椭圆及其标准方程(微课)
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高中数学人教版高二必修《椭圆及其标准方程》教育教学课件
人教版高中选修一
01
椭圆定义
概 念 辨 析
当：
1 + 2 = 1 2
F2
F1
动点M的轨迹：
线段F 1 F 2
椭圆及其标准方程
当:
M
|1|+|2|<|12| 时，
动点M的轨迹：
不存在
人教版高中选修一
概 念 辨 析
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)
的距离之和为4的点的轨迹.
轴，线段 F F 的垂直平
(-c，0)、F (c，0)
1
1 2
2 1
2
又设M与F1，F2的距离之和等于2a.
分线为 y 轴,建立直角坐
标系．
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
椭圆方程的推导
p
由椭圆的定义可知，
1 = 2 =
y
1 = 2 =
2a>2c,即a>c;
∴ 2 − 2 >0
求椭圆标准方程的方法
椭圆及其标准方程
人教版高中选修一
你能从图中找出表示
a ,c,
2
−
2
的线
段吗？
椭圆及其标准方程
=
F1
O
F2
x
2 − 2
令 = =
2 − 2
那么原方程可化为
+
=
−
+ =
>>0
人教版高中选修一
03
结 论
p
y
其中，>>0
F1
O
F2
x
它的焦点坐标在x轴上，分别是
《椭圆及其标准方程》课件
感谢观看
THANKS
《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
3.1.1椭圆及其标准方程(教学课件(人教版))
k AM
x
y
5
,kBM
y x5
( x 5).
y
M •
A
O
Bx
点M的轨迹为除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆。
三、题型与方法
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何 条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的情势，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0. 2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先视察、分析已知条件，看所求动点轨迹 是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只 要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问 题，这种方法称为相关点法．
3.a, b, c 满足的关系有： ① a2 b2 c2 ； ② a b 0 ； ③ a c 0 .
三、题型与方法
题型一 求椭圆的标准方程
跟踪训练：1.求与椭圆x2＋y2＝1 有相同焦点，且过点(3， 15)的椭圆的标准方程．
25 9
法一：因为所求椭圆与椭圆x2＋y2＝1 的焦点相同，设所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)．
解1：(相关点代入法)设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)， 则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得
y •P
•M
∵点P（x0,y0）在圆x2+y2=4上, ∴x02+y02=4
OD
x
把x0=x,y0=2y代入上式,得x2+(2y)2=4,即
∴点M的轨迹是椭圆。
椭圆及其标准方程(上课课件)
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(2)已知椭圆 C：x2＋y2＝1，点 A(1,1)，则点 A 与椭圆 C 的位置关系是 95 B ()
A．点 A 在椭圆 C 上 B．点 A 在椭圆 C 内 C．点 A 在椭圆 C 外 D．无法判断
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Байду номын сангаас
2．根据椭圆标准方程判断点 P(x0，y0)与椭圆以ax22＋by22＝1 为例的位置
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[例1] (1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
(B)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是( D )
A．圆
B．椭圆
C．直线
(2)以坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)，B12，
3.
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椭圆标准方程的应用 1．焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为
ax22＋by22＝1
(a＞b＞0)．
2．焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为 ay22＋bx22＝1
(a＞b＞0)．
3．点 P 与椭圆 C 的位置关系有 点P在椭圆内 、 点P在椭圆上 、
__点__P_在__椭__圆__外___．
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[例 3] (1)方程k－x24＋10y－2 k＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的
取值范围是( C )
A．(4，＋∞) B．(4,7)
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
第四十课--椭圆及其标准方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
F2(c,0);
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
4、化简：
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线旳截距式，整顿成
x2 a2
y2 b2
1.
（a>b>0).
此方程叫做椭圆旳原则方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
建系、设点、列式、化简。
2、怎样建y 系，M 使求出旳方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆旳原则方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2旳中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
白荌苒大约是个十足旳笨蛋，明明于庄逍遥同学而言是那般浅显易懂旳知识点，在她这里却如临大敌，经过庄逍遥同学旳不断 讲解之后，她才腼腆旳红着脸道了声谢“真是太感谢你了”。
焦点位置旳 看x2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上. 鉴定
例题讲解
例1 (1)判断下列方程旳焦点位置,并指出焦点坐标:
(2)F1(-3,0)、F2（3，0），│MF1 │+ │MF2 │=6，点M旳轨迹方 程是----------------------------
(3）化简：
课堂练习
▪ P95-96旳2、3（1）（2）（3）
椭圆旳原则方程
讨论:选定方案二,方程旳形式又是怎样呢?
