2019-2020年高二数学期中试题及答案
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合，然后求.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.2.命题“存在，的否定是（）A. 不存在，B. 存，C. 对任意的，D. 对任意的，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( )A. B. C. - D. -【答案】B【解析】【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4.平面向量与的夹角为60°，且，，则（）A. B. C. 19 D.【答案】B【解析】【分析】利用平方再开方的方法化简所求表达式，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值.【详解】依题意.故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量模的求法，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.【详解】由，，，则.故选C.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.6.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.【详解】依题意可知在上为增函数，且，，，所以函数零点在区间.故选：C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7.甲、乙两班在我校举行“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b 成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A. B. 2 C. 8 D.【答案】D【解析】【分析】根据题目所给中位数和平均数，求得的值，根据等差中项和等比中项的性质求得的关系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，，，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等比中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.8.函数图像的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值对图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于函数的定义域为，，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，故排除D选项.而，排除C选项，，由于，所以，而，由此排除A选项.故选：B.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.9.设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线的焦点得到椭圆中的c＝2，再根据离心率为，求出a＝4，进而得到b的值即可得到结论．【详解】因为抛物线4x2＝y，即x2y，的焦点为：（0，），由题得：椭圆的上焦点为（0，），即c＝又因为离心率为，所以：⇒a＝，b椭圆方程为．故选：D．【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的基本性质，注意抛物线的方程的标准形式及焦点位置，避免错选A．10.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.11.圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进而求得体积.【详解】设圆柱的底面直径为，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球的直径为，半径为，其体积为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆柱侧面展开图有关计算，考查圆柱内的最大球的体积的求法，属于基础题.12.已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得．【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由得，即，解得.故答案为：.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题. 14.已知数列中，，，则数列的通项公式是________.【答案】【解析】【分析】利用累积法求得数列的通项公式，【详解】依题意，当时，所以，当时上式也符合，故数列的通项公式是.故答案为：.【点睛】本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前项和公式，属于基础题.15.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.【答案】【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数，若存在实数，当时，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】所以，，得则，令，得，又，则的取值范围为。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。
A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。
2019-2020年高二下学期期中联考数学(文)试题含答案
可编辑修改2019-2020年高二下学期期中联考数学（文）试题含答案 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
）1．设集合，,,则 ．2．已知复数满足（为虚数单位），则 .3．命题“若，则（R ）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”中选填一个）．4．已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ ,若,,则的值等于 .5．若是纯虚数，则实数的值是6．“”，“”，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．7．函数的单调减区间为___________.8．曲线在点处的切线方程是 ．9．若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是10．设函数是定义在R 上的偶函数，当时，，若，则实数的值为11．已知函数()的图象如图所示，则不等式的解集为________．12．已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则不等式的解为13．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解为 ．14．已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分。
请在答题纸相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．（本题15分）复数＝且，对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．19．（本题16分）已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．20．（本题16分）已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．xx 学年第二学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、填空题：1． 2. 3. 真 4. -7 5.2 6.7. 8. 9. 10.11. ∪ 12. 13. 14.二、解答题：法二：解：（1）,------2分当时，{}{}2|224046B x x x x x =--<=-<<,------4分∴. ------6分（2）记即：------10分整理得：解得实数的取值范围是.------14分 （缺等号扣2分）18.解：(1) ------1分------3分()()()222a b b c c a ab bc ca ∴+++++≥即------5分当且仅当时取等号------7分 (2)证明：假设都不大于0------8分即，，同时成立则222(2)(2)(2)0236x y y z z x πππ-++-++-+≤------11分 矛盾------14分假设不成立原命题成立。
