导数应用论文
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。
接下来店铺为你整理了数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。
因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数;新课程;应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。
选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。
在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
(一)利用导数解决函数问题利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。
导数在函数应用论文
导数在函数中的应用【摘要】导数是我们的好帮手，如：利用导数求曲线的切线方程，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题，所以说导数是分析和解决问题的有效工具。
【关键词】导数切线方程单调性极值和最值优化问题导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可或缺的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题占据了高中数学的大部分知识点和数学思想方法。
近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。
结合教学实践，我就导数在函数中的应用作个探究。
导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，利用导数解决生活中的优化问题，这些类型成为近两年高考的热点，是学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线方程【例1】.已知曲线，过点（1，－3）作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义可以求解问题。
解：，当x=1时y′=9，即所求切线的斜率为9。
故所求切线的方程为y+3=9(x－1)，即为：y=9x－12。
1、【思路点拨】：函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p（，f()）处的切线的斜率。
即，就是说，曲线y=f(x)在点p（， f(）处的切线的斜率是f′()，相应的切线方程为－=f′()(x-)。
二、用导数判断函数的单调性【例2】．求函数的单调区间。
分析：需求出函数的导数y′，然后令y′>0或y′0得>0，解得x﹤－8或x﹥0。
由y′0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间。
同时注意：若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
三、用导数求函数的极值【例3】．求函数的极值解：由题意得函数的定义域为r，由=0，解得x=0或x=－8.当x变化时，y′、y的变化情况如下：所以，当x=－8时，y有极大值f（－8)=，当x=0时，y有极小值f(0)=－5.3、【思路点拨】：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如）的左右两侧，导函数f′(x)的符号变化情况，如果f′(x)的符号由正变负，则f()是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f()是极小值.。
毕业论文 导数在经济学中的应用
1 引言对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。
因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。
导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。
其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。
在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。
运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。
导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。
随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。
把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。
数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。
导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。
如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。
而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。
在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。
我认为应当进一步研究相对变化率。
总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。
在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。
在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。
浅谈导数及其应用 毕业论文
河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：浅谈导数及其应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2008级A班学生姓名：学号： 2008011414 指导教师：职称：教授1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标:通过对微分学中导数概念及其应用的研究，体会导数在数学思想史和科学思想史的应用价值。
主要任务:（1）系统了解微积分理论。
（2）认识微积分的创立的重要意义，挖掘导数概念产生背景。
（3）结合所学专业知识，探索导数的应用价值。
2、论文（设计）的主要内容（1）微积分学产生的时代背景和历史意义。
（2）导数概念产生的背景。
