a -的值可能是正的也可能
是负的；如：4
1)
2(2
=
--，81)2(3
-=--
3. 零指数幂0
1a =（0a ≠）.00没有意义.
【典型例题】
例1. 计算
(1）5
6
x x ÷ (3）15
++÷n n a a
(2）3
5
)(a a ÷- (4）)1()1(3
+÷+a a
（5）)()(7
3
4x x -÷-（6）6
7
)()(x y y x -÷-
例2. 计算
（1）2
4- （2）3
2-- (3）2)1(-- (4）0)14.3(-π
例3. 计算： 4
51301222222----??
++??+ ???
例4．求值：
（1）若的值求n m n m 231010,0223÷=+-.
（2）已知的值求n
m n m -==210,210,310.
【初试锋芒】
1. ÷a 2
=a 3. 2. 若53
-k =1，则k=.
3．3
1
-+（
9
1）0
=. 4．用小数表示-3.021×10
3
-=.
5．（-a 2
）5÷（-a ）3=，9
20
÷2710
÷37
=.
6．计算 （-a ）6
÷（-a ）3
的结果是（ ）
A ．a 3
B.-a 2
C.-a 3
D. a 2
7.下列计算正确的是（ ） A.（-0.2）0=0 B.（0.1）3
-=
1000
1 C.30
÷31-=3 D.a 4÷a 4=a(a ≠0) 8.如果a m
÷a x
=a
m
3，那么x 等于（ ）
A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9.设a ≠0，以下的运算结果：①（a 3）2· a 2=a 7；②a 3÷a 2
-=a 5；③（-a ）3÷a 0=-a 3
；
④（-a ）
2
-÷a=a
1
-，其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ②③ 10.计算下列各题：
（1）（m-1）5÷（m-1）3； （2）（x-y ）10÷（y-x ）5
÷（x-y ）；
（3）（a m ）n ×（-a m
3）
n
2÷(a
mn
)5; (4) 2
1
--（-
32）2-+（2
3）0
.
【大展身手】
1. 计算52
()()x x -÷-=_______, 2. 10
2
3
4
x x x x ÷÷÷ =______.
3. 若0(2)x -有意义,则x_________.
4. 02(3)(0.2)π--+-=________.
5. 2324
[()()]()m n m n m n -?-÷- =_________. 6. 若5x-3y-2=0,则531010x
y
÷=_________. 7. 如果3,9m n a a ==,则32m n
a -=________.
8. 如果3
1479
27381m m m +++?÷=,那么m=_________.
9．若2,3==n
m x x ，则n
m x
-的值为（）
A 、5
B 、6
C 、2
3
D 、9 10．在(1
?-n x
)=n m x +中，括号内应填的代数式是（）
A 、1
++n m x
B 、1
+m x
C 、2
+m x
D 、2
++n m x
11. 已知99
99909911,99
Q =, 证明：P=Q
第三节 整式的乘法
【知识要点】
1．单项式与单项式相乘的法则： 2．单项式与多项式相乘的法则： 3．多项式与多项式相乘的法则：
注意：
(1).法则中的“每一项”的含义是不重不漏.在运算时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，还要特别注意多项式中的常数项.
(2). 在运算过程中，要根据去括号法则和多项式中每一项前面的性质符号来确定乘积中每一项的符号.
(3). 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在未合并同类项之前，其积的项数与多项式中的项数相同，若乘积中有同类项时，一定要注意合并同类项！
【典型例题】
例1．计算．
（1）)5(22
3
2
xy a ax -? （2）2223)3
1
(32mn n m -?
例2．计算 )2()1103(3
2
xy y x y x -?--
例3．计算
（1） )3)(32(-+a a （2）)32)(2(2---x x x
例4．计算：()()()
222322----+a a a a a
例5．解方程：()
()0536232=----x x x x
例6. 已知ax 2
+1与2x 2
-3x+1的积中不含x 2
项,那么a=?_____
【初试锋芒】
1.填空.