学2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.若集合,集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.若复数z满足（i为虚数单位，），且的虚部为，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算化简，根据的虚部为，即可求得.【详解】根据的虚部为，故可得：故选：B.【点睛】本题主要考查了复数除法运算和求复数的共轭，解题关键是掌握复数除法运算的方法和共轭复数概念，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程得，解得，故选C.4.已知圆A:x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C,则曲线C的方程为（）A. +=1B. +=1C +=1 D. +=1【答案】A【解析】【分析】本题直接利用伸缩变换，得到坐标的变化关系，再通过代入法求出所得曲线的方程．【详解】在圆A：x2+y2=1上任取一点P（x，y），在伸缩变换作用后，得到曲线C上对应的点坐标为P′（x′，y′）．∵伸缩变换，∴∵x2+y2=1，∴=1．即所得曲线的方程为：=1．故选A．【点睛】本题考查了曲线的伸缩变换，可以用代数的角度去研究，也可以通过几何角度去研究，难度不大，属于基础题．5.已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意或，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意或或，由“或”不能推出“”；由“”可推出“或”；故是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.6.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“1”的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.【详解】圆的圆心是：，因为直线始终平分圆的圆周，所以圆心在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为：.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A. 由，，，…猜想B. 半径为的圆的面积，单位圆的面积C. 猜想数列，，，…的通项为D. 由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为【答案】B【解析】【分析】根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A. 是由特殊到一般，是归纳推理.B. 是由一般到特殊，是演绎推理.C. 是由特殊到一般，是归纳推理.D. 是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.8.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数、、的大小关系．【详解】由于函数在上增函数，，则，由基本不等式可得，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题．9.函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三个数的均值不等式求解．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：A．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，特别要注意等号成立的条件是否满足．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（）A. B. 3 C. 6 D.【答案】A【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.11.对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先确定，计算和，然后由新定义得结论．【详解】由题意，，则，，∴或．故选：C．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．12.设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：函数在上单调递增，所以的值域为，对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．详解：函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故选D.点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝______．【答案】3【解析】试题分析：，考点：本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力.点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低.14.对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______.【答案】【分析】已知中的函数值可转化为：，，，，，进而可归纳出的解析式.【详解】，，，，可化为，，，，，可归纳出：.故答案为：【点睛】本题考查了合情推理，考查了学生的归纳推理能力，属于基础题.15.已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_____.【答案】【分析】根据曲线参数方程为（为参数），将曲线先化为普通方程，再利用的几何意义即可求出其范围.【详解】曲线的参数方程为（为参数），，，将两个方程平方相加，，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆.又的几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率，画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为：联立与圆的方程：，消掉可得直线与圆相切，可得，解得当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是，的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．16.已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知复数，．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程可求得值．【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应点，在直线上，则，解得．【点睛】本题考查复数的分类，考查复数的几何意义，属于基础题．18.已知：，，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，q是真命题等价于方程有实根，利用判别式即可求解；（2）由题意知，分别求出p、为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为为真命题，所以方程有实根，所以判别式，所以实数m的取值范围为.（2）可化为，若为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，，由（1）知，若为真命题，则，又为真，故p、均为真命题，所以实数m需满足，解得，所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19.已知，（1）解不等式；（2）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将去绝对值后写为分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；（2）存在实数解，则，根据（1）求出的最小值，然后代入不等式中求出的范围．