高斯投影及高斯平面直角坐标系解析
高斯投影坐标系的基本原理与应用
高斯投影坐标系的基本原理与应用引言：高斯投影坐标系是一种广泛应用于测绘和地理信息领域的坐标系统。
它的发展源于数学家高斯的工作，并在19世纪得到了实际应用。
本文将介绍高斯投影坐标系的基本原理以及其在大地测量、地图制图和导航系统中的应用。
第一部分：高斯投影坐标系的基本原理高斯投影坐标系基于地球形状的近似模型，将地球表面投影到平面上，以便更方便地处理和计算地理信息。
它是一种平面直角坐标系，通过将地球划分为一系列小块，每个小块上的坐标系都是局部的，使得精度可以得到有效控制。
高斯投影坐标系采用的是两个基本参数：中央子午线和纬度原点。
中央子午线是经度的基准线，用来确定坐标起点的位置。
纬度原点是纬度的基准线，通常设在地理区域的中心位置。
这两个参数决定了一个地理位置在高斯投影坐标系中的坐标值。
高斯投影坐标系还采用了一种著名的圆柱投影方式，即横轴墨卡托投影。
这种投影方式将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开成平面。
通过这种方式，可以有效地保持地图的形状和角度，但是面积会出现一定程度的变形。
第二部分：高斯投影坐标系的应用1. 大地测量：高斯投影坐标系在大地测量中被广泛应用。
通过在地球上各个位置设置坐标起点，并引入中央子午线和纬度原点，可以精确计算出两个地理位置之间的距离和方向。
这对于地理测量、地形分析和地震监测等方面都具有重要意义。
2. 地图制图：高斯投影坐标系被广泛用于地图制图中。
通过将地球表面投影到平面上，可以方便地绘制各种比例尺的地图。
高斯投影坐标系还提供了一种统一的坐标体系，使得不同地区的地图可以进行精确的对比和拼接。
3. 导航系统：高斯投影坐标系在导航系统中也有重要应用。
通过GPS技术和高斯投影坐标系的转换算法，可以实现精确定位和导航功能。
这对于交通导航、航空导航和地理定位等方面都具有重要意义。
结论：高斯投影坐标系是一种基于地球形状近似模型的坐标系统。
它的基本原理是通过将地球表面投影到平面上，方便处理和计算地理信息。
高斯直角坐标系
高斯直角坐标系高斯直角坐标系是一种用于地图制图的坐标系，也被称为高斯-克吕格投影坐标系。
它是一种平面直角坐标系，用于将地球表面上的点映射到平面上。
在这个坐标系中，地球表面被划分成了许多小区域，每个小区域都有一个唯一的投影中心。
下面将对高斯直角坐标系进行详细介绍。
一、高斯直角坐标系的定义高斯直角坐标系是指在地球表面上建立一个平面直角坐标系，使得该平面上任意一点（x,y）与其所对应的经纬度（B,L）之间存在着确定的函数关系。
二、高斯直角坐标系的原理在高斯直角坐标系中，我们假设地球是一个椭球体，并将其投影到一个平面上。
这个平面可以看作是椭球体的切平面，即与椭球体相切的平面。
我们选择以某个点为中心进行投影，并规定该点处的投影正北方向与地理正北方向重合。
然后根据柏松定理和拉普拉斯方程式来计算每个点在该投影中所对应的坐标。
三、高斯直角坐标系的特点1. 高精度：高斯直角坐标系是一种高精度的坐标系，可以用于制图、导航和测量等领域。
2. 局部性：由于每个小区域都有一个唯一的投影中心，因此该坐标系具有局部性。
在同一小区域内，可以使用相同的投影参数进行计算。
3. 正交性：高斯直角坐标系是一种正交坐标系，即x轴和y轴互相垂直。
这个特点使得计算更加简单。
4. 投影形式多样：高斯直角坐标系有多种投影形式，可以根据不同需求选择不同的投影方式。
四、高斯直角坐标系的应用1. 地图制图：高斯直角坐标系是地图制图中常用的坐标系之一。
它可以将地球表面上的点映射到平面上，便于绘制地图。
2. 导航定位：在导航定位中，可以使用高斯直角坐标系来表示位置信息。
例如，在GPS导航系统中，可以通过将GPS信号转换为高斯-克吕格投影来实现位置定位。
3. 测量应用：在测量应用中，高斯直角坐标系可以用于计算距离、面积等。
例如，在土地测量中，可以使用高斯直角坐标系来计算土地面积。
五、总结高斯直角坐标系是一种常用的地图制图坐标系，具有高精度、局部性、正交性和投影形式多样等特点。
测绘技术中的投影坐标转换方法解析
测绘技术中的投影坐标转换方法解析引言：在测绘技术中，投影坐标转换方法是一项重要的技术，它可以将地球上的经纬度坐标转换为更适合工程应用的平面坐标，进而实现地图的制作和测绘数据的处理。
在本文中，我们将探讨不同的投影坐标转换方法，包括经纬度坐标、笛卡尔坐标、高斯平面直角坐标以及UTM坐标，分析它们的原理、优缺点以及适用范围。
一、经纬度坐标经纬度坐标是最常见的地理坐标体系，以地球的纬度和经度来表示一个位置。
经度表示东西方向，纬度表示南北方向。
经纬度坐标可以直接用来表示地球上的位置，但对于工程测绘等应用来说，其不够精确，且计算复杂。
因此，在实际应用中，我们通常需要将经纬度坐标转换为其他坐标系。
二、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是一个三维坐标系，由三个轴（x、y、z）和原点组成。
在地球测量中，我们通常将笛卡尔坐标系的z轴定义为地球的旋转轴，原点设置在地球的质心。
通过将经纬度转换为笛卡尔坐标系，可以方便地进行空间分析和计算。
但笛卡尔坐标系并不适用于大范围的地图制作，因为它不能考虑地球的曲率。