（3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：（1）数学学科专业知识（2）英语阅读能力（3）材料分析汇总能力研究路线：导数概念的产生背景——导数的性质——导数的应用4、主要参考文献[1] 史宁中.中学概率与微积分研究.北京：高等教育出版社，2010.[2] 张天德.高等数学同步辅导（上）.济南：山东科学技术出版社，2009.[3] 施光燕.高等数学讲稿.大连：大连理工大学出版社，2008.[4] 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京：高等教育出版社，2001.5、计划进度指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书附页河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计浅谈导数及其应用作者姓名：王丽娜指导教师：雷建国所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2012届数学A班二〇一二年五月一日目录中文摘要、关键词 (1)1. 引言 (2)2. 导数 (3)2.1 导数的概念 (3)2.1.1 导数定义 (3)2.1.2 单侧导数 (3)2.1.3 导函数 (3)2.1.4 高阶导数 (4)2.2 导数的意义 (4)2.3 可导函数的性质 (5)2.4 求导法则 (5)2.4.1 基本初等函数的求导公式 (5)2.4.2 导数的四则运算法则 (5)2.4.3 复合函数的求导法则 (6)2.4.4 反函数求导法则 (6)2.4.5 高阶导数的求导法则 (6)2.4.6 隐函数的求导 (6)3. 导数的应用 (8)3.1 导数在解决函数问题中的应用 (8)3.1.1 利用导数可以判定函数的单调性 (8)3.1.2 导数解决函数的极值与最值问题 (9)3.1.3 利用导数可以作出函数的图形 (11)3.1.4 利用导数求函数的值域 (12)3.1.5 利用导数可以求解函数的解析式 (13)3.1.6 利用导数可以判定函数的凸凹性及拐点 (13)3.2 导数在几何上的应用 (13)3.3 用导数解决不等式的证明问题 (15)3.4 用导数研究方程的根的情况 (15)3.4.1 求方程的近似解的方法 (17)3.4.2 判断方程的根的个数问题 (17)3.5 用导数求解极限 (19)3.5.1 0型不定式极限 (19)3.5.2 ∞∞型不定式极限 (20)3.5.3 其他类型的不定式极限 (20)3.6 用导数解决数列中的问题 (21)3.6.1 数列求和 (21)3.6.2 求数列中的最大或最小项 (22)3.7 用导数解决实际问题 (22)4. 结语 (24)参考文献 (25)英文摘要、关键词 (26)浅谈导数及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师雷建国作者王丽娜摘要：导数是微分学的一个基本的概念。
导数在高中数学的应用论文
导数在高中数学的应用[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力．一、 导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．（一）有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如1223-+-=x x x y ，1--=x e y x 等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道)(x f 在点0x x =的切线斜率k ，正是割线斜率在0x x →时的极限，即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→． 由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．这就是说：函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率[1]．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C 及C 上的一点P ，在点P 外另取曲线C 上一点Q ，作割线PQ ，当点Q 沿曲线C 趋向点P 时，如果割线PQ 绕点P 旋转而趋向极限位置PT ，那么直线PT 就称为曲线C 在点P 处的切线． （四）有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于)(x f y =，导数)(x f '可以解释为y 关于x 的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：)(t S S =，算出物体的瞬时速度：dt ds t V =)(、瞬时加速度：22)(dt s d t A =；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力[2]．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的[2]．总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力．二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ，可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值．解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，89)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f 的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错．例5 求曲线x e y =在原点处的切线方程．分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．解 显然点)0,0(不在曲线x e y =上，由于x e y ='，则设切点坐标为),(00y x P ，所以00x e y =，则过P 点的切线方程为)(000x x e e y x x -=-．因为点)0,0(在切线上，所以)(000x e e x x -=-，即10=x ，所以),1(e P ，故切线方程为)1(-=-x e e y ，即0=-y ex ．⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即211)22(x x x y -+=． (1) 由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222． (2) 若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则 01111)(21>+=+-+='x x x x x f ．得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立．综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )．又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．[参考文献][1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版．北京：高等教育出版社，2001．91[2]祁丽娟．谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性．甘肃教育，2006（4）．48[3]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006（3）．133–153[4]陈斌．弹好用导数证不等式的前奏．数理化学习（高中版），2006（4）．13–15[5]邓亚轩．利用导数巧求和．数理化学习（高中版），2006（4）．24A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior School MathematicsA B C D x 图1CurriculumXu Chunhua[Abstract]Derivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics. In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve’s tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability. Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving, we may use the derivative thought to solve some problems, such as function problem (algebra, the value territory, (extremely) value, monotonous sector and so on), tangent problem, inequality problem, sequence problem as well as practical application problem, and so on.[Key words]derivative, new curriculum, application选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。
