高中数学-函数待定系数法练习
待定系数法练习题及答案
待定系数法练习题及答案一、选择题1. 下列关于待定系数法的说法，正确的是（）。
A. 待定系数法适用于求解一阶线性微分方程B. 待定系数法适用于求解二阶线性微分方程C. 待定系数法适用于求解非线性微分方程D. 待定系数法适用于求解所有类型的微分方程2. 在使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，假设特解形式为（）。
A. y = eaxB. y = ebxC. y = ax + bD. y = x^2 + ax + b3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，其中f(x)为已知的函数，下列关于特解形式的说法，正确的是（）。
A. 当f(x) = eax时，特解形式为y = AeaxB. 当f(x) = cosbx时，特解形式为y = Acosbx + BsinbxC. 当f(x) = e^(x)时，特解形式为y = Ax + BD. 当f(x) = x^2时，特解形式为y = x^2 + ax + b二、填空题1. 使用待定系数法求解非齐次线性微分方程时，需要求出其______（通解/特解）。
2. 对于一阶线性非齐次微分方程 y' + py = f(x)，当f(x) = eax时，其特解形式为______。
3. 对于二阶线性非齐次微分方程 y'' + py' + qy = f(x)，当f(x) = cosbx时，其特解形式为______。
三、解答题1. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y' y = 2x2. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + y = sinx3. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y''' 3y'' + 3y' y = e^(x)4. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' + 4y = 4x^2 + 3x + 25. 使用待定系数法求解下列微分方程的特解：y'' 2y' + y = e^x cosx四、应用题1. 某物体在直线运动中，其加速度a(t)与时间t的关系为a(t) = 4 t^2，初始速度为v(0) = 0，求物体在t时刻的速度v(t)。
3 例析利用待定系数法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用待定系数法解题题型待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程（或方程组）求得未知数。
所谓待定系数法：就是要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x)g(x)=的充要条件是：对于一个任意的x 值，都有f (x)g(x)=；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利 用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
一、利用待定系数法解决函数问题中学里的初等函数，一般都有特定的解析式与相应的限制条件，所以待定系数法往往是解决函数问题的有效方法。
例1、求一次函数y f (x)=，使得f{f[f (x)]}8x 7=+。
待定系数法(学生版)
解题方法及提分突破训练：待定系数专题一．真题链接1．（2012•玉林）一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y 随x 的增大而增大，则m=（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．-1或32．（2012•南昌）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2011•泰安）若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则当x=1时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-274.把分式21172x x x-+-化为部分分式． 5.分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －76．（2011•嘉兴）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ．二．名词释义概念：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
经验：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
详解：1.待定系数法在分解因式时的运用待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
例如：分解因式x －x －5x －6x －4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
高中数学：2.2.3待定系数法 _1
第二章 函 数
解：因为已知函数 f(x)的顶点为(1，4)，故设二次函数的解析 式为 f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)， 又经过(－1，0)， 所以 0＝a(－1－1)2＋4，所以 a＝－1， 所以 f(x)＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3， 所以 f(x)＝－x2＋2x＋3．
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第二章 函 数
由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函 数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．
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第二章 函 数
在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球， 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图 所示．
如果这个男同学出手处 A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最 高处 B 点的坐标是(6，5)．
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第二章 函 数
二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式， 选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们 可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与 x 轴的交点或二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0 的两根，可设函数的两根式．
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第二章 函 数
3．已知抛物线 y＝ax2(a≠0)与直线 y＝kx＋1(k≠0)交于两点， 其中一交点为(1，4)，则另一交点为________． 解析：将(1，4)的坐标分别代入 y＝ax2 与 y＝kx＋1， 得44＝＝ak，＋1，解得ak＝＝43，. 再联立yy＝ ＝43xx2＋，1，解得xy＝＝41，，或xy＝＝14－. 14， 答案：－14，14
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第二章 函 数
求二次函数的解析式 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与 x 轴的交点为 (－1，0)和(3，0)，求函数的解析式．
方法3.3待定系数法(测)2017年高考数学(理)二轮复习讲练测(无答案)
