江苏省启东中学20172018学年高二数学下学期期中试题理
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)3,π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时，a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=，若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (1lg )(∈-=k kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x ，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(1)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a ea ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.aee a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；- 11 -(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111 ＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n nnnnk k k k k nn n n n k k k k k k C knCn kCn Ck C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2nnn k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得 22212223212()2123(1)n n n n n n n nn n C C C n C n C --+=++++-+L。
2017年江苏省南通市启东中学高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是．8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有个．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有种．11．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．13．（5分）已知，则的值是．14．（5分）=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，2，3，a}，集合M={﹣1，3}．若∁U M={2，5}，则实数a的值为5．【解答】解：∵集合M={﹣1，3}，∴∁U M={2，5}={2，a}，故a=5，故答案为：5．2．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为482．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣7=25，则样本容量为=20，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故答案为：482．3．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=k）=，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（＜X＜）的值为．【解答】解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，∴=1，∴c=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；4．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：5．（5分）我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第二组的频数为180．那么本次活动收到的文章数是1200．【解答】解：∵频率分布直方图中，从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，且二组的频数为180，∴本次活动收到的文章数是180÷=1200．故答案为：1200．6．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为45°．【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．7．（5分）已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是＜a≤e．【解答】解∵命题p：∃x∈[0，1]，a≤e x∴若p为真，那么a≤（e x）max∴a≤e又∵命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，∴若q为真，那么△=1﹣4a＜0∴∵命题p∧q是真命题∴p真，q真综上，实数a的取值范围是：＜a≤e故答案为：＜a≤e8．（5分）下列有关命题的说法中正确的是④．（填序号）①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1＜0”；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；故①错误，②由x2﹣5x﹣6=0得x=﹣1或x=6，则“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；故②错误③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1≠0”；故③错误，④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题．，则命题的逆否命题为真命题．故④正确，故答案为：④．9．（5分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．则组成的三位数中是3的倍数的有228个．【解答】解：要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．若每组中各取一个数，含0，共有C31C31C21A22=36种；若每组中各取一个数不含0，共有C31C31C31A33=162种；若从每组中各取三个数，共有3A33+C32A22A22=30种．所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种．故答案为：228．10．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有30种．【解答】解：根据题意，由于4科的专题讲座每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个专题讲座中任选2个看作整体，然后与其他2个讲座全排列，共C42A33=36种情况，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，将数学、理综看成一个整体，然后与其他2个讲座全排列，共A33=6种情况，故总的方法种数为：36﹣6=30；故答案为：3011．（5分）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有18种．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，则D有2种种法，若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，则D、E区域共有2+1=3种不同情况，则不同的种法共有6×3=18种；故答案为：18．12．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：；故答案为：．13．（5分）已知，则的值是（）2018．【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，∴令x=﹣2，得a0=0再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018，∴=，故答案为：（）2018，14．（5分）=．【解答】解：C n m﹣1===C n+1m，则1=C n+11，Cn1=Cn+12，…，Cnn=Cn+1n+1，则=[（﹣1）0C n+11+（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+13+…+（﹣1）n C n+1n+1]=﹣[（﹣1）1C n+11+（﹣1）2C n+12+（﹣1）3C n+13+…+（﹣1）n+1C n+1n+1]=﹣[（1﹣1）n﹣1]=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？（1）男生甲必须站在两端；（2）两名女生乙和丙不相邻；（3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间．【解答】解：（1）男生甲必须站在两端，其余的进行全排列即可，故有=1440种．（2）利用插空法，先排除乙丙之外的另外5人，然后在这5人形成的6个间隔中插入乙和丙即可，故有=3600种．（3）分两类，若乙在正中间，则有=720种，若乙不站在正中间，乙不站在两端，则乙从另外4个位置任选一个，丙从另外5个位置选一个，其他任意排，故有=2400种，根据分类计数原理得共有720+2400=3120种．16．（15分）记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求①A∩B；②（∁R A）∪B；（2）若C={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}，C⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B={x||3﹣x|x|≥0}=[﹣3，3]，①A∩B=[﹣3，﹣1）∪（2，3]②（∁R A）∪B=[﹣3，3]，（2）∵（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，∴[x﹣（m﹣1）][x﹣（2m+1）]＜0①当m﹣1=2m+1，即m=﹣2时，C=∅，满足C⊆B②当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，C=（m﹣1，2m+1），要使C⊆B，只要得﹣2＜m≤1③当2m+1＜m﹣1，即m＜﹣2时，C=（2m+1，m﹣1），要使C⊆B，只要得m∈∅综上，m 的取值范围是[﹣2，1]17．（15分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵p：f（x）=m+2x为定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，∴∃x∈[﹣1，2]，使得m+2﹣x=﹣（m+2x），化为：m=﹣（2x+2﹣x）∈．q：曲线g（x）=x2+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点，则（5m+1）2﹣4＞0，解得或；∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p或q一真一假．p真q假，则，得无交集；若p假q真，则，得或或．综上知m的取值范围为：或或．18．（15分）某房屋开发公司根据市场调查，计划在2017年开发的楼盘中设计“特大套”、“大套”、“经济适用房”三类商品房，每类房型中均有舒适和标准两种型号．某年产量如表：若按分层抽样的方法在这一年生产的套房中抽取50套进行检测，则必须抽取“特大套”套房10套，“大套”15套．（1）求x，y的值；（2）在年终促销活动中，奖给了某优秀销售公司2套舒适型和3套标准型“经济适用型”套房，该销售公司又从中随机抽取了2套作为奖品回馈消费者．求至少有一套是舒适型套房的概率；（3）今从“大套”类套房中抽取6套，进行各项指标综合评价，并打分如下：9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取，规定抽到数9.6或9.7，抽取工作即停止．记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题设知==，解得y=450，x=400；（2）设至少有一套舒适型套房记为事件A，事件A发生的个数为：，基本事件的总和为，故所求的概率为；（3）根据题意，ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则，，，，；所以ξ的分布列为：数学期望为E（ξ）=1×+2×+3×+4×+5×=．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是a1=3．【解答】证明：∵数列是公比为2的等比数列，∴．即．∵，∴显然当n≥2时=4．①充分性：当a1=3时，，∴对n∈N*，都有，即数列{a n}是等比数列．②必要性：∵{a n}是等比数列，∴，即，解得a1=3．20．（15分）设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．【解答】解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）==的通项公式为T r+1=（﹣1）r••2r•，∴a r=（﹣1）r••2r ，r=0，1，2， (6)∴=﹣•2+•22﹣•23+…+•26=﹣•2+•22﹣•23+…+•26﹣=（1﹣2）6﹣1=0；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•，∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n x n﹣1…②，n•Cn②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0，即=0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题
江苏省启东中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}02A x x =<≤，集合{}11B x x =-<<，则AB =______．2．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．3．已知命题:.:2 1.p x a q x p q >-<≤命题若是的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ______．4．若函数()()sin cos x f x e x x =+，则'()f x =______．5．已知函数()f x =，则函数()f x 的定义域为______． 6．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．7．函数21()11f x x =--的值域为______． 8．函数311()433f x x x =-+的极大值是______． 9．若函数222,0(),0x x x f x ax bx x ⎧+<=⎨+≥⎩是偶函数，则-a b 的值为______．10．设函数()(1)ln (e f x x e x x =--+e 为自然对数的底数)，则()f x 的极小值为______．11．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______． 12．某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示）______．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +为奇函数，()(]00.0,1f x =∈当时， ()2log f x x =，则在区间(4，5)内满足方程()112f x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭的实数x 的值为______．14．若函数1,0(),[()]2ln ,0x x f x y f f x m x x +≤⎧==-⎨>⎩函数有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ______ ．二、解答题15．已知函数32().f x x ax bx =-+(1)当2b =-时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当3b =时，()f x 在13x =处取得极值，求函数()f x 在[]1,a 上的值域. 16．已知函数()2(1),(),x f x e m x m R e =++∈为自然对数的底数.(1)当1m =时，求函数()f x 在点()0,(0)f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间.17．已知全集U =R ,2{|320}A x x x =-+-≥, 2{|1}1B x x =≥-. (1)求集合A B ；(2)函数()ln ,f x x x ax =-()g x x =，对一切x A ∈，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知命题p ：函数2(1)(24)4()f x mx m x m m R -=--+-∈.命题q ：x R ∀∈，不等式2302x mx -+>恒成立. (1)若函数()f x 的单调减区间是(],1-∞-，求m 的值；(2)若函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为单调增函数，且命题p q ∧为真命题，求m 的取值范围．19．为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点（异于O B 、两点），点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．20．定义可导函数()y f x =的弹性函数为()()x f x f x '⋅；在区间D 上，若函数()f x 的弹性函数值大于1，则称()f x 在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作()f x 的弹性区间．(1)若()xr x e x =-，求()r x 的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数()f x =()1ln xx e x -+（其中e 为自然对数的底数），求()f x 的弹性区间D ．参考答案1．{}01x x <<【解析】 由题意结合交集的定义可得：{}01A B x x ⋂=<<.2．1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间.详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e <<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.3．2a ≤-【解析】若p 是q 的必要不充分条件，则集合{}|21x x -<<是集合{}|x x a >的子集， 据此可得：实数a 的取值范围是2a ≤-.4．2cos x e x【解析】()'x xe e =，()sin cos 'cos sin x x x x +=-，结合导数的运算法则可得： ()()()'sin cos cos sin 2cos x x xf x e x x e x x e x =++-=.5．()(]1,22,4⋃【解析】函数有意义，则：()4010ln 10x x x ⎧-≥⎪->⎨⎪-≠⎩，解得：412x x x ≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩，据此可得函数()f x 的定义域为()(]1,22,4⋃.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．6．13【解析】由函数的解析式可得：()2'31f x ax =+， 则函数在()()1,1f 处的切线斜率为()'131f a =+，结合直线平行的结论可得：312a +=，解得：13a =. 7．()[),12,-∞+∞【解析】函数的定义域为{}|1x x ≠±，则： [)()211,00,x -∈-⋃+∞，()[)21,01,1x -∈-∞⋃+∞-，()[)211,12,1x -∈-∞⋃+∞-， 即函数()2111x x =--的值域为()[),12,-∞⋃+∞. 8．173【解析】函数的定义域为R ，且()()()2'422f x x x x =-=+-， 列表考查函数的性质如图所示：则当2x =-时函数取得极大值：()()()311172242333f -=⨯--⨯-+=. 9．3【解析】 设0x >，则0x -<，函数为偶函数，则()()()()2222f x f x x x x x =-=-+⨯-=-， 结合题中所给函数的解析式可得：1,2a b ==-，则()123a b -=--=.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．10．2-【解析】函数的定义域为()0,∞+，且()()()()2222111'1x e x e x x e e e f x x x x x -++--+=+-==， 列表考查函数的性质如图所示：则当1x =时函数取得极小值：()()112f e e e =---=-.11．105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+， 则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-，导函数的解析式为：()2'1530f x x =-， 据此可得：()2'315330105f =⨯-=.12【解析】设饮料罐的底面半径为r ，高为h ，由题意可得：2V r h π=，故2V h r π=， 圆柱的表面积： 2222222222V V S r rh r r r r rππππππ=+=+⨯=+22V V r r r π=++≥当且仅当22V r r π=，即r =点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.13．