2019-2020学年高二数学双测2.1 椭圆单元测试(B卷提升篇)(浙江专用)(解析版)
2019-2020学年高二数学双测2.1 椭圆单元测试(B卷提升篇)(浙江专用)(解析版)
专题2.1 椭圆单元测试(B 卷提升篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·山东省淄博实验中学高二月考）“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意，方程22175x ym m +=--表示一个椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得57m <<且6m ≠， 所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--”的必要不充分条件，故选C.2．（2019·黑龙江高三月考（理））若方程 221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是（ ） A ．5(,2)3B ．(2,)+∞C ．5(,)3+∞D ．5(,2)(2,)3+∞【答案】A 【解析】由题,因为221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,所以1350a a ->->,即523a <<故选：A3．（2019·宝鸡中学高二期中（文）） 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B 【解析】 不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 24b = 12c e a ⇒==，故选B. 4．（2020·广东仲元中学高三月考（理））在椭圆22142x y +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C 【解析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,i B 对1F 、2F 张开的角θ最大，2b =，2a =，c =90θ=︒．这样的点P 有两个；当1PF x ⊥轴或2PF x ⊥轴时，也满足题意．这样的点P 有4个； 因此△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有6个． 故选：C ．5．（2019·福建省建瓯市芝华中学高二期中）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．13C ．12D 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2| m ，故离心率e ＝12122332F F c m a PF PF ===+选D. 6．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，可得，即，，即，，即：，解得．故选：B ．7．（2019·石嘴山市第三中学高二月考（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】C 【解析】因为3AB =，所以232AF =，又12||2F F ， 所以在直角三角形12AF F 中，222211235||||||2()22AF F F AB =+=+=，因为1253||||4222AF AF a +=+==，所以2,1,3a c b === 所以椭圆的方程为：22143x y +=.8．（2019·浙江高二期中）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．23【答案】B 【解析】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴6c e a ==． 故选：B ．9．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A ．6 B ．23C ．12D ．22【答案】A 【解析】将2by =代入椭圆方程得：3,2b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又椭圆焦点(),0F c 3,22b BF c a ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭90BFC ∠= 22222222233310444442b ac BF CF c a c a c a -∴⋅=-+=-+=-= 22223c e a ∴== 63e ∴=故选：A10．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设， 所以，选C.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2016·浙江高三期中（理））已知曲线22212x y k k+=-．当曲线表示圆时k 的取值是 ；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是 ． 【答案】2或-1；2k >或1k <-；01k <<． 【解析】因为曲线22212x y k k+=-，所以曲线表示圆时，满足条件：22k k -=，解之得2或-1；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足条件：22k k ->即2k >或1k <-，故应填2或-1；2k >或1k <-．12．（2019·浙江高二期中）已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____． 【答案】2 【解析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝6=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2.13．（2018·浙江高三专题练习）已知椭圆22214x y b+= (0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.12【解析】 由题意得a ＝2；由椭圆的定义知2248AF BF AB a ＋＋＝＝， 所以228()3AB AF BF ＝－＋≥， 又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以223b a=，解得b 2＝3，故b=3，2311()142c b e a a ==-=-=． 答案：3，1214．（2019·辽宁高二期中）已知12,F F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点且11||2||AF BF =，2||||AB BF =，则椭圆C 的离心率为____；若3a =，则椭圆方程为__________.【答案】322196x y +=【解析】设1122AF BF m ==，则有223BF a m AB m =-==， 所以2a m =，所以A 即为椭圆短轴的一个端点，设为上顶点，在12AF F ∆中，222124cos 22a c a AF F a c+-∠=⋅⋅，在12BF F ∆中，2221219444cos 1222a c a BF F a c +-∠=⋅⋅， 所以有2222221944440122222a c a a c a a c a c +-+-+=⋅⋅⋅⋅， 整理得：223a c =，所以33c e a ==； 当3a =时，3,6c b ==，则椭圆的方程为：22196x y +=；故答案是：33；22196x y +=.15．