高考数学一轮复习 几何证明选讲 1 相似三角形的判定及有关性质课件(理) 选修4-1
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高考数学一轮复习 《几何证明选修》第1课时相似三角形的判定及有关性质课件
答案 C
解析 AD AD 2 ∵ ＝2，∴ ＝ ， DB AB 3
S△ADE 4 S△ADE 4 故 ＝ ，∴ ＝ . S△ABC 9 S四边形DBCE 5
2.如图， 在△ABC中，AE＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，FD的延长线交BC的延 长线于点N，且EF＝1，则BN＝( A．2 B．3 C．4 D．6 答案
又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB， AD AE AD AB ∴ ＝ ，从而 ＝ . AB AC AE AC 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
探究2 1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理．
相似三角形的判定定理可能要同时用到，先证两个三角形相似，以此作铺垫， 再证另两个三角形相似．
例2
如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC. 由于△ADE与△ABC有一公共顶点A，可根据“对于任意两个三角形，
【分析】
如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似．”去证明．
【证明】
∵BD、CE 是△ABC 的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
【答案】
C
探究1
本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．解题关键是通过
作辅助线，发现其中的平行关系进行推理求解．另外，本题还可以过D点作
BE的平行线进行推理求解．
思考题1 如图，已知M、N分别是▱ABCD的边AB、边CD的中点，CM交
BD于点E，AN交BD于点F.请你探讨BE、EF、FD三条线段之间的关系，并给
3． 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°， CD⊥AB 于 D， 已知 AC＝4，AD＝2，则 BD 的长是________．
答案 62解析Fra bibliotek由直角三角形射影定理得
高考数学一轮复习 几何证明选讲-1相似三角形的判定及有关性质课件 理 新人教A版
高考测点典例研习
平行线分线段成比例问题
例1
[教材改编]如图，梯形
ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形 对角线的交点O，且EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； OE OE (2)求 ＋ 的值； AD BC 1 1 2 (3)求证： ＋ ＝ . AD BC EF
[思路点拨] 根据平行线分线段成比例定理，借助中 间比例式进行转换，即可得出结果．
答案：12.2 cm
解析：因为AE∶EB＝3∶2，所以AE∶AB＝3∶5， 所以EP∶BC＝3∶5，因为BC＝15 cm， 所以EP＝9 cm，同理PF＝3.2 cm， 所以EF＝12.2 cm.
3．[教材改编]如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于 D点，BC2＝BD·AB，则∠ACB＝________．
[解 ] (1)证明 ：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC. OE AE OF DF ∵EF∥BC，∴BC＝AB，BC ＝DC. AE DF ∵EF∥AD∥BC，∴AB＝DC. OE OF ∴BC＝BC，∴OE＝OF.
OE BE (2)∵OE∥AD，∴ ＝ . AD AB OE AE 由(1)知，BC＝AB. OE OE BE AE BE＋第十二章 几何证明选讲
第1课时 相似三角形的判定及有关性质
考纲下载 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明 直角三角形射影定理． 请注意！ 此部分多和圆的有关知识，结合考查．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线 平行线 一条 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边． 平分 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 平分 平分另一腰．
高三数学一轮复习第1课时相似三角形的判定及有关性质.ppt
2．平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的 __对__应__线__段___成比例． 推论 平行于三角形一边的直线截其他 两边(或两边的延长线)所得的__对__应__线__段__ 成比例．
【思考探究】 使用平行截割定理时要注意 什么？
提示： 要注意对应线段、对应边对应成 比例，不要乱对应顺序．
如图所示，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥ BC 于 D，BE 是∠ABC 的平分线，交 AD 于 F， 求证：DAFF＝AEEC.
证明： 由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD
中，DF＝BD，① AF AB
在△ABC 中，AEEC＝ABBC，②
在 Rt△ABC 中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，
如图，△ABC 中，D 为 BC 中点，E 在 AC 上且 AE＝2CE，AD、BE 相交 于点 F，求FADF，BFFE.