2017届高三二轮复习之讲练测之测案【新课标版理科数学】方法三 待定系数法总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1. 【2016届高三天津统考】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 2.【2016届高三·杭州调研】已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6D ．－83.【2016届高三陕西联考】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟4. 一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=错误！未找到引用源。
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 错误！未找到引用源。
或23- 错误！未找到引用源。
（C ）54-或45- （D ）43-或34-5.【2016届高三长春市十一中阶段性考试】将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛0,16π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,9π C. ⎪⎭⎫⎝⎛0,4π D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 6.【2016届高三福建省厦门双十中学期中考试】设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax ＝()0a ≠的焦点F ，且和y 轴交于点A. 若(OAF O △为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x7.【2016届高三浙江省效实中学届高三期中考试】中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为e =y x =+ ） A ．2213216x y += B ．22163x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 8.【2016届高三河南省师范大学附属中学届高三月考】已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，左顶点为C ，过点F 作圆O ：222x y a +=的两条切线，切点为A 、B ，若0120ACB ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =±C ．y =D ．2y x =± 9.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知某三角函数的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+10.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试】已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 是首项为3，公差为整数的等差数列，且313a a >+，425a a <+，2log n n a b =，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．8(21)n- B ．4(31)n- C.8(41)3n - D ．4(31)3n - 12.【浙江省效实中学2016届高三上学期期中】中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为e =y x =+ ）A ．2213216x y += B ．22163x y += C ．22184x y += D ．221124x y += （二）填空题（4*5=20分）13. 一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。
必修一函数待定系数法含答案
必修一函数待定系数法含答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2．2.3待定系数法一、选择题1．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k 个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为( )A．－2，－1B．2，－1C．－2,1D．2,12．二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为( ) A．－9B．9C．3D．－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A．y＝2(x－2)2－1B．y＝2(x＋2)2－1C．y＝2(x＋2)2＋1D．y＝2(x－2)2＋14．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式为( )A．4x2＋4x＋7B．4x2－4x－7C．－4x2－4x＋7D．－4x2＋4x＋75．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图中的( )6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )A．1B．2C．3D．4题号123456答案二、填空题7.如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA ＝3OB，则m＝________.8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.9．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．三、解答题10．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.(1)求二次函数解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．能力提升12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．1．待定系数法的理论依据是多项式恒等，即等式左右两边对应项系数相等．2．利用待定系数法解决问题的步骤(1)根据已知条件写出待定函数的一般式；(2)由x、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；(4)将求出的系数代回所设函数解析式中得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步：求；第四步：写．即“设、代、求、写”．2．2.3 待定系数法知识梳理1．这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2．(1)y＝kx(k≠0) (2)y＝kx＋b(k≠0) (3)y＝(k≠0) (4)①y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)③y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)作业设计1．A2．A [∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.]3．A [设顶点式y＝a(x－2)2－1，将(3,1)代入得a＝2.]4．D [设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.]5．D [由已知可知a>0，c<0，且f(1)＝0，所以选D.]6．C [由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝∴方程f(x)＝x?或解得x＝2或x＝－1或x＝－2，均合题意．]7．0解析设B(x0,0)(x0<0)，则A(－3x0,0)，y＝－(x－x0)(x＋3x0)展开得：，解得m＝0或m＝－，由x0<0得m＋1>0，m>－1，∴m＝0.8．2解析f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，∴，∴或.∴5a－b＝2.9．f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)．当k>0时，，解得.当k<0时，，解得.∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.10．解(1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝，∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－x－.