(1)=?-)2()3(2
2
n m mn _____ _ _ (2)=-?-23)5
2
(54a a __________ 2.已知2,2-==+ab b a ，则()()b a 2121--=．
3.若12
4
12)4()(x x mx k
=?，适合的m 与k 的值应是（ ）
A.3,3==k m
B.8,3==k m
C.3,8==k m
D.8,8-==k m 4.下列运算正确的是（ ）
A ．x x x x x x 4128)132)(4(2
3
2
---=-+-B ．()(
)33
2
2
y x
y
x y x +=++
C ．2161)14)(14(a a a -=---
D ．()()224222y xy x y x y x +-=-- 5．计算下列各题. （1）2223)2
3
(32xy y x -?
（2）32432)()(y x z xy -?-
（3）322)(6)()3(c ab c a ab ?-?- （4）2
35)109()103
1
(???
6．先化简再求值．
（1）()
),158(9622-----x x x x x x 其中1-=x
（2）2))(()(x y x y x y x y --+++，其中2
1,2=-=y x ．
【大展身手】
1．))((c b a n m ++-展开后是（ ）
A ．五项式
B ．六项式
C ．七项式
D ．八项式 2．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2
D ．2
3. 自我检测
（1）2
2
214.0??
? ???xy y x （2）()()()
2
2273xy z x xy -?-?-
（3）()()33
2
22xy x xy y x ?--? （4）()()()xy xy y y x -?-+-?2
2
3635
（5）232(3)(21)x x x -+- （6）243(142)2x x x x --+-
（7）()()b a y x 352-- （8）()()
22y xy x y x ++-
第四节 平方差公式
【知识要点】
平方差公式:()()2
2
b a b a b a -=-+
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
【典型例题】
例1.计算
系数变化:（1）)23)(23(b a b a -+（2）??
? ??+-??? ??
--b a b a 213213
位置变化:（1）()()ab x x ab -+（2）（21x+31y ）（31y －2
1
x ）
符号变化: （1）()()11--+-x x (2) (
)(
)
43432
2
---x x
指数变化:（1）)22)(22(2
2
--+-x x （2）(
)()
22
2
25252b a
b a --+-
增项变化:（1）))((z y x z y x -+++ （2）)93)(93(22+++-x x x x
增因式变化:（1）()()()
1112+-+x x x （2）))()((21
412
21
++-x x
x
例4.用平方差公式进行简便运算
（1）397403? （2） 2
22
1000252248-
例5.综合运用
(1)()()()()
11114
2+-++-x x x x ． (2)已知3,2722=-=-y x y x ，求x y +;
【初试锋芒】
1．在①()
22
242a a
=；②2911311131x x x -=??
?
??+??? ??+-；
③532)1()1()1(-=--m m m ；④3
22842++=??b a b a 中，运算正确的是（ ）
A.②①
B.②③
C.②④
D.③④
2．计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++
3．解方程：()()()x x x x x 4393232-=+---．
4．（2005·茂州市）已知??
?
??
-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B.
5．观察下列算式：
,483279,382457,281635,188132222222?==-?==-?==-?==-
根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来.
【大展身手】
1．下列计算正确的是（ ）
A ．()()()()222
2
425252525y x y x y x y x -=-=-+
B ．2
2291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-
C ．()()()()222
2
49232332x y x y x y y x -=-=--- D ．
()()8242
-=-+x x x 2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A ．()()x y x y --+
B ．3333()()a b a b -+
C ． 2222()()c d d c -+
D ．()()m n m n ---
3．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．2
2
4b a -
B ．2
24a b -
C ．2
22b a -
D ．2
22a b -
4．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A ．()()a b a b -+-
B ．(2)(2)x x ++
C ．1133x y y x ???
?+- ??????
?
D ．(2)(1)x x -+
5．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（）
A 、()()x y x y --+-66
B 、()()x y x y -+-66
C 、()()y x y x 94-+
D 、
()()x y x y ---66
6．在①()
2
2
2
93a a
=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ；
④6
2
6442++=??n m n
m
中，运算正确的是（）
A 、①②
B 、②③
C 、③④
D 、②④ 7.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值
第五节 完全平方公式
【知识要点】
1．完全平方公式：①()2
222a b a ab b +=++；②()2
22
2a b a ab b -=-+.
2．完全平方公式相关变形及推广：
① ()()2
2
22
22a b a b ab a b ab +=+-=-+； ② ab b a b a 4)()(22=--+;
③
()
()()
22
2
a b a b a b -+=--=-????； ④
()()()2
2
2
a b a b a b --=-+=+????；
○
5()2
222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++
【典型例题】
例1．计算：
（1）()23a b + （2）()2
3x y -+
（3）210151??? ??--y x （4）2
21??? ?
