第6章 气象上常用小波及其应用

第6章 气象上常用小波及其应用实例(1)

前面五章讲述了小波分析方法的由来和原理，这些基本知识为气象上实际应用奠定了基础。本章将介绍气象上常用的几种小波，特别是Haar 小波和墨西哥帽（Mexihat ）小波，以及小波分析的应用实例。

6.1 二进小波

二进小波的产生基于第4章的“二分法”。它的基本思路是把连续型函数)(t f 及其连续小波变换),(b a W f 离散化，以便于实际应用。作为一种方便和常用的形式，是对小波参数中的放（伸）缩因子a 进行二进制离散。若小波函数系的表达式

{}

Z

m,n n t a

m

∈-- ),(ψ

（••

） 中的放缩因子)(2Z j a j ∈=，则称)(t ψ为二进小波。把经过这种离散化后的二进小波的变换，

称为二进小波变换。

强调说明：在应用时所用的小波函数系（式（••））与前面第4章第3节的式（•）有所不同。比照这两式：

),()(),2(2

)(,2

/,b at a t k t t b a j

j k

j -=

-=ψψψψ

或

（•）

),()(,n t a

t m

n m -=-ψψ

（••

） 可以看出，二者主要的不同点是t 的系数a 指数正负号恰好相反。所以，用式（•）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变窄；而用式（••）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变宽。

定义6.1 函数)()(2R L t ∈ψ被称为二进小波，若存在两个常数∞<≤

∑

∈-≤≤

Z

j j B A .)2(ˆ2

ωψ

（6.1）

上述条件式（6.1）称为稳定性条件；若A =B ，则称最稳定条件。而函数序列{}Z

j j f W ∈2称为二进小波变换，其中，

,d 2)(2

1)()(2

2b b t t f t f t f W R

j

j

j

j ⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

*=ψψ

（6.2）

这里j a 2=是放缩因子，b 是平移因子。 由卷积定理知：

)2(ˆ)(ˆ)(ˆ2

ωψωωj f f W j ⋅= （6.3） 据此，稳定性条件等价于：对任意)()(2R L t f ∈，有：

∑

∈≤≤

Z

j f

B f

W f

A j 20

20

220

（6.4）

下面定理说明，二进小波一定是允许小波。

定理6.1 设)(t ψ是二进小波，则它一定是允许小波，且

.2ln d )(ˆ,

d )(ˆ2ln 0

2

2

B A ≤-≤

⎰

⎰

∞

∞

ωω

ωψ

ωω

ωψ

（6.5）

若A =B ，则上式变成：

.2ln 2d )(ˆ2

A C ==

⎰

∞

+∞

-ωω

ωψ

ψ （6.6）

其中A 、B 的含义同式（6.1）。

式（6.5）的证明如下：用变量替换，可得

ω

ω

ωψ

ωω

ωψ

d )(ˆd )2(ˆ1

2

2

2

2

1

2

⎰

⎰

+=

j j

j

因此，用ω除式（6.1）中每一项并在区间（1，2）上对ω积分，有

.2ln d )(ˆ2ln 0

2

B A ≤≤

⎰

∞

ωω

ωψ

同样，用-ω除式（6.1）每一项并在区间（-2，-1）上对ω积分，得

.2ln d )(ˆ2ln 0

2

B A ≤-≤

⎰

∞

+ωω

ωψ

证毕。 定理6.1表明，当ψ使得式（6.1）成立时，由二进小波变换可完全重构原信号。重构公式是：

.d 2)(2

1)()()( 22

2b b t t f W t t f W t f R j j

j j

j ⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅=

*=ψψ

（6.7）

二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参数进行离散化，而在时域上仍

保持平移量（b ）连续变化。因此二进小波变换仍具有连续小波变换的平移不变性。这是它有别于离散小波变换的独特优点，后者不具备平移不变性质。

6.2 正交小波中常用的Haar 小波

正交小波是一种重要的小波型式，正交小波变换已在第4章讲过。在正交小波中，Haar 小波是一种常用的型式。Haar 小波型式简单，使用方便，计算快捷；然而它的缺点也很明显，即缺乏连续性。本节将详细介绍Haar 小波，由此可以加深对正交小波的理解。

图6.1 Haar 小波

(a) 三次样条函数)(t θ； (b) )(t θ的一阶导数，即小波函数t t d /d )(θψ=。