Y
2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
4、化简：
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线旳截距式，整顿成
x2 a2
y2 b2
1.
（a>b>0).
此方程叫做椭圆旳原则方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
建系、设点、列式、化简。
2、怎样建y 系，M 使求出旳方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆旳原则方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2旳中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
白荌苒大约是个十足旳笨蛋，明明于庄逍遥同学而言是那般浅显易懂旳知识点，在她这里却如临大敌，经过庄逍遥同学旳不断 讲解之后，她才腼腆旳红着脸道了声谢“真是太感谢你了”。
焦点位置旳 看x2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上. 鉴定
例题讲解
例1 (1)判断下列方程旳焦点位置,并指出焦点坐标:
(2)F1(-3,0)、F2（3，0），│MF1 │+ │MF2 │=6，点M旳轨迹方 程是----------------------------
(3）化简：
课堂练习
▪ P95-96旳2、3（1）（2）（3）
椭圆旳原则方程
讨论:选定方案二,方程旳形式又是怎样呢?
Y
2,y2旳分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
高中数学人教B版选修1-1 第二章2.1.1 椭圆及其标准方程(一)课件(共19张PPT)
两个方程
椭圆标准方程： (1). 椭圆焦点在x轴上
(2). 椭圆焦点在y轴上
两种方法
待定系数法、公式法
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0).
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0).
挑战自我
已知椭圆的两个焦点分别为F1(-4,0)和 F2（4,0），再添加什么条件，可得椭 圆方程为
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出路 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天 只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘 告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是��
2.2.1椭圆及其标准方程含动画PPT课件
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个 轴上
♦再认识！
标准方程
图形
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
不同点
相同点
焦点坐标 定义
F1 -c , 0，F2 c , 0
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中， 笔尖（动点）满足什么几何 条件？
(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
焦点在分母大的那个轴上。
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）已知两个焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0)，椭圆上一
点P到两焦点距离的和等于8；
x2 y2 1
16 7
（2）两个焦点的坐标为(0，-4)、(0，4)，并且椭圆经过 ( 3, 5)
y2 x2 1
20 4
求椭圆标准方程的解题步骤：
再平方化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
两边同时除以 a2 a2 c2 ，得
x2 a2
a2
y2 c2
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)
即 : ( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， 则椭圆方程为：
y x 2 1 2 a b
(a＞b＞0).
2
2
y
y
P( x, y)
F2
F2
P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
星系中的椭圆
——仙女座星系
M
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
x2 y 2 ∴设它的标准方程为: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
y
∵ 2a=10, 2c=8
M
F1
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
o
椭圆及其标准方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
(2)点坐标满足椭圆方程。
8
第8页
例1在圆 x2 y2 4上任取一点P,过点P作x轴垂
线段PD,D为垂足,当P在圆上运动上,线段PD中点M 轨迹是什么?为何?
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y), y
圆上对应点坐标P (x’,y’),
P
由题意可得： x' x
y'
2
y
Mx oD
因为 x'2 y'2 4 所以这就x2是变4换y2后所4得曲即线: 方x4程2 ， 它y2表示1 一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
你能发觉椭圆与圆之间关系吗?
9
第9页
例 2(课本 P41):如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) ,直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的 斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
9
分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y) ∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
M
r＝ 8
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内
P
OQ
x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8，故M轨迹是以P，Q为焦点椭圆，
且PQ中点为原点.
x2 y2
8
第8页
例1在圆 x2 y2 4上任取一点P,过点P作x轴垂
线段PD,D为垂足,当P在圆上运动上,线段PD中点M 轨迹是什么?为何?
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y), y
圆上对应点坐标P (x’,y’),
P
由题意可得： x' x
y'
2
y
Mx oD
因为 x'2 y'2 4 所以这就x2是变4换y2后所4得曲即线: 方x4程2 ， 它y2表示1 一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
你能发觉椭圆与圆之间关系吗?