?
+-cd
（5） ()2
2x y z +- （6）)2)(2(4)2(2y x y x y x +---
例2.简便计算
（1）2199 （2）2
102
（3）899×901+1 （4）1232
-124×122
例3．已知()2
2
2116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．
例4．已知()()2
2
7,4a b a b +=-=，求22
a b +和ab 的值．
例5.已知13a a +=，求221a a +和441
a a
+的值．
【初试锋芒】
1．（
35x +）2=229
62525
x xy y ++ 2．22()()a b a b -=+ 3．()2
22
a b a b +=-+=2()a b +-
4．若7,12,a b ab +==则22
a a
b b -+= 5．下列等式不成立的是（ ）
A 、()2
22
396a b a ab b -=-+ B 、()()2
2
a b c c a b +-=--
C 、2
221124x y x xy y ??-=-+ ???
D 、()()()2244
x y x y x y x y +--=-
6．下列各式中计算结果是22
2ab a b --的是（ ）
A 、()2
a b - B 、()2
a b -- C 、()2
a b -+ D 、()2
a b + 7．要使等式()()2
2
a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）
A 、2ab
B 、4ab
C 、4ab -
D 、2ab - 8．根据已知条件，求值：（1）已知x-y ＝９，x ·y ＝５，求x 2
＋y 2
的值.
（2）已知a （a-1）＋（b-a 2
）＝-７，求2
2
2b a +-ab 的值.
【大展身手】
1．下列运算中正确的是（ ）
A 、22(2)(2)2a b a b a b +-=-
B 、22(2)(2)4a b a b a b -+-=--
C 、22(2)(2)4a b a b a b ---=--
D 、224)2)(2(b a b a b a -=--+-
2．2
12a b ?
?-- ??
?运算结果是（ ）
A 、2
2
14
a b +
B 、2
214a b -
C 、2214a ab b ++
D 、221124
a a
b b ++ 3．运算结果是2
4
2
21m n mn -+的是（ ） A 、22(1)mn - B 、22(1)m n - C 、22(1)mn -- D 、22(1)mn +
4．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ） A 、0 B 、2
m n
C 、2
2m n -
D 、2
4m n
5．若2
49x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ） A 、6，-6 B 、12
C 、6
D 、12，-12
6. (1)()2
34x y -- (2) 2
)1(+-b a (3)
21002
7. 已知110a a +=，求2
21a a +和2
1a a ??- ??
?的值．
第六节 整式的除法
【知识要点】
1．单项式除以单项式： 2．多项式除以单项式： 3．多项式除以多项式：
点拨：1、单项式除以单项式的实质:转化为同底数幂的除法运算.
单项式相除的结果仍然是单项式,其中字母少于或等于被除式的字母而结果为被除式、除式
的次数之差.
2、多项式除以单项式的实质：利用相应法则,转化为单项式除以单项式的运算.其结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项;结果的次数小于或等于被除式的次数.
注意：当多项式的某一项全部除掉后,该项的商为1,而不是0. 被除式=除式?商式+余式
【典型例题】
例1 计算
(1)）（2
336m m -÷ (2))3()69(22ab ab b a ÷-
(3)-a 11
÷(-a)6
·(-a)5
(4)[12(x+y)3
(y-x)]3
÷[4(x+y)2
(x-y)]2
(5)23627
4)3
1
()913
2(ab b a b a ÷- (6))1()1()1()1(335+÷+-+÷+a a a a
例2.先化简再求值
(1)已知52=-b a ,求代数式[
]
)4()()(2)(2
22b b a b a b b a ÷---++的值.
(2)化简求值:[4(xy-1)2
-(xy+2)(2-xy)]÷14xy,其中x=-2, y=1
5
例3.已知多项式1422
3--a a 除以一个多项式A,得到的商式为a 2,余式为1-a ,求这个多项式.