17.4【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x +1)为奇函数，∴f (-x )=f (x )，f (-x +1)=-f (x +1)，∴f (2+x )=-f (-x )=-f (x )，∴f (x +4)=f (x )，函数的周期为4， 由题意可得：211log 122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()11,2f x f x +=-=-， 当()4,5x ∈时，()40,1x -∈，由2log 2x =-可得14x =， 据此可得原方程的解为：117444x =+=. 14．102m <≤【解析】由函数的解析式可得：当1x ≤-时，()10f x x =+≤，()()()()1112f f x f x x x =+=++=+；当10x -<≤时，()10f x x =+>，()()()()1ln 1f f x f x x =+=+；当01x <≤时，()ln 0f x x =≤，()()()ln ln 1ff x f x x ==+； 当1x ≤-时，()ln 0f x x =>，()()()()ln ln ln f f x f x x ==，此时函数单调递增；则()()()()2,1ln 1,10ln 1,01ln ln ,1x x x x f f x x x x x +≤-⎧⎪+-<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩，绘制函数()()f f x 的图象如图所示， 函数()2y f f x m ⎡⎤=-⎣⎦有3个不同的零点，则函数()()f f x 与函数2y m =有3个不同的交点， 观察函数图象可得：1021,02m m <≤∴<≤.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．15．（1）12a ≤（2）[]9,15- 【详解】 (1)()()3222.322f x x ax x f x x ax =--∴=--', 因为()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()23220f x x ax =--≥'在区间[)1,+∞上横成立， 即22322232,2,23x ax x a a x x x -≤-∴≤≤-即在区间[)1,+∞上横成立， 令()23g x x x =-，()2230g x x=+>'，()g x ∴在[)1,+∞上单调增函数. 所以()1211,.2a g a ≤=≤即 (2) ()()3223.323f x x ax x f x x ax =-+∴=-+'， 因为()13f x x =在处取得极值，所以13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=0，得出 5.a = ()()()23103313f x x x x x ∴=-+=--',令()10,3,3f x x x ='==得， ∴ ()f x 在[]1,3上为减函数，在[]3,5上增函数，又()()11,515f f =-=，函数的最大值()(){}1,515,max f f ==函数的最小值()39,f ==-所以，函数()[]1f x a 在，上的值域为[]9,15-. 16．（1）3 3.y x =+（2）当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间.当0m <时，()f x ∴的增区间为(ln(),)2m -+∞,减区间为(,ln())2m -∞- 【解析】试题分析：（1）由函数的解析式可得()0f =3，()0f '=3，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：3 3.y x =+（2）结合函数的解析式有()2x f x e m ='+，分类讨论可得：当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间.当0m <时，()f x ∴的增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 试题解析：（1）()()()2121xxf x e m x e x =++=++，()0f ∴=3∴ ()21x f x e ='+ ()0f ∴'=3，函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为：()330y x -=-，即：3 3.y x =+（2）()2xf x e m ='+，⑴当0m ≥时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间. ⑵当0m <时, 令()20,2xxm f x e m e =+>∴>-'，2m x ln ⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭， ()20,2x x m f x e m e =+<∴<-'，2m x ln ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭， ()f x ∴的单调增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,单调减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上：当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无减区间. 当0m <时，()f x ∴的增区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,减区间为,2m ln ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．17．（1）(]1,2A B =（2）1a ≤【解析】 试题分析：（1）由题意可得[]1,2A =，[)(]1,11,3B =-⋃，则(]1,2A B ⋂=.(2)结合(1)的结论可知原问题等价于1a lnx ≤+-对一切x ∈ []1,2恒成立. 构造函数，令()1x lnx xϕ=+-，结合导函数研究函数的单调性可得()x ϕ的最小值为=ϕ则1a ≤.试题解析：（1）求解一元二次不等式可得[]1,2A =，求解分式绝对值不等式可得[)(]1,11,3B =-⋃，(]1,2A B ∴⋂=.(2) 由()()f x g x ≥得xlnx ax x -≥x ∈ []1,2恒成立.1a lnx x∴≤+-对一切x ∈ []1,2恒成立.令()1x lnx ϕ=+-，()1x x ϕ'== ， ()x ϕ∴在(上单调递减，()x ϕ在)2上单调递增；()x ϕ∴的最小值为=ϕ1a ∴≤.18．（1）2m =（2）0m ⎡⎣的取值范围是【解析】 试题分析：（1）令1,x t -=则1x t =+，利用换元法可得函数的解析式为()24f x mx x =+，结合二次函数的性质可得 2.m =()2p q ∧为真命题p q ∴，和均为真命题.命题p 为真命题，讨论可得0≤m ≤4，命题q 为真命题，由判别式小于零可得m <<m 的取值范围是0⎡⎣.试题解析：（1）令1,x t -=则1x t =+，()()()()212414f t m t m t m =+--++- 得出()24f t mt t =+，所以()24f x mx x =+，41,2m-∴=- 2.m ∴=()2p q ∧为真命题p q ∴，和均为真命题.命题p 为真命题：若m =0,符合； 若m ≠0,得出m >0,4122m ≤--，即0<m ≤4，∴0≤m ≤4， 命题q 为真命题：2=60,m ∆-<即m <<.所以，m的取值范围是0⎡⎣.19．（1）2cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为(0)3π，； （2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．【解析】 试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得2233OC CD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合题意可知函数的解析式为23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）结合(1)中函数的解析式：()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭求导可得())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，利用导函数研究函数的单调性可得()f x 在6x π=处取得最大值266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭．试题解析：（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米，由正弦定理得2233OCCD sinxsinsin x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得OC =百米，3CD x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭百米． 又圆弧DB 长为23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭百米．所以223333y a sinx a sin x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦23a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，03x ，π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）记()23f x a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭， 则())212216f x a sinx a cos x π⎡⎤⎛⎫=⨯--=⨯+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，令()0f x '=，得6x π=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即266f a ππ⎛⎫⎫=⨯⎪⎪⎝⎭⎭．答：（1）23y a cosx x π⎫=⨯+-+⎪⎭，定义域为03π⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）广告位出租的总收入的最大值为26a π⎫⎪⎭元． 20．（1）弹性函数为()1xxxe e x-⋅-．其零点为0x =. （2）()1,D =+∞. 【解析】 试题分析：（1）由函数的解析式有()()1xr x e '=-⋅结合弹性函数的定义可得()r x 的弹性函数为()1x x xe e x-⋅-．其零点为0x =. ⑵由题意可得弹函数的解析式为()2111x xx e x e lnx+>-+，此不等式等价于不等式组： (Ⅰ)()()21011x x x x e lnx x e x e lnx ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①②或(Ⅱ)()()21011xx xx e lnx x e x e lnx ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④. 分类讨论可知因不等式组(Ⅰ)的解为1x >.不等式组(Ⅱ)无实数解．即()f x 的弹性区间()1,D =+∞.试题解析：（1）()xr x e x =-，()()1xr x e '=-⋅()()()1x x x xr x e r x e x⋅=-⋅-'． 令()()()10x x x xr x e r x e x⋅=-⋅=-'，解得0x =， 所以()r x 弹性函数的零点为0x =.⑵()()1xf x x e lnx =-+，函数定义域为{}0x x >．因为()()1x xf x e x e =+-'+211xx e x x+=， ()f x 的弹性函数()()()2111x xx x e f x f x x e lnx+-+'⋅=>， 此不等式等价于下面两个不等式组，(Ⅰ)()()21011x x x x e lnx x e x e lnx ⎧-+>⎪⎨+>-+⎪⎩①②或(Ⅱ)()()21011xx xx e lnx x e x e lnx ⎧-+<⎪⎨+<-+⎪⎩③④. 因①对应的函数就是()f x ，由()0f x '>，所以()f x 在定义域上单调增， 又()10f =，所以①的解为1x >；而②()()()2211110xxxg x x e x e lnx x x e lnx ⎡⎤⇔=+--+=-++->⎣⎦，()()()()32211211xx x x x e g x x e x x e x x+-=-+-+-='在1x >上恒正， 则()g x 在1x >上单调递增，所以()()10g x g >>，故②在1x >上恒成立. 于是不等式组(Ⅰ)的解为1x >. 同①的解法得③的解为01x <<；因为在01x <<时，④左正、右负，不可能成立. 故不等式组(Ⅱ)无实数解．综上，()f x 的弹性区间()1,D =+∞.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 文
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二文科数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．已知集合{}{}4,2,3,1=-=B A ，则=B A I ． 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 ． 3.设()x f 是定义在[]b a ,上的奇函数，则()[]=+b a f 2 ．4.已知函数()⎩⎨⎧>≤=0,log 0,33x x x x f x ，则()[]=-1f f ．5.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角．6.函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则 (1)(1)f f '+= ．7.求值：48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π= ． 8.已知倾斜角为α的直线l 与直线2x ＋y －3＝0垂直，则()=+απ22019cos ． 9.设(322()log 1f x x x x =++，则不等式2()(2)0f m f m +-≥（m R ∈）成立的充要条件是 ．（注：填写m 的取值范围）10.函数x y sin =和x y tan =的图象在[]π6,0上交点的个数为 ．11.若()=x f ⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,31,x a x x x a是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ．12.求值：()=︒-︒-︒200sin 170sin 2340cos ________.13.设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，当0>x 时，有()()0<-'x f x f x 恒成立，则不等式()02>x f x 的解集是 ．14.已知函数()()⎩⎨⎧>++-≤-=0,340,222x x x x e x x x f x ，()()k x f x g 3-=，若函数()x g 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数2()2sin 23cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心和单调递增区间； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本题满分14分）设函数()34lg 2-+-=x x y 的定义域为A ，函数()m x x y ,0,12∈+=的值域为B ．（1）当m=2时，求A∩B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．17.( 本题满分14分)已知函数()()b x a x x f ++++-=242，()31log 2=f ，且()()x x f x g 2-=为偶函数．（1）求函数()x f 的解析式；（2）若函数()x f 在区间[)+∞,m 的最大值为m 31-，求m 的值．18.(本题满分16分)如图，某市若规划一居民小区ABCD ，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF 建活动休闲区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为1千米，△AEF 的面积为S ． （1）①设AE=x ，求S 关于x 的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S 关于θ的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．19.(本题满分16分)已知函数()12323--+=ax x x a x f ，()01=-'f . （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．20．(本题满分16分)设函数.2)(,ln 2)1()(xex g x x x p x f =--=（p 是实数，e 是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数)(x f y =的图象在点A （1，0）处相切的切线方程； （2）若函数)(x f 在其定义域内单调递增，求实数p 的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一点)()(,000x g x f x >使得成立，求实数p 的取值范围.江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考数学试卷（文科）参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.(1)φ(2) x R ∀∈，2210x x -+≥ (3)0 (4) -1（5）二或四 (6)3 (7)100（8）35-(9) m≤-2或m ≥1 （10）7 (11)[，+∞）（12）3（13）（﹣∞，﹣2）∪（0，2）（14）（1，）∪{0，}15解：⑴()32cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+-----------3分∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， ----------5分 令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈ ----------7分由Z k k x k ∈+≤+≤-,226222πππππ得()x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈ ----------9分 ⑵∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤ ∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2。
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(文科)-教师用卷
