1多维随机变量及其联合分布

3.1多维随机变量及其分布教学目标：本节讲解的是多维随机变量及其分布.通过本节的教学，要求学生正确理解多维随机变量及其分布，掌握多维随机变量及其分布的计算方法，运用定义和性质解决有关问题.教学重点：多维随机变量及其分布的定义与性质. 教学难点：多维随机变量及其分布的证明与计算. 二维随机变量定义1 设E 是随机试验，则由定义在E 的样板空间Ω上的随机变量X 与Y 构成的有序对),(Y X 称为二维随机变量（或二维随机向量）。

定义2 对任意实数y x ,，二元函数},{)}(){(),(y Y x X P y Y x X P y x F ≤≤≡≤≤=称为二维随机变量),(Y X 的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。

若把二维随机变量),(Y X 看成平面上随机点),(Y X 的坐标，则分布函数),(y x F 就表示随机点落在以点),(y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。

),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 分布函数具有以下基本性质： （1）1),(0≤≤y x F ，且对任意固定的y ，0),(=-∞y F ， 对任意固定的x ，0),(=-∞x F ， 0),(=-∞-∞F ，1),(=∞∞F 。

（2）),(y x F 分别是x 和y 的不减函数。

（3）),(),0(y x F y x F =+，),()0,(y x F y x F =+，即),(y x F 关于x 或y 均右连续。

（4）若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F如果二维随机变量),(Y X 可能取的值是有限对或可列无限对，则称),(Y X 是二维离散型随机变量。

),(Y X 的分布律或X 和Y 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{， ,2,1,=j i 。

其中ijp 满足（1）;0≥ij p（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp。

X 和Y 的联合分布律也可用表格表示：ij j j j i i i p p p y p p p y p p p y x x x X Y 2122212212111121\X 和Y 的联合分布函数为∑∑≤≤=x x yy iji j py x F ),(。

【例1】吴书p.66.例1。

一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品．每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续抽取两次．定义随机变量X 和Y 如下：试求),(Y X 的分布律和分布函数。

解10X ⎧=⎨⎩，第一次取到次品，第一次取到正品10Y ⎧=⎨⎩，第二次取到次品，第二次取到正品⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=1,1110,1041,104.010,101.00,,00),(y x y x y x y x y or x y x F对二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F ，如果存在非负函数),(y x f ，使对任意的y x ,有⎰⎰∞-∞-=yxdudvv u f y x F ),(),(则称),(Y X 是二维连续型随机变量，),(y x f 称为),(Y X 的概率密度，或称为X 和Y 的联合概率密度。

),(y x f 具有性质（1）0),(≥y x f 。

（2）1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f 。

（3）设G 是平面xOy 上的区域，则),(Y X 落在G 内的概率为⎰⎰=∈Gdxdyy x f G Y X P ),(}),{(。

（4）若),(y x f 在点),(y x 连续，则有),(),(2y x f y x y x F =∂∂∂。

【例2】吴书p.67.例2。

设G 是平面上的一个有界区域，其面积为A 。

二维随机变量),(Y X 只在G 中取值，并且取G 中的每一个点都是“等可能的”，则),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=0),(1),(Gy x Ay x f称其服从G 上的均匀分布。

【例3】吴书p.67.例3（盛书p.62.例2）。

设二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎩⎨⎧>>=+-0,02),()2(y x e y x f y x（1）求分布函数),(y x F ；（2）求概率}{Y X P ≤ 边缘分布二维随机变量),(Y X 作为一个整体，具有分布函数),(y x F 。

而随机变量X 和Y 各自的分布函数，分别记为)(),(y F x F Y X ，依次称为二维随机变量),(Y X 关于X和关于Y 的边缘分布函数。

边缘分布函数)(),(y F x F Y X 可由分布函数),(y x F 确定。

),(},{}{)(+∞=+∞<≤=≤=x F Y x X P x X P x F X 同理 ),()(y F y F Y +∞= 其中),(lim ),(),,(lim ),(y x F y F y x F x F x y +∞→+∞→=+∞=+∞。