（2018·浙江省宁波市鄞州中学高二期中）已知圆C ：和点，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程为______；若直线l 与M 点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l 的方程是______．【答案】【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点M 的坐标为，的垂直平分线交CQ 于点M ，又半径，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为 ， 设直线l 交椭圆与，两点，AB 的中点为，，，则，，作差得：，，直线l 的方程是：，即：．故答案为：，．16．（2017·浙江余姚中学高二月考）若椭圆22:1123x y C +=的弦被点(2,1)P 平分，则这条弦所在的直线l 的方程是______，若点M 是直线l 上一点，则M 到椭圆C 的两个焦点的距离之和的最小值等于______. 【答案】240x y +-= 4655【解析】设l 斜率为k ，椭圆22:1123x y C +=的弦被点()2,1P 平分，由点差法得到14OP K K ⋅=-，12OP K = 得到K=12-，代入已知的中点P 的坐标得到直线方程为240x y +-=；设点(),M x y , 则M 到椭圆C 的两个焦点距离，先找点2F 关于240x y +-=的对称点为’2174F (,)55,连接’21F F ，交直线于点M ，此时距离之和最小，最小值为2221324465|F F |=()()555+=. 故答案为：(1) 240x y +-= (2)465. 17．（2014·浙江高三期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆上，点P 满足(λ∈R)，且，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】15 【解析】，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2018·上海高二期末）已知动圆M 既与圆1C ：2240x y x ++=外切，又与圆2C ：224960x y x +--=内切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.【答案】2213632x y += 【解析】1C ：()2224x y ++=，2C ：()222100x y -+=，设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，则112122212410MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩， ∴M 是以1C 、2C 为焦点，长轴长为12的椭圆，∴221236a a =⇒=，22232b a c =-=， ∴所求轨迹方程为2213632x y +=.19．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】(1)221164x y +=；(2) 240x y +-=，5【解析】(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=．(2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--，∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=.由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．20．（2019·浙江高二期中）已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O，求出直线l 的方程．【答案】(1)22 143x y +=．(2) 22y x =±- 【解析】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b ac a b c ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，，()222121212221616434144343k k x x x x x x k k -⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭， 2122143413243OAB k S OM x x k -=⋅-==+， 解得5k =±，直线l 的方程为52y x =±-． 21．（2019·黑龙江高二期中（理））如图1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，211AF F F =．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B △的面积为403a ，b 的值．【答案】（1）12e =；（2）10a =，53b =【解析】（1）112AF F F =，2a c ∴=12c e a ∴==； （2）设2BF m =，则12BF a m =-，1122AF F F =AF =，故三角形12AF F 是等边三角形，121218018060120F F F F B A =-=-∴∠∠=在三角形12BF F 中，222121221212|2cos BF B F F F BF F F F F B ︒=+-∠，22221(2)()2a m m a am ∴⋅--=+-， 35m a ∴=， 1AF B △面积11sin 602BA F A S ︒=，1325a a a ⎛⎫∴⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 10a ∴=，5,c b ∴==．22．（2020·辽宁高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=； （2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k +=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+， ()()()222222221682114114AOB k t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116kt k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+. 令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOB p p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2.。
2019-2020学年高二数学双测2.3 抛物线单元测试(B卷提升篇)(浙江专用)(解析版)