解析： 过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G， 因为点 D 为 BC 的中点， 所以 EC＝2DG.因为 AE＝2CE， 所 以DAGE ＝ 41.从 而FADF ＝ DAEG＝41， 所以GFEF＝14.因为 BG＝GE，
三角形相似．
判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两边和另一个三角形的两边对应_成__比__例__，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对
应_成__比__例__且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条边对应_成__比__例__，那 么这两个三角形相似．简述为：三边对应_成__比__例__， 两三角形相似．
(2)两个直角三角形相似的判定
定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对 应_相__等__，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 __成__比__例__，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与应_另_成_一_比_个_例_直_，角那三么角这形两的个斜直边角和三一角条形直相角似边．对
高考数学一轮复习10.71相似三角形的判定与性质课件理
1 EF＝__2_a_.
【解析】连结 DE 和 BD，依题知，EB∥DC，EB ＝DC＝a2，∴EBCD 为矩形，∴DE⊥AB，又 E 是 AB 的中点，所以 BD＝AD＝a，∵E，F 分别是 AD，AB 的中点，∴EF＝12DB＝12a.
第九页，共39页。
1．相似三角形的定义
对应角____相__等_____，对应边___成__比__例____的两个三
所以△DPC∽△DBA，所以APCB＝BPDD. 又 AB＝AC，所以APCC＝BPDD. (2) 因 为 ∠ ABC ＋ ∠APC ＝ 180 ° ， ∠ ACB ＋ ∠ACD ＝ 180 ° ， ∠ ABC ＝ ∠ACB ， 所 以 ∠ACD ＝ ∠APC. 又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD， 所以AACP＝AACD.所以 AP·AD＝AC2＝9.
又ABDF ＝AABE，∴BF＝AABE·AD＝3
2
3 .
第十七页，共39页。
【点评】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对 内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这 个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应 角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通 过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应 用.
第十四页，共39页。
【点评】1.利用平行线分线段成比例定理来计算 或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进 而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比 性质的运用.
2.平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线 段相等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明 确哪一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中 点.
第十六页，共39页。
【解析】连结 DE 和 BD，依题知，EB∥DC，EB ＝DC＝a2，∴EBCD 为矩形，∴DE⊥AB，又 E 是 AB 的中点，所以 BD＝AD＝a，∵E，F 分别是 AD，AB 的中点，∴EF＝12DB＝12a.
第九页，共39页。
1．相似三角形的定义
对应角____相__等_____，对应边___成__比__例____的两个三
所以△DPC∽△DBA，所以APCB＝BPDD. 又 AB＝AC，所以APCC＝BPDD. (2) 因 为 ∠ ABC ＋ ∠APC ＝ 180 ° ， ∠ ACB ＋ ∠ACD ＝ 180 ° ， ∠ ABC ＝ ∠ACB ， 所 以 ∠ACD ＝ ∠APC. 又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD， 所以AACP＝AACD.所以 AP·AD＝AC2＝9.
又ABDF ＝AABE，∴BF＝AABE·AD＝3
2
3 .
第十七页，共39页。
【点评】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对 内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这 个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应 角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通 过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应 用.
第十四页，共39页。
【点评】1.利用平行线分线段成比例定理来计算 或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进 而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比 性质的运用.
2.平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线 段相等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明 确哪一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中 点.
第十六页，共39页。
高考数学理一轮复习 选考1-1 相似三角形的判定精品课件 新人教A版
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应 成比例 ，那么这两个直角三角形相
似．
(3)相似三角形的性质
性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应
角平分线的比都等于 相似比 ；
②相似三角形周长的比等于 相似比 ；
③相似三角形面积的比等于
相似比的平方． ；
④相似三角形外接圆 ( 或内切圆 ) 的直径比、周长比等于相似
比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方．
4．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例 中项．
1 1． 如右图， AA1 与 BB1 相交于点 O， AB∥A1B1 且 AB＝2A1B1.若△AOB 的外接圆的直径为 1，则△A1OB1 的外接圆的直径为________．
第一节 相似三角形的判定及有关性质
1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 2．会证明和应用直角三角形射影定理．
1．平行线等分线段定理 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ， 那
么在其他直线上截得的线段也 相等．
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
平分第三边． 推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
答案：90°
5．如右图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
AC＝6，DB＝5，则AD的长为________．
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AB·AD.
设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6， ∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0. 解得x＝4(舍去负值)，∴AD＝4. 答案：4
高考数学一轮总复习 第1节 相似三角形的判定及有关性质课件(选修4-1)
[答案] 24
【考向互动探究】 考向一 平行线截割定理及应用
[例 1] 如图△ABC 中，D 为 BC 的中 点，E 在 CA 上且 AE＝2CE，AD，BE 交于 F，则FADF＝________，BEFF＝________.
