中考数学二次函数与四边形综合专题

二次函数与四边形综合专题

二次函数与四边形的形状

例1.如图，抛物线y _2x-3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线I 与抛物线交于 A C 两 点，其中C 点的横坐标为2.

(1) 求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；

(2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值； (3)

点G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ,使A 、C F 、G 这

样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由.

得y=-3 ,• C (2, -3 )•••直线AC 的函数解析式是y=-x-1

(2) 设P 点的横坐标为x (-1 < x w 2)贝U P 、E 的坐标分别为：

P (x , -x-1 ) , E ( (x,x 2 -2x -3)

••• P 点在 E 点的上方， PE^^x_1)_(x 2 _2x_3) - _x 2 x 2

1

9 •••当x 时，PE 的最大值=—

2

4

(3) 存在 4 个这样的点 F ,分别是日(1,0),冃(—3,0),F 3(4+J7,0),F 4(4—J7,0)

练习1.如图，对称轴为直线 x = 7的抛物线经过点A ( 6, 0)和B (0, 4).

(1) 求抛物线解析式及顶点坐标； (2)

设点E( x , y )是抛物线上一动点，且位于

第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形. 求 平行四边形 OEAF 勺面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量

x 的取值范围；

① 当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？

解: (1)令 y=0,解得 X i - -1 或 X 2 =3 ••• A(-1 , 0) B( 3, 0);将 C 点的横坐标

2

x=2 代入

y = x - 2x -3

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

练习1. 解:( “由抛物线的对称轴是x=2，可设解析式为y -(-7)2 k •把AB 两点坐标代入上

因为抛物线与X 轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0)，所以，自变量 X 的取值范围是1 v X v 6. ① 根据题意，当S = 24时，即/(x 一7)2 +25 =24 •化简，得(^ _Z )^2 解之，得X t=3,X 2=4.故所

2

2

4'

求的点E 有两个，分别为 E 1 ( 3,— 4),巳(4, — 4). 点E 1 (3, — 4)满足OE = AE ,所以L OEAF 是菱形； 点E 2 (4, — 4)不满足OE = AE ，所以L OEAF 不是菱形.

② 当OAL EF,且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为 (3,— 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点

E ,使L OEA

F 为正方形.

练习2.如图，已知与x 轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线h 的顶点为C(3,4)，抛物线*与h 关于x 轴对 称，顶点为C .

(1) 求抛物线*的函数关系式；

(2) 已知原点O ,定点D(0,4) , J 上的点P 与h 上的点P •始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时， 以点D ,

O , P , P ■为顶点的四边形是平行四边形？

a(6 _7)2 - k =0,

[72

a(0

电)+k =4.

解之，得

一_25

故抛物线解析式为y =2 & _!)2 _竺，顶点为(7 _25)

3

2

6

2'

6

(2)v 点E(x, y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

y =2(x 一7

)2 3 2

—y>0, — y 表示点E 到OA 的距离.

•••OA 是L OEAF 的对角线，

1

7

二 s =2S °AE =2、

> OA y - (y - -4(

)2 25 .

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(3)在J上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 练习3.如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A(~4,0) , B(-2,0) , E(0,8).

(1)求抛物线C i关于原点对称的抛物线C2的解析式；

(2)设抛物线C i的顶点为M ,抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N , 四边形

MDNA的面积为S.若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；

与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止•求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

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二•二次函数与四边形的面积

2

例1.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c(a丰0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x

-3-212

y 5

2

-4

5

20

(1)求A、B、C三点的坐标；

⑵若点D的坐标为(m, 0)，矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

⑶当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=k・DF, 若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

图10