2.3 抛物线 单元测试(B 卷提升篇)（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川成都外国语学校高二期中（理））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以， 所以抛物线焦点坐标为，故答案选2．（2018·上海高二期末）抛物线2x my =上的点到定点()0,4和定直线4y =-的距离相等，则m 的值等于（ ）A ．116B ．116-C ．16D ．16-【答案】C【解析】根据抛物线定义可知，定点(0,4)为抛物线的焦点，且0m >， ∴44m =，解得：16m =. 故选：C.3．（2019·上海市民立中学高二期末）平直角坐标系内，到点()1,1A 和直线:230l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】因为点(1,1)A 位于直线:230l x y +-=上，所以动点的轨迹为过A 点与直线:230l x y +-=垂直的直线．4．（2019·内蒙古高二月考（理））点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-的距离和的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．3D ．21+ 【答案】D【解析】由y 2＝4x 得p ＝2，2P =1，所以焦点为F （1，0），准线x ＝﹣1， 过P 作PN 垂直直线x ＝﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN |＝|PF |，连接F 、A ，有|F A |≤|P A |+|PF |，所以P 为AF 与抛物线的交点，点P 到点A （0，﹣1）的距离与点P 到直线x ＝﹣1的距离之和的最小值为|F A |2=，所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-的距离和的最小值是21+.故选D ．5．（2019·浙江高二期中）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA =-2FB ，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0）和准线l ：x =-1，作图如下：∵FA =2FB -，可得|F A |：|AB |=2：3，|FD |：|BC |=2：3，因为|FD |=2，所以|BC |=3，|FB |=3故选：C ．6．（2019·辽宁高二期中）设抛物线2y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为33，那么||PF =（ ）. A ．23 B ．43 C ．73 D ．4 【答案】B【解析】如图所示：因为抛物线方程为24y x =-，所以焦点(1,0)F -，准线l 的方程为1x =， 因为直线AF 的斜率为33， 所以直线AF 的方程为3(1)3y x =+， 当1x =时，233y =，所以A 点的坐标为， 因为PA l ⊥，A 为垂足，所以P 点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3-， 所以141()33PF PA ==--=， 故选：B. 7．（2019·甘肃高二期中）已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】 抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.8．（2019·福建高二月考）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD ，则抛物线方程是（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B【解析】画出图像如下图所示，由于直线MF 的斜率为3，故π3MFA ∠=，由于MN l ⊥，故π3FMN ∠=，根据抛物线的定义得MN MF =，故三角形MNF 是等边三角形.由于O 是BF 的中点，//BN OD ，所以D 是NF 中点，而3MD =，根据等边三角形的性质可知2MN MF NF ===，在直角三角形ODF 中，π1,3DF DFO =∠=，所以122p OF ==，解得1p =，故抛物线方程为22y x =. 故选：B.9．（2019·福建高二期中）已知F 是抛物线x 2=y 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ）A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线x 2=y 的焦点F （0，14）准线方程y =-14， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF |+|BF |=y 1+14+y 2+14=3解得y 1+y 2=52， ∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54， 故选：C ．10．（2019·黑龙江双鸭山一中高三月考（理））已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1B1 CD【答案】B【解析】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， 所以()()0,1,0,1A F -， 则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P±， 2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率2212222c c e a a ====-+，故选B. 第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·浙江高二期中）若M 是抛物线24x y =上一点，且5,MF O =为坐标原点，则该抛物线的准线方程为_______.线段MO = _______, 【答案】1y =- 42【解析】由抛物线24x y =，可得抛物线的开口向上，且2p =，所以抛物线的准线方程为12p y =-=- 设00(,)M x y ，根据抛物线的定义可得00152p MF y y =+=+=，解得04y =， 把点0(,4)M x 代入抛物线的方程，得204416x =⨯=，解得04x =±，即点(4,4)M ±，所以22(4)442MO =±+=．12．（2019·辽宁高二期中）图1是抛物线型拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽42米，建立如下图2所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降1米后，水面宽是 _______米.【答案】24x y =- 3【解析】设这条抛物线的解析式为22(0)x py p =->，由已知抛物线经过点(22,2)-，可得82(2)p =-⨯-，解得2p =，所以抛物线的解析式为：24x y =-；当3y =-时，即212x =，解得23x =±所以当水面下降1米后，水面的宽度为故答案是：24x y =-；13．（2018·上海市复兴高级中学高二期末）P 为抛物线2:4C y x =上一动点，F 为C 的焦点，平面上一点(3,)A m ，若PF PA +的最小值为4，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】23,23m【解析】 抛物线2:4C y x =的准线方程为：:1l x =-,设PB l ⊥,垂足为B .设P 点坐标为2(,)4y y .根据抛物线的定义有PF PA PB PA +=+,当P 线段AB 上时, PF PA +有最小值,最小值为4,符合题意,此时有203,[4y y m m ≤≤=⇒∈-. 故答案为：23,23m14．（2019·浙江诸暨中学高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭9 【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点， 119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．15．（2019·浙江高二期末）如图，已知抛物线C ：28y x =，则其准线方程为_______；过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，若||3AF =，则BF =_______.【答案】2x =- 6【解析】依题意抛物线的方程为28y x =，故22p =，所以准线方程为2x =-.由于3AF =，根据抛物线的定义，32A p AF x =+=，1A x =，代入抛物线方程，求得22A y =.