三、高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系是一种平面坐标系，由x轴和y轴组成，其中x轴是东方向，y轴是北方向。
这种坐标系的特点是在局部范围内能够满足较高精度的测量要求。
高斯投影法是一种常见的转换方法，它通过将地球表面切割为小区域，然后在每个小区域内进行投影转换，实现从地理坐标到平面坐标的转换。
高斯投影法的优点是精度高，适用于小范围测量。
但在大范围的地图制作中，由于地球表面的曲率不同，高斯平面直角坐标系会出现较大的误差。
四、UTM坐标系UTM（通用横轴墨卡托投影）坐标系是一种世界范围内通用的投影坐标系统，在地图制作和测绘中被广泛采用。
UTM坐标系将地球划分为60个纵向带和6个横向带，每个带的中央经线为投影中心线。
利用UTM投影可以将经纬度坐标转换为平面坐标，在实际应用中具有较高的精度和准确性。
UTM坐标系适用于大范围的地图制作和测量，常用于军事、交通、测绘和GIS等领域。
测量学基础知识
特点：（1）高斯投影是横切椭圆柱正形投影（2）中央子午线长度不变形，离开中央子午线越远变形越大，并凹向中央子午线。
分带投影法：控制的方法是将投影区域限制在靠近中央子午线两侧狭长地带。
1、大地水准面：水准面有无穷多个，并且互不相交，也不相互平行，其中与静止的平均海水面相重合的闭合水准面。
大地水准面所包含的形体称为大地体。
铅垂线——测量工作的基准线
大地水准面——测量工作的基准面
法线——测量内业计算的基准线
参考椭球面——测量业内的基准面
2、高斯投影和高斯平面直角坐标系
方法原理：高斯投影（横切椭圆柱正形投影、保角投影）
分带投影：将整个地球划分为若干小区域进行投影。
地图投影：旋转椭球面是一个不可直接展开的曲面，其变形是不可避免的，但变形的大小是可以控制的，故将椭圆面上的元素按一定条件投影到平面。
等角投影又称正形投影，经过投影后，原椭圆面上的微分图形与平面上的图形保持相似。
h（AB）=H（B）—H(A)=H(B)'—H（A）'
高程零点：取海水的平均高度。
高程基准面：通过该点的大地水准面。
4、测量工作的原则（1）布局上从整体到布局（2）次序上先控制后碎部（3）精度上由高级道低级
原因：（1）防止误差的逐渐传递，累积增大到不能允许的程度（2）便于分工合作，提高工作效率（3）保证测绘成果的可靠性。
高斯平面坐标系与数学上的笛卡儿平面坐标系的不同：
（1）高斯坐标系中纵坐标为x，正向指北。横轴为y，正向指东。而迪卡儿坐标系中纵坐标是y，横坐标为x，正好相反。
高斯平面直角坐标系
高斯投影方法2
投影
剪开
展平
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影
之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向 中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴， 离对称轴越远，其长度变形也就越大；
(2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为 凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴；
方法： （1）先将自然值的横坐 标Y加上500000米； （2）再在新的横坐标Y 之前标以2位数的带号。
2．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带、 1.5 °带的划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
高斯—克吕格平面直角坐标系
分带投影后，各带的中央子午线都和赤道垂 直，以中央子午线作为纵坐标轴x，赤道为横坐 标轴y，其交点O为坐标原点。
这样，在每个投影带内，便构成了一个既和 地理坐标有直接关系、又有各自独立的平面直角 坐标系，称为高斯-克吕格坐标系
(3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系， 即投影后无角度变形；
(4) 中央子午线和赤道的投影相互垂直。
1．6°带的划分
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长 度变形愈大的缺点，从经度0°开始，自西向 东将整个地球分成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央则无论3°或6° 带，每带的纵坐标轴要西移500 km，即在每带的横 坐标上加500 km。
为了指明该点属于 何带，还规定在横坐标y 值之前，要写上带号。 未加500km和带号的横坐 标值称为自然值，加上 500km和带号的横坐标值 称为通用值。
自然值：Y1 = +36210.140m, Y2 = -41613.070m 通用值：Y1=38 536210.140m,Y2=38 458386.930m 自然值和通用值之间：X不加500km，也不加带号。
高斯投影高斯坐标系与大地坐标系的关系-资料
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection 3、分带的方法
三度带：在六度带基础上，其奇数带中央子午线 与六度带中央子午线一致；偶数带与六度带中央分 带子午线重合。