例4.解方程2)32)(32()524(2
3=-+-÷+-a a a a a a
【初试锋芒】
一.选择题
1.下列计算正确的是( )
A.x 8
÷x 4
=x 2
B.a 5
÷a=a 5
; C.y 3
÷y=y 2
; D.(-c)4
÷(-c)2
=-c 2
2.计算(-a 4)3
÷[(-a)3]4
的结果是( ) A.-1 B.1C.0 D.-a 3.下列计算正确的是( ) A.2x 3b 2
÷3xb=
23
x 2b; B.m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12mC.12xy·a 3b÷(0.5a 2y)=14xa 2
;
D.(ax 2+x)÷x=ax
4.计算(14a 2b 2
-21ab 2
)÷7ab 2
等于( )
A.2a 2
-3 B.2a-3C.2a 2
-3b D.2a 2
b-3 5.计算(-8m 4
n+12m 3n 2
-4m 2n 3
)÷(-4m 2
n)的结果等于( )
A.2m 2
n-3mn+n 2
; B.2m 2
-3mn 2
+n 2
; C.2m 2
-3mn+n 2
; D.2m 2
-3mn+n
6．（-２a ）3b 4÷（１２a 3b 2
）的结果是（ ） Ａ.-
32b 2 Ｂ.61b 2 Ｃ.-61b 2 Ｄ.-3
2ab 2
二.填空题
1.(-x)8
÷(-x)5
=________;(ab)7
÷(-ab)2
=________.
2.(-a)6
·a 3
÷a 2
=_________;(x-y)7
÷(y -x)3
·(y -x)3
=______. 3．（ ）÷（-４a 2）＝１２a 4-１６a 3＋４a 2
. 4．（６a 2
＋４a-１０ab ）÷（２a ）＝ . 5. 与单项式-3a 2
b 的积是6a 3b 2
-2a 2b 2
+9a 2
b 的多项式是_______.
6. 一个矩形的面积是3(x 2
-y 2
) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 三.计算题 1．a 3
÷a ·1a
2.(16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2
【大展身手】
一.选择题
1．下列计算错误的是（ ）
Ａ.-６x 2
y 3
÷（２xy 2
）＝-３xy Ｂ.（-xy 2
）2
÷（－x 2
y ）＝-y 3
Ｃ.（-２x 2
y 2
）3
÷（-xy ）3
＝-２x 3
y 3
Ｄ.-（-a 3
b ）2
÷（－a 2
b 2
）＝a 4
2．下列计算正确的是（ ）
Ａ.（a 2
＋b 2
）÷（a ＋b ）＝a ＋b Ｂ.（a 2
-b 2
）÷（a-b ）＝a ＋b Ｃ.（a 2
＋b 2
）÷（a ＋b ）＝a-b Ｄ.（a 2
-b 2
）÷（-a 2
b 2
）＝a 4
3．一个多项式除以２x 2
y ，其商为（４x 3
y 2
－６x 3
y ＋２x 4
y 2
），则次多项式为（ ） Ａ.２xy-３x ＋x 2
y Ｂ.８x 6y 2-１２x 6y ＋４x 8y 2
Ｃ.２x-３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3-１２x 5y 2＋４x 6y 3
4．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ）
Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 5．已知８a 3
b m
÷２８a n
b 2
＝
7
2b 2
，那么m ，n 为（ ） Ａ.m ＝４，n ＝３ Ｂ.m ＝４，n ＝１ Ｃ.m ＝１，n ＝３ Ｄ.m ＝２，n ＝３
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项
八年级上册——幂的运算(培优难题教案)
幂的运算 考点·方法·破译 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1．m n m n a a a +?= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a -=≠=≠， 经典·考题·赏析 【例1】下列算式，正确的个数是（ ） ①3412a a a ?= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a -- A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【变式题组】 01.计算212()()n n c c +?的结果是( ) A ．42n c + B ．44n c + C ．22n c + D ．34n c + 02．计算100101(2) (2)-+-＝_______________ 03．如果3915()n m a b b a b ?=，则m ＝_________，n ＝____________ 04．计算2323()()()n n x y x y +-?-＝_______________ 【例２】若2n+12 448n +=，求n 的值.
【变式题组】 01．若24m =，216n =，求22m n +的值 02．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值 03．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________. 04．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-???的值
05．已知23212 2192m m ++-=，求m 的值 【例３】552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A ．a >b >c >d B ．a >b >d >c C ．b >a >c >d D ．a >d >b >c 【变式题组】 01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．a >c >b C ．a c >a 02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a 的x 的最小正整数 【变式题组】 01．求满足2003005 n ＜的最大整数值n.