思路点拨 观察图形结构特征，可取 BE 的中点构造中位 线，从而得到成比例线段，求得结论．
选修4-1 几何证明(选讲)
第1节 相似三角形的判定及有关 性质
1．了解平行线截割定理． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．
【考点自主回扣】
[要点梳理] 1．平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段__相__等___，那么在其 他直线上截得的线段_也__相__等__． (2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平__分__第__三__边__． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必平__分__另__一__腰__．
[答案]
4
3 2
拓展提高 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证 明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线 段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．
(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的 重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪一条线段平行 于三角形的一边，是否过一边的中点．
3．直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理
定理
内容
判定定理1
如果两个直角三角形__有__一__个___锐__角___对应相 等，那么它们相似
判定定理2
如果两个直角三角形的_两___条__直___角__边___对应成 比例，那么它们相似
【名师A计划】2017高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选修4-1
3.直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项.
1.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE 相交于点 O,若 AO=OD=DF,BE=10,则 BO 的长为 ( )
A. 3 C.2
5
10
B.5 D.3
1.A 【解析】由 AB∥CD∥EF 知△ABO,△DCO 和△FEO 互为相似三角形,可得 BO=3 ������������ =
(2)直角三角形相似的判定定理
定理 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 内容 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形 相似.
������������ ������������ ������������ ������������
=
������������
������������ ������������ , ������������ ������������ ������������
=
������������ , ������������
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是 BC 边上的点,延长 DF 与 AB 的延长线相交于点 G, 则相似三角形有 对.
3.6 【解析】包括全等三角形在内,有 6 对相似三角形,其中上、下看:△GBF∽ △GADDFC,△GAE∽△DCE,△GAD∽△DFC.又因为 DC∥AG,所以△ABC∽△CDA,于 是共有 6 对三角形相似.
=
������������ ������������
高考数学新一轮总复习 4.1.1 相似三角形的判定及有关性质考点突破课件 理
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形的面积比等于相似(xiānɡ sì)比的平方
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接圆的面积比等于 相似比的平方
第十一页，共36页。
• • 如图，在△ABC中，M、N分别(fēnbié)是
AB、BC的 • 中点，AN、CM交于点O，那么△MON与 解析：∵• M△、ANO分C别面是积AB的、B比C 是的中__点_，_∴__M_N_綊．12AC，
(2)证明：由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中， DAFF＝BADB，① 在△ABC 中，EACE＝BACB，② 在 Rt△ABC 中，由射影定理知， AB2＝BD·BC，即BADB＝BACB.③ 由①③得：DAFF＝BACB，④ 由②④得：DAFF＝EACE.
第三十二页，共36页。
• 【归纳(guīnà)提升】 1.在使用直角三角形 射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似 三角形中的“比例式”．
• • (教材习题改编)如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交
于F.写出图中所有与△ACE相似(xiānɡ sì)的三角形________．
• 解析：由∠BEC＝∠BDC＝Rt∠，∠A＝∠A，∴∠ABD＝∠ACE， ∴△ACE∽△ABD；
• 由∠CDF＝∠AEC＝Rt∠，∠ACE＝∠ACE， • ∴△ACE∽△FCD；
选考部分 选修4－1 几何证明(zhèngmíng)选讲
第1课时 相似三角形的判定及有关性质
第一页，共36页。
• (一)考纲点击 • 1．了解(liǎojiě)平行截割定理． • 2．理解相似三角形的定义和性质，会证明
直角三角形的射影定理． • 3．掌握判定两个三角形相似的方法．
第二页，共36页。
相似三角形的面积比等于相似(xiānɡ sì)比的平方
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接圆的面积比等于 相似比的平方
第十一页，共36页。
• • 如图，在△ABC中，M、N分别(fēnbié)是
AB、BC的 • 中点，AN、CM交于点O，那么△MON与 解析：∵• M△、ANO分C别面是积AB的、B比C 是的中__点_，_∴__M_N_綊．12AC，
(2)证明：由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中， DAFF＝BADB，① 在△ABC 中，EACE＝BACB，② 在 Rt△ABC 中，由射影定理知， AB2＝BD·BC，即BADB＝BACB.③ 由①③得：DAFF＝BACB，④ 由②④得：DAFF＝EACE.