【详解】解：（1），，或，或，不等式的解集为；（2）由（1）知，存在实数解，，即，，的取值范围为．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式有解问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．20.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C 交于两点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求．【答案】（1）直线l的方程为y＝x+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．（Ⅱ）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数．（1）若，用分析法证明：；（2）若，，且，求证：与中至少有一个大于．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）要证，只需证，通分作差比较即可（2）假设，，得，，变形为，，两式相加推得矛盾即可证明【详解】（1）要证，只需证，即证，即证，即证，显然成立，所以．（2）假设，，即，，所以，，上述两式相加可得，这与矛盾，所以假设不成立，故与中至少有一个大于．【点睛】本题考查分析法证明及反证法证明不等式，考查推理能力，是中档题22.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）适宜；（2）；（3）①576.6，,6.32；②【解析】【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，进而可得到y关于x的回归方程.（3）①由（2），可求出时，年销售量y的预报值，再结合年利润，计算即可；②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，，所以y关于w线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为.（3）①由（2）知，当时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值.②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值，当时，即当时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.若集合,集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.若复数z满足（i为虚数单位，），且的虚部为，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算化简，根据的虚部为，即可求得.【详解】根据的虚部为，故可得：故选：B.【点睛】本题主要考查了复数除法运算和求复数的共轭，解题关键是掌握复数除法运算的方法和共轭复数概念，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程得，解得，故选C.4.已知圆A:x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C,则曲线C的方程为（）A. +=1B. +=1C+=1 D. +=1【答案】A【解析】【分析】本题直接利用伸缩变换，得到坐标的变化关系，再通过代入法求出所得曲线的方程．【详解】在圆A：x2+y2=1上任取一点P（x，y），在伸缩变换作用后，得到曲线C上对应的点坐标为P′（x′，y′）．∵伸缩变换，∴∵x2+y2=1，∴=1．即所得曲线的方程为：=1．故选A．【点睛】本题考查了曲线的伸缩变换，可以用代数的角度去研究，也可以通过几何角度去研究，难度不大，属于基础题．5.已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意或，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意或或，由“或”不能推出“”；由“”可推出“或”；故是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.6.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“1”的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.【详解】圆的圆心是：，因为直线始终平分圆的圆周，所以圆心在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为：.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A. 由，，，…猜想B. 半径为的圆的面积，单位圆的面积C. 猜想数列，，，…的通项为D. 由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为【答案】B【解析】【分析】根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A. 是由特殊到一般，是归纳推理.B. 是由一般到特殊，是演绎推理.C. 是由特殊到一般，是归纳推理.D. 是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.8.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数、、的大小关系．【详解】由于函数在上增函数，，则，由基本不等式可得，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题．9.函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三个数的均值不等式求解．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：A．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，特别要注意等号成立的条件是否满足．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（）A. B. 3 C. 6 D.【答案】A【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.11.对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先确定，计算和，然后由新定义得结论．【详解】由题意，，则，，∴或．故选：C．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．12.设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：函数在上单调递增，所以的值域为，对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．详解：函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故选D.点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝______．【答案】3【解析】试题分析：，考点：本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力.点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低.14.对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______.【答案】【解析】【分析】已知中的函数值可转化为：，，，，，进而可归纳出的解析式.【详解】，，，，可化为，，，，，可归纳出：.故答案为：【点睛】本题考查了合情推理，考查了学生的归纳推理能力，属于基础题.15.已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】根据曲线参数方程为（为参数），将曲线先化为普通方程，再利用的几何意义即可求出其范围.