导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文
导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文一、导数的定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。
更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。
其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。
二、导数在中学数学中的应用1. 切线与法线导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。
在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。
例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。
解法：首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：f'(x0)=2x0然后代入点(x0, y0)得：y-y0=f'(x0)(x-x0)化简后得：y-y0=2x0(x-x0)这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。
同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。
理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。
2. 最值的求解另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。
因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。
导数在函数及不等关系证明中的应用论文
导数在函数及不等关系证明中的应用摘 要：导数是研究函数形态，证明不等式和解决一些实际问题的有力工具，尤其是导数与数列的计算和与不等式的证明等知识进行综合。
而数列又是特殊函数，于是本文将巧用函数的单调性来构造函数证明不等关系，来体现导数在证明不等关系中的作用。
关键词：导数；不等式；函数在证明不等式的过程中，常用方法很多，可以利用函数的单调性，函数的最值以及函数的凹凸性等来解答，但常因方法不当，使得运算量大，直接影响解题速度与结果的正确．所以本文探讨的是巧用导函数的单调性来证明不等式的方法．巧用构造函数这一创造性思维来有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系．下面我们对导数在不等式及函数 证明中的应用，利用导函数的单调性来举例加以说明．一、利用导函数单调性证明不等式例1．证明：22112121111a a a a a a a a +++≤+++．证明：首先构造函数x x x f +=1)(，再对函数x x x f +=1)(求导得0)1(1)('2>+=x x f ． 易知)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数． 设212211,a a x a a x +=+=．显然21x x ≤， 因此有 ()()21x f x f ≤ 即2121212111a a a a a a a a +++≤+++．而 ≤+++++≤+++2122112121111a a a a a a a a a a 221111a a a a +++．所以得到： 22112121111a a a a a a a a +++≤+++．从上面这个例子我们可以进一步地推广到更一般性情况即.111122112121nn nn a a a a a a a a a a a a ++++++≤+++++++例2．已知b a ,为实数，并且b a e <<，其中e 是自然对数的底． 证明：a b b a >． 证明：当b a e <<时，要证a b b a >． 只须证明 b a a b ln ln >． 即证bba a ln ln >． 构造函数 )(ln e x x xy >=． 求导得 2ln 1'x xy -=．因为当e x >时，1ln >x ，所以0'<y 所以函数xxy ln =在),(+∞e 上是减函数． 因为b a e << 所以bba a ln ln >． 所以得到 ab b a > 成立. 例3．已知函数x x x g ln )(=,设b a <<0,证明:()2ln )(22)(0a b b a g b g a g -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+<．证明: 先证左边,设F ()())2(2)(xa g x g a g x +-+=． 则2lnln ]'22[)(')('x a x x a g x g x F +-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=． 令0)('=x F 得a x =.则当a x <<0时,0)('<x F ． 故)(x F 在()a ,0内为单调递减函数． 当a x >时,0)('>x F ． 故)(x F 在()+∞,a 内为单调递增函数． 从而当a x =时, )(x F 有极小值0)(=a F ． 因为0>>a b 所以 ()()a F b F >．即 ()⎪⎭⎫⎝⎛+-+<22)(0b a g b g a g ．再证右边,设2ln )(22)()()(a x x a g b g a g x G --⎪⎭⎫⎝⎛+-+=．则 )l n (ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=．则当0>x 时, ()0'<x G ． 因此)(x G 在()+∞,a 内为减函数． 又因为b a <<0．所以()()0=<a G b G ．即 ()2ln )(22)(a b b a g b g a g -<⎪⎭⎫⎝⎛+-+．二、利用导函数的单调性结合极值证明不等式例1．已知b a ,为正数,且1=+b a ．求证:91611112333<+++<b a ． 证明:令x a =则x b -=1,从而10<<x ． 我们设 ()11111)(33+-++=x x x f ． 则 232232]1)1[()1(3)1(3)('+--++-=x x x x x f ． 再求)('x f 的零点并讨论)('x f 的符号显然等价于求1)1(11)(33+--++-=x xx x x g ． ]11[1)1)(1(]1)1[(3333+-++-++--=）（）（x x x x x x ．的零点及符号的变化．显然 当21=x 时, 0)(=x g ． 因而 0)('=x f 且当210<<x 时, 0)(>x g ．