椭圆及其标准方程(微课)

2 2
2
(2)此方程表示焦点在x轴上的椭圆方程 焦点分别为F1 (c, 0), F2 (c, 0).
若椭圆的焦点在
y 轴上时，椭圆的标准方程如何表示？
建系的不同：
y
F1 (0,c) , F2 (0, c)
| PF1 | | PF2 | 2a

F2

P( x , y )
X
x 2 ( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 2a
4
6
M B2
2
-10
A1 -5
F1
O
F2
5
A2
10
-2
B1
-4
令b a 2 c 2 , 得
-6
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
-8
椭圆的标准方程
x y 2 1a b 0 2 a b

2
2
y

P( x, y)
F2

注意：
F1
o
x
(1)a b c
2 2
F1 0,- c ，F2 0,c
2
相 a、b、c 的关系 同 焦点位置的 点 判断
a b c
x y 1 9 4
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪 条轴上 2 2 2 2
x y 1 4 9
总结：
(1)什么是椭圆?焦点?焦距? (2)我们得到椭圆的标准方程是怎么建系的? (3) a、b、c 的关系和几何意义? (4)对于焦点在x轴上或y轴上,标准方程如何 区分?
y源自文库M
x F1 O F2
y M
x F1 O F2
设M ( x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2（ c c 0), 那么焦点F1 , F2的坐标分别为(c,0), (c,0). 又设M 与F1, F2的距离之和等于2a
根据定义
椭圆就是集合P {M MF 1 + MF2 2a}
用坐标表示方程 : MF 1 + MF2 2a 得：
浙江省湖州中学
赵朕博
椭圆及其标准方程
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F 1 、F2 的距离的和 等于常数( 大于 F1F2 )的点的轨迹是椭圆．
王新敞
奎屯 新疆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
画椭圆
求椭圆方程
坐标系选取
取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系.（如图）
O
F
1
x
2
a
2

y
2
b
2
1
焦点在x轴上
不 曲 同 线
F1
焦点在y轴上
y F2
M x
y M
OF
2
x
O
F1
点
标准方程 焦点坐标
x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 a > b > 0 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
化简
由椭圆定义可知2a 2c,即a c，所以 两边同除以 a 2 (a 2 c 2 ),得
x2 y2 2 2 1 2 a a c
x2 y2 2 2 1 2 a a c
8
思考
观察图像，找出表示a, c, a 2 c 2的线段