(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，由x2－x－＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴l过点A(－1,0)，∴，解得，∴一次函数为y＝－x－.在y轴上的截距为b＝－.11．解∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，∴a＝.∴二次函数解析式变为y＝x2＋bx＋c.将点(1，n)和(m,1)代入直线方程y＝x－2，得解得∴二次函数与直线的交点为(1，－1)和(3,1)．将这两个点的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴所求的二次函数的解析式为y＝x2－x－.12．?解析∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有即∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．13．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，其对称轴为x＝，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.。
待定系数法的练习题
待定系数法的练习题一、基础题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(1) = 5，f(2) = 10，求a、b、c的值。
2. 设函数g(x) = mx^3 + nx^2 + px + q，已知g(0) = 4，g(1) = 7，g(1) = 0，g(2) = 26，求m、n、p、q的值。
3. 已知函数h(x) = kx^4 + lx^3 + rx^2 + sx + t，且h(0) = 1，h(1) = 2，h(1) = 3，h(2) = 8，h(2) = 16，求k、l、r、s、t的值。
二、进阶题1. 已知函数p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，且p(0) = 2，p(1) = 0，p(2) = 3，p(3) = 4，求a、b、c、d的值。
2. 设函数q(x) = ex^4 + fx^3 + gx^2 + hx + i，已知q(0) = 1，q(1) = 2，q(1) = 3，q(2) = 4，q(2) = 5，求e、f、g、h、i的值。
3. 已知函数r(x) = jx^5 + kx^4 + lx^3 + mx^2 + nx + o，且r(0) = 6，r(1) = 5，r(1) = 4，r(2) = 3，r(2) = 2，求j、k、l、m、n、o的值。
三、应用题1. 某企业生产一种产品，每件产品的成本为C(x) = 200x + 1000，其中x为生产数量。
已知当生产10件产品时，总成本为3000元；当生产20件产品时，总成本为5000元。
求C(x)中的系数。
2. 一辆汽车行驶的距离S(t)与时间t的关系为S(t) = at^2 + bt，已知汽车从静止出发，2秒后行驶了20米，4秒后行驶了80米，求a、b的值。
3. 某城市的人口增长模型为P(t) = ct^2 + dt + e，其中t为年份，P(t)为人口数量。
已知该城市在t=0时人口为100万，t=5时人口为150万，t=10时人口为200万，求c、d、e的值。
待定系数法练习
待定系数法练习要点：待定系数法：就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引进一些待定的系数，转化为方程组来解决问题的方法。
一，填空题。
1、设f(x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又f －1[f －1(x)]=4x －12，则f(x)的表达式为2、 若函数y=sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x=－8π对称，那么a 的值为 3、二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x|－21<x<31}，则a ＋b 的值为 4、已知f(x)=log a (2－ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是5、若函数y=5sin 2x ＋3sinxcosx ＋6cos 2x ＋m 能表示成y=Asin(ωx ＋θ)的形式(0≤θ<π)， 则实数m 的值为6、已知集合M={(x ，y)|13+-x y =1}，N={(x ，y)|y=kx ＋2}，且M I N=Φ，则实数k 的值 为7、已知一个多边形的内角成公差为5︒的等差数列，它的最小内角为120︒，则其边数为8、已知函数y=Asin(ωx ＋ϕ)在一个周期内，当x=12π时取最大值2，当x=127π时取最小 值－2，那么此函数的解析式是9、 在直角坐标系内有两点A(－1，m)、B(－1，3)，点A 在抛物线x 2=2py 上，F 为抛物线的焦点，若|AB|＋|AF|=27，则m 的值为 10、不等式0≤x 2－2x ＋q ≤4至多有一解，则q 的取值范围是11、若方程2x 2＋mxy ＋3y 2－5y －2=0的图象是两条直线，则m 为12、双曲线以原点为中心，坐标轴为对称轴，且与圆x 2＋y 2=17交于点A(4，－1)，如果圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
13、若对于任意a ∈[－1，1]，都有ax 2－1≤x ＋a 成立，则x 的取值范围为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
待定系数法求函数解析式10题
待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。
- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。
- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。
- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。
- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。
- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。
- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。
2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。
- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。
- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。
- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。
- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。
- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。
- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。
待定系数法求函数的解析式练习题集
待定系数法求一次函数的解析式练习题一、旧知识回顾1，填空题：（1）若点A （-1，1）在函数y=kx 的图象上则k= .（2）在一次函数y=kx-3中，当x=3时y=6则k= .（3）一次函数y=3x-b 过A （-2，1）则b= ,。
3.解方程组:3．练习：（1）已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。
求这个函数的解析式。
（2）已知一次函数y=kx+b 中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7。
求这个函数的解析式。
且求当x=3时,y 的值。