故 0)('>x f ．)(x f 为单调递增函数． 当121<<x 时, 0)(<x g ． 故 0)('<x f ．)(x f 为单调递减函数． 所以函数)(x f 在21=x 处取得最大值916． 在0=x 或1=x 处取得最小值．又 23)1()0(==f f ． 所以916)(23<<x f ． 例2．函数)0(1)1ln()(≥-++=x x e x f x ，求函数)(x f 的最小值．]7[ 解：(1) x e x f x ++=11)('．当0>x 时,因为111,1<+>xe x 且． 所以有0)('>x f ．说明函数)(x f 在区间[)+∞,0上是增函数． 故当0=x 时,函数)(x f 取得最小值为0．三、利用函数单调性进行数列计算例1．已知数列{n a }的通项为))(10(2+∈-=N n n n a n ,求数列最大项． 证明：设 )0).(10()(2>-=x x x x f ． 则 2320)('x x x f -=． 令 0)('>x f 得3200<<x ． 令 0)('<x f 得320>x 或 0<x ． 因为)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛320,0上是单调增加．)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,320上是单调减少．因此当320=x 时,函数)(x f 取得最大值． 对+∈N n ．)10()(2n n n f -=．因为.144)6(147)7(=>=f f 所以 147)(max =n f ． 即数列的最大项为1477=a ．例2．求数列{n n }的最大项．]5[解：利用函数单调性,通过考虑连续变量xx 1的最大值来求离散变量nn 1的最大值． 设 )0()(1>=x x x f x,则 ()x x x x x x x f x xln 1ln 11)('21221-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-．所以当e x <<0时, )(,0)('x f x f >为单调增加． 当e x >时,)(x f 为单调减少．所以 2121< ， >>>>nn 1413143． 又因为312132< 所以最大项为313四、 利用导数求函数的极值例1 已知cx bx ax x f ++=23)()0(≠a 在1±≠x 时取得极值，且1)1(-=f .(1)试求常数c b a ,,的值；(2)试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解：(1)c bx ax x f ++='23)(2 ∵1±=x 是函数)(x f 的极值点，∴1±=x 是方程0)(='x f ,即0232=++c bx ax 的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-13032ac ab又f (1)=－1,∴1-=++c b a , ③由①②③解得=a 23,0,21==c b ,(2) )(x f x x 23213-=, ∴)1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f ,当时或11>-<x x ，0)(>'x f , 当11<<-x 时，0)(<'x f ,∴函数)(x f 在 (－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值1)1(=-f , 当x =1时，函数取得极小值1)1(-=f .①②例2．设)(x f =a x 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间]2[解：)('x f =3a x 2+1若a ＞0, )('x f ＞0对x ∈(－∞,+∞)恒成立，此时)(x f 只有一个单调区间，矛盾. 若a =0, )('x f =1＞0,∴x ∈(－∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间，矛盾. 若a ＜0,∵)('x f =3a (x +||31a )·(x －||31a ),此时)(x f 恰有三个单调区间.∴a ＜0且单调减区间为(－∞,－||31a )和(||31a ,+∞)，单调增区间为(－||31a ,||31a ).例3．设x =1与x =2是函数)(x f = a ln x +b x 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1, x =2是函数)(x f 的极大值还是极小值，并说明理由. 解：)('x f =xa+2b x +1． (1)由极值点的必要条件可知：)1('f =)2('f =0,即a +2b +1=0,且2a+4b +1=0,解方程组可得 a =－32,b =－61,∴)(x f =－32ln x －61x 2+x ． (2) )('x f =－32x -1－31x +1,当x ∈ (0,1)时，)('x f ＜0,当x ∈(1,2)时，)('x f ＞0,当∈x (2,+∞)时，)('x f ＜0,故在x =1处函数)(x f 取得极小值65,在x =2处函数取得极大值34－32ln2. 参考文献[1] 唐永,徐秀． 慎用导数解数列问题． 数学通报． 2006．3[2] 韩什元,李晓培． 高等数学解题方法汇编． 华南理工大学出版社． 2002．9． [3] 杨爱国． 利用导数解初等数学问题． 中学数学研究． 2004．4[4] 陈文灯,黄先开． 高等数学复习指南:思路方法与技巧． 清华大学出版社．2003．7 [5] 龚冬保,武忠祥． 高等数学典型题解法技巧． 西安交通大学出版社． 2000．1[6] 刘聪, 胜秦永．函数与不等式高考题目回顾与展望．中学数学教学参考． 2006．3[7] 林源渠,方正勤．数学分析解题指南．北京大学出版社． 2003。
导数在高考中应用论文
浅谈导数在高考中的应用自从高中数学中加入导数，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。
当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性与最值；3、三次函数的综合题；4、三角函数和导数。
1 对导数几何意义的考查例1.已知函数2 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
例2.已知。
（1）求的单调增区间；（2）若在定义域r内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。
函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。
解：（1）令，得当时，有在r上恒成立；当时，有。
综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。
（2）在r上单调递增，（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即，恒成立。
时，，。
（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。
，存在满足条件。
3 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
数学论文导数及应用范文
数学论文导数及应用范文导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径.下面是店铺为你整理的数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一一. 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数y=f(x)在点的导数表示曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的几何意义。
