高考数学专题复习1：数列与不等式

2020年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题四数列与不等式考向一等差数列与等比数列的计算问题【高考改编☆回顾基础】1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和，若，，则 .【答案】【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以.2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________.【答案】8-3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为 .-【答案】24【解析】【命题预测☆看准方向】等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018年全国卷II 理】记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2，a 3＋b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0 (舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.【例2】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.【答案】32【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________．【答案】 22222n-【解析】设等比数列的首项为11,0a a >，公比为,0q q >，由题意可得()326113,1a q q a q +==解得1222,,2n a q a === 222n-，填(1).22(2). 222n- 【方法总结☆全面提升】1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n 项和公式构造关于a 1与d 、a 1与q 的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列{a n}前n 项和问题常用的三个公式是: S n =;S n =na 1+d ；S n=An 2+Bn(A,B 为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n 项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017北京改编】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，求22a b .【规范解答】设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q, 由题意知-1+3d=-q 3=8, 即解得故=1.【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1,n ,d (q ),a n 与S n这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a 1,d (q )是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. 【误区警示】用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等差数列{a n }中，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1，但a 1＋a n ≠a n ＋1；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1或m 不为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．考向二 数列的通项与求和 【高考改编☆回顾基础】1.【等比数列的求和】【2018年新课标I 卷理】记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】【解析】 根据，可得，两式相减得，即， 当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.2．【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知a n ＝22n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为________． 【答案】2n2n ＋1【解析】记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，∵a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.3. 【错位相减法】【2017山东卷改编】已知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ＝________． 【答案】5－2n ＋52n【解析】令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以Tn ＝5－2n ＋52n.4 .【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏． 【答案】3【解析】设塔的顶层共有a 1盏灯，根据题意得a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.【命题预测☆看准方向】数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕：常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >，2*63,n nn S a a n N =+∈， ()()122121nnn a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )A.17 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B【解析】当1n =时， 211163a a a =+，解得13a =或10a =. 由0n a >得13a =.由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a +++=+. 两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-.所以11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以110,3n n n n a a a a +++>-=.即数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=. 所以()()()()111281117818181812121nnn a n n n n n n a a b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭. 所以22311111111111117818181818181778149n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-<⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭L . 要使*,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149k ≥. 故选B.【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线()()ln *y x x n n N =-∈在x 轴的交点处的切线经过点()1,n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【答案】1nn -+[来源【解析】令()ln 0x x n -=，得1x n =+，则切点为()1,0n + ∵()ln x y x n x n=-+-' ∴1|1x n y n =+=+'∴曲线()ln y x x n =-在x 轴的交点处的切线方程为()()11y n x n =+-- ∵切线经过点()1,n a ∴()1n a n n =-+ ∴()111111n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭∴11111122311n nS n n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪++⎝⎭ 故答案为1n n -+ 【例2】【2018年浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n 项和为. 由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.【趁热打铁】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）()12326n n S n +=-⋅+【解析】（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=， 故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n nn n a b -=⨯= ∴()212nn b n =-⋅，∴()123123252212nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅L ，∴()()231122222222123226nn n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-L ，∴()12326n n S n +=-⋅+【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <. 【答案】（1）1*111·333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，；（2）见解析。