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
Gauss — Kruger projection
一、高斯-克吕格投影概念 高斯投影三条件 正形条件 中央子午线投影为一直线 中央子午线投影后长度不变
x F1(B, L)
y
F2
(B,
L)
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
二、高斯投影的分带（belt dispartion ） 1、为什么要分带
x y
F1(B, L) F2(B, L)
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
中央子午线
dq M dB r dl dL,(l L L0)
N
l
L0 P(B, L)
如何求f1，f2的
具体形式？
S 赤道
一、高斯投影正算公式
以弧度为单位
1、公式推导
的最大量级？
推导思路：级数展开，应
x（中央子午线 L 0 )
用高斯投影三个条件，待 定系数法求解。
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
近似值（q，0）
l LL0
y
P(B, L)
x
xm0m 1lm2l2m3l3m4l4..... o yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
（赤道) y
一、高斯投影正算公式 n1ddm 0 q,n21 2d dm 1q,n31 3ddm 2 q,n41 4ddm 3 q,
高斯投影原理
按照6º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6º N－3º （N为6º 带的带号） 例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º × 20－3º ＝117 º 按照3º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3º n （n为3º 带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º × 120＝360 º
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
赤道 子午线 O y 平行圈 x
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线， 投影后为凸向赤道的曲线， 并以赤道为对称轴。 ⑤ 经线与纬线投影后仍然 平行圈 保持正交。 赤道 ⑥ 所有长度变形的线段， 子午线 其长度变形比均大于l。 ⑦ 离中央子午线愈远，长 中央子午线 度变形愈大。
x
O
y
整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬 度为0°经差为±3°时，长度变形为1.38‰ ，面积变形为2.7‰)
一定经差分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S
高斯投影必须满足：
高斯投影平面
1．高斯投影为正形投影，
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述课件
适用于小范围投影，保持地图的形状和方向准确，常用于地形图、工程图等需要 保持地图方向准确的领域。
PART 03
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用
在地图制作中的应用
地图投影转换
高斯投影是地图制作中常用的投影方 法，它可以将地理坐标转换为平面直 角坐标，使得地图上的图形和距离更 加准确。
地理信息整合
在工程测量和建筑中的应用
施工放样与监测
在工程建设中，高斯平面直角坐标系用于施工放样和施工过程中的监测，确保工程按照设计要求进行 。
大型设施布局
对于大型设施的布局，如机场、港口等，高斯平面直角坐标系提供了准确的定位方法，有助于设施的 合理布局和规划。
PART 04
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的优缺点
缺点
变形
由于地球是一个近似于椭球的球体，因此投影过程中难免 会产生一定的变形，尤其是在远离中央经线的地方，变形 更为明显。
中央经线附近区域扩大
在中央经线附近区域，投影导致的面积扩大现象较为显著 ，可能会影响地图的精度。
计算参数复杂
高斯投影与高斯平面直角坐标系需要使用一系列复杂的计 算参数，如地球椭球体长半轴、地球赤道半径、地球极半 径等，增加了使用难度。
PART 05
高斯投影与高斯平面直角 坐标系的发展趋势和未来
展望
应用领域的拓展
随着地理信息科学和工程领域的发展，高斯投影与高斯平面直角 坐标系的应用越来越广泛，不仅局限于传统的地图制作和地理数 据分析，还涉及到导航系统、城市规划、环境监测等多个领域。
投影方式的优化
为了更好地满足各种应用需求，研究者们不断探索和改进高斯投影的算法和参数设置，以提高投影的精度和效率。同时，也出 现了多种新型的高斯投影方式，以适应不同地区的地理特点和数据需求。
高斯投影坐标系的使用方法与转换技巧