（3）师：已知直线上两点坐标，能求出这条直线的解析式，若不直接告诉两点的坐标，已知这条直线的图象，能否求出它的解析式？如：7(4)317;x y x y +=⎧⎨+=⎩5．练习：1．选择题：1)一次函数的图象经过点(2,1)和(1,5)，则这个一次函数( )A.y=4x+9B. y=4x-9C. y=-4x+9D. y=-4x-9(2)已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是( )A.(-7,8)B. (-5,6)C. (-4,5)D. (-1,2)3)若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，则m的值是( )A.8B.4C.-6D.-8(4)一次函数的图象如图所示，则k、b的值分别为( )A.k=-2,b=1B.k=2,b=1C.k=-2,b=-1D.k=2,b=-12.尝试练习：（1）已知一次函数 y=kx+2,当x=5时，y的值为4，求k的值。
（2）已知直线y=kx+b经过（9，0）和点（24，20），求这个函数的解析式。
（3）一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2，m)，求k、m的值.（4）一次函数y=3x-b过A（-2，1）则b= ,该图象经过点B（，-1）和点C（0，）.（5）已知函数y=kx+b的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A，且x轴下方的一点B(3，n)在一次函数y=kx+b的图象上，n满足关系n2=9.求这个函数的解析式.用待定系数法求函数解析式 姓名一、填空：1、抛物线832+-=x y 的开口 ，对称轴方程．．．．．是 ，顶点坐标为 。
高中数学待定系数法测试题(带答案)
高中数学待定系数法测试题（带答案）2.2.3待定系数法测试题一、选择题：1、一次函数，在图像上有一点 ,则的值为（）（A）2 （B）5（C）（D）2、抛物线的对称轴为（）（A）直线x=1（B）直线x=-1 （C）直线x=2（D）直线x=-2 3、已知抛物线经过点(-3,2),顶点是（-2，3），则抛物线的解析式为（）A）（B）（C）（D）4、已知二次函数的最大值为2，图像顶点在直线上，并且图象过点（3，-6），则的值为（）（A） -2，4，0 （B）4，-2，0 （C）-4，-2，0 （D）-2，-4，05、抛物线顶点坐标为（3，-1），与y轴交点为（0，-4），则二次函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）6．已知为一次函数，且，则（）A.2x+1B.x+2C.－2x+1D.8x+77．已知二次函数的图像的对称轴是x=1，并且通过点A（－1，7），则a，b的值分别是（）A.2，4B.2，－4C.－2，4D.－2，－48．已知，则a,b的值分别为（）A.2，3B.2，－3C.－2，3D.－2，－39．已知，则a,b,c的值分别为（）A.1，2，3B.1，－2，－3C.1，－2，3D.1，2，－3二、填空题：10．已知，则＝____________________；11．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程有两个相等的根，则＝______________；12、已知是二次函数，满足则 __________.13、已知反比例函数过点（2，3），则函数表达式为_____ ___ _____________ __.14、一次函数，则 __________________ __________ .三、解答题：15、已知二次函数，，求这个函数的解析式.参考答案：一、选择题：1． A；2． A；3． A；4． A；5． B；6． A；7．B；8．A；9．C；二、填空题：10．1 1 ．12．13．14．三、解答题：15.设函数的解析式为。
高中数学解题常用方法：待定系数法
待定系数法一、填空题1. 若二次函数的图象经过点，对称轴为，最小值是，则它的解析式是．2. 已知点在指数函数的图象上，则 = ．3. 已知，则，．4. 过三点，，的圆的方程是．5. 已知点和是直线上的两点，则，．6. 已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，且，，则的解析式为．7. 如果，则一次函数．8. 设向量，不平行，向量与平行，则实数．9. 若函数，且，，，则函数的解析式为．10. 已知一个二次函数，若，，，则这个函数的解析式为．11. 是一次函数，若对所有的都有，且，则．12. 已知是二次函数，若，且，则．13. 已知经过函数图象上一点处的切线与直线平行，则函数的解析式为．14. 若，则．15. 已知点和，则过点且与，的距离相等的直线方程为．16. 已知且，则的取值范围是．17. 若是一次函数，且，则．18. 经过点和，圆心在直线上的圆的方程是．19. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则正整数的值为．20. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围是．二、解答题21. 设二次函数图象的对称轴为，且图象在轴上的截距为，在轴上截得的线段长为的解析式．22. 已知复数的共轭复数为，且，求．23. 已知为一次函数，求．24. 设复数为纯虚数，且，求复数．25. 求过，，三点的圆的方程．26. 如果一次函数满足求的解析式．27. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．(1)求．(2)若不等式的解集为，求的解集．28. 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为，，且满足，求，．29. 已知，则复数所对应的点在复平面的第几象限内？复数的对应点的轨迹是什么曲线？30. 已知为二次函数，且，，．(1)求的解析式；(2)求在上的最大值与最小值．31. 求斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长为的直线方程．32. 已知，，求的取值范围．33. 双曲线中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率，且双曲线过点．(1)求双曲线方程；(2)若点的坐标为，求证：．34. 过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、两点，如果四边形的面积被直线平分，求直线的方程．35. 求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线的方程．36. 求证：能被整除，．37. 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶时，水面宽为．一小船宽，高，载货后船露出水面上的部分高，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行．38. 已知正方形的中心是点，一条边所在的直线方程是，求其他三边所在的直线方程．39. 已知为坐标原点，在轴正半轴上，的面积为，并且．(1)若，求向量与夹角正切值的取值范围；(2)若以为中心，为焦点的双曲线经过点，，，当取得最小值时，求此双曲线方程．40. 设两个函数和，其中是三次函数，且对任意的实数，都有，，．(1)求函数的极值；(2)证明：对于任意的，都有成立．答案第一部分123 ；45 ；67 或89101112131415 或．1617 或181920第二部分21 由题意，可设，因为图象在轴上的截距为，所以，即，所以．22 设，所以，所以，所以所以或所以或．23 因为为的一次函数，所以设，则，又，比较系数得解得所以．24 因为为纯虚数，所以可设（且），则．又，所以由，得，解得，所以．25 设圆的方程是．因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解．把它们的坐标依次代入方程，得到关于，，的一个三元一次方程组，即解得，，，所以所求圆的方程是．26 设，则有由于该函数与是同一个函数所以，且所以，当时，时，27 (1) 由，得，所以；由，得，所以，所以．(2) 由于的解集是，所以解得所以，即，其解集为．28 设，，，，又，所以，，所以，．29 由题意得，．由实部大于，虚部小于，可知复数的对应点在复平面的第四象限内．设，则，．消去，得．所以复数的对应点的轨迹是以为端点，为斜率，且在第四象限的一条射线．30 (1) 设，则．由，，得解得从而．又，解得，从而．于是．(2) 因为，所以当时，；即在上的最大值为，最小值为．31 设直线方程为，令，得；令，得，由题意得：．解得或．所以所求直线方程为，即．32 解法一：作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图所示）．考虑，把它变形为，得到斜率为，且随变化的一组平行直线．是直线在轴上的截距，当直线在轴上的截距最大时，的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数取得最小值；当直线在轴上的截距最小时，的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数取得最大值．