第3章 平稳随机信号的功率谱-频域统计特性
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随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
随机信号的功率谱
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽
平稳随机过程的功率谱
平稳随机过程的功率谱嘿，朋友们！今天咱来聊聊平稳随机过程的功率谱这玩意儿。
你说啥是平稳随机过程的功率谱呀？这就好比是一场热闹的音乐会。
在音乐会上，各种乐器发出不同的声音，有高有低，有强有弱。
平稳随机过程就像是这众多声音的组合，而功率谱呢，就是对这些声音特征的一种描述。
想象一下，你走在大街上，听到各种各样的声音，有汽车的喇叭声，有人们的交谈声，还有商店播放的音乐声。
这些声音杂乱无章，但又有一定的规律。
平稳随机过程就是这样，看似无序，实则有它内在的特点。
功率谱就像是给这些声音做了一个分类和统计。
它能告诉你哪些声音频率高，哪些声音频率低，就像我们能知道高音喇叭和低音喇叭发出的声音不一样。
而且功率谱还能告诉我们这些声音的能量分布情况，就像知道哪种声音更响亮，哪种声音比较微弱。
你说这功率谱有啥用呢？那用处可大啦！比如说，在通信领域，它能帮助我们更好地理解信号的传输和干扰情况。
就好比你打电话的时候，要是功率谱没搞清楚，那信号可能就不清晰，你说话对方都听不清，那多耽误事儿呀！在工程上，它也是个宝贝呢！工程师们可以根据功率谱来设计各种设备和系统，让它们更好地工作。
就像给汽车设计发动机，要是不了解功率谱，那发动机可能就运转得不顺畅，车子跑起来都没劲儿。
再比如说，在气象研究中，功率谱能帮助我们分析气候变化的规律。
难道你不想知道为啥有时候天气老是变化无常吗？功率谱就能给我们一些线索呢！哎呀呀，这平稳随机过程的功率谱真的是太有意思啦！它就像一个隐藏在数据背后的小秘密，等着我们去发现和解读。
总之，功率谱就像是一把神奇的钥匙，能打开很多领域的大门，让我们更深入地了解各种现象和过程。
它可不是什么枯燥无味的东西，而是充满了趣味和奥秘的呢！所以呀，大家可别小瞧了它，要好好去探索和研究哦！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
时刻t，X (t) 具有相同的统计特性。
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(随机信号)【圣才出品】
第3章 随机信号一、选择题某二进制随机信号的功率谱密度计算公式为则该信号（ ）。
A ．含有f s 谐波分量 B ．不含f s 谐波分量 C ．不含直流分量 D ．含有2f s 谐波分量 【答案】B二、填空题1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与______无关，二维分布只与______有关。
【答案】时间；时间间隔【解析】平稳随机过程其一维概率密度函数与时间t 无关，即1111(,)()f x t f x =； 而二维分布函数只与时间间隔τ＝t 2－t 1有关，即21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=。
2．一个均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是______过程，均值为______，方差为______。
【答案】平稳高斯；0；2n σ【解析】由结论可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。
此外，在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是互不相关的或统计独立的。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是______，其相位的一维分布是______。
【答案】瑞利分布；均匀分布【解析】在窄带高斯随机过程中，对于均值为0、方差为σ2的平稳高斯窄带过程，其包络和相位的一维分布分别为瑞利分布和均匀分布，且两者统计独立。
4．高斯白噪声在______时刻上，随机变量之间不相关，且统计独立。
【答案】不同【解析】由白噪声的自相关函数()()02n R τδτ=知高斯白噪声在不同时刻上（即τ＝0）变量之间不相关且统计独立。
5．设n （t ）为高斯白噪声，则合成波通过中心频率为ω1的窄带滤波器后的输出包络服从______分布；若r （t ）通过中心频率为ω2的窄带滤波器，则输出包络服从______分布。
【答案】莱斯分布（广义瑞利分布）；瑞利分布【解析】正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f （z ）与信噪比有关。
通信原理(第3章)
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
第3章 平稳随机信号的功率谱-频域统计特性PPT课件
a
1，求S
' X
(
z
)
和
S
X
(
)
解： 1
S
' X
(
z
)
am zm am zm
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1
(1 a2 ) az 1 )(1
az)
(a 1
a 1 a a) (z1
z)
将z= e j 代人上式，即可求得
SX
()
图311周期信号的傅立叶级数分解tx?t?a00?02?03?时域??0频域??周期信号的频谱是离散的专业文档2019年3月24日7傅里叶变换的性质1线性叠加性质若则2时移性质若则3频移性质若则4时间伸缩性质设a为正实数则5时间微分性质若则6时间积分性质若且则7卷积定理若则及及11?xtx?22?xtx?????22112211??xaxatxatxa????xtx?00tjexttx??????xtx?00?????xetxtj??xtx?1axaatx???xtx?dd??xjttx??xtx?00????x1d????xjxt????11?xtx?22?xtx?2121??xxtxtx???212121???xxtxtx???专业文档8常见的傅立叶变换??t?1?1?????2?tcos0???????00???????????tsin0???????00???????????j0??tet???j??1te??222?????tje0????02??????专业文档93
30
31
32
33
34
解：
SXY ()
RXY
(
)e
第3章 平稳性与功率谱密度
由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与τ有关， 故Y(t)是广义平稳的。
2015-5-19 18
补充例1
• 设随机过程X(t)=At ，A为均匀分布于[0,1]上 的随机变量，试问X(t) 是否平稳？ 解：因为
