E mc =，答案是开明的，都属对，但要知道2E mc =与动能22p m 之间如下关系：粒子总能量2E mc =，动质量m =。
2E mc =可以用泰勒展开：2246001...2E m c m v av bv =++++，其中20m c 为静止能量（restenergy ）,2012m v 为牛顿动能（它只是2E mc =的一部分）。
只有当低速的时候，220012m cm v +才重要，其中2012m v 更重要。
当高速的时候，212m v 不再重要。
此时应该用2E mc =等来计算。
因此，本习题求中子与电子的动能时，可以用如下两法：①使用p =v，代入2E =，求出总能量E, 再减去静止能量2m c ，即是动能。
② 利用动量p 的数值，使用222240Ep c m c=+，求出总能量E, 再减去静止能量20m c ，即是动能。
以上两法是等价的。
以上两法对于光电系学生不作要求，但还是有不少学生就使用了以上两法，说明他们对于普通物理掌握得不错。
值得赞赏！！计算（2）：当电子与中子的速度都为1000m/s 时，它们的物质波（deBroglie 波）波长各为多少？当它们通过一个宽度为10nm 的细缝时，谁的衍射效应强？哪者需要使用量子论研究，哪者可以近似用牛顿力学处理？普朗克常数346.6310h -=⨯J ·s, 约化（reduced ）普朗克常数341.05102hπ-==⨯J ·s, 电子质量300.91110-⨯Kg, 质子与中子质量接近，可以取271.6710-⨯Kg 。
答： 电子的物质波波长347306.63107.30100.911101000h p λ---⨯===⨯⨯⨯m＝730nm ， 中子的物质波波长3410276.6310 3.97101.67101000h p λ---⨯===⨯⨯⨯m ＝0.4nm ，根据衍射理论，屏幕上衍射暗条纹之间的距离为/L aλ （L 为细缝与屏幕之间的垂直距离，a 为缝宽）。
波长越短，粒子性越强；波长越长，波动性越明显，衍射效应越强。
电子的衍射效应强，电子需要使用量子论研究，本例中子可以近似用牛顿力学处理。
2． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Compton （康普顿）散射理论独立推导一遍，体会光子的确具有客观实在性，同时锻炼自学能力。
答：略3． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Bohr （波尔）的氢原子结构理论的数学独立推导一遍，体会Bohr 创建原子模型的心路历程，同时锻炼自学能力。
答：略第二次习题：1．下面各个状态中，哪个与1ψ描写同一个状态？理由是？2/2/3/1232/(2)/2/456,,,,3,(42).i x i x i x i x i x i x e e e e e i e πψψψψψψ--+====-==+答：146(),(),()x x x ψψψ描述同一个状态（差别仅在于无关紧要的常数系数，它们可以通过归一化手续去掉）。
2．有两个波函数12sin()||()1,2,3,20||sin()||()1,2,3,20||n A x a x a x n ax a n A x a x a x n ax aπψπψ⎧-≤⎪==±±±⎨⎪>⎩⎧+≤⎪==±±±⎨⎪>⎩1()x ψ与2()x ψ是否等价？理由是？对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，是否等价？理由是？ 答：()()12sinsin sin cos cos sin ;2222222sin sin sin cos cos sin 2222222n n n n n n n A x a A x A x A x a aa a n n n n n n n A x a A x A x A x a a a a πππππππψπππππππψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以看出：当n 是偶数的时候， sin 02n π⎛⎫±= ⎪⎝⎭，1()x ψ与2()x ψ等价。
当n 是奇数的时候，cos 02n π⎛⎫±= ⎪⎝⎭，1()x ψ与2()x ψ等价。
说明：我们也可以使用如下更为方便且严密的做法：即把1ψ用2ψ表示出来。
()()()222222422222222222222211sin 2221122sin sin22n n n n n n i x a i x a i x i x i i a a a a n n n n n n n n n n i x i x i x i x i i i i i i a a a a n n iin x a e e e e e e a i i e e e e e e e e e e i i n n n x e eaππππππππππππππππππππππ---------⎡⎤⎡⎤-=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()2x a a+ 其中第三等号后使用了关系421n ie π=。