高斯投影坐标系的使用方法与转换技巧【引言】高斯投影坐标系作为一种重要的地理坐标系统，在测绘、导航、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
本文将介绍高斯投影坐标系的使用方法和转换技巧，帮助读者更好地理解和应用该坐标系统。
【1. 高斯投影坐标系简介】高斯投影坐标系是一种平面直角坐标系，由高斯投影公式和具体的投影带参数确定。
其优点在于较小的形变和高精度的计算结果。
在理论上，地球表面上的任意一点都可以通过高斯投影公式计算得到其在高斯投影平面坐标系中的坐标值。
【2. 高斯投影坐标系的使用方法】使用高斯投影坐标系，首先需要确定所选择的投影带及其对应的参数。
投影带可以根据地理位置的经度范围来确定，常见的有3度带和6度带。
确定投影带后，即可利用高斯投影公式将地理坐标转换为高斯投影坐标。
具体方法是根据地理坐标的经纬度值，使用高斯投影公式计算出对应的x和y坐标值。
【3. 高斯投影坐标系的转换技巧】在实际应用中，有时需要进行高斯投影坐标系与其他坐标系（如经纬度坐标系、UTM坐标系）之间的转换。
以下是一些常用的高斯投影坐标系转换技巧：(1) 高斯投影坐标系与经纬度坐标系转换：可以利用高斯投影反算公式，将高斯投影坐标转换为经纬度坐标。
反之，也可以利用正算公式，将经纬度坐标转换为高斯投影坐标。
(2) 高斯投影坐标系与UTM坐标系转换：UTM坐标系是一种基于横轴墨卡托投影的坐标系统，与高斯投影坐标系在数学上有一定相关性。
转换时，可以先将高斯投影坐标转换为经纬度坐标，再将经纬度坐标转换为UTM坐标。
(3) 高斯投影坐标系之间的转换：不同投影带之间的高斯投影坐标系转换主要涉及投影带参数的调整。
一般来说，可以利用投影带参数的差异，通过简单的数学运算实现高斯投影坐标系的转换。
【4. 高斯投影坐标系的应用案例】高斯投影坐标系的应用非常广泛。
以下是一些典型的应用案例：(1) 测绘工程：高斯投影坐标系可用于测绘工程中的地图绘制、边界划定、地理信息采集等方面。
(整理)第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0°或180 °,得经线方向长度比:当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:由三角公式,得:显然,当+ 1 = 90°或270 °时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:显然,当+ 1 = 90°, + 1 = 270 °或+ 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为,投影后的面积为ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.3. 变形主方向有什么性质4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是x 轴,赤道的投影是y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.为了避免y 坐标出现负值,其名义坐标加上500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点Xf = x,该点称为底点,用子午弧长反算公式求得底点的纬度Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点进行级数展开,得:3.3.2 高斯投影反算公式相应的各阶导数为:3.3.2 高斯投影反算公式代入级数展开式,虚实分开得:43.3.2 高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中:53.3.2 高斯投影反算公式由式,得:4代入式,得:53.3.2 高斯投影反算公式将各系数代入上式,得纬度B 的反算公式:3.3.2 高斯投影反算公式为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其计算步骤如下:1. 根据高斯投影坐标x, y,反算得纬度B和经度差l;2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度L = L0 +l;3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标x',y'.习题1. 高斯投影的条件是什么2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带和6 带带号;2). 该点的3 带高斯投影坐标并反算检核;§3.4 平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变,求微分得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式由此可见, 是经差的奇函数,在x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负. 子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差l,其余点上均小于经差l .3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.