由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最小．解方程组得的坐标为，所以．当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最大．解方程组得的坐标为，所以．故的取值范围是．解法二：设，则，所以所以即．又因为，，．所以，即的取值范围是．33 (1) 由及得．设双曲线的方程为，代人，解得，所以双曲线的方程为．(2) 由（）知，，又，则，，所以，即．34 设直线的方程为，则，，．由，得，即．由于到直线的距离，所以的面积是而的面积．由直线平分四边形的面积，得，即，解得或故所求直线的方程为或．35 显然，直线不与直线垂直，故不满足条件．设直线的方程为，则．因为，所以．故直线，即．36 （1）当时，，命题显然成立．（2）假设当时，能被整除，则当时，由归纳假设，上式中的两项均能被整除，故当时命题成立．由（1）（2）知，对，命题成立．37 如图，建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为．由题意，得抛物线过点，代入，解得，所以抛物线方程为．由小船宽，得点在抛物线上．将点代入，解得．所以，当船顶距抛物线拱顶为时，小船恰好能通过．又载货后，船露出水面上的部分高，所以当水面与抛物线拱顶的距离为时，小船恰好能通行．答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距时，小船恰好能通行．38 正方形的中心到已知边的距离为．设与平行的一边所在的直线方程是．因为正方形中心到这条直线的距离为，所以，解得（舍去）或．所以与平行的边所在的直线方程是．设与垂直的边所在的直线方程是．因为正方形中心到这条直线的距离为，所以，解得或．所以与垂直的两边所在的直线方程是和．39 (1) 设，的夹角为，则所以．又因为，因此．(2) 设双曲线的方程为，，则，由，得．由，得，解得，则，当且仅当时，最小，这时点坐标为．由得因此，双曲线方程为．40 (1) 由题意可设，由，得．又，，所以，比较系数，解得，，，所以，．令，得；，得或，即在上递减，在上递增，在上递减，，则当时，极小值．当时，极大值(2) 要证明对于任意的，都有成立，只需证当时，．当时，，则．当时，；当时，，所以在上递减，在上递增，所以．由知对任意，．又，则，所以当时，成立，因此，对于任意的都有成立．。
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
高中数学《一次函数》练习题
高中数学《一次函数》练习题【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高中数学《一次函数》练习题，希望能给大家带来帮助!【知识梳理】1.正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是当y=kx+b 中b=0时特殊的一次函数。
2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式：通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式，已知两点便可确定一次函数解析式。
3.一次函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线;一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),(,0)两点的一条直线。
4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系：当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限，当k<0时直线过第二、四象限;b 决定直线与y轴交点的位置，b>0直线交y轴于正半轴，b<0直线交y轴于负半轴。
5.直线L1与L2的位置关系由k、b来确定：当直线L1∥L2时k相同b不同;当直线L1与L2重合时k、b都相同;当直线L1与L2相交于y轴同一点时，k不同b相同。
6.一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系。
【能力训练】1.一次函数y=x-1的图像不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2019·福州)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,则( )A.y随x的增大而减小B.y随x的增大而增大C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x 的增大而减小D.不论x如何变化,y不变3.(2019·甘肃)结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是( )A.y=1B.1≤y<4C.y=4D.y>44.(2019·哈尔滨)直线y=x-1与坐标轴交于A、B 两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有( )A.4个B.5个C.7个D.8个5.某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系式是，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是分钟，若通话时间62分钟，则电话费为元.6.如图,表示商场一天的家电销售额与销售量的关系,表示一天的销售成本与销售量的关系.①当时,销售额= 万元,销售成本= 万元.此时，商场是是赢利还是亏损?②一天销售件时,销售额等于销售成本.对应的函数表达式是 .④写出利润与销售量间的函数表达式.7.某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同.设汽车每月行驶xKm，个体车主的月费用是y1元，出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x 之间的函数关系图像，如图，观察图像并回答下列问题;(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱?(2)每月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程在2300Km，那么这个单位租哪家的车比较合算?8.在直角坐标系中，有以A(-1，-1)，B(1，-1)，C(1，1)，D(—1，1)为顶点的正方形.设正方形在直线y=x上方及直线y=-x+2a上方部分的面积为S.(1)求a=时，S的值.(2)当a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式.9.已知一次函数y=x+m的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数y=的图像在第一象限交于点C(4，n)，CD⊥x轴于D.(1)求m、n的值，并作出两个函数图像;(2)如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度分别沿线段AD、CA向D、A运动，设AP=k.问k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?10.如图,L1、L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)的函数图像,假设两种灯的使用寿命都是2 000h,照明效果一样.(1)根据图像分别求出L1、L2的函数关系式;(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等?(3)小亮房间计划照明2 500h,他买了一个白炽灯和一个节能灯, 请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案,不必写出解答过程).11.甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶,为了确定汽车的位置, 我们用数轴Ox表示这条公路,原点O为零千米路标(如图),并作如下约定:①速度v>0,表示汽车向数轴正方向行驶;速度c<0,表示汽车向数轴负方向行驶;速度v=0,表示汽车静止.②汽车位置在数轴上的坐标s>0,表示汽车位于零千米路标的右侧;汽车位置在数轴上的坐标s<0,表示汽车位于零千米路的左侧;汽车位置在数轴上的坐标s=0,表示汽车恰好位于零千米路标处.遵照上述约定,将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况,以一次函数图像的形式画在了同一直角坐标系中,如图.