【详解】曲线的参数方程为（为参数），，，将两个方程平方相加，，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆.又的几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率，画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为：联立与圆的方程：，消掉可得直线与圆相切，可得，解得当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是，的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．16.已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知复数，．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程可求得值．【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应点，在直线上，则，解得．【点睛】本题考查复数的分类，考查复数的几何意义，属于基础题．18.已知：，，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，q是真命题等价于方程有实根，利用判别式即可求解；（2）由题意知，分别求出p、为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为为真命题，所以方程有实根，所以判别式，所以实数m的取值范围为.（2）可化为，若为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，，由（1）知，若为真命题，则，又为真，故p、均为真命题，所以实数m需满足，解得，所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19.已知，（1）解不等式；（2）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（2）存在实数解，则，根据（1）求出的最小值，然后代入不等式中求出的范围．【详解】解：（1），，或，或，不等式的解集为；（2）由（1）知，存在实数解，，即，，的取值范围为．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式有解问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．20.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C交于两点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求．【答案】（1）直线l的方程为y＝x+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】【分析】线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．（Ⅱ）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数．（1）若，用分析法证明：；（2）若，，且，求证：与中至少有一个大于．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）要证，只需证，通分作差比较即可（2）假设，，得，，变形为，，两式相加推得矛盾即可证明【详解】（1）要证，只需证，即证，即证，即证，显然成立，所以．（2）假设，，即，，所以，，上述两式相加可得，这与矛盾，所以假设不成立，故与中至少有一个大于．【点睛】本题考查分析法证明及反证法证明不等式，考查推理能力，是中档题22.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）适宜；（2）；（3）①576.6，,6.32；②【解析】【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令，先建立y 关于w 的线性回归方程，进而可得到y 关于x 的回归方程.（3）①由（2），可求出时，年销售量y的预报值，再结合年利润，计算即可；②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，。
2019-2020学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
2019-2020学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一.选择题（每小题只有一个选项符合题意）1. 已知为虚数单位，则复数( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，由此得出正确结论.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2. 命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【详解】试题分析：由“若，则”的否命题为“若，则”得“若，则”的否命题是若，则.故选：A.考点：否命题.3. 用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】【分析】将命题的结论否定可得出结果.【详解】“方程至少有一个实根”的否定为“方程没有实根”.因此，用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是“方程没有实根”.故选：A.【点睛】本题考查反证法，意在考查学生对反证法的理解，属于基础题.4. 设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：假设当命题甲成立，即，可得，即命题乙成立，而当命题乙成立时即，可取，显然不成立，故选A .考点：充分必要条件.5. 已知集合，，若，则b等于（）A. 1B. 2C. 3D. 1或2【答案】D【解析】试题分析：∵集合，集合，若，则或，故选D．考点：交集及其运算．6. 设全集U是实数集R，与都是U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】根据题意，由于全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}=｛x>2或x<-2｝，N＝{x|x≥3或x＜1},因此可知或那么阴影部分表示的为,故选A.考点：集合的表示点评：解决的关键是理解阴影部分表示的集合的含义，属于基础题．7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万4元）销售额（万49元）根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B【解析】【详解】试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程8. 为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A. 3000B. 6000C. 7000D. 8000【答案】C【解析】【分析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率，进而可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型.9. 甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.10. 定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为.已知，，则函数在上的均值为( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】【详解】根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得, 则称函数f（x）在D上的均值为C．令x1•x2=10×100=1000当x1∈时，选定x2＝∈可得：C故选C点睛：这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．11. 函数的定义域为，图象如图3所示：函数的定义域为，图象如图4所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（）A. 14B. 12C. 10D. 8【答案】A【解析】由方程可知，此时有7个实根，即；由方程可知，所以，故选A.12. 