第三十二页，共36页。
• 【归纳(guīnà)提升】 1.在使用直角三角形 射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似 三角形中的“比例式”．
• • (教材习题改编)如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交
于F.写出图中所有与△ACE相似(xiānɡ sì)的三角形________．
• 解析：由∠BEC＝∠BDC＝Rt∠，∠A＝∠A，∴∠ABD＝∠ACE， ∴△ACE∽△ABD；
• 由∠CDF＝∠AEC＝Rt∠，∠ACE＝∠ACE， • ∴△ACE∽△FCD；
选考部分 选修4－1 几何证明(zhèngmíng)选讲
第1课时 相似三角形的判定及有关性质
第一页，共36页。
• (一)考纲点击 • 1．了解(liǎojiě)平行截割定理． • 2．理解相似三角形的定义和性质，会证明
直角三角形的射影定理． • 3．掌握判定两个三角形相似的方法．
第二页，共36页。
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的
1.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE 相交于点 O,若 AO=OD=DF,BE=10,则 BO 的长为 ()
A.130
B.5
C.52
D.3
1.A 【解析】由 AB∥CD∥EF 知△ABO,△DCO 和△FEO 互为相似三角形,可得 BO=13 ������������ = 130.
2.下列命题正确的是
选修4-1 几何证明选讲
第一节 相似的三角形的判定及有关性质
考纲概述
考查
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频次
(1)了解平行线 截割定理; (2)会证明并应 用直角三角形 射影定理.
平行线截 割定理 相似三角 形的判定 与性质 直角三角 形的射影
★★ ★★★ ★
平行线截割定理、相似三角形的性质定理是进行线段转化的主要方法,而相似三角形的判定 定理和性质定理通常又是交织在一起,先证明三角形相似,再利用相似的性质定理求解.直角 三角形的射影定理实质是直角三角形中相似三角形的性质定理的应用,高考几乎不考.
明1
������������
+
1 ������������
=
������1������成立,若将图
1
中的垂直改为斜交,如图
2,AB∥CD,AD
与
BC
交于点
E,过点
E
作
EF∥AB
交
BD 于 F,则
(1)������1������
+
1 ������������
=
������1������还成立吗?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由.
定理
内容
性质定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比. 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的 平方 .
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
______第三边． •平推分论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_____
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选修4-1
[典题 2] 如图，已知在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于 点 F.
(1)求证：△ABC∽△FCD； (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长．
[听前试做] (1)证明：因为 DE⊥BC，D 是 BC 的中点， 所以 EB＝EC，所以∠B＝∠BCE.又因为 AD＝AC，所以∠ ADC＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.
(4)在直角三角形 ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AD，则 BC2＝ BD·AB.( )
(5) 若 两 个 三 角 形 的 相 似 比 等 于 1 ， 则 这 两 个 三 角 形 全 等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.如图，F 为▱ABCD 的边 AD 延长线上的一点，DF＝AD， BF 分别交 DC，AC 于 G，E 两点，EF＝16，GF＝12，则 BE 的 长为________．
(2)相似三角形的性质定理 ①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于 相似比 ；相似三角形周长的比等于 相似比 ； 相似三角形面积的比等于相似比的 平方 ． ②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外 接圆的面积比等于相似比的 平方 ．
(3)直角三角形相似的判定定理 ①判定定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． ②判定定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成比 例，那么它们相似． ③判定定理 3：如果一个直角三角形的 斜边 和一条直角边与 另一个三角形的 斜边 和一条直角边对应 成比例 ，那么这两个 BC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，求BFFC的值．
高考数学一轮总复习 第11章 几何证明选讲 第1节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 新人教版
1. (2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是
BC 上一点，BE∶EC＝2∶3，AE 交 BD 于 点 F，则 BF∶FD 的值为________．
解析：因为 AD＝BC，BE∶EC＝2∶3， 所以 BE∶AD＝2∶5，因为 AD∥BC， 所以 BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5， 所以 BF∶FD 的值为25. 答案：25
2. 如图，在 Rt△ABC 中 ，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上的高，若 AB∶AC＝2∶1，则 AD∶ BC 为________．
解析：设 AC＝k，则 AB＝2k，BC＝ 5k，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD· 5k，∴CD＝ 55k，
又 BD＝BC－CD＝455k，
2. (教材习题改编)如图，D，E 分别是△ABC 的
边 AB，AC 上的点，DE∥BC 且ADDB＝2，那么 △ADE 与四边形 DBCE 的面积比是________． 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴SS△△AADBCE＝AADB22. ∵ADDB＝2，∴AADB＝23， ∴SS△△AADBCE＝49，故S四S边△形ADDBECE＝45. 答案：45
解析
如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G 分别为垂足． 求证：AF·AC＝BG·BE.
