高斯投影及高斯平面直角坐标系解析

2 m0
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 a2
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式
长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。
ds m dS
投影平面上微分长度： 椭球面上微分长度：
ds dx dy
2 2
2 2 2
2
M 2 dB2 2 dS M dB N cos BdL N cos B( 2 dL ) 2 N cos B N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
根据微分几何，其第一基本形式为：
ds2 Edq2 2Fdqdl Gdl2
其中：
x 2 y 2 E ( ) ( ) q q x x y y F ( )( ) ( )( ) q l q l x 2 y 2 G ( ) ( ) l l
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
2 ds2 mL .( N cos Bdq) 2
2mB mL N 2 cos2 B cosdqdl
2 mB .( N cos Bdl) 2
dS
A
N cos Bdq
ds

N cos Bdqm L
N cos Bdl
对照第一基本形式，得：
2 2 E mL ( N cos B) 2 G mB ( N cos B) 2
2 2 2 2 2
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
Baidu Nhomakorabea
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
则，长度比公式为：
2 2 2 ds Edq 2 Fdqdl Gdl m2 2 dS N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
N cos Bdl dl 将 tgA 代入上式，得： MdB dq
E cos2 A 2 F cos A sin A G sin 2 A m N 2 cos2 B
2mL mB cos
2 2 2 2 2 (mB mL ) 4mL mB sin 2
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3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
2 2 2 2 mB mL mL mB m cos 2 A0 mB mL cos sin 2 A0 2 2 2 0
将三角展开式代入得：
对应的椭球面上的弧长相同。
4
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
MdB dq N cos B
q为等量纬度，计算公式为
q
B
0
MdB B e (1 e sin B) dB ln tg ( ) . N cos B 4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所
第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标 系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
xF 1 ( B, L ) y F2 ( B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
N cos BdlmB
且：
F mB mL N 2 cos2 B cos
cos
F EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
2 2 m 2 mL cos2 A mB mL cos sin 2 A mB sin 2 A
d 2 2 2 若使： (m ) mL sin 2 A0 2mB mL cos cos 2 A0 mB sin 2 A0 0 dA
对应的椭球面上的弧长相同。
6
3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
x f1 (q, l ) y f 2 (q, l )
其中：l = L - L0 求微分，得：
x dx dq q y dy dq q x dl l y dl l
7
3.1.2 地图投影变形及其表述
2
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
E 当A=0°或180 °，得经线方向长度比： mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，
则长度比可表示为：
E G m N cos B N cos B
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3.1.2 地图投影变形及其表述
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm m 1 ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
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3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
使长度比为极值的方向：
2mB mL cos tg 2 A0 2 2 mB mL
1
2
由三角公式得：
cos 2 A0 1 tg 2 A0
2 2 mL mB 2 2 2 2 2 ( mB mL ) 4 mL mB sin 2
sin 2 A0 1 cos2 2 A0