面积与微积分基本定理

P.6-26 圖6.5
範例 1 求定積分值
求定積分 2 xdx。
0
2
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第六章 積分與其應用
P.6-26
範例 1 求定積分值 （解）
此定積分代表圖形 f(x) ＝ 2x、x 軸與直線 x ＝ 2 所圍成區域的面積，如圖 6.6 所示。這區域的形 狀為三角形，高為 4 且底為 2。

A(b) f ( x)dx f (b) F (a)
a
b
由上面的方程式可知，若能找到 f 的反導數，即 b 可利用該反導數來計算定積分 a f ( x)dx，此結果 稱為微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)。
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第六章 積分與其應用
P.6-27
2
0
1 2 xdx (底)(高) 2 1 ( 2)( 4) 4 2
三角形的面積公式 化簡
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第六章 積分與其應用
P.6-26
範例 1 求定積分值 （解）
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第六章 積分與其應用
P.6-26 圖6.6
檢查站 1
以幾何的面積公式來求定積分 0 4 xdx，並以簡圖 來驗證答案。
在幾何學中，面積為定義某個閉區間尺寸的數 字，簡單的形狀，像是矩形、三角形和圓形， 都有面積公式。
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第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
本節將學習以微積分來計算不規則形狀的面積 ，如圖 6.5 中區域R 的面積
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第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
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第六章 積分與其應用
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第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
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第六章 積分與其應用
P.6-27 圖6.8
微積分基本定理
故 f (x) = A (x) 和 A(x) = F (x) + C，其中 F (x) = f (x) 。因為 A (a) = 0，可得 C =－ F (a)，所以 A (x) = F (x)－F (a)，即
P.6-27
微積分基本定理
依圖 6.8，可建立下列的不等式。
f (m)x A f ( M )x 參見圖6.8 A f (m)x f ( M )x 每項除以x x A lim f (m) lim lim f ( M ) 每項取極限 x 0 x 0 x x 0 f ( x ) A( x ) f ( x) A( x)導數的定義
表示一個函數族，每個成員都是 f 的反導數，然 而定積分

則是一個數。
b
a
f ( x)dx
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第六章 積分與其應用
P.6-28
範例 2 以微積分基本定理求面積
求 x 軸與函數圖形 f(x) ＝ x2 － 1，1 ≤ x ≤ 2 所圍 成區域的面積。
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第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
3
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第六章 積分與其應用
P.6-26
微積分基本定理
函數 A(x) 為圖 6.7 中陰影區域的面積。欲知 A 和 f 的關係，可令 x 的增加量為 Δx，則面積的 增加量為 ΔA，再令 f(m) 和 f(M) 分別代表 f 在閉 區間 [x, x ＋ Δx] 的極小值與極大值。
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第六章 積分與其應用

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F 為 f 的反導數。請注意，定積分不一定 代表面積，它可以是負數、零或正數。
第六章 積分與其應用 P.6-28
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微積分基本定理
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第六章 積分與其應用
P.6-28
學習提示 請確實了解不定積分與定積分的差異。不定積 分
f ( x)dx
微積分基本定理
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第六章 積分與其應用
P.6-27
學習提示 微積分基本定理的介紹有兩種方式：一種以面 積函數，如上所示； 另一種則利用加總的程序 ，參見附錄。
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第六章 積分與其應用
P.6-27
微積分基本定理
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第六章 積分與其應用
P.6-28
微積分基本定理
在微積分基本定理的推導過程中，假設 f 在閉區 間 [a, b] 為非負值，則定積分就是面積。如今， 這個定理可放寬定義，使得函數f 在閉區間 [a, b] 可部分或全部為負值。更具體的說，若 f 為 在閉區間 [a, b] 的任一連續函數，則從 a 到 b 的 定積分可記為
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第六章 積分與其應用
P.6-29
學習提示 在求定積分時，很容易就將正負號弄錯，建議 將反導數的積分上下限標示在不同的括號中， 如上例所示。
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第六章 積分與其應用
Hale Waihona Puke Baidu
P.6-29
範例 3 求定積分
求定積分 (4t 1)2 dt，並畫出此積分所代表面 0 積的區域。
1
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2
23 13 2 1 3 3 4 3
所以，該區域的面積為
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第六章 積分與其應用
範例 2 以微積分基本定理求面積（解）
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第六章 積分與其應用
P.6-29 圖6.9
檢查站 2
求 x 軸與函數圖形f(x) ＝ x2 ＋ 1，2 ≤ x ≤ 3所圍 成區域的面積。
6.4 面積與微積分基本定理
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6.4 面積與微積分基本定理
學習目標 求定積分值。 利用微積分基本定理求定積分值。 利用定積分求解邊際分析的問題。 求函數在閉區間的平均值。 利用偶函數與奇函數的性質求定積分。 求年金。
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第六章 積分與其應用
P.6-26
面積與定積分
如圖 6.9 所示，在區間 1 ≤ x ≤ 2，f(x) ≥ 0。故可 用定積分來表示該區域的面積，再用微積分基 本定理即可求得此面積。
面積 ( x 2 1)dx
1 2
定積分的定義 求反導數 應用微積分基本定理 化簡
4 3 平方單位。
P.6-29
x3 x 3 1
第六章 積分與其應用
P.6-29
範例 3 求定積分 （解）
1 1 2 (4 t 1) dt (4 t 1) dt 0 0 4
1 2
同時乘除以4 求反導數 應用微積分基本定理 化簡
1 (4t 1) 4 3 0