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，集合，则______．【答案】【解析】解：集合，集合，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.的单调递减区间是______．【答案】【解析】解：函数的定义域为令得，函数的单调递减区间是故答案为，求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．3.已知命题p：命题q：若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题p：命题q：．由p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．故答案为：．由p是q的必要而不充分条件，结合不等式的意义即可得出．本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若函数，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，故答案为：根据题意，由函数乘法的导数计算公式计算可得答案．本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式．5.已知函数，则函数的定义域为______．【答案】【解析】解：由，解得且．函数的定义域为．故答案为：．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0且分式的分母不等于0，联立不等式组求解即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．6.设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得在处的切线斜率为，切线与直线平行，可得，解得．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．7.函数值域为______．【答案】，【解析】解：方法一：函数的图象如图所述，由图象可得函数的值域：，方法二：，当时函数单调递增，当时函数单调递减．故y在上的最小值为2，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故时，，故时，，综上所述函数的值域为，，故答案为：，方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域，方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域．本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．8.函数的极大值为______．【答案】【解析】解：函数，，，在上，导函数大于0，函数递增，在上，导函数小于0，函数递减，在上，导函数大于0，函数递增，在处，函数取到极大值，故答案为：．首先求出函数的导函数，使得导函数等于0，解出x的值，验证在x值两侧的导函数的符号，得到在处，函数取到极大值．本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属中档题．9.若函数是偶函数，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意，设，则，若函数是偶函数，则有，即，则有，，则；故答案为：3根据题意，设，则，结合偶函数的定义以及函数的解析式可得，即，分析可得a、b的值，计算即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的定义．10.设函数为自然对数的底数，则的极小值为______．【答案】【解析】解：函数为自然对数的底数，，，由，解得或，当时，或，当时，，的增区间为，，减区间为，的极小值为．故答案为：．，，当时，或，当时，，从而的极小值为，由此能求出结果．本题考查函数的极小值的求法，考查导数性质、函数的极值、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.设函数的导函数为，若，则______【答案】45【解析】解：求导得：，令，得到，解得：，，故答案为：45．对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值，再求出即可本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省即表面积最小，则饮料罐的底面半径为用含V的代数式表示______【答案】【解析】解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则，即有，用料为，当且仅当，即时S最小即用料最省．故答案为：．设圆柱的底面半径r，高h容积为v，则，，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得，配凑基本不等式的形式，从而求最小值，从而可求高与底面半径之比，再由体积，即可得到所求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件．13.已知函数是定义在R上的偶函数，为奇函数，当时，，则在区间内满足方程的实数x的值为______．【答案】【解析】解：根据题意，若为奇函数，即，即．当时，，．又为偶函数，即，于是，即，故是以4为周期的函数．当时，，，当时，有，则，若，则有，解可得：；故答案为：．由为奇函数，可得由为偶函数可得，故是以4为周期的函数当时，有，则，分析可得，解可得x的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性，关键是分析函数的周期，属于基础题．14.若函数函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：令，则内层函数为，外层函数为．若外层函数只有一个零点，则，得，且外层函数的零点，而直线与内层函数的图象只有一个交点，不合乎题意！若外层函数有两个零点，则，得，令，可得，，显然直线与内层函数的图象有两个交点，则直线与内层函数的图象只有一个交点，所以，，解得．因此，实数m的取值范围是故答案为：．首先将函数分解为内层函数与外层函数，先确定外层函数的零点个数，再利用外层函数的零点与内层函数图象的交点总数为3时，由此列有关m的不等式求解．本题考查函数的零点，合理弄清楚外层函数与内层函数零点之间的关系，是解本题的关键，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数．当时，在上是增函数，求实数a的取值范围；当时在处取得极值，求函数在上的值域．【答案】解：，因为在上是增函数，所以在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，令，，在上单调增函数．所以即．，因为在处取得极值，所以，得出．，令得．在上为减函数，在上增函数，又，，，，所以，函数在上的值域为．【解析】求得的导数，可得在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，求得不等式右边函数的最小值即可；求得导数，解方程可得a，求得的导数和极值、端点处的函数值，可得最值．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查恒成立问题解法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．16.已知函数，，e为自然对数的底数．当时，求函数在点处的切线方程；求函数的单调区间．【答案】解：根据题意，，则，又由，，函数在点处的切线方程为：，即：；根据题意，，则，，当时，恒成立，的单调递增区间为，无减区间．，当时，令，，，，，，的单调增区间为，单调减区间为；综上：当时，的单调递增区间为，无减区间．当时，的增区间为，减区间为．【解析】根据题意，求出的值，以及函数的导数，计算的值，由直线的点斜式方程计算可得答案；根据题意，计算可得，分与两种情况讨论，分析导数的符号，由函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线的方程，关键掌握导数的几何意义．17.已知全集，，．求集合；函数，，对一切，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：，或．．函数，，由，得对一切恒成立．对一切恒成立．令，，在上单调减，在上单调增，的最小值为．，实数a的取值范围是【解析】求出集合A，B，由此能求出．由，得对一切恒成立从而对一切恒成立令，，利用导数性质能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.已知命题p：函数命题q：，不等式恒成立．若函数的单调减区间是，求m的值；若函数在区间上为单调增函数，且命题为真命题，求m的取值范围．【答案】解：令，则，分得出，所以分若函数的单调减区间是，则满足，分为真命题，和q均为真命题分命题p为真命题：若，符合；分若，得，由得分综上，命题q为真命题，则判别式，即分所以，由，得，即实数m的取值范围是分【解析】先求出函数的解析式，结合二次函数的单调性进行判断即可．根据复合命题真假关系分别求出命题p，q为真命题的等价条件，进行求解即可．本题主要考查复合命题真假性的应用，以及二次函数单调性的判断，分别求出命题p，q的真假是解决本题的关键．19.为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图点C是半径OB上一点异于O、B两点，点D是圆弧上一点，且为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧处每百米均为a元设弧度，广告位出租的总收入为y元．求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．【答案】解：因为，所以弧度，在中，，，百米，由正弦定理得，分得，百米；分又圆弧DB长为百米，所以，；分记，则，分令，得；分所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值；即；答：，定义域为；广告位出租的总收入的最大值为元分【解析】根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围；求函数y的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．20.定义可导函数的弹性函数为；在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．若，求的弹性函数及弹性函数的零点；对于函数其中e为自然对数的底数，求的弹性区间D．【答案】本题满分16分解：，分分令，解得，所以弹性函数的零点为分，函数定义域为．因为，的弹性函数，分此不等式等价于下面两个不等式组，Ⅰ或Ⅱ．因对应的函数就是，由，所以在定义域上单调增，又，所以的解为；分而，在上恒正，则在上单调递增，所以，故在上恒成立．于是不等式组Ⅰ的解为分同的解法得的解为；因为在时，左正、右负，不可能成立．故不等式组Ⅱ无实数解．综上，的弹性区间分【解析】，，利用导数性质能求出的弹性函数及弹性函数的零点．，函数定义域为，由，的弹性函数，由此能求出的弹性区间．本题考查函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，考查函数的弹性区间的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
江苏省启东中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题
江苏省启东中学2018-2019 学年度第二学期期中考试高二数学一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分）1. 从 3 双鞋子中，任取 4 只，此中起码有两只鞋是一双，这个事件是.( 填“必定”，“不行能”或“随机” ) 事件．2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 35 秒，那么你看到红灯的概率是.3. 将一枚质地平均的硬币先后投掷三次，恰巧出现一次正面向上的概率是.4.从 1,2,3,4 这四个数中随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.5. 函数（0，）的极小值为.6. 设点是曲线上的随意一点，则到直线的距离的最小值为.7.某人向边长分别为 5,12,13 的三角形地区内随机丢一粒芝麻，假定芝麻落在地区内的随意一点是等可能的，则其恰落在离三个极点距离都大于 2 的地方的概率为.8.曲线 y＝＋x+2 在点 (0,3) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.9.函数f( )x.的单一减区间为ln x10. 已知a>0，函数f ( x) ＝x( x－a) 2和 g( x)＝－ x2＋( a－1) x＋ a 存在同样的极值点，则a＝_______.11. 若函数，则等于.12.已知函数 f ( x)＝ x3+2x．若 f ( a－1)＋ f (2 a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．13. 已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数，若，则实数 m的取值范围为.14. 已知f(x)=，若对于的方程恰巧有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为.二、解答题（本大题共 6 小题，合计90 分）15.（本小题满分14 分）袋中有 7 个球，此中 4 个白球，(1) A：拿出的 2 个球都是白球；3 个红球，从袋中随意拿出 2 个球，求以下事件的概率：(2)B：拿出的2个球中1个是白球，另 1 个是红球．16.( 本小题满分 14 分 )已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的分析式．求在上的最小值．17.（本小题满分 15 分）已知函数1 个实根，求m的值；（ 1 当 a=-2,b=3时，若方程m=0的有（ 2）当时，若 f ( x)在(0，＋∞)上为增函数，务实数 a 的取值范围．18.( 本小题满分 15 分 )已知函数，．（ 1）若是的极值点，求函数的单一性；（ 2）若时，，求的取值范围．19. (本小题满分16 分 )如图是一个半径为 2 千米，圆心角为π 的扇形旅行区的平面表示图． C 是半径 OB 上一点， D3︵︵是圆弧 AB上一点，且 CD∥ OA.此刻线段 OC，线段 CD及圆弧 DB三段所示地点建立广告位，经测算广告位出租收入是：线段︵OC处每千米为2a 元，线段 CD及圆弧 DB处每千米均为 a 元．设∠AOD＝ x 弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求 y 对于 x 的函数分析式，并指出该函数的定义域；(2)试问： x 为什么值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．20.( 本小题满分 16 分 )已知函数 f ( x)＝x ln x， g( x)＝λ( x2－1)(λ为常数)．(1)若函数 y＝ f ( x)与函数 y＝ g( x)在 x＝1处有同样的切线，务实数λ 的值；1(2)若λ＝2，且 x≥1，求证： f ( x)≤ g( x)；(3)若对随意 x∈[1，＋∞)，不等式 f ( x)≤ g( x)恒建立，务实数λ的取值范围．江苏省启东中学 2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学命题人：蔡罡二、填空题（本大题共14小题，每题 5 分，合计70 分）1.从 3 双鞋子中，任取 4只，此中起码有两只鞋是一双，这个事件是(填“必定”，“不行能”或“随机” ) 事件．必定2.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为35 秒，那么你看到红灯的概率是1 33.将一枚质地平均的硬币先后投掷三次，恰巧出现一次正面向上的概率是3 84.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数，则此中一个数是另一个数的两倍的概率是1 35.函数（ 0，）的极小值为.6.设点是曲线上的随意一点，则到直线的距离的最小值为.7.某人向边长分别为 5,12,13 的三角形地区内随机丢一粒芝麻，假定芝麻落在地区内的随意一点是等可能的，则其恰落在离三个极点距离都大于15－π2 的地方的概率为158.曲线 y＝＋x+2在点(0,3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为9. 函数f( )x.0,1 , 1,e 的单一减区间为ln x10. 已知a>0，函数f ( x) ＝x( x－a) 2和 g( x)＝－ x2＋( a－1) x＋ a 存在同样的极值点，则a＝________.311. 若函数，则等于.12. 已知函数f ( x) ＝x3+2x．若f ( a－ 1) ＋f (2 a2) ≤0，则实数a的取值范围是 ________．－ 1，123f ( x)是奇函数．由于f 2分析：由于 f (－ x)＝－ x －2x＝－ f ( x)，所以函数′(x)＝3x +2≥2，所以函数 f ( x)在 R 上单一递加．又 f ( a－1)＋ f (2 a2)≤0，即 f (2 a2)≤ f (1－ a)，所以2a2≤121－ 1，1－ a，即2a ＋ a－1≤0，解得－1≤ a≤2，故实数 a的取值范围是 2.13.已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数若，则实数 m的取值范围为.分析：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故.14. 已知f(x)=，若对于的方程恰巧有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为.（）分析：方程得，f （ x）＝1或 f （x）＝- m﹣1；解 f （ x）＝1得 x＝0，故方程 f （ x）＝- m﹣1有3个不是0的根；当 x≥1时，f （ x），f′（x）；故 f （ x）在（1，e）上单一递加，在（e，+∞）上单一递减；f （1）＝0， f （e），且x>1时，；当 x＜1时，f （ x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故 f （x）的大概图像以下：故若使方程 f （ x）＝- m 1有3个不是0的根，0＜ - m 1；即m＜-1；所以数的取范（），二、解答（本大共 6 小，共90 分）15.（本小分 14 分）袋中有 7 个球，此中 4 个白球， 3 个球，从袋中随意拿出 2 个球，求以下事件的概率：(1) A：拿出的 2 个球都是白球；(2)B：拿出的 2 个球中 1 个是白球，另 1个是球．【分析】4 个白球的号1,2,3,4,3个球的号 5,6 ， 7，从袋中的7 个小球中任取 2 个的方法 (1,2) ，(1,3)，(1,4) ，(1,5) ，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5) ，(2,6)，(2,7) ，(3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (3,7)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)， (5,7)，(6,7) ，共21种．⋯ 6分(1) 从袋中的 7 个球中任取2个，所取的 2 个球所有是白球的方法数，即是从 4 个白球中任取 2 个的方法数，共有 6 种，即 (1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,3) ，(2,4)，(3,4) ．∴拿出的 2 个球所有是白球的概率P( A)＝⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分(2) 从袋中的7 个球中任取 2 个，此中 1 个球，而另 1 个白球，其取法包含(1,5) ，(1,6) ，(1,7)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，共12种．∴拿出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是球的概率P( B)＝.⋯⋯⋯⋯14分16. (本小分14 分 )已知函数，曲在点的切方程，在有极．求的分析式．求在上的最小．【分析】解：，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分曲在点 P 的切方程，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在有极，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分由得，，，所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由知．令，得，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分当，；当，；当，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分．又因，所以在区上的最小．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17.（本小分 15 分）已知函数（ 1 当 a=-2,b=3，若方程m=0的有 1 个根，求m的；（ 2）当，若f(x)在(0，＋∞ )上增函数，求数 a 的取范．【分析】⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 2）当，，∴又 f ( x)在(0，＋∞)上增函数，∴∴，而即∴故 a的取范是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分18.( 本小分 15 分 )已知函数（ 1）若（ 2）若【分析】，．是的极点，求函数的性；，，求的取范．（ 1），.因是的极点，所以，可得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分所以，. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因在上增，且，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分所以，，，减；，，，增．故在上减，在上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 2）由得，因，所以. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分，.令，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，然在内减，且，所以，，减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分，即，所以在内减，进而.所以.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分19. (本小分16 分)如是一个半径 2 千米，心角πC 是半径 OB 上一点，D 3的扇形游区的平面表示．︵︵是弧 AB上一点，且 CD∥ OA.在段 OC，段 CD及弧 DB三段所示地点立广告位，算广告位出租收入是：段︵OC每千米2a 元，段 CD及弧 DB每千米均 a 元．∠AOD＝ x 弧度，广告位出租的收入y 元．(1)求 y 对于 x 的函数分析式，并指出函数的定域；(2)： x 何，广告位出租的收入最大？并求出其最大．【分析】(1) 因 CD ∥ OA ，所以∠ ODC ＝∠ AOD ＝ xrad .在△中，∠＝ 2π，∠ ＝π－ x ，＝ 2 .OCDOCD 3 COD 3 OD kmOCCD24 3由正弦定理，得sin x＝sinπ＝sin 2π＝3，－ x 334 343π －得 OC ＝ 3 sin xkm ， CD ＝ 3sin 3x km .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 弧π－ x，DB2 3 km4 34 3π π所以 y ＝2a × 3 sin x ＋ a ×[ 3sin3 － x ＋ 23 －x ]＝ 23sin x ＋ cos x －x ＋π， ∈ 0，π. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分a3x3(2)f ( x ) ＝ 2a3sinx ＋ cos x － x ＋ π，3f ′( ＝2a ( 3cos x － x － 1) ＝2a 2cos x ＋ π－ 1，x )sin 6π令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 6 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当 x 化 ， f ′(x ) ， f ( x ) 的 化以下表：xπ π π π0， 6 6 6 ， 3 f ′(x ) ＋ 0－ f ( x )增极大减πππ所以 f ( x ) 在 x ＝ 6 获得极大 ， 个极大 就是最大 ，即f6 ＝ 2a ×3＋ 6＝23＋ π6 a .ππ故当 x ＝ 6 ，广告位出租的 收入最大，最大 2 3＋6 a 元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20. ( 本小 分 16 分 )已知函数 f ( x ) ＝x ln x ， g ( x ) ＝ λ ( x 2－ 1)( λ 常数 ) ．(1) 若函数y ＝ ( ) 与函数 y ＝ ( ) 在 x ＝ 1 有同样的切 ，求 数 λ 的 ；f xg x(2) 1，且 x ≥1，求 ： f ( x ) ≤ g ( x ) ； 若 λ＝ 2(3) 若 随意 x ∈[1 ，＋∞ ) ，不等式 f ( x) ≤ () 恒建立，求 数λ 的取 范 ．g x【分析】(1) ：f ′(x ) ＝ln x ＋ 1， f ′(1)＝ 1 且 f (1) ＝ 0.所以函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ 1 的切 方程 y ＝x － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1进而 g ′(1) ＝ 2λ＝ 1，即 λ ＝ 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 明： 函数 () ＝ ln12－1) ，′( ) ＝ ln＋ 1－ .x － (x x h x x 2h x x1p ( x ) ＝ ln x ＋ 1－ x ，进而 p ′(x ) ＝x －1≤0 随意 x ∈[1 ，＋∞ ) 恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以 p ( x ) ＝ ln x ＋1－ x ≤ p (1) ＝ 0，即 h ′(x ) ≤0，12所以函数 h ( x ) ＝x ln x － 2( x － 1) 在 [1 ，＋∞ ) 上 减，即 h ( x ) ≤ h (1) ＝0，所以当x ≥1 ，f ( x) ≤ ( ) 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分g x(3) 解： 函数 H ( x ) ＝ x ln x － λ ( x 2－1) ，进而 随意 x ∈ [1 ，＋∞ ) ，不等式 H ( x ) ≤0＝ H (1) 恒建立．又 ′( ) ＝ lnx ＋1－ 2λ ，H xx当 ′( ) ＝ lnx ＋1－ 2λ ≤0，即ln x ＋ 1≤2λ 恒建立 ，H xxx函数 H ( x ) 减．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ln x ＋1－ lnxr ( x ) ＝ x， r ′(x ) ＝x 2≤0，所以 r ( x ) max ＝r (1)1 12 分＝ 1，即 1≤2λ ，解得 λ ≥ ，切合 意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2当 λ ≤0 ， H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λ x ≥0恒建立，此 函数 H ( x ) 增．于是，不等式H ( x ) ≥ H (1) ＝ 0 随意 x ∈ [1 ，＋∞ ) 恒建立，不切合 意；当 0<λ<1， q ( x ) ＝ H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λx ， 211q ′(x ) ＝ x － 2λ ＝ 0，解得 x ＝ 2λ>1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分11当 x ∈ 1， 2λ ， q ′(x ) ＝ x － 2λ>0，此 q ( x ) ＝ H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λ x 增，所以H ′(x ) ＝ ln x ＋ 1－ 2λx >H ′(1) ＝ 1－ 2λ>0，1故当 x∈1，2λ，函数 H( x)增．1于是当 x∈1，2λ， H( x)>0建立，不切合意．上所述，数λ的取范是 [116 分，＋∞ ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（用洛必达定理求可适合分）江省启中学2018-2019 学年度第二学期期中考高二数学附带命人：蔡罡（本大共 4 小，每10 分，共40 分）1.求以下函数的函数（ 1）y2x 1（2）y sin2 x2x11解：（ 1）y2 x 11 2 x 12 2 x（ 2） y 2sin x sin x2sin xcos x sin 2 x2.有 4 个不一样的球， 4 个不一样的盒子，此刻要把球所有放入盒内．（ 1）共有多少种放法？（用数字作答）（ 2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（用数字作答）解：（ 1）每个球都有 4 种方法，故有：种种不一样的放法（2）四个不一样的小球放入编号为 1， 2， 3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有 2 个小球，从 4 个小球中选两个作为一个元素，同此外两个元素在三个地点全摆列，故共有：C42 A43144 种不一样的放法．3.在“五四青年节”到来之际，启东中学将睁开一系列的念书教育活动. 为认识高二学生读书教育状况，决定采纳分层抽样的方法从高二年级A、B、 C、 D 四个社团中随机抽取12 名学生参加问卷调査. 已知各社团人数统计以下：（ 1）若从参加问卷检查的（ 2）在参加问卷检查的12 名学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生来自同一个社团的概率；12 名学生中，素来自 A、B、D 三个社团的学生中随机抽取 3 名，用X表示从A社团抽得学生的人数，求X的散布列和数学希望.3.解：（1）A、B、C、D社团共有学生名，抽取名学生，抽取比率为.则抽取的名学生中，社团名，社团名，社团名，社团名.则名学生抽取名学生，来自同一个社团的概率为：.（ 2） 12 名学生中来自三个社团的学生共有名，若从中任取名，抽取社团的人数服从超几何散布，的取值为则的散布列为在该超几何散布中，所以数学希望n4、已知二项式x 3x2.（1）若它的二项式系数之和为128 . 求睁开式中系数最大的项；（2）若x 3, n 2016，求二项式的值被7除的余数 .4、解：（ 1）2n128,n7.C7r 3r C7r 1 3r 1C7r 3r C7r 1 3r1 ,r 1,2,3, 4,5,6r5,6睁开式中系数最大的项为第6, 7项523x 255103x12,T7612613T6 C7 x C7 x 3x5103x .（ 2）302016282016282016C20161282015 2 ...C20162015 28 220152201628 K 22016 2转变为 22016被 7 除的余数，220168672716721 ，即余数为1。
2017-2018年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为．3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是．4．（5分）若函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=．5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为．7．（5分）函数y=1﹣值域为．8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为．9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为．10．（5分）设函数e为自然对数的底数），则f（x）的极小值为．11．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=5x3+2xf′（1），则f′（3）=12．（5分）某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（4，5）内满足方程的实数x的值为．14．（5分）若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx．（1）当b=﹣2时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f（x）在[1，a]上的值域．16．（14分）已知函数f（x）=2e x+m（x+1），（m∈R），e为自然对数的底数．（1）当m=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．17．（14分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）函数f（x）=xlnx﹣ax，，对一切x∈A，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．18．（16分）已知命题p：函数f（x﹣1）=mx2﹣（2m﹣4）x+m﹣4（m∈R）．命题q：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立．（1）若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，求m的值；（2）若函数f（x）在区间上为单调增函数，且命题p∧q为真命题，求m的取值范围．19．（16分）为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB上一点（异于O、B两点），点D是圆弧上一点，且CD∥OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD 及圆弧处每百米均为a元．设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．20．（16分）定义可导函数y=f（x）的弹性函数为；在区间D上，若函数f（x）的弹性函数值大于1，则称f（x）在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f（x）的弹性区间．（1）若r（x）=e x﹣x，求r（x）的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数f（x）=（x﹣1）e x+lnx（其中e为自然对数的底数），求f（x）的弹性区间D．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）函数f（x）=x•lnx的单调递减区间为（0，]．【解答】解：函数的定义域为x＞0∵y′=lnx+1令lnx+1≤0得0＜x≤，∴函数y=xlnx的单调递减区间是（0，]故答案为（0，]，3．（5分）已知命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤﹣2．【解答】解：命题p：x＞a．命题q：﹣2＜x≤1．由p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．4．（5分）若函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=2e x cosx．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x（sinx+cosx），则f′（x）=（e x）′（sinx+cosx）+e x（sinx+cosx）′=2e x cosx，故答案为：2e x cosx5．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为（1，2）∪（2，4]．【解答】解：由，解得1＜x≤4且x≠2．∴函数的定义域为（1，2）∪（2，4]．故答案为：（1，2）∪（2，4]．6．（5分）设曲线f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则实数a的值为．【解答】解：f（x）=ax3+x的导数为f′（x）=3ax2+1，可得f（x）=ax3+x在（1，f（1））处的切线斜率为1+3a，切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，可得1+3a=2，解得a=．故答案为：．7．（5分）函数y=1﹣值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞）方法二：∵y′=，当0＜x＜1时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时函数单调递减．故y在（﹣1，1）上的最小值为2，当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增，故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1，综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）8．（5分）函数f（x）=x3﹣4x+的极大值为﹣5．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣4x+，∴f′（x）=x2﹣4=0∴x=﹣2，x=2，在（﹣∞，﹣2）上，导函数大于0，函数递增，在（﹣2，2）上，导函数小于0，函数递减，在（2，+∞）上，导函数大于0，函数递增，∴在x=2处，函数取到极大值﹣5，故答案为：﹣5．9．（5分）若函数是偶函数，则a﹣b的值为3．【解答】解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，若函数是偶函数，则有ax2+bx=（﹣x）2+2（﹣x），即ax2+bx=x2﹣2x，则有a=1，b=﹣2，则a﹣b=3；故答案为：310．（5分）设函数e为自然对数的底数），则f（x）的极小值为﹣2．【解答】解：∵函数e为自然对数的底数），∴x＞0，f′（x）=1+﹣=，由f′（x）=0，解得x=1或x=e，当f′（x）＞0时，0＜x＜1或x＞e，当f′（x）＜0时，1＜x＜e，∴f（x）的增区间为（0，1），（e，+∞），减区间为（1，e），∴f（x）的极小值为f（e）=e﹣1﹣e﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．11．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=5x3+2xf′（1），则f′（3）=45【解答】解：求导得：f′（x）=15x2+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=15+2f′（1），解得：f′（1）=﹣15，∴f′（3）=15×9+2×3×（﹣15）=45，故答案为：45．12．（5分）某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）【解答】解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则v=πr2h，即有h=，用料为S=2πr2+2πrh=2π（r2+）=2π（r2++）≥2π•3=6π•，当且仅当r2=，即r=时S最小即用料最省．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（4，5）内满足方程的实数x的值为．【解答】解：根据题意，若f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f （x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，f（）=log2（）=﹣1，当4＜x＜5时，有0＜x﹣4＜1，则f（x）=f（x﹣4）=log2（x﹣4），若，则有log2（x﹣4）=﹣2，解可得：x=；故答案为：．14．（5分）若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，．【解答】解：令u=f（x），则内层函数为u=f（x），外层函数为y=f（u）﹣2m．①若外层函数y=f（u）﹣2m只有一个零点，则2m＞1，得，且外层函数的零点u=u1＞e，而直线u=u1与内层函数u=f（x）的图象只有一个交点，不合乎题意！②若外层函数有两个零点，则2m≤1，得，令f（u）﹣2m=0，可得u1=2m﹣1＜0，u2=e2m＞0，显然直线u=2m﹣1与内层函数u=f（x）的图象有两个交点，则直线u=e2m与内层函数u=f（x）的图象只有一个交点，所以，e2m＞1，解得m＞0．因此，实数m的取值范围是，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx．（1）当b=﹣2时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f（x）在[1，a]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=x3﹣ax2﹣2x．∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣2，因为f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以f′（x）=3x2﹣2ax﹣2≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即2ax≤3x2﹣2，∴在区间[1，+∞）上恒成立，令，，∴g（x）在[1，+∞）上单调增函数．所以．（2）f（x）=x3﹣ax2+3x．∴f′（x）=3x2﹣2ax+3，因为处取得极值，所以=0，得出a=5．∴f′（x）=3x2﹣10x+3=（3x﹣1）（x﹣3），令．∴f（x）在[1，3]上为减函数，在[3，5]上增函数，又f（1）=﹣1，f（5）=15，f（x）max=max{f（1），f（5）}=15，f（x）min=f（3）=﹣9，所以，函数f（x）在[1，a]上的值域为[﹣9，15]．16．（14分）已知函数f（x）=2e x+m（x+1），（m∈R），e为自然对数的底数．（1）当m=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=2e x+m（x+1）=2e x+（x+1），则f（0）=3，又由f′（x）=2e x+1，∴f′（0）=3，函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣3=3（x﹣0），即：y=3x+3；（2）根据题意，f（x）=2e x+m（x+1），则f′（x）=2e x+m，①，当m≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．②，当m＜0时，令f′（x）=2e x+m＞0，∴，∴，f′（x）=2e x+m＜0，∴，∴，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为；综上：当m≥0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．当m＜0时，∴f（x）的增区间为，减区间为．17．（14分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B={x|≥1}．（1）求集合A∩B；（2）函数f（x）=xlnx﹣ax，，对一切x∈A，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|﹣x2+3x﹣2≥0}={x|1≤x≤2}，B={x|≥1}={x|﹣1≤x＜1或1＜x≤3}．∴A∩B={x|1＜x≤2}．（2）∵函数f（x）=xlnx﹣ax，，∴由f（x）≥g（x），得对一切x∈[1，2]恒成立．∴对一切x∈[1，2]恒成立．令，，∴，∴，∴．∴a≤ln，∴实数a的取值范围是（﹣∞，ln]．18．（16分）已知命题p：函数f（x﹣1）=mx2﹣（2m﹣4）x+m﹣4（m∈R）．命题q：∀x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立．（1）若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，求m的值；（2）若函数f（x）在区间上为单调增函数，且命题p∧q为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1）令x﹣1=t，则x=t+1，f（t）=m（t+1）2﹣（2m﹣4）（t+1）+m ﹣4………（3分）得出f（t）=mt2+4t，所以f（x）=mx2+4x………………………（6分）∴若函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，则满足，∴m=2．………………………（7分）（2）∵p∧q为真命题，∴p和q均为真命题．………………………（8分）命题p为真命题：若m=0，符合；………………………（10分）若m≠0，得m＞0，由得0＜m≤4……………………（12分）综上0≤m≤4，命题q为真命题，则判别式△=m2﹣6＜0，即﹣＜m＜…………（14分）所以，由，得0≤m＜，即实数m的取值范围是[0，）………………（16分）19．（16分）为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB上一点（异于O、B两点），点D是圆弧上一点，且CD∥OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD 及圆弧处每百米均为a元．设∠AOD=x弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．【解答】解：（1）因为CD∥OA，所以∠ODC=∠AOD=x弧度，在△OCD中，，，OD=2百米，由正弦定理得，…………………………（4分）得km，百米；…………………………（5分）又圆弧DB长为百米，所以=，；…………………………（7分）（2）记，则，………………（8分）令f'（x）=0，得；……………………………………………………（9分）当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化如下表：所以f （x ）在处取得极大值，这个极大值就是最大值； 即；………………………………………………………15 答：（1），定义域为； （2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………（16分）20．（16分）定义可导函数y=f （x ）的弹性函数为；在区间D 上，若函数f （x ）的弹性函数值大于1，则称f （x ）在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作f （x ）的弹性区间．（1）若r （x ）=e x ﹣x ，求r （x ）的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数f （x ）=（x ﹣1）e x +lnx （其中e 为自然对数的底数），求f （x ）的弹性区间D ．【解答】（本题满分16分）解：（1）r （x ）=e x ﹣x ，r ′（x ）=（e x ﹣1）•……………（1分）． ………………………（3分）令，解得x=0，所以r （x ）弹性函数的零点为x=0．………………………（5分）（2）f （x ）=（x ﹣1）e x +lnx ，函数定义域为{x|x ＞0}．因为=，f （x ）的弹性函数f ′（x ）•=＞1，……………………（8分）此不等式等价于下面两个不等式组，（Ⅰ）或（Ⅱ）．因①对应的函数就是f（x），由f′（x）＞0，所以f（x）在定义域上单调增，又f（1）=0，所以①的解为x＞1；……………………（10分）而②⇔g（x）=x2e x+1﹣[（x﹣1）e x+lnx]=（x2﹣x+1）e x+1﹣lnx＞0，g′（x）=（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）e x﹣=在x＞1上恒正，则g（x）在x＞1上单调递增，所以g（x）＞g（1）＞0，故②在x＞1上恒成立．于是不等式组（Ⅰ）的解为x＞1．…………………（14分）同①的解法得③的解为0＜x＜1；因为在0＜x＜1时，④左正、右负，不可能成立．故不等式组（Ⅱ）无实数解．综上，f（x）的弹性区间D=（1，+∞）．……………………（16分）。