平行圈L =常数L+dl = 常数P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:沿y坐标的微分,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式,得:由高斯投影反算公式求出偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.2 长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式,得:将前面的偏导数代入上式,得:开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:3.4.2 长度比计算公式为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的y 坐标正算公式,得:对上式求平方和四次方,得:3.4.2 长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式,得:顾及:代入上式,得:可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角3.5.1 高斯投影的距离改化椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:其中:3.5.1 高斯投影的距离改化此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为:用辛卜生公式数值积分得:3.5.1 高斯投影的距离改化将长度比公式代入上式,得:3.5.1 高斯投影的距离改化距离改化S可表示为:其中:在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化公式可进一步简化为:3.5.2 高斯投影方向改化1,高斯投影曲线的形状高斯投影曲线的形状向x 轴弯曲,并向两极收敛.3.5.2 高斯投影方向改化2,高斯投影方向改化保角投影前后角度相同,即:3.5.2 高斯投影方向改化将球面角超计算公式代入上式,得:因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下: 上式具有0.1 的计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式A12T12习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午线收敛角;2). 该点的3 带高斯投影的长度比.2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 my3 = 40446822.368m起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.001~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65将上述边长和方向归算到高斯平面上.312§3.6 通用横轴墨卡托投影3.6.1 墨卡托投影墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线,投影后不变形.特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.3.6.2 通用横轴墨卡托投影简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下:3.6.2 通用横轴墨卡托投影长度比和子午线收敛角计算公式.3.6.2 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影的反算步骤:1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求得,而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面(投影面), 再选定过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在平面上由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标.§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球地方独立坐标系的参数:1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经度,或采用整分或整度的经度.3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区域的边长归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;2). 该点UTM投影的长度变形.。
高斯平面直角坐标系
则长度比公式简化为:
x 2 y 2 q q m2 r2 x 2 y 2 l l r2
E G m N cos B N cos B
柯西__黎曼条件的几何意义
AB AC cos AB AC BB C C sin AB CC