9
第9页
例 2(课本 P41):如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) ,直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的 斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
9
分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y) ∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
M
r＝ 8
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内
P
OQ
x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8，故M轨迹是以P，Q为焦点椭圆，
且PQ中点为原点.
x2 y2
3.1.1椭圆及其标准方程公开课
(1)取一条细绳，
(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动
看看画出的图形
探究反思
（1）绳长>|F1F2|，轨迹是椭圆
思考（2）若绳长= |F1F2|，那么轨迹是什么？
线段F1F2
（3）若绳长<|F1F2||，那么轨迹是什么？
轨迹不存在
“一钉一线”
“两钉一线”
2
2
5
2
= 1（ > > 0）.
−2
2
+
3 2
−
2
= 10 − 4 = 6.
2
所以，所求椭圆的标准方程为
10
2
+
6
=1
= 2 10，
新课讲授
• 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（−2，0），（2，0），并
5
3
且经过点 ， − ，求它的标准方程．
2
•
•
待
定
• 系
数
法
•
•
2
2
解：设椭圆的标准方程为 2
则 + 2 + 2 = 42 −4 − 2 + 2 + − 2 + 2
整理得2 − = − 2 + 2
两边平方得4 − 22 + 2 2 = 2 2 − 22 + 2 2 + 2 2
整理得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 − 2 2
y
y
图形
M
F1
o
F2
M
o
x
F2 x
椭圆及其标准方程(定义)微课教学设计
《椭圆及其标准方程（定义）》教学设计一、指导思想与理论依据1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：“强调本质，注意适度形式化。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。
”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。
2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。
由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。
二、教学背景分析1. 教材分析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。
在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。
在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。
因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
2. 学情分析知识方面（1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础；（2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战；（3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题；自身特征方面（1）我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么。
《椭圆及其标准方程》微课程设计方案
《椭圆及其标准方程》微课程设计方案
基本信息 县（、区）
学校
姓名
学科 数学
能力维度 □学情分析 √教学设计 □学法指导 □学业评价
所属环境 □多媒体教学环境 √混合学习环境 □智慧学习环境
微能力点 B2 微课程设计与制作
教学环境 多媒体教学
课题名称 选题意图
椭圆及其标准方程 让学生认识几何画板，并且能够动态的感知椭圆的形成过程
预计时长 10 分钟
微课程设计
教学过程
设计意图
（以时间为序具体描述微课的所有环节，至少包含导课、主体内容 （从教学方法、学习任务单、案例选取、内容编排呈现、互动设
和小结三部分）
导课：让学生动手画一个椭圆 主体内容： 1、手动画椭圆 2、几何画板展示椭圆的形成 3、椭圆的定义 4、建立直角坐标系，推导椭圆的标准方程 总结：椭圆的定义以及椭圆的标准方程
教学对象 高二学生
教学目标 推到出椭圆的标准方程，并掌握椭圆的标准方程
教学用途 知识类型
□课前预习 √课中教学 □课后巩固 □其他 通过微课 10 分钟的教学，让学生在短时间内掌握椭圆标准方程的推到方法 √理论讲授型 推理演算型 □技能训练型 实验操作型 □答疑解惑型 □情感感悟型 □其他
制作方式 □拍摄 √录屏 □动画 □其他 （可多选）
计、技术运用等方面进行说明）
教学方法：理论联系实际； 学习任务：掌握椭圆的定义以及椭圆的标准方程； 案例：实际生活中的椭圆 内容编排：从动手操作到数学运算 互动设计：学生动手画椭圆，教师用几何画板演示 椭圆 技术运用：PPT,几何画板
自评等级 □优秀 合格 □不合格
基本信息 县（、区）
学校
姓名
学科 数学
能力维度 □学情分析 √教学设计 □学法指导 □学业评价
所属环境 □多媒体教学环境 √混合学习环境 □智慧学习环境
微能力点 B2 微课程设计与制作
教学环境 多媒体教学