m t E X t E At t af
2015-5-19
16
2015-5-19
17
解：Y(t)的均值和相关函数分别为：
E Y (t ) E X (t ) cos( w0t ) E X (t ) E cos(w0t ) 0
R(t , t ) E Y (t ) E X (t ) cos( w0 (t ) ) X (t ) cos( w0t ) E X (t ) X (t ) E cos( w0 (t ) ) cos( w0t ) 1 RX cos w0 2
第3章 平稳性与功率谱密度
问题
• 平稳和非平稳的含义是什么？ • 现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？ • 严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关 系？ • 严格平稳与严格循环平稳有什么关系？
2015-5-19
2
目录
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 平稳性与联合平稳性 循环平稳性 平稳信号的相关函数 功率谱密度与互功率谱密度 白噪声与热噪声 应用举例
2015-5-19
8
平稳信号和非平稳信号举例
• 接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间 进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在 稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。 但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未 达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。 • 语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30 ms时段 内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处 理问题。 • 将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平 稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由 于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。
平稳随机信号
X M (e j ) 2 2M 1
功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运 算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。
功率谱定义2
Wiener-khintchine定理
rX
(m)
1 2
PX (e j )e jmd
rX
(0)
1 2
PX (e j )d E[ X (n) 2 ]
反映信号的平均功率
三、平稳随机信号的功率谱 power spectral density, PSD
自功率谱 PX (e j ) rX (m)e jm m
互功率谱 PXY (e j ) rXY (m)e jm m
功率谱反映信号的功率在频域随频率ω 的分布，又称为功率谱密度。
三、平稳随机信号的功率谱
一、平稳随机信号的定义
分类
严平稳 strict-sense stationary 宽平稳 wide-sense stationary，WSS
如果对N=1，2，…∞都成立，则称X(n) 是严平稳或狭义平稳的随机信号
pX (x1,, xN ;n1,,nN ) pX (x1,, xN ;n1k ,,nNk )
4.功率谱曲线在(-π,π)内的面积等于信号 的均方值(总的平均功率)。
定义：
PXY (e j ) rXY (m)e jm m
为随机信号x,y 的互功率谱
rXY
(n1, n2
)
E{X
* (n1 )Y
(n2
)}
lim
N
1,i)
例1 随机相位正弦波
X (n) Asin(n ), p() 1 , 2
实际中的大部分信号都可看作 是宽平稳的。处理方便。
二、平稳随机信号的自相关函数
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
第三章 随机信号分析
5
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
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如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
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2、随机过程的数字特征
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章
根据定义式可求得信号X(t)的均值、 自相关函数和均方
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零， 方差σ2相同。
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩 （均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零， 方差σ2相同。
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩 （均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
第三章随机过程的功率谱密度
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
图 3-18 样本函数及截断函数
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 内， 和 的互功率为 据巴塞伐定理 用 代换 ，则有 互功率也可表示为
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
• 时间带宽乘积：
常数
例3-3 设随机过程 的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。
解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程 的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间 定义 则有