AB? AC? AB’? BB’? CC’? AC’? 同样推出柯西__黎曼条件，同时得到 子午线收敛角公式
y x tan B L x y B L
3 f
n2
tf 2 N 2 cos B f f t f 5 6t 2 2 4 4 f f f 24N 4 cos B f f
n4
5 28t 2 24t 4 6 2 8 2 t 2 f f f f f t f 61 180t 120t 46 48 t
3 5
h
X
P x, y
其中mi是B的函数 对l和q求导
x
O
y
x l x q y l y q
2m2l 4m4l 3 dm0 dm2 2 dm4 4 l l dq dq dq m1 3m3l 2 5m5l 4 dm3 3 dm5 5 dm1 l l l dq dq dq
其各阶导数为：
dX N cos B, dq
d2X d dX dB 2 dq dq N sin B cos B dq dB
d3X N cos3 B(t 2 1 2 ) dq3 d4X N sin B cos3 B(5 t 2 9 2 4 4 ) dq4 d5X N cos5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 ) dq5 d6X N sin B cos5 B(61 58t 2 t 4 270 2 330t 2 2 ) 6 dq
高斯投影与高斯平面直角坐标系概述
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式 •长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。
•投影平面上微分长度： •椭球面上微分长度：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
3.1.2 地图投影变形及其表述
•上式中 •q为等量纬度，计算公式为
高斯投影与高斯平面直 角坐标系概述
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月9日星期四
§3.1 地图投影概述
•3.1.1 地图投影的意义与实现
•由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关 系
•因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
•顾及： •解得最大变形方向为：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
3.1.2 地图投影变形及其表述
•两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：
• 显然，当 +1 = 90°、 + 1 = 270 °或 +1 = 270° 、 + 1 = 90 °时，角度变形最大，最大角度变形可表示为 ：
•上式中 •q为等量纬度，计算公式为
• 引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL 所对应的椭球面上的弧长相同。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
3.1.2 地图投影变形及其表述
•引入等量纬度后，投影公式为：
•其中：l = L - L0 •求微分，得：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
•
3.1.2 地图投影变形及其表述
3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式
第三单元 高斯投影及坐标
x’ 自然坐标： xa= 523 657.59m ya= -26 138.23m IV
x
N •A O
I
y II S
III
（二）坐标的表示方法
x’ 自然坐标： xa= 523 657.59m ya= -26 138.23m IV
500km
x
N •A O
I
y II S
III
（二）坐标的表示方法
加上500km后点的 坐标为 横 纵 473 861.77m 523 657.59m
S
（二）坐标的表示方 法
x′ • A
o
y′
纵坐标：523657.59m 横坐标：473 861.77m
三、高斯平面直角坐标系
500km
x’ 纵坐标： 523657.59m 横坐标： •A O y (y′)
473 861.77m
500km
N
I
y II S
（二）坐标的表示方法
x’ xa= 523 657.59m ya= -26 138.23m •A O III S II y IV x
500km
N
I
（二）坐标的表示方法
x’ xa= 523 657.59m ya= -26 138.23m •A O III IV x
500km
带号 ↓ 通用坐标 y′a =18 473 861.77m x′a = 523 657.59m 第18带
（二）坐标的表示方法
通用坐标与自然坐标的关系： x ′= x y ′= 带号 y + 500km 式中：x ，y ——自然坐标
x ′， y′ ——通用坐标
第三单元
高斯投影及坐标
一、地图投影的意义 二、高斯投影 三、高斯平面直角坐标系
[整理](第8章)高斯平面直角坐标.