已知，函数的零点分别为，.函数的零点分别是，，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】B【解析】【分析】先作出函数的图象，将零点问题，转化为图象的交点问题，根据，得到，同理得到，再利用指数幂的运算得到，结合求解.【详解】函数的图象如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以的最小值是.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质的应用以及指数幂的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：（把正确答案写在答题卡相应题的横线上）13. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第象限．【答案】一【解析】试题分析：,所以对应的点在第一象限.考点：复数的除法运算、复数的几何意义.14. ，计算，，，，推测当时，有______.【答案】【解析】【分析】将题中的不等式变形为，，，，由此可归纳出一般的结论.【详解】由题意可知，，，.因此，推测出当时，有.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要将题中已知的不等式变形，考查推理能力，属于基础题.15. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．【答案】【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．16. 已知，，若，，则的表达式__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，归纳总结即可求得函数表达式.【详解】由题可知，，，故容易得.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，属基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设关于的一元二次方程．（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率．（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，由分布计数原理知基本事件共12个，方程有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率，同理可得出事件发生的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可求出结果；（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，构成事件的区域为，根据几何概型公式可求得结果．试题解析：设事件A“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根充要条件为a>b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是考点：古典概型和几何概型【思路点睛】首先，确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次，计算出基本事件的总数及事件所包含的基本事件数；最后，计算．首先确定事件类型为集合概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的几何度量和事件区域的几何度量，最后计算．解几何概型问题的关键是画图，求长度、面积或体积等几何度量．18. 已知集合，集合，集合，命题，命题.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】先求出集合和；（1）由题意得，由集合的交集运算得的取值范围；（2）先求出为真命题时的取值范围，从而求出为假命题时的范围.【详解】∵，∴集合，集合，集合.（1）由命题是假命题，可得，即得，∴.（2）当为真命题时，都为真命题，即，且，∴，解得.∴当为假命题时，或，∴的取值范围是：【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.19. （1）设，，证明：；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设，利用换底公式转化为关于的式子，即为，借助（1）的结论，可得证明．【详解】证明：（1）由于，，则，将上式中右边式子减左边式子得：，又由，，则；即，从而不等式得到证明．（2）设，则，由换底公式可得：，于是要证明的不等式可转化为，其中，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.20. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）吨；（2）不获利，补元.【解析】【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为，利用基本不等式求得的最小值，利用等号成立的条件求得的值，由此可得出结论；（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令，，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，即所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数满足，当时；当时．（Ⅰ）求函数在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在上的零点个数．【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，递增区间为（Ⅱ）时， 1个零点，时，2个零点，时， 3个零点，时，4个零点【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先由函数解析式分别求得在，上的单调区间，从而得到在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）将函数零点个数转化为两函数图像的交点个数，通过做出函数图像，观察得到的取值和零点个数的关系试题解析：（1）由题可知由图可知，函数在的单调递减区间为，在递增区间为（2）数形结合思想当时，有1个零点当时，有2个零点当时，有3个零点当时，有4个零点考点：1．函数单调性；2．数形结合法；3．分情况讨论的解题思想22. 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【答案】（I），；（II）.【解析】试题分析：（1）由频率分布表中各小组频率和为1，求出的值；由现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家，可求的值；（Ⅱ）根据分层抽样，求出消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．，再一一列举出所有得基本事件，找到抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的基本事件数，根据概率公式计算即可．试题解析：(1)由已知可得；,解得：．所以．（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b，则从中抽取2家公司，不同的结果为…共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：…共6种，所以．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样2019-2020学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一.选择题（每小题只有一个选项符合题意）1. 已知为虚数单位，则复数( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数，由此得出正确结论.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2. 命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【详解】试题分析：由“若，则”的否命题为“若，则”得“若，则”的否命题是若，则.故选：A.考点：否命题.3. 