幂的运算的重难点解析
幂的运算的重难点解析 幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算 降一级 指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级 指数的加减法 ，幂的乘方降一级 指数的乘法 ，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆. 幂幂的运算中的方法与技巧 类型 一：熟练使用 公式，正确进 行各种计算 注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则 （1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1 · x m+1 （3）-x 2 ·x 3 (4) 7×73×72 （5）4)(p p -?- （6）4 3)10( （7） －（2a 2）3 （8） （-43 2 ) a （9） 4 3 32??????????? ?? （10）[（x 2）3]7 ； （11）412÷43 （12）(－21)4÷(－2 1 )2（次数较低的幂要算出最后结果） （13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后） （15）3 2m +1 ÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-?- 类型二：逆用公式进行计算 逆向公式①n m n m a a a ?=+ ②n m n m a a a ÷=- ③()() m n n m mn a a a == 例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m 32的值．④n m +32 的值 解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值,?运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n
幂的运算 小结与思考
幂的运算的小结与思考 一、系统梳理知识： 幂的运算：1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数幂的除法：（1）零指数幂 （2）负整数指数幂 请你用字母表示以上运算法则。你认为本章的学习中应该注意哪些问题？ 二、例题精讲： 例1 判断下列等式是否成立： ①(-x)2＝-x2， ②(-x3)＝-(-x)3， ③(x-y)2＝(y-x)2， ④(x-y)3＝(y-x)3， ⑤x-a-b＝x-(a+b)， ⑥x+a-b＝x-(b-a)． 解：③⑤⑥成立． 例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值． 解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25. 所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680 例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______． 解：∵2m＝x-1， ∴y＝3+4m ＝3+22m． ＝3+(2m)2 ＝3+(x-1)2 ＝x2-2x+4． 例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．
解 210=(24)2·22=162·4， ∴ ＜210＞=＜6×4＞=4 例5 1993+9319的个位数字是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字． ∵ 993=(92)46·9=8146·9． 319=(34)4·33=814·27． ∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字． 则 1993+9319的个位数字是6． 三、随堂练习： 1、已知a=355，b=444，c=533，则有（） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( ) 3、试比较355，444，533的大小． 4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。 练习P65 6 8 探究性学习： 在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。 （1）假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？ （2）请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？
(完整版)幂的运算总结及方法归纳
幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法
就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()2 4 c c c -?-?- 简单练习： 一、选择题 1. 下列计算正确的是( ) A.ａ2+ａ3=ａ5 B.ａ2·ａ3=ａ5 C.3m +2m =5m D.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( ) A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2 B.ａm +ａm =2ａm C.3m +2m =5m D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m 3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ 5 ④ p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 二、填空题 1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。 2、 b 2·b ·b 7 =________。 3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5 =__________。 5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ18 6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 =__________。 中等练习： 1、 (-10)3·10+100·(-102 )的运算结果是( ) A.108 B.-2×104 C.0 D.-104
幂的运算
幂的运算 1、什么是幂 幂指乘方运算的结果. m n 指将n 自乘m 次.把m n 看作乘方的结果,叫做n 的m 次幂。其中,n 称为底,m 称为指数（写成上标）。 由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。 m n 的亦可视为1×n ×n ×n...×n （注共m 个n 相乘）即起始值1（乘法的单位元）乘底数的指数次幂。这样定义了后,很易想到如何一般指数为0和负数的情况︰ 除了0之外所有数的零次方都是1,即n 0=1（n ≠0）； 指数为负数的幂定义为m n - = m n 1； 分数为指数的幂定义为n m a = n m a 。 2、幂的运算 2.1、幂的运算公式 同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a + 幂的乘方：n m a )(=mn a 同指数幂的乘法：m b a )(?=m a ×m b 同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 这些公式也可以这样用： )(n m a += m a ×n a mn a =n m a )( m a ×m b =m b a )(? )(n m a -= m a ÷n a (a ≠0) 2.2幂的运算公式的运用 运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。 幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。