请解答下列问题:(1)就这两个一次函数图像所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格.行驶方向速度的大小(km)h出发前的位置甲车乙车(2)甲乙两车能否相遇?如能相遇,求相遇时的时刻及在公路上的位置;如不能相遇,请说明理由.参考答案：1.B2.A3.D4.C5.y =0.15x+24,98,33.36.①,亏损②3 ③y1=x ④y=x—27.(1)超过3000千米，(2)3000千米(3)个体8.(1)(2)当a≤—1时，S=2;当—1或10.(1)设直线L1的解析式为y1=k1x+2,由图像得17=500k1+2,解得k1=0.03.∴y1=0.03x+2(0≤x≤2 000).设直线L2的解析式为y2=k2x+20,由图像得26=500k2+20,解得k2=0.012,y=0.012x+20(0≤x≤2 000).(2)当y1=y2时,两种灯的费用相等.0.03x+2=0.012x+20,解得x=1 000.∴当照明时间为1 000小时时,两种灯的费用相等.(3)节能灯使用2 000小时,白炽灯使用500小时.11.解:(1)甲车:x轴负方向(向左),40,零千米路标右侧190千米;乙车:x轴正方向(向右),50,零千米路标左侧80千米处.(2)甲乙两车相遇设经过t小时两车相遇,由得所以经过3小时两车相遇,相遇在零千米路标右侧70千米处.。
高考数学待定系数法专题练习历年真题复习试卷后附答案解析
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
高考数学（理）专题练习（三）
待定系数法（讲）
答
例1．D
例2．
例3．
例4．解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 ．数据补全如下表：
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ．
整理得 解得 ，所以
当 时，
①-②得 ，即 ，
又 ，所以数列 是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以
（Ⅱ）因 ，即 ，所以
则
①-②得：
所以
2017
待定系数法（讲）
解
例1．
【解析】
根据对称性，不妨设A在第一象限， ，∴ ，
∴ ，故双曲线的方程为 ，故选D．
例2．
例3．
【解析】将点 带入函数 的解析式得 ，所以 ，用 表示 得 所以 ．
3
例5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前100项和为（）
A． B． C． D．
4．用待定系数法求解的其它类型
例6．若向量 ， 是不共线的两向量，且 ， （ ），则A，B，C三点共线的条件是（）
A． B． C． D．
例7．设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________．
例7．
【解析】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
例8．
高考数学（
待定系数法（讲）
1
例1．已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
数学能力专题训练(待定系数法)
数学能力专题训练（待定系数法）要点： 待定系数法：就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引进一些待定的系数，转化为方程组来解决问题的方法。
一，选择题。
1， 设f(x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又f －1[f －1(x)]=4x －12，则f(x)的表达式为 ( )A 、f(x)=x ＋2B 、f(x)=21x ＋2 C 、f(x)=x ＋1 D 、f(x)=2x ＋1 2, 若函数y=sin2x ＋acos2x 的图象关于直线x=－8π对称，那么a 的值为 （ ） A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－1 3，二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x|－21<x<31}，则a ＋b 的值为 （ ） A 、10 B 、－10 C 、14 D 、－144，已知f(x)=log a (2－ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ）A 、(0，1)B 、(1，2)C 、(0，2)D 、[2，＋∞) 5，若函数y=5sin 2x ＋3sinxcosx ＋6cos 2x ＋m 能表示成y=Asin(ωx ＋θ)的形式(0≤θ<π)，则实数m 的值为 （ ）A 、5B 、211 C 、－211 D 、－5 6，已知集合M={(x ，y)|13+-x y =1}，N={(x ，y)|y=kx ＋2}，且M N=Φ，则实数k 的值 为 （ ）A 、±1B 、－1C 、1D 、不存在 7，已知一个多边形的内角成公差为5︒的等差数列，它的最小内角为120︒，则其边数为（ ）A 、8B 、9C 、16D 、9或16 8，已知函数y=Asin(ωx ＋ϕ)在一个周期内，当x=12π时取最大值2，当x=127π时取最小 值－2，那么此函数的解析式是 （ ）A 、y=21sin(x ＋3π)B 、y=2sin(2x ＋3π)C 、y=2sin(2x ＋6π)D 、y=2sin(2x －6π) 9, 在直角坐标系内有两点A(－1，m)、B(－1，3)，点A 在抛物线x 2=2py 上，F 为抛物线的焦点，若|AB|＋|AF|=27，则m 的值为 （ ） A 、－21 B 、21 C 、1 D 、不能确定 10，不等式0≤x 2－2x ＋q ≤4至多有一解，则q 的取值范围是 （ ）A 、q ≥5B 、q ≤4C 、q ≥－4D 、q ≤－5 11，若方程2x 2＋mxy ＋3y 2－5y －2=0的图象是两条直线，则m 为 （ ）A 、±24B 、24C 、－7D 、±712，点A(2，1)、B(1，1)所在直线与直线x ＋ay ＋a 2=0交于点P ，设PBAP =λ，当a 变化时，λ的取值范围是 （ ）A 、λ>0B 、－λ≤37<－1C 、λ≤－37 D 、－1<λ<0 二，填空题。
待定系数法求直线方程-高中数学知识点讲解(含答案)
待定系数法求直线方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2018春•通州区期末）过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是( ) A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-= 2．（2016秋•海淀区校级期中）经过点(10,4)-，且倾斜角的余弦值为513-的直线方程是( ) A ．12(10)45y x =-+ B ．12(10)45y x =--C ．12(10)45y x =--- D ．12(10)45y x =--+ 二．填空题（共4小题）3．（2019•北京模拟）如果平面直角坐标系内的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 ． 4．（2017秋•西城区期末）经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 ．5．（2016秋•西城区校级期中）直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，则直线l 的方程为 ．6．（2016秋•海淀区校级期中）已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 ． 三．解答题（共2小题）7．（2017秋•丰台区期中）已知圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点(1,2)P -与圆C 相切，求直线l 的方程．8．（2017秋•丰台区期中）已知(2,0)A -，(1,3)B ，直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ． （1）求直线AB 的方程以及线段BC 的垂直平分线； （2）求ABC ∆的外接圆方程．待定系数法求直线方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2018春•通州区期末）过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是( ) A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-=【分析】根据直线平行求出直线方程，利用代入法进行求解即可． 