用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】【分析】将命题的结论否定可得出结果.【详解】“方程至少有一个实根”的否定为“方程没有实根”.因此，用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是“方程没有实根”.故选：A.【点睛】本题考查反证法，意在考查学生对反证法的理解，属于基础题.4. 设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A试题分析：假设当命题甲成立，即，可得，即命题乙成立，而当命题乙成立时即，可取，显然不成立，故选A .考点：充分必要条件.5. 已知集合，，若，则b等于（）A. 1B. 2C. 3D. 1或2【答案】D【解析】试题分析：∵集合，集合，若，则或，故选D．考点：交集及其运算．6. 设全集U是实数集R，与都是U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】根据题意，由于全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}=｛x>2或x<-2｝，N＝{x|x≥3或x ＜1},因此可知或那么阴影部分表示的为,故选A.考点：集合的表示点评：解决的关键是理解阴影部分表示的集合的含义，属于基础题．7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4销售额（万元）49根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元【答案】B【解析】【详解】试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程8. 为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A. 3000B. 6000C. 7000D. 8000【答案】C【分析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率，进而可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型.9. 甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.10. 定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为.已知，，则函数在上的均值为( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】【详解】根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得, 则称函数f（x）在D上的均值为C．令x1•x2=10×100=1000当x1∈时，选定x2＝∈可得：C点睛：这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．11. 函数的定义域为，图象如图3所示：函数的定义域为，图象如图4所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（）A. 14B. 12C. 10D. 8【答案】A【解析】由方程可知，此时有7个实根，即；由方程可知，所以，故选A.12. 已知，函数的零点分别为，.函数的零点分别是，，则的最小值为（）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】先作出函数的图象，将零点问题，转化为图象的交点问题，根据，得到，同理得到，再利用指数幂的运算得到，结合求解.【详解】函数的图象如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以的最小值是.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质的应用以及指数幂的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：（把正确答案写在答题卡相应题的横线上）13. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第象限．【答案】一【解析】试题分析：,所以对应的点在第一象限.考点：复数的除法运算、复数的几何意义.14. ，计算，，，，推测当时，有______.【答案】【解析】【分析】将题中的不等式变形为，，，，由此可归纳出一般的结论.【详解】由题意可知，，，.因此，推测出当时，有.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要将题中已知的不等式变形，考查推理能力，属于基础题.15. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．【答案】【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．16. 已知，，若，，则的表达式__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，归纳总结即可求得函数表达式.【详解】由题可知，，，故容易得.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，属基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设关于的一元二次方程．（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率．（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，由分布计数原理知基本事件共12个，方程有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率，同理可得出事件发生的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可求出结果；（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，构成事件的区域为，根据几何概型公式可求得结果．试题解析：设事件A“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根充要条件为a>b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是考点：古典概型和几何概型【思路点睛】首先，确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次，计算出基本事件的总数及事件所包含的基本事件数；最后，计算．首先确定事件类型为集合概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的几何度量和事件区域的几何度量，最后计算．解几何概型问题的关键是画图，求长度、面积或体积等几何度量．18. 已知集合，集合，集合，命题，命题.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】先求出集合和；（1）由题意得，由集合的交集运算得的取值范围；（2）先求出为真命题时的取值范围，从而求出为假命题时的范围.【详解】∵，∴集合，集合，集合.（1）由命题是假命题，可得，即得，∴.（2）当为真命题时，都为真命题，即，且，∴，解得.∴当为假命题时，或，∴的取值范围是：【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.19. （1）设，，证明：；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设，利用换底公式转化为关于的式子，即为，借助（1）的结论，可得证明．【详解】证明：（1）由于，，则，将上式中右边式子减左边式子得：，又由，，则；即，从而不等式得到证明．（2）设，则，由换底公式可得：，于是要证明的不等式可转化为，其中，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.20. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）吨；（2）不获利，补元.