证明
在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD
＝1∶9，求 tan∠BCD 的值．
解：由射影定理得 CD2＝AD·BD， 又 BD∶AD＝1∶9， 令 BD＝x，则 AD＝9x(x>0)． ∴CD2＝9x2， ∴CD＝3x. Rt△CDB 中，tan∠BCD＝BCDD＝3xx＝13.
2013届高考数学一轮复习几何证明选讲-1相似三角形的判定及有关性质课件理新人教A版
4.直角三角形相似的判定 定理1：如果两个直角三角形有一个锐锐角对应相等，那么 它们相似．
定理2：如果两个直角三角形的两条直直角角边对应成比例， 那么它们相似．
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似．
5.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相相似似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平平方方； (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接圆的面积比等于相似比的平平方方．
3．[2012·广东模拟]如图所示，给出下列
条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；
③CADC＝ABBC；④AC2＝AD×AB，
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C 解析：其中①利用有两角分别对应相等的三角形相 似；②利用有两角分别对应相等的三角形相似；④利用 有一角相等且此角的两边对应成比例的三角形相似．
创新演练·当堂冲关
1. [教材改编]在△ABC 中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，
△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短边为 12，则
它的最长边的长度为( )
A．16
B．18
C．27
D．24
答案：C
解析：因为△ABC∽△A′B′C′，AC＝6，BC＝
4，BA＝9，所以△A′B′C′的最短边是B′C′，最长边是
第十二章 几何证明选讲
第1课时 相似三角形的判定及有关性质
考纲下载 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明 直角三角形射影定理． 请注意！ 此部分多和圆的有关知识，结合考查．
高三数学一轮复习第十五篇几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质课件理
3
又因为 AB∥CD,AO=OD,所以 BO=OC,
所以 OB= 2 BE= 2 ×14=4(cm). 77
4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶3,则∠BCD=
.
解析:由射影定理得 CD2=AD·BD,又因为 BD∶AD=1∶3,令 BD=x,AD=3x,所以
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
选考部分 第十五篇 几何证明选讲(选修4—1) 第1节 相似三角形的判定及有关性质
最新考纲 1.理解相似三角形的定义与性质,了解 平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角 形射影定理.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其他直线上截 得的线段 也相等 . (2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边 . ②经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰 . (3)平行线分线段成比例定理及其推论 ①三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段 成比例 .
备选例题
【例1】 如图,在▱ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交AC于G,交BC于F. 求证:(1)DG2=GE·GF;
高考数学一轮总复习 10.72 相似三角形的判定与性质课件 理
【 解 析 】 由 于 ∠B ＝ ∠D ， ∠AEB ＝ ∠ACD ， ∴△AEB∽△ACD，从而得AADB＝AAEC，即162＝A4E，所 以 AE＝2，所以 BE＝ AB2－AE2＝4 2.
第九页，共38页。
1．相似三角形的定义
对应角____相__等_____，对应边____成_比__例____的两个三 角形叫做两个相(g似xdiěā三nn 角形；相似三角形(b对ǐlì)应边的比值叫
第十六页，共38页。
【点评】本例在综合应用射影定理和直角三角形的 基本知识方面有一定的综合，试题求解有一定难度，要 求有较好的观察能力和推理论证能力，对推理论证能力 的培养有很好的效果，但应注意高考的命题难度为中档 或中档偏易，相对本例要容易得多．
第十七页，共38页。
三、三角形相似的判定与性质及应用 例3如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F. (1)求BFFC的值； (2)若△BEF 的面积为 S1，四边形 CDEF 的面积为 S2，求 S1∶S2 的比值．
∵EF∥GD，∴FAGF＝EADE， ∴AF·ED＝AE·FG＝AE·21BF ∴AE·BF＝2DE·AF.