令则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数 随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
实数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分
图 3-18 样本函数及截断函数
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 内， 和 的互功率为 据巴塞伐定理 用 代换 ，则有 互功率也可表示为
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
• 时间带宽乘积：
常数
例3-3 设随机过程 的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。
解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程 的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间 定义 则有
令则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数 随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
实数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分
随机信号与系统 平稳性与联合平稳性
随机信号与系统
第3章 平稳性与功率谱密度
电子科技大学通信学院
第3章 平稳性与功率谱密度 平稳性(Stationarity)的概念 随机信号的某些统计特性对于参量 值“稳定不变”的性质被称为平稳性，
相应的随机信号被称为平稳随机信号。
电子科技大学通信学院
2
e.g. f ( x; t ) f ( x; t ) f ( x)
t t1
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1, x2 ; t1 t , t2 t )
F ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) F ( x1 , x2 ;0, ) F ( x1, x2 ; )
t2 t1
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; ) R(t1 , t2 ) R(t , t ) R ( ) 电子科技大学通信学院
电子科技大学通信学院
16
广义平稳性 Wide-sense stationarity
定义3.2 随机过程 X (t ), t T ，满足： 1）均值为常数； 2）相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只 与相对差有关 τ＝ t1－t2 ，即
(1) E[ X (t )] X 常数
E[ X (t )] (t )
xf X ( x; t )dx
xf X ( x)dx X 常数
11
Var[ X (t )] 常数 电子科技大学通信学院
SSS R.S. X(t)的特性
（2） X(t)的二维概率分布函数与两时刻的绝 对值无关，只与相对差有关；如果其二维概 率密度函数与相关函数存在，它们也只与两 时刻的相对差有关，即
第3章 平稳性与功率谱密度
电子科技大学通信学院
第3章 平稳性与功率谱密度 平稳性(Stationarity)的概念 随机信号的某些统计特性对于参量 值“稳定不变”的性质被称为平稳性，
相应的随机信号被称为平稳随机信号。
电子科技大学通信学院
2
e.g. f ( x; t ) f ( x; t ) f ( x)
t t1
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1, x2 ; t1 t , t2 t )
F ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) F ( x1 , x2 ;0, ) F ( x1, x2 ; )
t2 t1
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f ( x1 , x2 ; ) R(t1 , t2 ) R(t , t ) R ( ) 电子科技大学通信学院
电子科技大学通信学院
16
广义平稳性 Wide-sense stationarity
定义3.2 随机过程 X (t ), t T ，满足： 1）均值为常数； 2）相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只 与相对差有关 τ＝ t1－t2 ，即
(1) E[ X (t )] X 常数
E[ X (t )] (t )
xf X ( x; t )dx
xf X ( x)dx X 常数
11
Var[ X (t )] 常数 电子科技大学通信学院
SSS R.S. X(t)的特性
（2） X(t)的二维概率分布函数与两时刻的绝 对值无关，只与相对差有关；如果其二维概 率密度函数与相关函数存在，它们也只与两 时刻的相对差有关，即
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度
电子科大随机信号分 析教学课件ppt平稳
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
信号检测与估计理论 (复习题解)
概率密度函数。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
五. 线性时不变系统对平稳连续随机信号的响应
1. 输入平稳连续随机信号x(t),响应y(t)也是平稳的。
2. 响应y(t)均值 y H (0)x，自相关函数ry ( ) h( ) h( ) rx ( )， 功率谱密度Py () | H () |2 Px ()。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1. 一维雅可比变换,特别是简单线性函数时的变换。 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1. 任意tk时刻采样所得样本x(tk ) (xk；tk )(k 1,2, , N )的概率密度 函数描述。
2. 统计平均量：均值,均方值,方差,自相关函数,协方差函数及关系。
图2.1(a)
图2.1(b)
ab y
例2.2
设x ~
N(x
,
2 x
)。若y
2
x
b,
求p(
y)及
y和
2。
y
解：y
2x
b是线性变换,所以y
~
N(
y
,
2 y
)。
反函数 x ( y b) / 2, 雅可比 J d[(y b) / 2]/ dy 1/ 2。所以
p(
y)
1
2
2 x
1
2
exp
(
y