所以直线AB 的斜率为2202212-=--，方程为()2222242y x x =--=-+.代入抛物线方程并化简得2540x x -+=，解得4B x =，根据抛物线的定义可知4262B p BF x =+=+=. 16．（2018·浙江高二期末）抛物线2x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为P .若该抛物线上的点M 满足2MP MF =，则点M 的纵坐标为__________． 【答案】14【解析】 由题意，点M 在抛物线2x y =上，设点M 的坐标为2(,)a a ，又抛物线2x y =的焦点为1(0,)4F ，准线方程为14y =-，则1(0,)4P - 因为2MP MF =，所以222211()2()44a a a a ++=+-， 解得12a =，所以点M 的坐标为214a =. 17．（2014·浙江高三月考（文））已知抛物线的焦点F 恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.【答案】【解析】由题意焦点，交点，代入双曲线的方程得，又 ，化简得，，，故答案是.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知点F 为抛物线C ：x 2=2py （P ＞0）的焦点，点A （m ，3）在抛物线C 上，且|AF |=5，若点P 是抛物线C 上的一个动点，设点P 到直线x -2y -6=0的距离为d ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求d 的最小值．【答案】（1）x 2=8y （2【解析】（1）由抛物线的定义得，|AF |=3+2p =5． 解得p =4，所以抛物线C 的方程为x 2=8y ．（2）设直线x -2y -6=0的平行线：x -2y +c =0，⇒2208x y c x y-+=⎧⎨=⎩，得2440x x c --= 故△=16+16c =0⇒c =-1． 所求d19．（2019·辽宁高二期中）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是y 轴，直线l 与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 中点M 的纵坐标为2，且||||6AF BF +=.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设抛物线的焦点为F ，若直线l 经过焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）24xy =；（2）y 12x =±+； 【解析】 （1）由题意可设抛物线C 的标准方程为：22(0)x py p =>，设()()1122A x y B x y ，、，，则124y y +=∵12 6AF BF y y p +=++=，∴2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =（2）由已知得k 一定存在且0k ≠;故可设直线l 的方程为：1y kx =+，则联立直线l 与抛物线方程，整理可得：22y (24)10k y -++=由韦达定理得，24212120241k k y y k y y ⎧=+>⎪+=+⎨⎪=⎩∴212y +y 24k =+=4解得：k=±2，故所求直线方程为y 12x =±+. 20．（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知F 为抛物线C ：y 2=2px （P ＞0）的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点（m ，0），且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．【答案】（1）y 2=4x （2）1m -3＜＜．【解析】（1）由条件得2p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，（2）设直线方程为y =x -m ，代入y 2=4x 得y 2-4y +4m =0，△=16-16m ＞0，m <1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4，y 1y 2=4m∵F （1，0），∴FA =（x 1-1，y 1），FB =（x 2-1，y 2），∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴∠AFB 为钝角，即FA •FB ＜0，⇒（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2＜0，即x 1x 2-（x 1+x 2）+1+4m ＜0， ∴212()16y y -[（y 1+y 2）+2m ]+1+4m ＜0， ∴m 2+2m -3＜0，解得1m -3＜＜．21．（2019·浙江高三期中）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 2122p M p p ⎛-- ⎝ (2) 2 【解析】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12p x =-， 所以22122p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以2122p M p p ⎛-- ⎝ (2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分，所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+ 所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =， 所以20975248o y p x p-=又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k 22．（2018·上海市通河中学高二期末）已知动圆过定点(1,0)P ，且与定直线:1l x =-相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）试过点P 且斜率为M 相交于A B 、两点.问：ABC ∆能否为正三角形？ （3）过点P 作两条斜率存在且互相垂直的直线12l l 、，设1l 与轨迹M 相交于G H 、，2l 与轨迹M 相交于点D E 、，求GD EH ⋅的最小值.【答案】（1）24y x = （2）不能,理由见解析 （3）16【解析】（1）因为动圆过定点(1,0)P ，且与定直线:1l x =-相切所以动圆圆心M 到定点(1,0)P 与到定直线:1l x =-的距离相等由抛物线定义可知,动圆圆心的轨迹是抛物线该抛物线以(1,0)P 为焦点,以:1l x =-为准线所以动圆圆心的轨迹M 的方程为24y x =（2）ABC ∆不能为正三角形.理由如下:过点P 且斜率为AB 方程为)1y x =-则)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理化简可得231030x x -+=直线与曲线M 相交于A B 、两点.解方程组可得A B 、两点的坐标为(1,,3,33A B ⎛- ⎝⎭因为C 在l 上,所以设()1,C y -,且ABC ∆能为正三角形 则AC BC AB ==,即满足BC AB AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩当BC AB =时,由两点间距离公式得()()2222131333y ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解方程可得y=-当AC AB=时,由两点间距离公式得2222111333y⎫⎛⎛⎫⎛⎫++=-+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解方程可得y=±因为两个方程的解不相同,所以不存在这样的C点,使ABC∆为正三角形即ABC∆不能为正三角形.