第十三页，共38页。
【点评】在应用平行线截割定理时，既要注意比例 关系有目标的转换，又要注意应用比例的有关性质．
第十四页，共38页。
二、射影定理及应用 例2
如图，在△ABC 中，D，F 分别在 AC，BC 上，且 AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC.
的____比__例__中_项_____；两直角边分别是它们在斜边上射影
与斜边的___比__例__中__项_____．
第十二页，共38页。
一、平行线截割定理及应用 例1在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB 上任意一点，CF 交 AD 于点 E，求证：AE·BF＝2DE·AF.
第九页，共38页。
1．相似三角形的定义
对应角____相__等_____，对应边____成_比__例____的两个三 角形叫做两个相(g似xdiěā三nn 角形；相似三角形(b对ǐlì)应边的比值叫
第十六页，共38页。
【点评】本例在综合应用射影定理和直角三角形的 基本知识方面有一定的综合，试题求解有一定难度，要 求有较好的观察能力和推理论证能力，对推理论证能力 的培养有很好的效果，但应注意高考的命题难度为中档 或中档偏易，相对本例要容易得多．
第十七页，共38页。
三、三角形相似的判定与性质及应用 例3如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F. (1)求BFFC的值； (2)若△BEF 的面积为 S1，四边形 CDEF 的面积为 S2，求 S1∶S2 的比值．
∵EF∥GD，∴FAGF＝EADE， ∴AF·ED＝AE·FG＝AE·21BF ∴AE·BF＝2DE·AF.
第十三页，共38页。
【点评】在应用平行线截割定理时，既要注意比例 关系有目标的转换，又要注意应用比例的有关性质．
第十四页，共38页。
二、射影定理及应用 例2
如图，在△ABC 中，D，F 分别在 AC，BC 上，且 AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求 AC.
的____比__例__中_项_____；两直角边分别是它们在斜边上射影
与斜边的___比__例__中__项_____．
第十二页，共38页。
一、平行线截割定理及应用 例1在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB 上任意一点，CF 交 AD 于点 E，求证：AE·BF＝2DE·AF.
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选修4-1 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质
【知识梳理】 1.平行线等分线段定理及其推论
名称
条件
结论
定理
一组平行线在一条直线上 在其他直线上截得
截得的线段相等
的线段也_相__等__
推论1
经过三角形一边的中点与 另一边平行的直线
___________ 平分第三边
推论2
经过梯形一腰的中点且与 底边平行的直线
条件
结论
任意
两角对应_相__等__
判
三角 形
两边对应__成__比__例_且夹角_相__等__ 三边对应_______
定 直角
有一个锐角对成应比_例____
三角 两条直角边对应__相__等___
两三角 形相似
形 斜边和一条直角边对成应比__例_____
成比例
性质
相似三角形对应高、对应中线、对应角
平分线、外接圆的直径、周长的比等于
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为点M,
因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,
所以 S△ABC (BC)2 4. 又因为S△SFC△DFCDC=D5,所以S△ABC=20.
又S△ABC= ×BC×AM= ×10×AM=20,
解得AM=1 4.
1
2
2
又DE∥AM,所以DE BD .
因为DM1=
AM DC5 = ,
【规律方法】平行线分线段成比例定理的作用及应用 技巧 (1)作用:①可以判定线段成比例; ②当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理将 两条线段的比转化为另外两条线段的比.
(2)应用技巧:①利用定理来计算或证明时,首先要观察 平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例 式,同时注意合比性质、等比性质的运用. ②在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形 的一边,是否过一边的中点.
【变式训练】如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC, AE∶AC=3∶5,DE=6,求BF的长.
【解析】由DE∥BC,得 DE AE 3， 因为DE=6,所以BC=10B,C AC 5 又DF∥AC,所以BFBDC,所E以2BF=4.
BC AB AC 5
【加固训练】 1.如图,点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点, 且DC∶BE=3∶2,求AD∶BF的值.
(1)相似三角形的定义:对应角_____,对应边_______的
相等
成比例
两个三角形叫做相似三角形.相似三角形_______的比
对应边 值叫做相似比(或相似系数).