我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。
解:由导函数定义应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1)即2x-y-1=0 .二. 利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。
下面我们看一个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义有运动物体运动路程对时间的物理意义可知将t=2,带入上式,得三. 利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
具体例题如下:例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时,解:设则 , 在x=0时为零,在内均大于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即所以四. 利用导数研究函数的极值根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。
导数在高考中应用论文
导数在高考中的应用导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
它在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
而且导数现已成为高考数学中必不可少的内容。
函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算以及利用函数判断函数的单调性、极值、最值等问题，还有与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等，其中渗透并充分利用了构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
一、用导数求函数的切线根据导数的定义及其几何意义，f（x）在点x=x0的切线斜率k、正是割线斜率在x→x0时的极限，即：k=1im 。
由导数的定义，k=f`（x），所以曲线y=f（x）在点（x0，y0）的切线方程是：y-y0=f`（x0）（x-x0）。
这就是说：函数f在点x0的导数f`（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。
二、求函数的极值、最值求极值，、最值是高考中的重点也是难点。
解题的思路是，首先看变量的个数。
如果是三个变量常有三条路：一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题。
如果是两个变量也有三条路可走：一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以数学规划。
如果是一个变量，常用方法为基本函数模型、单调性法和导数法。
求可导函数f（x）的极值的一般步骤和方法是：1.求导数f`（x）。
2.求方程f`（x）=0的根。
3.检验f`（x）在方程f`（x）=0的根的左右符号。
如果在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值。
导数在解析几何中的应用论文
导数思想在解析几何的一个简单应用导数隶属于函数内容，看似与解析几何毫无关联。
但是导数的几何意义是切线斜率，我们常用求导的方法求解函数的切线。
而某些曲线方程本身是函数解析式或者曲线某一部分能够写成函数解析式，因此求曲线的切线问题也可以理解成求函数切线问题。
下面通过几道例题来说明导数在解析几何中的应用： 例1、（07安徽）过点()4,0-P 作抛物线y x G 42=：的切线，求切线方程解：设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x故所求切线方程为2000()42x x y x x -=- 即42200x x x y -= 因为点(0)P -4，在切线上 所以2044x -=-，2016x =，04x =±所求切线方程为042=--y x 042=++y x 。
【小结】本小题也可以用常规的方法，点斜式设直线，与抛物线联立，利用0=∆求出斜率，写出直线。
（变式）在点()2,1P 处作抛物线x y G 42=：的切线，求切线方程解：抛物线x y G 42=：在第一象限的方程为x y 2=由xy 1/-=，知抛物线在P 点处的切线斜率为1-故所求切线方程为()12:1--=-x y l 即03=-+y x【小结】本小题的出题目的是，只有将曲线方程变形为函数解析式后，才能用求导的方法求切线。
例2、（07韶关调研）已知()2,0-M ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足=、0=⋅。
当A 在x 轴上移动时，设动点P 的轨迹为C 。
⑴求C 的方程⑵过点()0,2-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，分别过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l 。
当21l l ⊥时，求直线l 的方程。
解：⑴设()y x P , ()0,a A ()()0,0 b b B()()y b x PB y a x AP --=-=,, ()02,2 y y b x a PB AP ==∴=则()()()y x AP x a MA ,2,22,-=== ()002 y y x AP MA =∴=⋅⑵设()()2211,,y x F y x E 易知221122x k x k == 412121-=∴⊥x x l l显然AB 斜率存在，设()2:+=x k y AB ，与y x =2联立得022=--k kx x由082k k +=∆得8- k 或0 k 8124121=∴-=-=k k x x ()281+=∴x y 即028=+-y x例3、（08广州调研）已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
导数应用论文
导数的应用目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (2)三．导数的求法 (3)1．显函数导数 (3)1．1导数的四则运算： (3)1．2复合函数与反函数求导法则 (3)1．3基本初等函数求导公式 (3)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (4)4．分段函数的导数 (4)四．导数的性质 (4)五．导数的应用 (5)1．导数在函数中的应用 (5)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7)1．3利用导数求函数的极值和最值 (8)1．4利用导数知识描绘函数图形 (13)1．5利用导数求参数问题 (15)2．导数在曲线中的应用 (16)3．利用导数研究方程的根 (17)4．应用导数证明不等式 (17)5．导数在数列中的应用 (18)6．利用导数求极限——洛必达法则 (19)6．1“0”型和“∞∞”型 (19)6．2其他形式 (20)7．物理学中的导数 (20)8．经济学中的导数应用 (21)结束语： (22)参考文献： (22)[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
导数的实际应用论文2000字
导数在实际生活中的最优化应用摘要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。