2.2.1幂的运算公式推导 2.2.1.1同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a + 因为：m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）； n a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）； m a ×n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）｝×｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}为m+n 个a 相乘即)(n m a +； 所以：m a ×n a =)(n m a + 2.2.1.2幂的乘方： n m a )(=mn a 因为：n m a )(由幂的定义为m a ×m a ×m a ...×m a (n 个m a 相乘） 其中m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘） 即n m a )(由幂的定义也可以为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×...｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}(注：共n 个｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}） 所以：n m a )(=mn a 2.2.1.3同指数幂的乘法：m b a )(?=m a ×m b 因为：m b a )(?由幂的定义为(a ×b)×(a ×b)×(a ×b)×...×(a ×b)(共m 个a ×b 相乘）=a ×b ×a ×b ×a ×b ×...×a ×b(共m 个a ×b 相乘）=a ×a ×a ×...a(共m 各a 相乘）×b ×b ×b ×...b(共m 各a 相乘) 所以：m b a )(?=m a ×m b 2.2.1.4同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 因为：当a=0时n a 意义； 当a ≠0时，m a ÷n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}÷｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）} 所以：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0) 2.2.2幂的运算公式运用选择
幂的运算易错、常考题型
七年级下册幂的运算常考题型 一．填空题（共27小题） 1．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于_________． 2．（2006?杭州）计算：（a3）2+a5的结果是_________． 3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________． 4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=_________． 5．若3m?32n=81，则m+2n=_________． 6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________． 7．已知：（x+2）x+5=1，则x=_________． 8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________． 9．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式． 10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=_________． 11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________． 12．a m?a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m?a n（m、n是正整数），请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________． 14．若x2=24，则x=_________． 15．（2008?清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________． 16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________． 17．=_________；4101×0.2599=_________． 18．（2014?鄞州区模拟）计算2x2?（﹣3x3）的结果是_________． 19．如果x n﹣2?x n=x2，则n=_________． 20．若2×8n×16n=222，则n=_________． 21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________． 22．计算（﹣x）2?（﹣x）3?（﹣x）4=_________．
幂的运算易错、常考题型精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 七年级下册幂的运算常考题型 一．填空题（共27小题） 1．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于_________． 2．（2006?杭州）计算：（a3）2+a5的结果是_________． 3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________． 4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=_________． 5．若3m?32n=81，则m+2n=_________． 6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________． 7．已知：（x+2）x+5=1，则x=_________． 8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________． 9．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式． 10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=_________． 11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________． 12．a m?a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m?a n（m、n是正整数），请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________． 14．若x2=24，则x=_________． 15．（2008?清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________． 16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________． 17．=_________；4101×0.2599=_________． 18．（2014?鄞州区模拟）计算2x2?（﹣3x3）的结果是_________． 19．如果x n﹣2?x n=x2，则n=_________． 20．若2×8n×16n=222，则n=_________． 21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________． 22．计算（﹣x）2?（﹣x）3?（﹣x）4=_________．