【解析】【分析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为，利用基本不等式求得的最小值，利用等号成立的条件求得的值，由此可得出结论；（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令，，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，即所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数满足，当时；当时．（Ⅰ）求函数在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在上的零点个数．【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，递增区间为（Ⅱ）时， 1个零点，时，2个零点，时， 3个零点，时，4个零点【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先由函数解析式分别求得在，上的单调区间，从而得到在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）将函数零点个数转化为两函数图像的交点个数，通过做出函数图像，观察得到的取值和零点个数的关系试题解析：（1）由题可知由图可知，函数在的单调递减区间为，在递增区间为（2）数形结合思想当时，有1个零点当时，有2个零点当时，有3个零点当时，有4个零点考点：1．函数单调性；2．数形结合法；3．分情况讨论的解题思想22. 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为。
学2019-2020学年高二数学期中试题理(含解析)
学2019-2020学年高二数学期中试题理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义.2. 函数的最大值是( )A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.【详解】，令解得在上单增，在单减故选：A【点睛】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．3. 已知复数，则（）A B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法，将化简为，再利用模的公式求解.【详解】因，所以.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4. 从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果.【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法种数为.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.5. 某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则表示的试验结果是（）A. 第10次击中目标 B. 第10次未击中目标C. 前9次未击中目标D. 第9次击中目标【答案】C【解析】【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，即可得到答案.【详解】由题知：表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标.故选：C【点睛】本题主要考查随机事件问题，关键是理解击中目标或子弹打完就停止射击，属于简单题.6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理（）．A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误．7. 用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.【详解】根据数学归纳法，当时，应将变形为，此时，和都可以被3整除.故该变形是合理的.故选：.【点睛】本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.8. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知，，由，知，由此能求出．【详解】由题意知，，，解得，，．故选：B．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．9. 已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据概率和为，求得参数，再求，则问题得解.【详解】因为，解得.故.故选：【点睛】本题考查根据分布列求参数值，属基础题.10. 展开式中的系数为（）A. 15B. 20C. 30D. 35【答案】C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为则展开式的通项为则展开式中的项为则展开式中的系数为故选：C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.11. 函数的导数是（）A. B. C. D.【解析】【详解】故选C12. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( )A. (0,1)B.C. (－∞，1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】由题意得,函数的导数在(0,1)内有零点，且,即,且，∴，故选B.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019-2020年高二数学期中试题及答案可能涉及的公式： （1）一组数据12,,,n x x x 的方差:2222121()()()n S x x xx x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值 （2）线性回归方程：a bx y+=ˆ，其中1122211()(),()nni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。
不需要写出解答过程，请把正确答案填写在答题纸上填空题的相应位置）1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用 方法较为恰当。
(填简单随机抽样、系统抽样、分层抽样)2.当3=x 时，下面算法输出的结果是 。
3.命题“,R x ∈∀0123≤+-x x ”的否定是 。
4.某射手射击一次，命中环数及其概率如下表：则该射手射击一次，至少命中7环的概率为________。
5.有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km /h 的汽车数量约为 辆。
63，4，5}概率为________。
7.五个数1，2，3，4，a 的平均数是4________。
8.机上执行，最后运行的结果为 。
9. A 是圆上固定的一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，弦长超过半径的概率为 。
10.已知某工厂10个工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示（以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么这些工人生产零件的平均个数是 。
11.已知条件34:==x x p 或，条件x x q -=-44:，则p 是q 的 条件。
(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要) 12.给出下列命题：①掷两枚硬币，可出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”三种等可能结果； ②某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性不相等； ③分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同；其中所有错误命题的序号为______ _。
13.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 。