【解答】解：设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．【点评】本题主要考查直线方程的求解，利用直线平行设出平行线系，利用代入法是解决本题的关键． 2．（2016秋•海淀区校级期中）经过点(10,4)-，且倾斜角的余弦值为513-的直线方程是( ) A ．12(10)45y x =-+ B ．12(10)45y x =--C ．12(10)45y x =--- D ．12(10)45y x =--+ 【分析】根据条件求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解即可． 【解答】解：设直线的倾斜角为θ， 则5cos 13θ=-，则倾斜角为钝角，则12sin 13θ=，即直线的斜率sin 12tan cos 5k θθθ===-， 直线过点(10,4)-，∴直线的方程为124(10)5y x +=--， 即12(10)45y x =---． 故选：C ．【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据条件求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解是解决本题的关键． 二．填空题（共4小题）3．（2019•北京模拟）如果平面直角坐标系内的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 10x y -+= ．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出． 【解答】解：111AB a a k a a +-==---，线段AB 的中点为2121(,)22a a -+，两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线L 对称，1L k ∴=，其准线方程为：212122a a y x +--=-， 化为：10x y -+=． 故答案为：10x y -+=．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2017秋•西城区期末）经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 350x y +-= ． 【分析】根据已知中的定点及直线方程，由垂直系方程可得答案．【解答】解：经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为：(2)3(1)0x y -+-=， 即：350x y +-=， 故答案为：350x y +-=【点评】本题考查的知识点是直线系方程，熟练掌握垂直系方程，是解答的关键．5．（2016秋•西城区校级期中）直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，则直线l 的方程为 23y x =- ． 【分析】先根据直线的条件设出直线的斜截式方程，然后利用代入法进行求解即可． 【解答】解：直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，∴设直线方程为3y kx =-，则123k =-， 得24k =，2k =， 即直线方程为23y x =-， 故答案为：23y x =-【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据条件结合斜截式方程，利用待定系数法是解决本题的关键．6．（2016秋•海淀区校级期中）已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 1433y x =-+ ．【分析】根据直线平行的距离的性质，得当平行直线和AB 垂直，平行直线的距离最大，求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解即可．【解答】解：过A ，B 两点的直线的斜率21301k --==-， 若两平行直线间的距离最大值，满足平行直线和AB 垂直， 即直线1l 的斜率13k =-，则直线1l 的方程为11(1)3y x -=--，即1433y x =-+，故答案为：1433y x =-+【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合平行直线的性质，得到平行直线和AB 垂直，平行直线的距离最大是解决本题的关键． 三．解答题（共2小题）7．（2017秋•丰台区期中）已知圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点(1,2)P -与圆C 相切，求直线l 的方程． 【分析】（1）半径||2r AC ==，由此能求出圆C 的标准方程．（2）直线l 过点(1,2)P -，当直线l 的斜率不存在时，其方程为：1x =，l 与圆C 相切；直线l 的斜率存在时，设:20l kx y k ---=，由点C 到l 的距离2d ==，求出34k =-．由此能求出l 的方程．【解答】（本小题9分）解：（1）圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -．||2r AC ∴=，⋯（2分）所以圆C 的标准方程为22(3)(1)4x y -++=．⋯（3分） （2）直线l 过点(1,2)P -，①当直线l 的斜率不存在时，其方程为：1x =， l 与圆C 相切，符合题意．⋯（4分）②直线l 的斜率存在时，设:2(1)l y k x +=-， 即20kx y k ---=，⋯（5分） 则点C 到l 的距离2d ==，⋯（7分）解得34k =-．⋯（8分）此时3:2(1)4l y x +=--，即3450x y ++=．综上所述，l 的方程为：1x =或3450x y ++=．⋯（9分）【点评】本题考查圆的方程、直线方程的求法，考查直线、圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．8．（2017秋•丰台区期中）已知(2,0)A -，(1,3)B ，直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ． （1）求直线AB 的方程以及线段BC 的垂直平分线；（2）求ABC ∆的外接圆方程．【分析】（1）求出直线AB 的方程，从而求出直线BC 的方程，进而求出(4,0)C 和BC 的中点，由此能求出BC 的垂直平分线方程．（2）由AB BC ⊥，得到圆心坐标为点A 和点C 的中点坐标(1,0)，||32AB r ==，由此能求出圆的方程． 【解答】（9分） 解：（1）(2,0)A -，(1,3)B ，∴由已知3012(1)AB k -==--，则直线AB 的方程为：31y x -=-，即:20AB x y -+=．⋯（1分） 直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ．1BC k ∴=-，则直线BC 的方程为：3(1)y x -=--，即:40BC x y +-=，⋯（2分）令0y =，则4x =，(4,0)C ∴．⋯（3分） BC 的中点是53(,)22，⋯（4分）则线段BC 的垂直平分线方程为：3522y x -=-， 即BC 的垂直平分线方程为：10x y --=．⋯（6分） （2）AB BC ⊥，∴圆心坐标为点A 和点C 的中点坐标(1,0)⋯（7分）||32AB r ==，⋯（8分） ∴圆的方程为22(1)9x y -+=．⋯（9分）【点评】本题考查直线方程、圆的方程的求法，考查直线、圆、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
高中数学必修一函数 解题方法
函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。
一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。
其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。
由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。
若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。
例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。
例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。
解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。
例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。