数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。
本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
关键词：导数；实际生活；最优化应用一、引言将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。
导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。
本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。
二、导数知识概念的有关分析导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。
在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。
早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。
在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。
在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。
对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。
对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。
通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。
例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。
导数的应用(论文)
导 数 的 应 用武夷山一中张俊玲《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。
近几年的高考 中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必 的。
一、预备知识1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为00000()()()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为'f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限 由0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 令x 0＋△x 为x则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-例1：求极限 2sin sin 22limx x x →--解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx故原式='f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度 若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''==例2：质点的运动方程为s=t 3，（s 的单位:m ，t 的单位：s ） 求质点在t=3时的速度和加速度。
解：∵s=t 3∴s ′=3t 2，s ″=6t∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ， 加速度为a=s ″/t=3=18m/s 23、利用导数求和例3：当n ↔N*时，求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C 证明：由n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1(两边分别对x 求导得 12321132)1(--++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n 令x=1得 1321232-⋅=+++n n n n n n n nC C C C4、利用导数求切线曲线y=f(x)在点p(x 0 , f(x 0))处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 例4：已知曲线1y x=（1）求曲线在点p （1，1）处的切线方程 （2）求曲线在点Q （1，0）处的切线方程 （3）求满足斜率为－31的曲线的切线方程和切点坐标 解：（1）设x x f y 1)(== 则2'1)(xx f -= ∵p 在曲线上 ∴p 为切点 ∴所求切线斜率k =1)1('-=f 故曲线在点p 处的切线方程为y -1 = -(x-1) 即y = - x ＋2 （2）显然Q 不在曲线上设过点Q 且与曲线相切的切线的切点为A （a ,a1） 则该切线的斜率2'1)(aa f k -== 从而切线方程为)(112a x aa y --=-将Q （1、0）代入方程得a =21故所求切线方程为y = －4x ＋4（3）设切点为A(a ,a 1)，则切线的斜率 3112-=-=ak 解得3±=a 即A （3 ，33）或（－3，－33）故切线方程为)3(3133--=-x y 或 )3(3133+-=+x y 即0323=-+y x 或 0323=++y x[归纳总结] 有关曲线在某一点处的切线问题，满足以下三个关系：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
浅谈导数的应用论文-V1
浅谈导数的应用论文-V1正文内容：导数是微积分的重要概念之一，具有广泛的应用场景。
本文通过对导数的应用进行讨论，旨在向读者展示导数在数学和实际应用中的重要性。
一、导数的定义和基本性质导数可以简单地理解为函数在某个点处的切线斜率，它的具体定义如下：$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$f(x)$表示函数，$f'(x)$表示函数在$x$处的导数。
导数具有一些基本性质，包括加法法则、倍法法则、链式法则等。
加法法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$；倍法法则表示若$f(x)$可导，则$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$；链式法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f\circg)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
二、导数的应用1. 极值问题导数可以用于判断函数在某个点处的值是否为局部极值，即是否为最大值或最小值。
具体地，若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个局部最小值（或最大值）。
2. 函数图像的性质导数可以反映函数图像的一些性质，如函数的单调性、凸凹性等。
具体地，若$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处单调增加；若$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处单调减少；若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处凹上；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处凸上。