江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (5)
【题文】
（本小题满分14分）
设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．
(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；
(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．
【答案】
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.…………2分
(1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含15个基本事件，故事件A发生
的概率为P(A)＝3
5
…………………………9分
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤4}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤4，a≥b}，概率为两者的面积之比，
所以所求的概率为P(A)＝2
5
…………………………14分
【解析】
【标题】江苏省启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题【结束】。
江苏省启东中学高二数学下学期第二次月考试题 理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)23,4π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时， a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=， 若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (11lg )(∈--=k x kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；- 11 - (2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024.(2)左边=21111111111111[(1)]n n n n nk k k k k n n n n n k k k k k k C knC n kC n C k C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2nnn k n k n n n n k k n n C n n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑ 2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x1122(1)2n n nn n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得22212223212()2123(1)n n nn n n n n n n C C C n C n C --+=++++-+L。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
江苏省启东中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文201806140125
江苏省启东中学 2017-2018学年度第二学期期中考试高二文科数学试卷(满分 160分，考试时间 120分钟) ]一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合 Ax 0 x ≤ 2，集合 Bx 1x1，则 AB▲．2.函数 f (x )x ln x 的单调递减区间是 ▲．3.已知命题 p : x a .命题q : 2 x 1.若p 是q 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是▲．f xex x 4.若函数sincosx，则f ' (x )▲．4 xf (x )ln(x 1) ，则函数 f (x ) 的定义域为 ▲．5.已知函数f (x ) ax 3 x在 (1, f (1))处的切线与直线 2xy 6 0 平行，则实数 a 的值为6.设曲线 ▲． 7.函数f (x ) 11 x2的值域为 ▲ ． 18.函数11 f (x ) x4x 33 3 的极大值是 ▲ ．9.若函数f (x )2x 2x , x 02 ax bx , x 0 是偶函数，则 a b 的值为 ▲ ．10.设函数 e f (x ) x (e 1) l n x ( xe 为自然对数的底数 ) ，则f (x ) 的极小值为 ▲ ．11.设函数 f (x ) 的导函数为 f x ，若 ' ( ) f (x ) 5x 3 2xf ' (1)，则 f ' (3)＝ ▲ ． 12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料 罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13.已知函数f x是定义在R上的偶函数，f x 1为奇函数，f00.当x 0,1时，f xlog x2，则在区间(4，5)内满足方程f x f112的实数x的值为▲．114.若函数x 1, x 0f (x ) ,函数yf [ f(x )] 2mln x , x 0有 3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6小题，共 90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分 14分) 已知函数f (x )xaxbx .32(1)当b2时, f (x )在1,上是增函数，求实数a 的取值范围；b 3时, f (x )在x(2)当1 3处取得极值，求函数 f (x )在1，a上的值域.16.（本题满分 14分）已知函数 ( ) 2( 1), ( ),f xe x m xm R e为自然对数的底数.(1)当 m1时，求函数 f (x ) 在点0, f (0)处的切线方程；(2)求函数 f (x ) 的单调区间.17. (本题满分 14分) 已知全集UR ,Ax x 2 x { |32 0},2 B {x | 1}| x 1|.(1)求集合 A B ；(2)函数 f (x )x ln x ax , g (x ) x 2 ，对一切 xA ， f (x ) g (x ) 恒成立，求实数 a的取值范围.218．（本题满分16分）已知命题p：函数f(x 1)mx2(2m 4)x m4(m R).命题q ：x R，不等式3x2mx2恒成立.(1)若函数f(x)的单调减区间是,1，求m的值；1,(2)若函数f(x)在区间2上为单调增函数，且命题p q为真命题，求m的取值范围．19. (本题满分16分) 为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3的扇形展示区的平面示意图．点C是半径OB上一点（异于O、B两点），点D是圆弧A AB上一点，且CD//OA．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD 及圆弧D A B三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧D A B处每百米均为a元．设AOD x弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．3BCDxO A图19图图20．(本题满分16分)定义可导函数y f x的弹性函数为/xf xf x；在区间D上，若函数f x的弹性函数值大于1，则称f x在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f x的弹性区间．r x ex (1)若x，求r x的弹性函数及弹性函数的零点；(2)对于函数f x =1 lnx e xx （其中e为自然对数的底数），求f x的弹性区间D.4江苏省启东中学 2017-2018学年度第二学期期中考试 参考答案(高二文科数学)10,1.x 0 x12.ex5.1,22, 43.a24. 2 cosex6.1 173 7.,12,8.39. 310.211. 10512.3V17 02 414.13.4 14.m1215.解：解:(1) f (x )xax2x .f (x ) 3x 2ax 232'2, (2)因为 f (x ) 在1,上是增函数，在区间1,上横成立，……………4f ' (x ) 3x 22ax 2 0 所以2322x22ax 3x 2,2a ,即2a3xxx 即在区间1,上横成立，……………6令g (x ) 3x2 x ，2 g (x ) 3'，g (x )在1,上单调增函数.x212a g (1) 1,即a .2 所以 (7)(2) f (x )x 3ax 23x .f ' (x ) 3x 22ax 3，1'1f (x )在xf ( )处取得极值，所以=0，得出a 5.……………933因为f'(x)3x210x 3(3x 1)(x 3),令'1f(x)0,得x 3,x3 (11)f(x)在1,3上为减函数，在3,5上增函数，……………又f(1)1,f(5)15,max max f(1),f (5)15,min f(3)9, (13)所以，函数f(x)在1，a 上的值域为9,15 (14)16. (本题满分14分)解：（1）()2(1)2(1)f x e x m x e xx，f(0)=3f'(x)2e x 1f'(0)=3， (4)5。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 函数的导数是______．【答案】【解析】试题分析：由题：考点：导数的运算．2. 若，则＝______．（用数字作答）【答案】55【解析】分析：利用组合数的性质求出，进而可得结果.详解：因为，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的性质与基本运算，属于基本题.3. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为______．【答案】【解析】由函数的解析式可得：，则函数在处的切线斜率为，结合直线平行的结论可得：，解得：.4. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为______．【答案】【解析】分析：根据这个路口的指示灯的总时间,已知绿灯的时间，利用几何概型的计算公式，计算可得答案.详解：根据题意，这个路口的指示灯的总时间为秒，其中有秒是绿灯时间，则到达路口时，遇到绿灯的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查长度型几何概型，属于简单题，可直接绿灯的时间除以总时间求解.5. 函数的单调减区间是______．【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.6. 函数的极大值是______．【答案】【解析】函数的定义域为，且，列表考查函数的性质如图所示：则当时函数取得极大值：.7. 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______．【答案】【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.8. 设函数的导函数为，若，则＝______．【答案】105【解析】结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：，据此可得：.9. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有______个．（用数字作答）【答案】300【解析】分析：分两种情况讨论：①三位数中没有一个偶数数字，②三位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下三位数的数目，由分类计数原理计算可得答案.详解：①三位数中没有一个偶数数字，即在种任选三个，有种情况，即有个沒有一个偶数数字三位数；②三位数中只有一个偶数数字，在种选出两个，在中选出一个，有种取法，将取出的三个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的三位数，所以至多有一个数字是偶数的三位数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10. 已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：求出函数的单调区间，找出函数的极值点，令极值点在区间内，得到关于的的不等式，从而可求出的范围.详解：或函数在递增，在递减，因为函数在区间上不是单调函数，或，或，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.11. 已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是______．【答案】【解析】分析：联立两曲线方程，可得，设交点，分别求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到值.详解：由，即，即有，设交点，的导数为的导数为，由两曲线在点处的切线相互垂直，可得，且，则，分子分母同除以，即有，可得，解得或（舍去），故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义，同角三角函数之间的关系以及两直线垂直斜率之间的关系，属于难题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.12. 某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）______．【答案】【解析】设饮料罐的底面半径为，高为，由题意可得：，故，圆柱的表面积：，当且仅当，即时等号成立，据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.13. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是______．【答案】【解析】分析：将问题转化为被.斜率为且与相切的直线与直线截得的弦长求解即可.详解：设与平行且与相切的直线的切点为，因为，，切点为，切线方程为，，长度的最小值就是被与截得的弦长，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为______．【答案】【解析】分析：关于的方程有且只有四个不同的解等价于等价于直线与有四个不同的交点，画出，画出与的图象，利用数形结合可得结果.详解：关于的方程有且只有四个不同的解，等价于直线与有四个不同的交点，直线过定点，斜率为，当直线与相切时，由，令可得斜率；当直线相切时，，由可得斜率；同理，当直线相切时，斜率，画出与的图象，如图，由图知，或时，与有四个交点，此时关于的方程有且只有四个不同的解，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，再除以即可.详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 .点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16. 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．【答案】（1）（2）【解析】【详解】分析：(1)利用列举法可得随机数的基本事件共有25个，方程有实根包含15个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；(2) 是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，坐标系内所在区域是矩形，方程有实根，坐标系内所在区域是直角梯形，利用几何概型概率公式求解即可.详解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含15个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤4}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤4，a≥b}，概率为两者的面积之比，所以所求的概率为P(A)＝点睛：本题主要考查古典概型概率公式与几何概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.(1) 求的极值；(2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）极大值，无极小值．（2）[－1，＋∞)．【解析】分析：（1）由曲线在点(0，)处的切线斜率为，利用导数的几何意义，列方程求出的值，列表判断导函数的符号，从而可得结果；（2）在上是增函数，等价于由题知在上恒成立，即在上恒成立，求得，可得.详解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.由题知f′(0)＝－＋a＝，所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝令f′(x)＝0，得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：，(－所以f(x)在x＝处取得极大值，无极小值．(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k＋2)x，g′(x)＝＋(k＋2)，由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，即k≥－2在(－∞，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜≤1，所以k≥－1.故实数k的取值范围是[－1，＋∞)．点睛：【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.18. 已知函数＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围；（2）求在区间上的最值；（3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）最大值为；最小值为（3）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．【解析】分析：(1)由，可得过曲线上任意一点切线倾斜角的取值范围是（2）利用导数研究函数的单调性可得的最大值为；的最小值为；(3)设曲线的其中一条切线的斜率为，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，或，可得或，从而可得结果.详解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线倾斜角的取值范围是（2）分别令可得函数增区间，可得函数的减区间，的最大值为；的最小值为(3)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率范围求倾斜角的范围以及利用导数求最值，属于难题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，进而得导函数的范围，也就是切线斜率的范围，即是倾斜角正切值的范围，最后根据正切值与倾斜角的关系再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角的取值范围.19. 