例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。
例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。
二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。
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高中数学-待定系数法练习
课时过关·能力提升
1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()
A.(-2,-3)
B.(3,2)
C.(3,-2)
D.(-3,-2)
解析设反比例函数为f(x)= (k≠0),
则3=,k=-6,即f(x)=,
故其还经过点(3,-2).
答案C
2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()
A.(-1,-1)
B.(1,-1)
C.(1,1)
D.(-1,1)
解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).
答案C
3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()
A.a=1,b=-4,c=11
B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11
D.a=3,b=-12,c=11
解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).
因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,
所以11=4a-1,解得a=3.
所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.
故a=3,b=-12,c=11.
答案D
4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()
A.1,2,3
B.1,-2,-3
C.1,-2,3
D.1,2,-3
解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,
∴
解得a=1,b=-2,c=3.
答案C
5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,
可得
解得
故f(x)=
令f(x)=x,解得x=2或x=-2.
答案B
6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()
A.-2
B.-1
C.-
D.
解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).
设f(x)=a(x-c)(x+2c),
则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,
即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.
故即ac=-,b=-.
答案C
7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为. 解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),
则有解得
答案y=-3x+13
8如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.
解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).
∵点(0,-2)在图象上,
∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=.
∴y=(x+1)(x-3)=x2-x-2.
答案y=x2-x-2
9已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函
数的解析式为.
解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.
设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得
解得
故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.
答案f(x)= x2-x+
10抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.
(1)求出抛物线的解析式.
(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(3)画出草图.
(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?
解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).
因为抛物线经过点(2,-3),
所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.
故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.
由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)抛物线的草图如图所示.
(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;
当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.
★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.
解当x∈[3,6]时,
∵f(x)≤f(5)=3,
∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).
又f(6)=2,
∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].
∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.
故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).
∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,
∴设f(x)=kx+b(k≠0).
∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,
∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).
将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-.
故f(x)=-x,x∈[0,3].
因此,f(x)=
又f(x)为奇函数,
∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-x.
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.
∴f(x)=
★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.
(1)求直线和抛物线的解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设直线的解析式为y=kx+b.
∵直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴解得k=1,b=-2,
∴直线的解析式为y=x-2.
又抛物线y=ax2过点B(1,-1),
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故
解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),
由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB
=×|-4|×2-×|-1|×2=3.
假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,
设D(m,-m2),
可得S△OAD=×2×m2=m2,即m2=3,
故m=或m=-,即存在这样的点D(,-3)或D(-,-3)满足题意.。