3. 最优化问题导数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，在求解函数$f(x)$的最小值时，可以通过求解$f'(x)=0$来找到函数的驻点，然后通过计算二阶导数$f''(x)$来判断是否为最小值。
浅谈导数在研究函数性态中的作用 毕业论文
浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像．并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明．关键字：导数 单调性 极值与最值 凹凸性0引言历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念.1 主要内容(1）函数的单调性高中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数)(x f y =，定义域为I ，如果I b a ⊂],[,那么],[21b a x x ∈∀、且21x x <．那么(1)当时0)()(21>-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递减函数； (2)当时0)()(21<-x f x f ，就称函数)(x f y =在区间],[b a 上为单调递增函数． （1.1）单调性的判别方法 定理1]1[如果函数)(x f y =在],[b a 上连续，),(b a 内可导，那么（1） 若在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增； （2） 若在),(b a x ∈∀内，0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递减. 定理2 若函数)(x f y =在),(b a 内可导，则函数在),(b a 内单调． （1）在),(b a x ∈∀内，0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调递增；（2）函数)(x f y =在),(b a 内严格递减，那么),(b a x ∈∀，有0)(≤'x f ；在),(b a 内的任何子区间上)(x f '不恒等于零．推论]1[设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（严格递减）．注意：本推论只是严格单调的充分条件。
浅谈导数的应用论文(1)
浅谈导数的应用论文(1)导数，指的是函数在变化过程中的趋势，是微积分中一个重要的概念。
导数的应用十分广泛，包括但不限于优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
本文将从以下几个方面浅谈导数的应用。
一、优化问题优化问题是导数的一种应用，它旨在获得最优解或最优答案，如最大值或最小值。
导数可以帮助我们确定函数的最值问题。
我们先来看一个例子，求解函数$f(x)=x^2-2x+1$的最小值。
通过对$x$求导数，得到$f'(x)=2x-2$。
然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$。
最后将这个$x$值带入原函数中，即可得到$f(1)=0$，因此函数$f(x)$的最小值为0。
二、曲线拟合曲线拟合是导数在物理学和统计学中的一种应用。
在实际生活中，我们常常会遇到需要把某些数据点拟合成函数图形的情况，这就需要用到曲线拟合。
导数可以帮助我们拟合曲线，直观上，导数表示函数变化的速率，这可以用来评估不同点之间的函数斜率，因此我们可以利用导数来构建曲线拟合模型。
三、函数最大值函数最大值是导数在特定应用场景中的一种应用。
我们可以从导数的角度来推导出函数最大值。
求函数最大值时，需要对其求导，找到导数为0的点，然后检查这个点是否是局部最大值。
如果是，则该点就是函数的最大值。
同样的，求函数最小值时，只需找到导数为0的点，检查局部最小值即可。
四、极值问题求解极值问题是导数在微积分学中的一种应用。
极值问题指的是，在指定函数的范围内，如何找到函数的最大值和最小值。
导数可以帮助我们求解这类问题，因为导数能够快速地给出函数的变化趋势和变化率。
因此，可以通过计算导数来确定函数的最值问题，并将其用于求解极值问题。
总之，导数是微积分中的一个重要概念，它在实际问题中具有广泛的应用，如优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
掌握导数的应用可以帮助我们更好地理解微积分概念，并在解决实际问题时起到重要作用。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
《导数及其应用》论文
导数及其应用一、 方法概述1、 导数是一个知识独特、应用广泛，与初、高等数学衔接紧密的重要内容，因此成为高考的热点，并且在大题和小题中都有相关试题。
其中选择、填空题主要是考查导数的基本概念、基本运算和基本方法；解答题一般是考查导数与函数、方程、不等式的综合应用。
2、 要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。
其基本方法是构造函数，然后利用导数分析其单调性和极值、最值，概括其函数值分布，进而推出相应结论。
最好画出其单调性示意图，以加强直观理解。
这是一种函数思想，导数是研究函数性质的工具和手段。
3、 理科要加强数列的极限、函数的极限、函数的连续的概念的理解和简单应用。
二、 范例剖析例1．已知函数f (x )=ln 2(1+x)－21x x +。
(I) 求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若不等式1(1)n e n+α+≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求α的最大值。
练习1：设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且。
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
例2．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
练习2：设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．例3．已知函数()()0≠++=x b xa x x f ，其中Rb a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围. 练习3：设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。
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导数的应用吴泽国目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (2)三．导数的求法 (3)1．显函数导数 (3)1．1导数的四则运算： (3)1．2复合函数与反函数求导法则 (3)1．3基本初等函数求导公式 (3)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (4)4．分段函数的导数 (4)四．导数的性质 (4)五．导数的应用 (5)1．导数在函数中的应用 (5)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (7)1．3利用导数求函数的极值和最值 (8)1．4利用导数知识描绘函数图形 (13)1．5利用导数求参数问题 (15)2．导数在曲线中的应用 (16)3．利用导数研究方程的根 (17)4．应用导数证明不等式 (17)5．导数在数列中的应用 (18)6．利用导数求极限——洛必达法则 (19)6．1“0”型和“∞∞”型 (19)6．2其他形式 (20)7．物理学中的导数 (20)8．经济学中的导数应用 (21)结束语： (22)参考文献： (22)（版权所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。