高斯平面直角坐标.](https://img.taocdn.com/s3/m/e6cac556376baf1ffc4fad71.png)
第八章高斯平面直角坐标§1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。
因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。
若展开成平面，必产生变形。
投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。
其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。
（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。
为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。
方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。
且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。
二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比 cc b b a a md d d d d d '='='=故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。
即投影后保持图形相似。
例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：m obb o oa a o =='='但上述特点只在微分范围内成立。
在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。
高斯投影原理分解
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
由高斯-克吕格投影的直角坐标基本公式(3—2)
建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标(λ,φ)之间的函数关系：
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
注：X轴向北为正，
赤道 O y
y轴向东为正。
中央子午线
由于我国的位于
北半球，东西横跨12
个6º 带，各带又独自
构成直角坐标系。ຫໍສະໝຸດ 赤 道故：X值均为正，
世界地图
而Y值则有正有负。
x p2 232836 .180 m .180m x xp 232836 yp 272440 .280 m y （带号） 227559 .720 m
1)、高斯投影的概念
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数 学家高斯(Gauss，1777~1855)提出，后经德 国大地测量学家克吕格(Kruger，1857～1923)
加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投
影”，简称“高斯投影”。在有些资料中也
称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM)
高斯投影及高斯平面直角坐标系
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
方向变形与角度变形
sin(1
)
b b
a a
sin(1
)
若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：
3.1.2
地图投影变形及其表 umax
1'
'
arc sin b b
a a
顾及：
述 tg1' tg(90 ') ctg '
2、主方向和变形椭圆
主方向：两个在椭球面上
正交的方向投影到平面上
ds2 后向m仍为L2.然主( N正方c交向o，。s则Bd这q两)个2 方
且：
性2质m：B主m方L N向2投c影o后s2具B有cosdqdl
最m大B2和.(最N小c尺os度B比d。l ) 2
对照第一基本形式，得：
E mL2 (N cosB)2 G mB2 (N cosB)2
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
3.1.2 地图投影变形及其表述
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有： 显然，当 + 1 = 90°或 270 °时，方向变形最大
tg1
y1 x1
by ax
b tg
a
由三角公式，tg得：1
tg
N
cos Bdl将 MdB
dl dq
上式，得：
代入
其表述
m2
E
cos2
A
2F cos Asin N 2 cos2 B
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2mB mL N 2 cos2 B cosdqdl
2 mB .( N cos Bdl) 2
dS
A
N cos Bdq
ds
N cos Bdqm L
N cos Bdl
对照第一基本形式，得：
2 2 E mL ( N cos B) 2 G mB ( N cos B) 2
2 2 2 2 2
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
N cos BdlmB
且：
F mB mL N 2 cos2 B cos
cos
F EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
2 2 m 2 mL cos2 A mB mL cos sin 2 A mB sin 2 A
d 2 2 2 若使： (m ) mL sin 2 A0 2mB mL cos cos 2 A0 mB sin 2 A0 0 dA
对应的椭球面上的弧长相同。
4
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
根据微分几何，其第一基本形式为：
ds2 Edq2 2Fdqdl Gdl2
其中：
x 2 y 2 E ( ) ( ) q q x x y y F ( )( ) ( )( ) q l q l x 2 y 2 G ( ) ( ) l l
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
Байду номын сангаас
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标 系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
xF 1 ( B, L ) y F2 ( B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式
长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。
ds m dS
投影平面上微分长度： 椭球面上微分长度：
ds dx dy
2 2
2 2 2
2
M 2 dB2 2 dS M dB N cos BdL N cos B( 2 dL ) 2 N cos B N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
2
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
E 当A=0°或180 °，得经线方向长度比： mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，
则长度比可表示为：
E G m N cos B N cos B
使长度比为极值的方向：
2mB mL cos tg 2 A0 2 2 mB mL
1
2
由三角公式得：
cos 2 A0 1 tg 2 A0
2 2 mL mB 2 2 2 2 2 ( mB mL ) 4 mL mB sin 2
sin 2 A0 1 cos2 2 A0
则，长度比公式为：
2 2 2 ds Edq 2 Fdqdl Gdl m2 2 dS N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
N cos Bdl dl 将 tgA 代入上式，得： MdB dq
E cos2 A 2 F cos A sin A G sin 2 A m N 2 cos2 B
2 m0
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 a2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm m 1 ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
对应的椭球面上的弧长相同。
6
3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
x f1 (q, l ) y f 2 (q, l )
其中：l = L - L0 求微分，得：
x dx dq q y dy dq q x dl l y dl l
7
3.1.2 地图投影变形及其表述
2mL mB cos
2 2 2 2 2 (mB mL ) 4mL mB sin 2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
2 2 2 2 mB mL mL mB m cos 2 A0 mB mL cos sin 2 A0 2 2 2 0
将三角展开式代入得：