b) / 2
a x a 其他
(a 0)
如图2.1(a )所示。已知x的均值和方差分别为 x
0,
2 x
a2
/ 6。
设y x b,求p( y)及y的均值和方差；当a b 2a时,画出p( y)的函数
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
五. 线性时不变系统对平稳连续随机信号的响应
1. 输入平稳连续随机信号x(t),响应y(t)也是平稳的。
2. 响应y(t)均值 y H (0)x，自相关函数ry ( ) h( ) h( ) rx ( )， 功率谱密度Py () | H () |2 Px ()。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1. 一维雅可比变换,特别是简单线性函数时的变换。 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1. 任意tk时刻采样所得样本x(tk ) (xk；tk )(k 1,2, , N )的概率密度 函数描述。
2. 统计平均量：均值,均方值,方差,自相关函数,协方差函数及关系。
图2.1(a)
图2.1(b)
ab y
例2.2
设x ~
N(x
,
2 x
)。若y
2
x
b,
求p(
y)及
y和
2。
y
解：y
2x
b是线性变换,所以y
~
N(
y
,
2 y
)。
反函数 x ( y b) / 2, 雅可比 J d[(y b) / 2]/ dy 1/ 2。所以
p(
y)
1
2
2 x
1
2
exp
(
y
b) / 2
a x a 其他
(a 0)
如图2.1(a )所示。已知x的均值和方差分别为 x
0,
2 x
a2
/ 6。
设y x b,求p( y)及y的均值和方差；当a b 2a时,画出p( y)的函数
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5
傅里叶变换的性质
1、线性叠加性质 若 x1 (t ) X 1 ( )，则 x2 (t ) X 2 ( )
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X1 ( ) a2 X 2 ( )
2、时移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x (t t 0 ) X ( ) e j t0 3、频移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x ( t ) e j 0t X ( 0 )
性质3： Im[S XY ()] Im[S XY ()]
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分 别具有常数均值 m X 和 mY，则
S XY () SYX () 2mX mY ()
性质6：
S XY w S X wSY w
20
3.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度 [X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳]
21
二、互谱密度的性质
* S ( ) S ( ) S 性质1： XY YX YX ( )
性质2： Re[S XY ()] Re[S XY ()]
Re[SYX ()] Re[SYX ()]
4、时间伸缩性质 设 x(t ) X ( ) ，a为正实数，则 x(at)
5、时间微分性质 若 x(t ) X ( ) ，则
dx(t ) ( j ) X ( ) dt 6、时间积分性质 若 x(t ) X ( ) ，且 X ( ) | 0 0，则 t 1 x ( ) d X ( ) j 7、卷积定理 若 x1 (t ) X 1 ( ) ， x2 (t ) X 2 ( ) ，则 1 X 1 ( ) X 2 ( ) x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( ) 及 x1 (t ) x2 (t ) 2
例5：设随机信号 X (t ) ae j t ，其中 Ω 是概 率密度为 f 的随机变量，a和φ为实常数， 求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X * t X t
a 2 E e j
a
2
S X e j d
2 T
i 2 Rdt
= p( )d; 单位电阻R 1
-
10
两个结论：
1
1 Q A E[ X ( t )] A . lim . T 2T
2
表示时间平均
若平稳，时间均方值为：
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
因为S X ( ) 为周期函数，周期为2q ，
RX (m) 1 2q
q
q
S X ( )e jm d
在 m 0时
E[ X (n) ] RX (0)
2
1 2q
S
q
q
X
( )d
38
z SX
m
RX (m) z m ;
z e j
1 ( t ) E[ X ( t )] 2
2 X 2
S X ( )d
均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率
13
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号： x(t ) X ( j) 信号←→频率谱密度(频谱) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
功率谱密度。 1. 维纳—辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ) 以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
2
22
23
相干函数的工程应用 (1) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。
利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。
(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。
在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，
(a) 输入信号的功率谱和输出信号的功率谱
(b) 幅频特性、相频特性和相干函数
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d
0 0
A
e
( j ) 0
j
A
e ( j ) 0
( j )
1 1 A j j 2 A 2 2
第三章
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义