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．【答案】（1）y关于x的函数解析式，定义域为：；（2）广告位出租的总收入的最大值为元．【解析】试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得，结合题意可知函数的解析式为，定义域为；（2）结合(1)中函数的解析式：求导可得，利用导函数研究函数的单调性可得在处取得最大值．试题解析：（1）因为∥，所以，在△中，，，百米，由正弦定理得，得百米，百米．又圆弧长为百米．所以，．（2）记，则，令，得．当x变化时，，的变化如下表：所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．即．答：（1），定义域为；（2）广告位出租的总收入的最大值为元．20. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求证；（3）设，对于任意时，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）递增区间为和,递减区间为.（2）见解析（3）【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）在上有两个不等的实根,由韦达定理及对数的运算法则可得，只需利用导数证明即可；（3）只需成立即可.化简得,，所以在递增，，利用在上恒成立可得结果.详解：(1)时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则在上有两个不等的实根,设，所以所以在上递减，所以即.(3)由题意知：只需成立即可. 因为,所以，因为，所以，而，所以，所以在递增，当时，.所以在上恒成立，令，则在上恒成立，，又当时，,在递减,当时，,所以，所以；当即时，①即时，在上递增，存在，使得，不合；②即时，，在递减,当时，,所以，所以综上, 实数的取值范围为.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次月考数学试卷一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．已知集合A={x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B={x|x=3n+1，n∈Z}，则A∩B等于．2．：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否是（填真假）．3．已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）4．函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）= ．5．函数y=的定义域是（用区间表示）．6．已知函数y=xlnx，则其在点x=e处的切线方程．7．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．8．已知函数f（x）=且f（a）＞1．则实数a的取值范围是．9．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），则f（）+f（）+…+f（）= ．10．函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1．f（4）=5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为11．已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，则f且满足f（x+1）=f（x﹣1），当x∈时，f（x）=cosx，则y=f（x）与y=lgx的图象的交点个数为．13．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c= ．14．设函数f（x）=x2+4x﹣5，g（x）=ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．二.解答题（共90分）15．已知a＞0且a≠1，p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．17．已知条件p：A={x|x2+ax+1≤0}，条件q：B={x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．19．已知函数（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．20．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．加试21．已知矩阵A=，B=．（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；（Ⅱ）求直线x+y﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t 为参数），求直线l 被⊙C截得的弦AB 的长度．23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如表：（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若“实用性”得分的数学期望为，求a 、b 的值．24．某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题的概率为p （0＜p ＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．已知集合A={x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B={x|x=3n+1，n∈Z}，则A∩B等于{1，4，7，10} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣12）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜12，即A={x|﹣1＜x＜12}，∵B={x|x=3n+1，n∈Z}，∴A∩B={1，4，7，10}，故答案为：{1，4，7，10}．2．：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否是真（填真假）．【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据与逆否同真、同假，只需判断是否为真即可．【解答】解：∵：若x2＜1，则﹣1＜x＜1是真，∴它的逆否也是真．故答案为：真3．已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的必要不充分条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：已知p：x≠1，推不出q：x≥2，不是充分条件，q：x≥2能推出p：x≠1，是必要条件，故答案为：必要不充分．4．函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）= cosx+3x ln3 ．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）=cosx+3x ln3，故答案为：cosx+3x ln3．5．函数y=的定义域是（用区间表示）．【考点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：≥可得 0＜x2﹣1≤1解得：x∈故答案为：6．已知函数y=xlnx，则其在点x=e处的切线方程y=2x﹣e ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，然后将x=e代入导函数，从而求出在点x=e处的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．【解答】解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1，∴x=e时，y′=lne+1=2，又当x=e时y=e，即切点为（e，e），∴切线方程为y﹣e=2（x﹣e）即y=2x﹣e．故答案为：y=2x﹣e．7．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．8．已知函数f（x）=且f（a）＞1．则实数a的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【考点】分段函数的应用．【分析】讨论a≤0，a＞0，运用指数函数和幂函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：当a≤0时，（）a﹣1＞1，即为（）a＞2，解得a＜﹣1；当a＞0，＞1，解得a＞1．即有a＞1或a＜﹣1，则实数a的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．9．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），则f（）+f（）+…+f（）= ．【考点】数列的求和．【分析】f（x）+f（1﹣x）=+=1，f（）+f（）=1，f（）+f（）=1…，即可求得f（）+f（）+…+f（）的值．【解答】解：数f（x）=（a＞0，a≠1），∴f（x）+f（1﹣x）=+，=，=，=1，f（）+f（）=1，f（）+f（）=1…，∴令M=f（）+f（）+…+f（），则M=f（）+f（）+…f（）+f（），∴2M=2015，∴M=，故答案为：．10．函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1．f（4）=5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为【考点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用．【分析】先根据条件求出f（2），根据函数f（x）是R上的单调函数得到函数f（x）是R上的单调增函数，将3用f（2）代换，根据单调性建立不等关系，解之即可．【解答】解：∵对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1∴f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即f（2）=3∵f（2）=3，f（4）=5，函数f（x）是R上的单调函数∴函数f（x）是R上的单调增函数∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）即3m2﹣m﹣2＜2解得m∈故答案为11．已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，则f=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，可得f（3）=f（2）﹣f（1）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=lg2﹣lg3，f（5）=f（4）﹣f（3）=﹣lg15．f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=lg3﹣lg2=f（1），…，f（n+6）=f（n），即可得出．【解答】解：∵f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg5+lg2=1，∴f（4）=f（3）﹣f（2）=lg2﹣lg3，f（5）=f（4）﹣f（3）=﹣lg15．f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=lg3﹣lg2=f（1），f（8）=f（7）﹣f（6）=lg3+lg5=f（2），∴f（n+6）=f（n），∴f═f（5）=﹣lg15．故答案为：﹣lg15．12．定义在的偶函数f（x）且满足f（x+1）=f（x﹣1），当x∈时，f（x）=cosx，则y=f（x）与y=lgx的图象的交点个数为0 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先证明函数f（x）的周期性，再利用函数周期性画出函数f（x）的图象，在同一直角坐标系下再画出函数y=lgx的图象，数形结合即可求得交点个数．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，∵当x∈时，f（x）=cosx，cos1=cos3＞lg3．∴函数f（x）的图象和y=lgx的图象如图：由图数形结合可得函数y=f（x）与函数y=lgx的图象的交点个数为0个故答案为：0．13．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c= ﹣1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）=t，根据f（x）的函数图象判断f（x）=t的解的个数，得出t=1为方程t2+bt+c=0的解．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，则当t=1时，f（x）=t有三解，当t≠1时，f（x）=t有两解．∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，∴关于t的方程t2+bt+c=0有两解，且t=1是其中一解，∴1+b+c=0，即b+c=﹣1．故答案为﹣1．14．设函数f（x）=x2+4x﹣5，g（x）=ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，g（x）=ax+3的图象恒过定点（0，3），利用这两个定点，结合图象解决．【解答】解：由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，且f（1）=0，f（﹣5）=0，故若存在x0∈R，使得f（x0）＜0，必有﹣5＜x0＜1又由g（x）=ax+3中恒过（0，3），故由函数的图象知：①若a=0时，g（x）=3恒大于0，显然不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，故a=0．②若a＞0时，g（x0）＜0⇔x0＜﹣若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，解得，故．③若a＜0时，g（x0）＜0⇔x0＞﹣若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，解得a ≥﹣3，故﹣3≤a＜0．综上可知，实数a的取值范围是：故答案为：二.解答题（共90分）15．已知a＞0且a≠1，p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．【考点】的真假判断与应用．【分析】分别确定出使p，q为真时，实数a的取值范围．求其并集可得答案．【解答】解：若p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数为真，则0＜a＜1，若q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点为真，则△=（2a﹣3）2﹣4＞0解得：，故p∨q为真时．16．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．【考点】绝对值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式，代入函数y=f（x）可得g （x）的解析式．（Ⅱ）不等式可化为 2x2﹣|x﹣1|≤0，分类讨论，去掉绝对值，求出不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，且，即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故，g（x）=﹣x2+2x．（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x≤．因此，原不等式的解集为．17．已知条件p：A={x|x2+ax+1≤0}，条件q：B={x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式x2﹣3x+2≤0，得到方程x2+ax+1=0的两根在区间外，建立关于a的不等式组解之可得．【解答】解：解不等式可得B={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，p不能推出q，即B是A的真子集，可知方程x2+ax+1=0的两根在区间外，解方程得：x1=，x2=，∴，解得：a＜﹣，a=﹣时，也符合题意，故．18．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两个根为1和2，利用根与系数的关系建立等式，以及满足f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），利用导数研究它的单调性得出当x=1时，，要使在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即，下面再利用导数研究函数f（x）的最大值，即可得出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0从f（0）=a2=1且 a＞0可得a=1又得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴x∈（﹣∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1]上是增函数对x∈（﹣∞，1]，当x=1时，要使在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即，即对任意m∈（0，2]恒成立，即对任意m∈（0，2]恒成立，设，则t＜h（m），令h′min（m）=0，得m=1或m=﹣1在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：∴m=1时，，∴19．已知函数（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（I）由f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．0＜a＜b，且f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，从而分别求得f（a），f（b），根据其关系得到结论．（II）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是分段函数，则分当a，b∈（0，1）2时，a，b∈，而f（1）=0∉，故此时不存在适合条件的实数a，b．综上可知，不存在适合条件的实数a，b．20．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．【解答】解：（1），∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（2）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．当1≤x≤2时，，，令h′（x）≤0，得：对x∈恒成立，设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴当0＜x＜1时，，，令h′（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0．综上所述，．加试21．已知矩阵A=，B=．（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；（Ⅱ）求直线x+y﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】（I）根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．（Ⅱ）结合（I）的结论先求出A﹣1B，设直线x+y﹣1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），可得，进而可得直线x+y ﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A﹣1=，∵A•A﹣1=•=，解得：a=3，b=﹣1，c=﹣2，d=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣且A﹣1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵A﹣1B=•=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线x+y﹣1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），则•=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即：，从而﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入x+y﹣1=0得x′﹣2y′﹣1=0即x﹣2y﹣1=0为所求的曲线方程．7分）22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．【解答】解：⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0…其圆心C坐标为（2，2），半径，又直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心C到直线l的距离，∴弦长…23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如表：（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若“实用性”得分的数学期望为，求a 、b 的值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，利用古典概型可知创新性4分且实用性3分”的概率值；（2）由题意及图表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件，利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率，利用分布列及期望定义即可求得．【解答】解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件， ∴“创新性4分且实用性3分”的概率．（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级， 且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件． ∴“实用性”得y 的分布列为：又∵“实用性”得分的数学期望，∴+．∵作品数量共50件，a+b=3 解a=1，b=2．24．某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题的概率为p （0＜p ＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）利用5个题目做完只错了一个的概率为．列出方程求解即可．（2）求出随机变量ξ的情况，求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望． 【解答】解：（1）由题意得，解得（2）该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，ξ的值分别为：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列为：Eξ=+3×+4×=7．2016年10月28日。