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①a m×a n=a m+n ②(a m)n=a mn ③(ab)m=a m b m ④a m÷a n=a m-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。 思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。 因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。 简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300
方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3 ∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。 思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。 简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13 方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。 问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。 思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2×2b=4×2a ∴2c=2b+1=2a+2 ∴c=b+1=a+2
幂的运算习题精选及答案解析
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6（﹣a）3a=a10；③﹣a4（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个二、填空题 6、计算：x2x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．10、已知2x+5y=3，求4x32y的值．
11、已知25m210n=5724，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，96115、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值． 16、已知9n+1﹣32n=72，求n的值． 18、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值． 19、计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）
七下数学 幂的运算 难点复习
幂的运算 难点复习 注意符号的确定： 1. (-3x)4= . (- 21x 3y)2= .－x 2·(x 3)4= . (-x)3·(-x)2= . [－(ab 2)2]3= . (－a)2·a 3·(－a 2) = . a n ·a ·(―a)2n ―1 = ___ ；()n c ab 232- 2. 计算[()][()]---a a 3223·所得结果是（ ） A. a 10 B. -a 10 C. a 12 D. -a 12 3：计算 －2x ·()2x -·()3 2x -－210x 233()()()n n a b a b b a -?-?-= 公式基本应用：（注意与整式的加减的比较、注意指数、底数为整式的情况、注意不同底向同底的转化） 4．下列运算中，正确的是( ) A.x 2·x 3=x 6 B.(a b)3=a 3b 3 C.3a +2a =5a 2 D.(-2x)2=-4x 2 5.计算(a 3)2+a 2·a 4的结果为( ) A.2a 9 B.2a 6 C.a 6+a 8 D.a 12 6. 下列各式正确的是（ ） A. ()a a 3327=; B. ()-=-39333xy x y ; C. [()]c c 2226=; D. -=-()d d 248 7、()[]()[]()n n n y x y x y x 532-+-?- 8．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ） A ． 2 n 8 n B ．（a+b ）（a －b ）2 C ．－（a －b ）（b －a ）2 D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）2 9．下列计算中，错误的是（ ） A ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5 B ．（－7）5·（－7）3·74=712 C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10 D ．2 y 4+y 4=2y 8 10． （x －y ）3·（y －x ）3·（y －x ）4 做题一定要看清底数和指数：①如（－2）4与－24底数分别为－2与2；②如m
北师版初中数学重难点分析
北师版初中数学重难点 分析 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
小学与初中数学的学习差异 初中三年的学习将在小学基础上，继续学习数学基础知识中式的基本运算，掌握一些基本运算方法、基本运算技巧及简单的几何知识。 从知识结构上看，初中数学是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，初中数学内容有着两大体系：代数、几何；四大块：代数式的运算、方程、不等式以及几何初步认识，这些知识点在小学或多或少都有过简单的渗透，因此对步入初中后的学习并不陌生。 小学： 知识：简单的、直观的，单纯研究算术数，着重数的运算 教学方式：注重学生用较多时间进行新知的探索，练习机会多，对教师依赖性较强。 初中： 知识：抽象性、严密性，内容更加丰富、抽象，认识上有了质的飞跃，记忆、理解应用、推理归纳的要求更高。 教学方式：教学内容多，时间紧，课堂没有多少复习时间，要通过学生的课前预习、课后复习等环节加以掌握与巩固。 小升初的准备：知识的衔接 1、由算术数到有理数、实数。衔接环节是负数的初步认识，即非负有理数→初步认识负数→有理数。有理数与算术数的区别，有理数是由两部分组成：符号部分和数字部分(即算术数)。有理数的分类与小学的算术数相比只是多了负整数和负分数。务必使学生熟练掌握算术的四则运算，再弄懂符号法则，有理数的运算即可轻而易举过关。 2、由算术运算到代数运算。衔接环节是用字母表示数。即数的运算→用字母表示数→式的运算。小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数Ｘ，一些定律和公式也用字母表示，初步体会到字母比数更具有一般性，所以初中教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况，数的运算可以看成是式的运算的特殊情形，用类比的方法进行教学。
幂的运算经典难题
幂的运算 经典难题 分类讨论 1、有人说:当n 为正整数时,1n 都等于1,(-1)n 也等于1,你同意吗? 2、你能求出满足(n-3)n =(n-3)2n-2的正整数n 吗? 3、你能求出满足(n-3)n+3=(n-3)2n 的正整数n 吗? 4、若n 为正整数,则()[]() 111812-?--?n n 的值( ) A.一定是0; B.一定是偶数; C.不一定是整数; D.是整数但不一定是偶数. 化归思想 1、计算25m ÷5m 的结果为 2、若32,35n m ==，则2313m n +-= 3、已知a m ＝2，a n ＝3，求a 2m-3n 的值。 4、已知: 8·22m －1·23m = 217.求m 的值. 5、若2x+5y —3=0，求4x －1·32y 的值 6、解关于x 的方程: 33x+1·53x+1=152x+4 7、已知:2a ·27b ·37c =1998,其中a,b,c 是自然数,求(a-b-c)2004的值. 8、已知:2a ·27b ·37c ·47d =1998,其中a,b,c,d 是自然数,求(a-b-c+d)2004的值.