2
3.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期信号，且x(t) 满足
• x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
t
2 2 2
e j0t 2 0
7
3. 帕塞瓦等式：时域能量=频域能量
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2
X X ( ) d
2
能量谱密 度
8
二、随机信号的功率谱密度
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
应用截取函数
9
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E [ X ( t )] dt lim d T 2T T 2 T 2T
a m z m
m 0
2 az z ( 1 a )z 1 az z a ( z a )(1 az)
称 X X ()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
4
X () / X (e j )
周期信号的频谱是离散的
傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。
30
20
A()
x (t )
0
频域
t
0) (
0
时域
图3.1.1 周期信号的傅立叶级数分解
d 2 R X d 2
a 2 S X
2 S X
d n X t dtn
1
2n
d 2 n RX d 2 n
2n S X
S X 0
X t e j0t
RX e j0t
15
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求随机信号的功率谱密度。
平均功率Q
PXX ( f )/ PXX (e j )/ PXX ()
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）功率Q为确定值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
W T PI R 2T 2T
( 3 j )
d
9 3 j
SYX ( ) S * XY ( )
9 3 j
35
3.3 离散时间随机信号的功率谱密度
一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳随机序列的自相关函数 设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号， 具有零均值，其自相关函数为:
RX (m) E[ X (n) X (n m)]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) A [cos 0 cos(20t 0 )] e j d 2 2 a RX ( ) cos 0 e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4 18
1 2 Q 2
S :描述信号能量在各个不同频率上的分布
S X ( ) 描述了随机信号X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率P。 对于平稳随机信号，有：
36
3. 平稳随机序列的功率谱密度
S X ( )
m
RX (m)e jmT
奈奎斯特频率
时域离散(T)频域周期(其周期ω T由时域离散间隔T决定) ω T=2ω q=2π /T
37
时域离散(T)频域周期(其周期ω T =2ω q=2π /T) 时域非周期（随机信号）频域连续
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
14
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ 函数
X(t)变换的功率谱密度
X t
aX t
dX t dt
RX
S X
a 2 RX
16
17
例4：设随机信号 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随 为常数， 机信号。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
傅里叶变换的性质
1、线性叠加性质 若 x1 (t ) X 1 ( )，则 x2 (t ) X 2 ( )
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X1 ( ) a2 X 2 ( )
2、时移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x (t t 0 ) X ( ) e j t0 3、频移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x ( t ) e j 0t X ( 0 )
性质3： Im[S XY ()] Im[S XY ()]
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分 别具有常数均值 m X 和 mY，则
S XY () SYX () 2mX mY ()
性质6：
S XY w S X wSY w
20
3.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度 [X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳]
21
二、互谱密度的性质
* S ( ) S ( ) S 性质1： XY YX YX ( )
性质2： Re[S XY ()] Re[S XY ()]
Re[SYX ()] Re[SYX ()]
4、时间伸缩性质 设 x(t ) X ( ) ，a为正实数，则 x(at)
5、时间微分性质 若 x(t ) X ( ) ，则
dx(t ) ( j ) X ( ) dt 6、时间积分性质 若 x(t ) X ( ) ，且 X ( ) | 0 0，则 t 1 x ( ) d X ( ) j 7、卷积定理 若 x1 (t ) X 1 ( ) ， x2 (t ) X 2 ( ) ，则 1 X 1 ( ) X 2 ( ) x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( ) 及 x1 (t ) x2 (t ) 2
例5：设随机信号 X (t ) ae j t ，其中 Ω 是概 率密度为 f 的随机变量，a和φ为实常数， 求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X * t X t
a 2 E e j
a
2
S X e j d