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.“2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是 ． 2.函数()121f x x x =++的定义域是 ． 3.两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是 ．4.命题*:0p N ∈，命题:1q Q ∈，则“p 或q ”是 命题.(填“真”、“假”）5.函数()22sin f x x x =+的导函数()f x '= ．6.已知函数()y f x =是R 上奇函数，且当0x >时()2log f x x =，则()2f -= ．7.已知集合{}{}21,,A m B m ==，若B A ⊆，则实数m 的值是 ． 8.函数()22ln f x x x =-的单调减区间为 ．9.“()00f =”是“函数()f x 是R 上的奇函数”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）10.设函数()y f x =图象在0x =处的切线方程是10x y -+=，则函数()x y f x e =+的图象在0x =处的切线方程是 ．11.若关于x 的不等式2225x ax a -≤-+≤的解集是[]1,3，则实数a 的值是 ． 12.函数()x f x a b =+()0,1,a a b R >≠∈的图象如图所示，则a b +的取值范围是 ．13.已知函数()2242,0,0x x x x f x x e x ⎧-++≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．14.已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.若存在实数t ，对任意的[]1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，则正整数m 的最大值为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率. 16.已知集合{}{}015,12A x kx B x x =≤+≤=-≤≤. （1）当1k =时，求集合A ；（2）当0k ≤时，若A B B ⋂=，求实数k 的取值范围.17.如图，在圆心角为90︒，半径为60cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点,A C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB xcm =，圆柱形铁皮罐的容积为()3V x cm .（1）求圆柱形铁皮罐的容积()V x 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积()V x 最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：V Sh =，S 为圆柱的底面枳，h 为圆柱的高）18.已知命题:p 函数()1212x x f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题:q 函数()2211k g x k k x -=-的定义域和值域都是[],a b ，其中1a >.（1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围. 19.已知函数()1x x f x e ae =+-，集合{}20A x x x =-≤.（1）当3a =-时，解不等式()1f x >；（2）若(){}2log 1B x f x =≥，且A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围； （3）当1a >时，若函数()f x 的定义域为A ，求函数()f x 的值域. 20.已知函数()()ln ,f x x ax b a b R =--∈.（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线过点()2,0，求2a b +的值；（2）当0b =时，函数()y f x =在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，存在实数()1212,x x x x ≠使得()()12f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭.第Ⅱ卷（共40分）（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.求下列函数的导数：（1）2x y e =；（2）()313y x =-. 22. 2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ （2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？23.小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13，第二次投篮命中的概率为12，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为23，否则为14. （1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望. 24.已知*,m n N ∈，定义()()()()121!n n n n n m f m m ---+=.（1）求()()442,5f f 的值；（2）证明：()211223nk n n k k f k n -=⎡⎤⋅=⋅⎣⎦∑.试卷答案一、填空题1．∃x∈R，2x 2＋3x ＋4≤0； 2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x|x≠－12})；3．13； 4．真；5．2x ＋2cosx ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)； 11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --； 14．4．二、解答题15．【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ， 基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P(A)=14；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ， 基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P(B)=2173612=．答 （1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．16．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}； （2）因为A∩B= B，所以B A ， 由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R ，满足B A 成立； ②当k<0时，A=]1,4[kk -， 由B A ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．17．【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB=x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr，即4π2r 2＝3600－x 2，所以V(x)＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V(x)关于x 的函数关系式为V(x)＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).（2）由V ′(x)＝3600－3x 24π＝0，x∈(0，60)，得x ＝203．列表如下：所以当x ＝203时，V(x)有极大值，也是最大值为12000 3π.答：当x 为203 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.18.【解】（1）若命题p 为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立， 所以k ＝1． （2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x '=>在[a ，b]上恒成立，所以g(x)在[a ，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a ，b]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等， 记h(x)＝k 2x 2－k(2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k kh k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩解得15122k -<<-， 所以k 的取值范围为15122k -<<-．因为“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题， 即p 真q 假，或p 假q 真． 所以1,151,,22k k k =⎧⎪⎨-⎪⎩或≤≥-或1,151,22k k ≠⎧⎪⎨-<<-⎪⎩ 所以实数k 的取值范围为151{1}22⎛⎫- ⎪⎝⎭,-． 19.【解】（1）当a ＝－3时，由f(x)＞1得e x－3e -x－1＞1， 所以e 2x－2e x－3＞0，即(e x－3) (e x＋1)＞0， 所以e x ＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞). （2）由x 2－x≤0，得0≤x≤1，所以A ＝{x|0≤x≤1}. 因为A∩B≠，所以log 2f (x)≥1在0≤x≤1上有解， 即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x＋ae -x －3≥0在0≤x≤1上有解， 所以a≥3e x－e 2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x－e 2x]min . 由0≤x≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a≥3e －e 2. （3）设t ＝e x ，由（2）知1≤t ≤e，记g(t)＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()()()1t a t a a g t t +-'=-， t (1，a) a(a ，＋∞)g′(t) － 0 ＋ g(t)↘极小值↗①当 a ≥e 时，即a≥e 2时，g(t)在1≤t ≤e 上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即e 1()e a g t a +-≤≤．所以f(x)的值域为[e 1,]e a a +-.②当1＜ a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g(t)min = g( a)＝2a －1，g(t)max =max{ g(1)，g(e)} =max{ a ，e 1e a +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g(t)max = g(1)= a ；所以f(x)的值域为1,]a ； 2°若a e 1e a +-≤，即1＜a≤e 时，g(t)max = g(e) =e 1e a +-，所以f(x)的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a≤e 时，f(x)的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f(x)的值域为1,]a ；当a≥e 2时，f(x)的值域为[e 1,]ea a +-．20．【解】（1）因为f ′(x)＝1x －a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，又因为f(1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a)(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b=1－a ，即2a ＋b ＝1.（2）解法一：当b ＝0时，f(x)＝lnx －ax ，所以f ′(x)＝1x －a ＝1－axx.10若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f(x)在(1e ，＋∞)上递增，所以f(x)＞f(1e )＝－1－a e ，因为函数y ＝f(x)在(1e ，＋∞)上没有零点，所以－1－ae ≥0，即a≤－e ；20若a ＞0，由f ′(x)＝0，得x ＝1a.①当1a ≤1e 时，即a≥e 时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e ，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e )＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；②当1a ＞1e 时，即0＜a ＜e 时，若1e ＜x ＜1a ，f ′(x)＜0，f(x)在(1e ，1a)上递增；若x ＞1a ，f ′(x)＞0，f(x)在(1a ，＋∞)上递减，所以f(x)在x ＝1a 处取得极大值，即为最大值，要使函数y ＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a )＝ln 1a －1＝－lna －1＜0，得a ＞1e ，所以1e ＜a ＜e.综上所述，实数a 的取值范围是a≤－e 或a ＞1e .解法二：当b ＝0时，f(x)＝lnx －ax ，由f(x)＝0得a ＝lnx x ，设g(x)＝lnx x ，则g ′(x)＝1－lnxx 2. 当1e ＜x ＜e 时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e ，e)上递增， 当x ＞e 时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e ，＋∞)上递减， 所以g(x)max ＝g(e)＝1e ，又g(1e )＝－e ，且当x ＞e 时，g(x)＝lnxx ＞0恒成立，所以g(x)在(1e ，＋∞)上值域为(－e ，1e]，要使函数y ＝f(x)在(1e ，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e 或a ＞1e ，即所求实数a 的取值范围是a≤－e 或a ＞1e .（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f(x 1)＝f(x 2)，得lnx 1－ax 1－b ＝lnx 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x)在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>， 只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+，只要证221121ln121x x x x x x ->+ （*）， 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h(t)在(1,+∞)上递减，所以h(t)< h(1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立. （3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f(x)在(0，1a )上递增，在(1a，＋∞)上递减.不妨设0＜x 1＜x 2，因为f(x 1)＝f(x 2)，所以0＜x 1＜1a＜x 2故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证12x x +＞ 只要证x 2＞x 1，因为0＜x 1＜1a ，所以x 1＞1a ，x 2＞1a又因为f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以只要证f (x 2)＜f(x 1)因为f(x 1)＝f(x 2)，所以只要证f(x 1)＜f(x 1)只要证lnx 1－ax 1－b ＜ln(x 1)－a(x 1)－b只要证ln(x 1)－lnx 1＋2ax 1－2＞0 设h(x)= ln(x)－lnx ＋2ax －2 ，0＜x ＜1ah ′(x)=－＋2a==＜0所以h(x)在(0，)上递减，所以h(x)＞h(1a )=ln 1a －ln 1a+2－2=0所以ln(x 1)－lnx 1＋2ax 1－2＞0所以12x x +＞ 所以12()02x x f +'< 21.【解】（1）222e (2)e 22e x x x y x ''=⋅=⋅=； （2）223(13)(13)9(13)y x x x ''=--=--．或281549y x x '=-+-．22．【解】（1）法1：46A 360=，法2：6622A 360A =； （2）643643A A A 576-=．答：分别有360和576种不同的排法.23．【解】（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝14；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝34.（2）ξ可能的取值为0，1，2，3． P(ξ＝0)＝14；P(ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝14；P(ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P(ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P14 14718 19所以数学期望E(ξ)＝0×14＋1×14＋2×18＋3×9＝36．24．【解】（1）443(2)62!f ⨯==，443210(5)05!f ⨯⨯⨯⨯==．（2）C ,,()0, 1.m n n m n f m m n ⎧=⎨+⎩≤≥当n ＝1时，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑,等式成立．当n≥2时，2231[2()]12(1)22(2)32(3)2()nk n n n n n n k k f k f f f n f n =⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑1223312C 22C 32C 2C n nn n n nn =⨯+⨯+⨯++⨯， 由于11(1)!!C C !()!(1)![(1)(1)]!k k n n n n k k n n k n k k n k ---⋅=⋅=⋅=⋅-----， 所以202132111111[2()]2C 2C 2C 2C nk n n n n n n n k k f k n n n n -----=⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑()1121223n n n n --=+=⋅，综上所述，对 n∈N *，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑成立．2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答 （1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}； ……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ， ……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立； ……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -， ……………10分由BA ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥， ……………12分 即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤． ……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ， ……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203． ……………8分列表如下：BCO A(第17题)分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为12000 3π.