以上看出，1ψ与2ψ可以互相表示，它们只相差一个常数系数22n i eπ（常数系数之间的差别可以通过归一化手续去掉，所以1ψ与2ψ等价）。
（说明：这里，22(1)n i n e π=-）对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，()1sin sin sin cos 22222n n n n n A x a A x A x a a a πππππψ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2n =±，它们等价。
3． 由薛定谔方程22[]2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂证明：2[]2i t μ***∂ψψ=∇⋅ψ∇ψ-ψ∇ψ∂（）， 并与粒子数守恒公式（连续性方程）0J tω∂+∇⋅=∂比较：如果粒子数密度ω定义为*ψψ，那么流密度J 的表达式是什么？答：见PPT 讲义或曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.17.4． 一维谐振子处于状态22()exp(/2)x A x ψα=-。
求：归一化系数A （请用α表示）。
答：假设归一化系数A为实数。
由归一化条件，可得*222()()1exp()1.x x dx A x dx ψψα+∞-∞=⇒-=⎰⎰由数学用表可以查得：22exp()x dx αα+∞-∞-=⎰那么21A α=，所以A = 说明：如果没有数学用表，我们也可以自己计算22exp()x dx α+∞-∞-⎰（是某一年的数学考研填空题），方法如下：设2222exp()exp()I x dx y dy αα+∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰，()()()22222202222202exp exp 2exp I x y dxdy r rdr r d rααππαααπα+∞-∞∞∞⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-⋅⎣⎦=-=⎰⎰⎰那么，I =。
那么21A =，所以A = 注意：以上把,x y 看作直角坐标，2dxdy rdr π=是直角坐标与二维极坐标面积微元之间的转换。
第三次习题：1． 一维无限深势阱，其势能分布是：,00,0,x V x ax a ⎧+∞<⎪=≤≤⎨⎪+∞>⎩求势阱中的粒子波函数（包括归一化系数）与对应的能量本征值。
答：答案见曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.32-33.2．大学生应该有相当高的自学能力。
根据 “4-力学量的算符表示与氢原子.ppt ”角动量算符（自学部分），独立推导出如下的角动量算符三个分量公式以及角动量算符平方公式（需要比较高的忍耐力。
也有助于理解直角坐标系与球坐标系之间的关系，此训练具普适性）：2222211ˆ[(sin )]sin sin L θθθθθφ∂∂∂=-+∂∂∂答：球坐标与直角坐标之间的换算关系式是：)()arctan,arctan /r z y x θϕ===。
利用多元函数求偏微分法则，直角坐标偏导数可以用球坐标偏导数表示：ˆ[sin cot cos ]ˆ[cos cot sin ]ˆxyzL i L i L i φθφθφφθφθφφ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪∂∂=-+⎨∂∂⎪⎪∂=-⎪∂⎪⎩2222,,r x yx x r x x r r x yr y xy y r y y r r x yr zz z r z z r rθϕθϕϕθϕθϕϕθϕθϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂∂在ˆxL i y zz y⎛⎫∂∂=--⎪∂∂⎝⎭中，我们有yzyz r r∂∂=∂∂222zy zxzy r r x yϕ∂∂∂=++∂∂+∂，所以，x分量角动量2222ˆsin cot cos;xzxL i ix yx yϕθϕθϕθϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=---=+⎪⎪∂+∂∂∂+⎝⎭⎝⎭在ˆyL i z xx z∂∂⎛⎫=--⎪∂∂⎝⎭中，我们有222zx zyzx r r x yϕ∂∂∂=∂∂+∂，xzxz r r∂∂=∂∂，所以，y分量角动量2222ˆcos cot sin;yzyL i ix yx yϕθϕθϕθϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=--=-+⎪⎪∂+∂∂∂+⎝⎭⎝⎭在ˆzL i x yy x⎛⎫∂∂=--⎪∂∂⎝⎭中，我们有222xy xxy r r x yϕ∂∂∂=++∂∂+∂，222yx yyx r r x yϕ∂∂∂=∂∂+∂，显然，z分量角动量ˆzL iϕ∂=-∂。