2 T
i 2 Rdt
= p( )d; 单位电阻R 1
-
10
两个结论：
1
1 Q A E[ X ( t )] A . lim . T 2T
2
表示时间平均
若平稳，时间均方值为：
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
因为S X ( ) 为周期函数，周期为2q ，
RX (m) 1 2q
q
q
S X ( )e jm d
在 m 0时
E[ X (n) ] RX (0)
2
1 2q
S
q
q
X
( )d
38
z SX
m
RX (m) z m ;
z e j
1 ( t ) E[ X ( t )] 2
2 X 2
S X ( )d
均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率
13
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号： x(t ) X ( j) 信号←→频率谱密度(频谱) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
功率谱密度。 1. 维纳—辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ) 以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
2
22
23
相干函数的工程应用 (1) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。
利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。
(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。
在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，
(a) 输入信号的功率谱和输出信号的功率谱
(b) 幅频特性、相频特性和相干函数
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d
0 0
A
e
( j ) 0
j
A
e ( j ) 0
( j )
1 1 A j j 2 A 2 2
第三章
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义
2
3.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期信号，且x(t) 满足
• x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
t
2 2 2
e j0t 2 0
7
3. 帕塞瓦等式：时域能量=频域能量
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2
X X ( ) d
2
能量谱密 度
8
二、随机信号的功率谱密度
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
应用截取函数
9
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E [ X ( t )] dt lim d T 2T T 2 T 2T
a m z m
m 0
2 az z ( 1 a )z 1 az z a ( z a )(1 az)
称 X X ()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
4
X () / X (e j )
周期信号的频谱是离散的
傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。
30
20
A()
x (t )
0
频域
t
0) (
0
时域
图3.1.1 周期信号的傅立叶级数分解
d 2 R X d 2
a 2 S X
2 S X
d n X t dtn
1
2n
d 2 n RX d 2 n
2n S X
S X 0
X t e j0t
RX e j0t
15
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求随机信号的功率谱密度。
平均功率Q
PXX ( f )/ PXX (e j )/ PXX ()
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）功率Q为确定值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
W T PI R 2T 2T
( 3 j )
d
9 3 j
SYX ( ) S * XY ( )
9 3 j
35
3.3 离散时间随机信号的功率谱密度
一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳随机序列的自相关函数 设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号， 具有零均值，其自相关函数为:
RX (m) E[ X (n) X (n m)]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) A [cos 0 cos(20t 0 )] e j d 2 2 a RX ( ) cos 0 e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4 18
1 2 Q 2
S :描述信号能量在各个不同频率上的分布
S X ( ) 描述了随机信号X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率P。 对于平稳随机信号，有：
36
3. 平稳随机序列的功率谱密度
S X ( )
m
RX (m)e jmT
奈奎斯特频率
时域离散(T)频域周期(其周期ω T由时域离散间隔T决定) ω T=2ω q=2π /T
37
时域离散(T)频域周期(其周期ω T =2ω q=2π /T) 时域非周期（随机信号）频域连续
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
14
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ 函数
X(t)变换的功率谱密度
X t
aX t
dX t dt
RX
S X
a 2 RX
16
17
例4：设随机信号 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随 为常数， 机信号。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]