③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。
二．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆2.导数的几何意义（图1）曲线()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示为：曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线的斜率。
即'0()tan f x α=（α是过A 点的切线的倾斜角）（如图1）则，曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线方程为：'000()()y y f x x x -=-三．导数的求法1．显函数导数1．1导数的四则运算：'''()u v u v ±=± '''()uv u v v u =+ '''2()u u v v u v v -= 1．2复合函数与反函数求导法则'''x u x y y u = ()y u x -- 复合函数求导法则''1x yy x = （反函数求导法则） 1．3基本初等函数求导公式'()0()c c =为常数； '1()x x ααα-=； ''()ln ,()x x x x a a a e e ==；''11(log ),(ln )ln a x x x a x== ； '(sin )cos x x = ； '(cos )sin x x =- ； '21(tan )cos x x = ； '21(cot )sin x x =- ； 21(arcsin )'1x x=- ；(arccos )'x = ； 21(arctan )'1x x =+ ； 21(arccot )'1x x=-+。
2．隐函数导数如方程(,)0F x y =，能确定()y y x =，只需对方程两边对x 求导即可。
注意()y y x =3．由参数方程所确定的函数求导法参数方程'1(),(()0,()())()x t t x t t x y t ϕφϕϕφ-=⎧≠==⎨=⎩存在反函数，则：y 为x 的复合函数，1[()]y x φϕ-=，所以：''''''()()t x t xt y t y y t x t φϕ=== 4．分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。
分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。
四．导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系性质1：若函数()y f x =是偶函数且可导，则其导函数'()y f x =是奇函数。
证明：由()y f x =是偶函数，有()()f x f x -=则：'00()()()limlim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆-+∆---==∆∆ '00()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-==-=-∆-∆ 所以，'()y f x =是奇函数同理：若函数()y f x =是奇函数且可导，则其导函数'()y f x =是偶函数。
性质2：若函数()y f x =是周期函数且可导，则其导函数'()y f x =也是周期函数。
证明：()y f x =是周期，有()()f x T f x +='00()()()limlim x x y f x T x f x T f x T x x∆→∆→∆++∆-+∴+==∆∆ '0()()lim ()x f x x f x f x x ∆→+∆-==∆ 所以，'()y f x =是周期函数性质3：若函数()y f x =可导且图象关于直线x a =对称，则其导函数'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称证明：函数()y f x =图象关于x a =对称，有()(2)f x f a x =- '0(2)(2)(2)limx f a x x f a x f a x x∆→-+∆---=∆ '0()()lim ()x f x x f x f x x ∆→-∆-=-=--∆ 且点'(,())a f a 在'()y f x =的图象上，所以'()y f x =图象关于点'(,())a f a 对称 同理：若函数()y f x =可导且图象关于点'(,())a f a 对称，则其导函数'()y f x =图象关于直线x a =对称五．导数的应用1．导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题1．1利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。
在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。
下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都大于0，即'()0f x >，利用导数的几何意义知，在(,)a b 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数()y f x =是单调递增的（如图2）。
反之，若在(,)a b 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数()y f x =是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x轴（此点的导数值为0，即'()0f x =）。
因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则：①若(,)x a b ∈时恒有'()0f x >，则()f x 在(,)a b 单调增加；②若(,)x a b ∈时恒有'()0f x <，则()f x 在(,)a b 单调减少。
例1：求函数()cos sin (0)f x x x x x =-≥单调递增区间解：因'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-，由'()0f x >得(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈所以，()cos sin (0)f x x x x x =-≥单调递增区间为(2,22)()x k k k Z ππππ+∈++∈例2：已知函数2()(0,)ax f x x e a e =≤为自然对数的底数，试讨论函数()f x 单调性。
分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。
此题利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。
（此题是04年湖南高考题）解：因'2()2(2)ax ax ax f x xe ax e x ax e =+=+，所以（1）当0a =时，令'()0f x =得0x =；若0x >，则'()0f x >，从而()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）当0a <时，令'()0f x =得0x =或2x a=-； 若0x <，则'()0f x <，从而()f x 在(,0)-∞上单调递减；若20a a <<-，则'()0f x >，从而()f x 在2[0,)a-上单调递增； 若2a a >-，则'()0f x <，从而()f x 在2[,)a-+∞上单调递减。