答：当x 为203 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围．【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0， ……………2分即121201212x xx x k k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立， ……………4分 所以k ＝1． ……………6分 （2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k kh k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩解得15122k -<<-， 所以k 的取值范围为15122k -<<-． ……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题， ……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真． 所以1,151,,22k k k =⎧⎪⎨-⎪⎩或≤≥-或1,151,22k k ≠⎧⎪⎨-<<-⎪⎩ 所以实数k 的取值范围为151{1}22⎛⎫- ⎪⎝⎭,-． ……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x －1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1；（2）若B ＝{ x | log 2f (x )≥1}，且A ∩B ≠，求实数a 的取值范围； （3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0， ……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞). ……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B ≠，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解， 即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解， ……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()()()1t a t a a g t t +-'=-=，①当 a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-. ……………12分②当1＜ a ＜e时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g ( a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若ae 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f(x )的值域为1,]a ； ……………14分 2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为1,e 1]ea +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-． ……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ， (2)分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)，因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1. ……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y ＝f (x )在(1e ，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a ≤－e ；……………6分20若a ＞0，由f ′(x )＝0，得x ＝1a.①当1a ≤1e 时，即a ≥e 时，f ′(x )＜0，f (x )在(1e，＋∞)上递减，所以f (x )＜f (1e )＝－1－ae ＜0，符合题意，所以a ≥e ； ……………8分②当1a ＞1e 时，即0＜a ＜e 时，若1e ＜x ＜1a ，f ′(x )＜0，f (x )在(1e ，1a )上递增；若x ＞1a ，f ′(x )＞0，f (x )在(1a，＋∞)上递减，所以f (x )在x ＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y ＝f (x )在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f (1a )＝ln 1a －1＝－ln a －1＜0，得a ＞1e ，所以1e＜a ＜e.综上所述，实数a 的取值范围是a ≤－e 或a ＞1e . ……………10分解法二：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，由f (x )＝0得a ＝ln x x ，设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln xx2. 当1e ＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1e ，e)上递增， 当x ＞e 时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ……………6分又g (1e )＝－e ，且当x ＞e 时，g (x )＝ln xx＞0恒成立，所以g (x )在(1e ，＋∞)上值域为(－e ，1e ]， ……………8分要使函数y ＝f (x )在(1e ，＋∞)上没有零点，必须满足a ≤－e 或a ＞1e ，即所求实数a 的取值范围是a ≤－e 或a ＞1e . ……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-. ……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>， 只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+ （*）， ……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0，所以（*）成立，所以原命题成立. ……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，1a )上递增，在(1a，＋∞)上递减. ……………11分不妨设0＜x 1＜x 2，因为f (x 1)＝f (x 2)，所以0＜x 1＜1a＜x 2故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证12x x +＞只要证x 2＞x 1，因为0＜x 1＜1a，所以x 1＞1a ，x 2＞1a又因为f (x )在(1a，＋∞)上递减，所以只要证f (x 2)＜f (x 1)因为f (x 1)＝f (x 2)，所以只要证f (x 1)＜f (x 1)只要证ln x 1－ax 1－b ＜ln(x 1)－a (x 1)－b …………13分只要证ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0设h (x )= ln(x )－ln x ＋2ax －2 ，0＜x ＜1ah ′(x )=－＋2a ==＜0所以h (x )在(0，)上递减，所以h (x )＞h (1a )=ln 1a －ln 1a+2－2=0所以ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0所以12x x +＞所以12()02x x f +'< ……………16分 高二数学Ⅱ参考答案及评分建议21．(本小题满分10分)求下列函数的导数：（1）2e x y =；（2）3)31(x y -=．【解】（1）222e (2)e 22e x x x y x ''=⋅=⋅=； ……………5分（2）223(13)(13)9(13)y x x x ''=--=--．或281549y x x '=-+-． ……………10分22．(本小题满分10分)2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生甲必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【解】（1）法1：46A 360=，法2：6622A 360A =； ……………5分 （2）643643A A A 576-=．答：分别有360和576种不同的排法. ……………10分 23．(本小题满分10分)小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13，第二次投篮命中的概率为12，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为23，否则为14．（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望． 【解】（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝14；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝34. ……………3分（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝14；P (ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝14； P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为……………8分所以数学期望E (ξ)＝0×14＋1×14＋2×718＋3×19＝4936． ……………10分24．(本小题满分10分)已知m ，n ∈N *，定义(1)(2)(1)()!n n n n n m f m m ---+=．（1）求f 4(2)，f 4(5)的值；（2）证明：211[2()]23nk n n k k f k n -=⋅=⋅∑．【解】（1）443(2)62!f ⨯==，443210(5)05!f ⨯⨯⨯⨯==． ……………4分 （2）C ,,()0, 1.m n n m n f m m n ⎧=⎨+⎩≤≥ 当n ＝1时，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑,等式成立． ……………6分当n ≥2时，2231[2()]12(1)22(2)32(3)2()n k n n n n n n k k f k f f f n f n =⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑ 1223312C 22C 32C 2C n n n n n nn =⨯+⨯+⨯++⨯， 由于11(1)!!C C !()!(1)![(1)(1)]!kk n n n n k k n n k n k k n k ---⋅=⋅=⋅=⋅-----， ……………8分 所以202132111111[2()]2C 2C 2C 2C n k n n n n n n n k k f k n n n n -----=⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑ ()1121223n n n n --=+=⋅， 综上所述，对 n ∈N *，211[2()]223n k n n k k f k n -=⋅==⋅∑成立． ……………10分。
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江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）3.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）10.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．（本小题满分14分）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．17．（本小题满分14分）已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ； （2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷参考答案(满分160分，考试时间120分钟) 命题人：龚凯宏一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ． 答案：sin cos x x x +2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）答案：553.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 答案：134．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 答案：35．5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 答案：1(0,)e6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 答案：1737.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ． 答案： 498.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 答案：1059.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答） 答案：30010.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是▲ ． 答案：(4,3)(2,3)--11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：2312.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ． 32V π15. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ． 答案：96ln 25- 16. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ． 答案： 31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）解：（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）7373A A ÷=840 。
其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分16．（本小题满分14分）设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，其中a ，b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a ，b ∈{1,2,3,4,5}；(2)若a 是从区间[0,5]中任取的一个数，b 是从区间[0,4]中任取的一个数． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .…………2分 (1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含15个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝35…………………………9分(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5，0≤b ≤4，a ≥b }，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P (A )＝25…………………………14分17．（本小题满分14分） 已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f ′(x)＝1x －2＋a. ………………2分由题知f′(0)＝－12＋a ＝32，所以a ＝2，所以f′(x)＝1x －2＋2＝232x x --令f′(x)＝，得x＝32. …………………………4分 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x (－∞，32) 32(32，2) f′(x) ＋0 －f(x)1所以f(x)在x ＝32处取得极大值3ln 2-，无极小值． …………………………7分(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k ＋2)x ，g′(x)＝1x －2＋(k ＋2)， …………………………9分由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，即k≥12－x－2在(－∞，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜12－x≤1，所以k≥－1.故实数k 的取值范围是[－1，＋∞)． …………………………14分18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，…………2分即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭…………4分 （2）()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==；()f x 的最小值为16(1)3f -=- …………………………9分 (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，…………………………12分解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． …………………………16分 19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米， 由正弦定理得2432sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 得33OC x =km ，43sin()33CD x π=-百米．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- 百米． 所以43432sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=⨯+⨯-+- 2(3cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分 （2）记()2(3cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2(3sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………10分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2(3)66f a ππ=⨯． ………………………………………………14分答：（1）y 关于x 的函数解析式2(3cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为 ： (0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为3)6a π元．………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', …………………………2分 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分 (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a…………………………7分 )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- x(0)6π， 6π ()63ππ， ()f x '＋ 0 － ()f x递增极大值递减百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-=21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x x x x F ， 所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f . …………………………10分(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ， 所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，………………………12分 令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，k a a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在k a --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.………………………16分。