14.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分，转化关系式为sxx Z -=（其中x 是某位学生的考试分数， x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分），转化成标准分后可能出现小数或负数，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数。
例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：6040+=Z T ，已知在这次考试中某位考生的考试分数是80，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为 。
15.某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 。
16.为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合:}01[]|{<-=xx x A , }043|{2≤--=x x x B ，}1log |{21>=x x C ；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，10 11 12 734 0251 023S 0 i 1S S ＋G i ·F i i i ＋1并将“[]”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“[]”中的数为 。
二、解答题：（本大题共6小题，满分80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17.（本小题满分12分）已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. (1)请分别写出命题P 的逆命题、否命题、逆否命题； (2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论. 18．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验. (Ⅰ) 若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程a bxy +=ˆ； (Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?19.（本小题满分12分）设数列}{n a 满足11=a ，n a a n n =-+1，右图是求数列}{n a 前30项和的算法流程图．(ⅰ)把算法流程图补充完整：①处的语句应为_____________________________， ②处的语句应为_____________________________． (ⅱ)根据流程图写出伪代码．20.（本小题满分14分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为6的概率；（2）两数之积是6的倍数的概率；（3）若第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，求2≤-y x 的概率。
21.（本题满分14分）对任意函数D x x f ∈),(，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据D x ∈0，经数列发生器,输出)(01x f x =： ②若D x ∉1，则数列发生器结束工作；若D x ∈1，则将1x 反馈回输入端，再输出)(12x f x =，并依此规律继续下去，现定义124)(+-=x x x f . （Ⅰ）若输入65490=x ，则由数列发生器产生数列{}n x 。
请写出数列{}n x 的所有项：（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；22. （本题满分16分）已知0>a ，函数2)(bx ax x f -=（I ）当1=b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明：2≤a ；（II ）当2=b 时，对任意]1,0[∈x ，求证：221≤≤a 是1)(≤x f 成立的必要条件； （III ）当10≤<b 时，讨论：对任意的]1,0[∈x ，1)(≤x f 的充要条件．2008-2009常州市第二中学期中考试高二数学结 束参考答案1．分层抽样 2.6 3. 01,23 +-∈∃x x R x 4. 0.82 5. 38 6. 51 7. 10 8. 101 9. 3110. 112.7 11. 必要不充分 12. ① ③ 13.12π12- 14. 76 15. 6.42(注:6.42h 不对) 16. 1 17.解:(1) 命题P 的逆命题：“若二次方程02=++c bx ax 没有实根，则0≥ac ”否命题:“若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根”；逆否命题：“若二次方程02=++c bx ax 有实根，则0<ac ” ……………6分(2)命题P 的否命题是真命题…………………8分证明如下:,04,0,02>-=∆⇒>-∴<ac b ac ac ⇒二次方程02=++c bx ax 有实根.∴该命题是真命题. …………………12 18．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ) 由数据求得11,24x y == ………(2分)由公式求得187b =……………………(4分) 再由307a y bx =-=- …………(6分)所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- ……… (7分) (Ⅱ)当10x =时,1507y =, 150|22|27-<； ……… (9分) 同样, 当6x =时,787y =,212778<- …………(11分) 所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ……………(12分) 19．解：（i ）①30≤i ②i p p +←……………6分（ii ）伪代码： Ends While End i i i p p ps s i While s p i int Pr 130011+←+←+←≤←←←……………12分20. 解：含有36个等可能基本事件（1） 记“两数之和为6”为事件A ，则有)1,5(),2,4(),3,3(),4,2()5,1(、共5个等可能基本事件， 所以365)(=A P 答：两数之和为6的概率为536； …………………4分（2） 记“向上的两数之积是6的倍数”为事件B ，则由下面的列表可知，事件B 中含有其中的15个等可能基本事件， 所以P （B ）=1553612=， 答：两数之积是6的倍数的概率为512。
…………8分（3） 记“2≤-y x ”为事件C ，则由下列的列表可知，事件B 中含有其中24个基本等可能基本事件，∴323624)(==C P ， 答：2≤-y x 的概率为32。
……………14分21.解（１）∵ f (x )的定义域D ＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞），∴ 数列｛x n ｝只有三项：.1,51,1911321-===x x x …………6分 （2）∵ ()x x x x f =+-=124，…… 10分 即 ,0232=+-x x ∴ x ＝1，或x ＝2即当x 0=1或2时，.1241n n n n x x x x =+-=+3025363020242420161215181815129681012654312108641234562654321积654321故当x 0=1时，x n =1; 当x 0=2时，x n =2 (n ∈N ). ……（14分）22. （I ）证：依设，对任意R x ∈都有1)(≤x f ，∵f (x )=4)2(22a a x +--，∴14)2(2≤=a a f ， ∵a ＞0，∴2≤a 。
…………4分（II ）证： 必要性 对任意x ∈[0，1]，1)(≤x f1)(-≥x f ，据此可以推出1)1(-≥f ，即 a －2≥－1，∴a ≥1…………6分对任意x ∈[0，1]，)(x f ≤1f(x)≤1，因为b=2，可以推出)21(f ≤1，即a ·21－1≤1，∴a ≤22；…………8分∴1≤a ≤22…………9分（III ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈[0，1]； f(x)= ax －bx 2≥－b ≥1，即f(x)≥－1； f(x)≤1 f(1)≤1 a －b ≤1，即a ≤b ＋1，…………12分 a ≤b ＋1 f(x)≤(b ＋1) x －bx 2≤1，即f(x)≤1。