(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或
两边的延长线)_____,所构成的三角形与原三角形_____.
相交
相似
(3)判定及性质
【解题导引】(1)利用△BEC和△ADC都是等腰三角形, 从而底角分别相等证明. (2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出 △ABC的面积,再通过过点A作BC的垂线利用平行线分 线段成比例求解.
【规范解答】(1)因为DE⊥BC,点D是BC边上的中点, 所以EB=EC,所以∠B=∠ECD. 又AD=AC, 所以∠ADC=∠ACD, 所以△ABC∽△FCD.
_相__似__比__ 相似三角形面积、外接圆的面积比等于
_____________ 相似比的平方
4.直角三角形的射影定理
定理:直角三角形斜边上的高是_____________________ 两直角边在斜边上射影
的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边
的_________. 比例中项
【特别提醒】 1.把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论 交换之后,命题仍然成立. 2.应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误, 可以根据相等的角去找.
___________
平分另一腰
2.平行线分线段成比例定理及其推论
名称
条件
定理 三条平行线截两条直线
平行于三角形一边的直线截 推论
其他两边(或两边的延长线)
结论
_所__得__的__对__应__线__ _________ 段成比例 _____________ _所__得__的__对__应线
段成比例
3.相似三角形的判定及性质
BM
BM=BD2 +DM2 =5+
所以
,解得52 D E125=， .
DE 5 4 15
8 3
2
【规律方法】 1.证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是 否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.
2.相似三角形的性质的应用 (1)可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段 相等. 由相似三角形构造成比例线段时,可以利用等角所对的 边对应成比例构造等式,避免边与边的对应出错.
考向一 平行线分线段成比例定理 【典例1】(2016·太原模拟)如图,在梯 形ABCD中, AB∥CD,AB=4,CD=2.点E,F分 别为AD,BC上的点,且EF=3, EF∥AB,求 梯形ABFE与梯形EFCD的面积比.
【解题导引】利用平行线分线段成比例定理确定两个 梯形的高之间的关系,再确定两梯形的面积比.
【解析】因为点E是平行四边形ABCD的边AB延长线 上一点,且DC∶BE=3∶2,则利用相似比得到 AD∶BF=5∶2.
2.如图所示,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1, AD与CE相交于点F,求 E F A F 的值.
FC FD
【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，
则 DGCD，CG而1
AE
即 BE ，BC所以ECAE=3DG，B E
1， 3
从而ABEE有ADBFGE=DF，EF=FG=CG，
故 E FA FE FA F113. FCFD2E FA F2 2
Hale Waihona Puke 考向二 相似三角形的判定与性质 【典例2】(2016·信阳模拟)如图,在△ABC中,点D是BC 边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与 AD相交于点F. (1)求证:△ABC∽△FCD. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
【规范解答】如图，延长AD，BC交于一点O， 作OH⊥AB于点H.
所以 x ， 2得x=2h1， x hx1，h 1得3h3 1=h2.
所x 以h1S梯h形2 AB4FE=1 ×(3+4)×h2=7 h2，
S梯形EFCD= ×(2 2+3)×h1= h12 ，
1
5
所以S梯形A2 BFE∶S梯形EFCD=27∶5.
【知识梳理】 1.平行线等分线段定理及其推论
名称
条件
结论
定理
一组平行线在一条直线上 在其他直线上截得
截得的线段相等
的线段也_相__等__
推论1
经过三角形一边的中点与 另一边平行的直线
___________ 平分第三边
推论2
经过梯形一腰的中点且与 底边平行的直线
条件
结论
任意
两角对应_相__等__
判
三角 形
两边对应__成__比__例_且夹角_相__等__ 三边对应_______
定 直角
有一个锐角对成应比_例____
三角 两条直角边对应__相__等___
两三角 形相似
形 斜边和一条直角边对成应比__例_____
成比例
性质
相似三角形对应高、对应中线、对应角
平分线、外接圆的直径、周长的比等于
(2)过点A作AM⊥BC,垂足为点M,
因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,
所以 S△ABC (BC)2 4. 又因为S△SFC△DFCDC=D5,所以S△ABC=20.
又S△ABC= ×BC×AM= ×10×AM=20,
解得AM=1 4.
1
2
2
又DE∥AM,所以DE BD .