课题名称 选题意图
椭圆及其标准方程 让学生认识几何画板，并且能够动态的感知椭圆的形成过程
预计时长 10 分钟
微课程设计
教学过程
设计意图
（以时间为序具体描述微课的所有环节，至少包含导课、主体内容 （从教学方法、学习任务单、案例选取、内容编排呈现、互动设
和小结三部分）
导课：让学生动手画一个椭圆 主体内容： 1、手动画椭圆 2、几何画板展示椭圆的形成 3、椭圆的定义 4、建立直角坐标系，推导椭圆的标准方程 总结：椭圆的定义以及椭圆的标准方程
教学对象 高二学生
教学目标 推到出椭圆的标准方程，并掌握椭圆的标准方程
教学用途 知识类型
□课前预习 √课中教学 □课后巩固 □其他 通过微课 10 分钟的教学，让学生在短时间内掌握椭圆标准方程的推到方法 √理论讲授型 推理演算型 □技能训练型 实验操作型 □答疑解惑型 □情感感悟型 □其他
制作方式 □拍摄 √录屏 □动画 □其他 （可多选）
计、技术运用等方面进行说明）
教学方法：理论联系实际； 学习任务：掌握椭圆的定义以及椭圆的标准方程； 案例：实际生活中的椭圆 内容编排：从动手操作到数学运算 互动设计：学生动手画椭圆，教师用几何画板演示 椭圆 技术运用：PPT,几何画板
自评等级 □优秀 合格 □不合格
椭圆及其标准方程(微课)
4
MB2
2
0
A1-5 F1
O
F2 5A2
10
-2
B1
-4
令b a2 c2 ,得
-6
x2 y2
1(a b 0)
a2 b2
-8
椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
注意：
y
F1
o
P(x, y)
x
F2
(1)a2 b2 c2
(2)此方程表示焦点在x轴上的椭圆方程 焦点分别为F1(c, 0), F2 (c, 0).
y M
F1 O F2
x
焦点在y轴上
y
F2
M
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
a2 b2
焦点坐标 F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系
同 焦点位置的 点 判断
若椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程如何表示？
建系的不同：
y
F2 P( x, y)
F1(0,c) , F2 (0, c)
| PF1 | | PF2 | 2a
x2 ( y c)2 x2 ( y c)2 2a
O
X
F1
x2
a2
y2
b2
1
不
同
曲线
点
焦点在x轴上
M
x
F1
O
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2 2
2
(2)此方程表示焦点在x轴上的椭圆方程 焦点分别为F1 (c, 0), F2 (c, 0).
若椭圆的焦点在
y 轴上时，椭圆的标准方程如何表示？
建系的不同：
y
F1 (0,c) , F2 (0, c)
| PF1 | | PF2 | 2a
F2
P( x , y )
X
x 2 ( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 2a
O
Fห้องสมุดไป่ตู้
1
x
2
a
2
y
2
b
2
1
焦点在x轴上
不 曲 同 线
F1
焦点在y轴上
y F2
M x
y M
OF
2
x
O
F1
点
标准方程 焦点坐标
x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 a > b > 0 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
y M
x F1 O F2
y M
x F1 O F2
设M ( x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2（ c c 0), 那么焦点F1 , F2的坐标分别为(c,0), (c,0). 又设M 与F1, F2的距离之和等于2a
根据定义
椭圆就是集合P {M MF 1 + MF2 2a}
用坐标表示方程 : MF 1 + MF2 2a 得：
2 2
F1 0,- c ，F2 0,c
2
相 a、b、c 的关系 同 焦点位置的 点 判断
a b c
x y 1 9 4
标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪 条轴上 2 2 2 2
x y 1 4 9
总结：
(1)什么是椭圆?焦点?焦距? (2)我们得到椭圆的标准方程是怎么建系的? (3) a、b、c 的关系和几何意义? (4)对于焦点在x轴上或y轴上,标准方程如何 区分?
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
化简
由椭圆定义可知2a 2c,即a c，所以 两边同除以 a 2 (a 2 c 2 ),得
x2 y2 2 2 1 2 a a c
x2 y2 2 2 1 2 a a c
8
思考
观察图像，找出表示a, c, a 2 c 2的线段
浙江省湖州中学
赵朕博
椭圆及其标准方程
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F 1 、F2 的距离的和 等于常数( 大于 F1F2 )的点的轨迹是椭圆．
王新敞
奎屯 新疆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
画椭圆
求椭圆方程
坐标系选取
取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系.（如图）
4
6
M B2
2
-10
A1 -5
F1
O
F2
5
A2
10
-2
B1
-4
令b a 2 c 2 , 得
-6
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
-8
椭圆的标准方程
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
y
P( x, y)
F2
注意：
F1
o
x
(1)a b c