对于离散型随机变量，由∑∑≤∞==+∞=x x j ijX i p x F x F 1),()(知X 的分布律为∙∞====∑i j ij i p p x X P 1}{， ,2,1=i同理Y 的分布律为ji ij j p p y Y P ∙∞====∑1}{， ,2,1=j分别称∙i p 和j p∙为二维离散型随机变量),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布律。

对于连续型随机变量，由dxdy y x f x F x F x X ⎰⎰∞-∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞=),(),()(知X 的概率密度为⎰∞∞-=dyy x f x f X ),()(同理Y 的概率密度为⎰∞∞-=dxy x f y f Y ),()(分别称)(x f X 和)(y f Y 为二维连续型随机变量),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

【例1】设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为81412241811321\ba Y X且21)1(==X P ，求（1）b a ,的值；（2）关于X 和关于Y 的边缘分布律。

解 （1）由21)1(==X P ，即2124181=++a ，得31=a 。

再由1814124181=+++++b a ，得2411=+b a ，最后得81=b 。

（2）联合分布律为814181224131811321\Y X关于X 和关于Y 的边缘分布律为212121PX 和6112741321PY【例2】吴书p.70.例1。

把两封信随机投入已编好号的3个邮筒内，设X 、Y 分别表示投入第1，2个邮筒内信的数目，求),(Y X 的分布律及边缘分布律。

【例3】吴书p.70.例2。

把2个红球和2个白球随机投入已编好号的3个盒子内，设X 表示落入第1个盒子内红球的数目，Y 表示落入第2个盒子内白球的数目，求),(Y X 的分布律及边缘分布律。

【例4】吴书p.71.例3（盛书p.62.例2）。

设二维随机变量在区域},10|),{(2x y x x y x G ≤≤≤≤=上服从均匀分布，求边缘概率密度)(x f X 和)(y f Y 。

相互独立的随机变量定义 设),(y x F 及)(),(y F x F Y X 分别是二维随机变量),(Y X 的分布函数及边缘分布函数。

若对所有y x ,有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤即 )()(),(y F x F y x F Y X ⋅= 则称随机变量X 与Y 是相互独立的。

一般由边缘分布不能确定联合分布，但当随机变量具有独立性时，联合分布就可由边缘分布确定。

当),(Y X 是二维离散型随机变量时，X 与Y 相互独立的充分必要条件是}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====即ji ij p p p ∙∙⋅=，),2,1,,2,1( ==j i 。

当),(Y X 是二维连续型随机变量时，X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=。

在xOy 平面上几乎处处成立。

【例1】吴书p.76.例1。

设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律如下表所示：βα31218191611321\Y X（1）问βα,取什么值时，X 与Y 相互独立；（2）对上述求得的βα,，求),(Y X 的分布函数),(y x F 。

解 （1）),(Y X 的分布律和边缘分布律βαβαβα++++∙∙1819121313123118191611321\ji p p Y X由X 与Y 相互独立，得 91)91(31=+⋅α， 92=α 181)181(31=+⋅β， 91=β （2）关于X 和关于Y 的边缘分布律323121PX 和613121321PY关于X 和关于Y 的边缘分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=21213110)(x x x x F X ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=313265212110)(y y y y y F Y),(Y X 的分布函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥<≤≥≥<≤<≤<≤<≤<≤<<=⋅=3,2132,26521,2213,213132,2118521,21611,,10)()(),(y x y x y x y x y x y x y or x y F x F y x F Y X【例2】吴书p.77.例2（盛书p.73.例）。

一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7～9时．设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 ．定理1 设X 和Y 是相互独立的随机变量，)(x h 和)(y g 是),(+∞-∞上的连续函数，则)(X h 和)(Y g 也是相互独立的随机变量。

定理 2 设),,,(21m X X X 和),,,(21n Y Y Y 相互独立，则i X ),,2,1(m i =和j Y ),,2,1(n j =相互独立。

又若h 和g 是连续函数，则),,,(21m X X X h 和),,,(21n Y Y Y g 也相互独立。

两个随机变量的函数的分布一. 两个离散型随机变量的函数的分布律 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ),,2,1,,2,1(n j m i ==；。