因为DM1=
AM DC5 = ,
【规律方法】平行线分线段成比例定理的作用及应用 技巧 (1)作用:①可以判定线段成比例; ②当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理将 两条线段的比转化为另外两条线段的比.
(2)应用技巧:①利用定理来计算或证明时,首先要观察 平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例 式,同时注意合比性质、等比性质的运用. ②在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形 的一边,是否过一边的中点.
【变式训练】如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC, AE∶AC=3∶5,DE=6,求BF的长.
【解析】由DE∥BC,得 DE AE 3， 因为DE=6,所以BC=10B,C AC 5 又DF∥AC,所以BFBDC,所E以2BF=4.
BC AB AC 5
【加固训练】 1.如图,点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点, 且DC∶BE=3∶2,求AD∶BF的值.
(1)相似三角形的定义:对应角_____,对应边_______的
相等
成比例
两个三角形叫做相似三角形.相似三角形_______的比
对应边 值叫做相似比(或相似系数).
(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或
两边的延长线)_____,所构成的三角形与原三角形_____.
相交
相似
(3)判定及性质
【解题导引】(1)利用△BEC和△ADC都是等腰三角形, 从而底角分别相等证明. (2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出 △ABC的面积,再通过过点A作BC的垂线利用平行线分 线段成比例求解.
【规范解答】(1)因为DE⊥BC,点D是BC边上的中点, 所以EB=EC,所以∠B=∠ECD. 又AD=AC, 所以∠ADC=∠ACD, 所以△ABC∽△FCD.
_相__似__比__ 相似三角形面积、外接圆的面积比等于
_____________ 相似比的平方
4.直角三角形的射影定理
定理:直角三角形斜边上的高是_____________________ 两直角边在斜边上射影
的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边
的_________. 比例中项
【特别提醒】 1.把平行线分线段成比例定理的推论中的题设和结论 交换之后,命题仍然成立. 2.应用三角形相似的性质时易出现对应线段对应错误, 可以根据相等的角去找.
___________
平分另一腰
2.平行线分线段成比例定理及其推论
名称
条件
定理 三条平行线截两条直线
平行于三角形一边的直线截 推论
其他两边(或两边的延长线)
结论
_所__得__的__对__应__线__ _________ 段成比例 _____________ _所__得__的__对__应线
段成比例
3.相似三角形的判定及性质
BM
BM=BD2 +DM2 =5+
所以
,解得52 D E125=， .
DE 5 4 15
8 3
2
【规律方法】 1.证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等. (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是 否对应成比例. (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.
2.相似三角形的性质的应用 (1)可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段 相等. 由相似三角形构造成比例线段时,可以利用等角所对的 边对应成比例构造等式,避免边与边的对应出错.
考向一 平行线分线段成比例定理 【典例1】(2016·太原模拟)如图,在梯 形ABCD中, AB∥CD,AB=4,CD=2.点E,F分 别为AD,BC上的点,且EF=3, EF∥AB,求 梯形ABFE与梯形EFCD的面积比.
【解题导引】利用平行线分线段成比例定理确定两个 梯形的高之间的关系,再确定两梯形的面积比.
【解析】因为点E是平行四边形ABCD的边AB延长线 上一点,且DC∶BE=3∶2,则利用相似比得到 AD∶BF=5∶2.
2.如图所示,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1, AD与CE相交于点F,求 E F A F 的值.
FC FD
【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，
则 DGCD，CG而1
AE
即 BE ，BC所以ECAE=3DG，B E
1， 3
从而ABEE有ADBFGE=DF，EF=FG=CG，
故 E FA FE FA F113. FCFD2E FA F2 2
Hale Waihona Puke 考向二 相似三角形的判定与性质 【典例2】(2016·信阳模拟)如图,在△ABC中,点D是BC 边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与 AD相交于点F. (1)求证:△ABC∽△FCD. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
【规范解答】如图，延长AD，BC交于一点O， 作OH⊥AB于点H.
所以 x ， 2得x=2h1， x hx1，h 1得3h3 1=h2.
所x 以h1S梯h形2 AB4FE=1 ×(3+4)×h2=7 h2，
S梯形EFCD= ×(2 2+3)×h1= h12 ，
1
5
所以S梯形A2 BFE∶S梯形EFCD=27∶5.