9、若整数a,b,c 满足,4169158320=??? ?????? ?????? ??c b a 求a,b, c 的值. 10、已知x 3=m,x 5=n,用含有m ，n 的代数式表示x 14= 11、设x=3m ，y=27m+2，用x 的代数式表示y 是__ ___. 12、已知x=2m+1，y=3+4m ，用x 的代数式表示y 是___ __. 13、1083与1442的大小关系是 14、已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222，请用“>”把它们按从小到大的顺序连接起来 16、若a=8131，b=2741，c=961，则a 、b 、c 的大小关系为 . 17、已知b a 2893==，求??? ??+-??? ??++??? ??-b a b b a b a 2512515122 2的值。 18、已知: ()()1216 13212222++=++++n n n n ,的值试求222250642++++ . 19、已知10m =20,10n =51,的值求n m 239÷ *20、已知25x =2000,80y =2000. .11的值求y x +
幂的运算例题精讲
幂的运算例题精讲 【知识方法归纳】 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ?= (m 、n 是正整数)； a 可以多项式 幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()( 积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数) n n n ab a )()(= 同底数幂的除法 m m n n a a a -=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷ 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则： +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 【典型例题】 例1：计算. （1）2 3 4 444??； （2）3 4 5 2 6 22a a a a a a ?+?-?； （3）1 1211()() ()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+?+?+++?+ 例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。 (1)x 3 ·x 5 = x 15 ( ) ； (2) b 7 + b 7 =b 14 ( ) ； （3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6 ( ) ； (5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4 ( )
新人教版八年级上册数学[幂的运算(提高)知识点整理及重点题型梳理]
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 幂的运算（提高） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 【396573 幂的运算 知识要点】 要点一、同底数幂的乘法性质 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010 101122 1.22?????=?= ? ?????
幂的运算
幂的运算 一、教学内容： 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方与积的乘方 3.同底数幂的除法 二、技能要求： 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 三、主要数学能力 1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。 2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。 四、学习指导 1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n(m, n是自然数) 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数 （4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如： x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加， 如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。 例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3(2) -a4·(-a)3·(-a)5 解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1 =(- )1+2+3②底数为- ，不变。 =(- )6③指数相加1+2+3=6 = ④乘方时先定符号“+”， 再计算的6次幂 解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂 =-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂 =-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理： =-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
?幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式： ①a m×a n=a m+n ②(a m)n=a mn ③(ab)m=a m b m ④a m÷a n=a m-n 只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。 问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。 思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。 方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。 方法原则：可用公式套一套。 但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。 问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。 思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。 因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728 方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。 方法原则：整体不同靠一靠。 然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？ 问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。 思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。
简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300 方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。 方法原则：逆用公式倒一倒。 当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？ 问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。 思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。 简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x =6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3 ∴x=1.5 方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。 问题5、已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。 思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。 简解：64m+1÷2n÷33m =24m+1×34m+1÷2n÷33m=24m+1-n×3m+1=81=34 ∵m、n是正整数∴m+1=4,4m+1－n=0 ∴m=3,n=13 方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。 问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。 思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。 简解：由题意知2c=2×2b=4×2a ∴2c=2b+1=2a+2
幂的运算法则(人教版)(含答案)
幂的运算法则（人教版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列计算正确的有( ) ①；②；③；④． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：A 解题思路： ①中：，①错误； ②中：，②错误； ③中：，③错误； ④中：，④错误． 所以正确的有0个． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：幂的乘方 2.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜”，意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事．据测算，25万粒芝麻才1000克，那么1粒芝麻有( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 根据题意，得 故选C．
试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法 3.计算的结果是( ) A.-10 B.9 C. D.-9 答案：D 解题思路： 观察式子结构划部分，按照法则进行运算． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算 4.计算的结果为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 可以把当作底数，首先化为同底数幂， 然后利用同底数幂的乘除法则进行计算． 故选C． 试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘除混合运算5.计算的结果是( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 观察式子结构划部分，按照法则进行运算． 观察式子底数不同，可以把当作底数， 首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的除法法则进行计算． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算 6.若，则的值为( ) A.4 B.3 C.-2 D.-3 答案：A 解题思路： 观察式子，等式右边底数是6，左边底数是2，3，2×3=6， 根据可得， 所以，解得． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：积的乘方 7.若，，则的值为( ) A.1 B.16 C.4 D.8 答案：D 解题思路： 观察式子，，
幂的运算(提高)知识讲解
幂的运算（提高） 【要点梳理】 要点一、同底数幂的乘法性质 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010 101122 1.22?????=?= ? ????? 要点四、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