（3）因为过点P作的两条斜率存在的直线12l l、设直线1l的斜率为k,则1l的方程为()1y k x=-,1l与轨迹M相交于G H、,设()()1122,,,G x y H x y由()214y k xy x⎧=-⎨=⎩整理化简可得()2222240k x k x k-++=则21212224,1kx x x xk++==因为直线12l l、互相垂直,则直线2l的斜率为1k-,其方程可设为()11y xk=--,2l与轨迹M相交于点D E、,设()()3344,,,D x yE x y由()2114y xky x⎧=--⎪⎨⎪=⎩整理化简可得()222410x k x-++=则2343424,1x x k x x+=+=所以GD EH⋅()()GP PD EP PH=+⋅+GP EP GP PH PD EP PD PH=⋅+⋅+⋅+⋅因为直线12l l、互相垂直则0,0GP EP PD PH⋅=⋅=则GD EH⋅GP PH PD EP =⋅+⋅ GP PH PD EP =⋅+⋅由抛物线定义可知12341,1,1,1,GP x PH x PD x EP x =+=+=+=+ 所以GP PH PD EP ⋅+⋅()()()()12341111x x x x =+++++ 1212343411x x x x x x x x =+++++++ 22224111241k k k +=++++++ 22448k k =++由基本不等式可知22448816k k ++≥=当且仅当2244k k=,即1k =±时取等号.即GD EH ⋅的最小值为16。
2019-2020学年高二数学椭圆测试题
高二数学椭圆经典测试题姓名：__________考号：___________一、选择题（每题5分）1．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．已知△ABC 的周长为20，且定点B （0，－4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0） 3．椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ） A ．35 B ． 34 C ．45 D ．9254．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是。
A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 5．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ） （A ）长轴长相等 （B ）短轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等6．椭圆1162522=+y x 的焦距是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．107．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A．2-．12C．2+．1 8．已知椭圆的方程为22194x y +=，则该椭圆的长半轴长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．4高二数学试题试卷第2页，总4页9．椭圆13422=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(±10．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点,且AB 错误！未找到引用源。
考点23 椭圆-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 Word版含解析
姓名，年级：时间：考点23 椭圆考点梳理1．椭圆的定义在平面内到两定点F1，F2的距离的和为常数2a(2a>｜F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．设P（x，y）是椭圆上一点,|F1F2|＝2c，则｜PF1|＋|PF2｜＝2a（a>c>0）．2．椭圆的标准方程和几何性质3．直线与椭圆的位置关系把椭圆方程错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y,整理形如Ax2＋Bx＋C＝0（A≠0)的形式．则：例题讲解【例1】椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为（）A.错误! B。
错误! C.错误! D。
错误!【解析】由椭圆的性质知,a＝2，b＝3，所以c＝1，所以离心率为e＝错误!＝错误!，即选C.【变式训练】椭圆错误!＋y2＝1两焦点之间的距离为____________．【答案】2错误!【分析】由椭圆的性质知a＝错误!，b＝1，所以c＝错误!，则两点间的距离为2错误!。
【例2】设椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B。
若错误!＝错误!＝2,则该椭圆的方程为( )A。
错误!＋错误!＝1 B.错误!＋y2＝1 C。
错误!＋y2＝1 D.错误!＋y2＝1【解析】由已知得，2c＝2，即c＝1；|BF1|＝b2＋c2＝a＝2。
所以b2＝3.即该椭圆的方程为x24＋错误!＝1，即选A。
【变式训练】椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到两个焦点的距离相等都为4，则m＝__________．【答案】4【分析】到两个焦点的距离相等且在椭圆上的点必为椭圆短轴的顶点，即P为椭圆短轴的顶点,到焦点的距离为错误!＝2,所以m＝4.【例3】设椭圆Γ：错误!＋错误!＝1（a>b>0）的焦点为F1,F2，若椭圆Γ上存在点P，使△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形,则椭圆Γ的离心率的取值范围是（）A．(0，12） B．（0，错误!） C．(错误!,1） D．(错误!,1)【解析】设椭圆Γ与y轴交点为P1,P2，由已知得点P为椭圆Γ上除去点P1，P2的动点，所以a－c<｜PF1｜<a＋c,又△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，所以a－c〈2c<a＋c，所以e＝错误!∈（错误!，1)．即选D.【变式训练】已知F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B 两点，若|AB｜＝5，则｜AF1|＋｜BF1|＝（)A．11 B．10 C．9 D．16【答案】A【分析】根据椭圆的定义｜AF1｜＋|AF2｜＝2a＝8,|BF1|＋|BF2｜＝2a＝8，｜AF1|＋|AF2｜＋｜BF1|＋｜BF2｜＝16，所以｜AF1｜＋｜BF1｜＋(｜AF2|＋|BF2|)＝16，即｜AF1|＋|BF1｜＋|AB|＝16，又｜AB|＝5，所以|AF1｜＋|BF1｜＝11。
(word版)高二数学椭圆训练试卷[含答案及解析],文档
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WORD格式.可编辑高二数学椭圆一．选择题22与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为1．椭圆ax+by=1，那么的值为〔〕A．B．C．D．2．方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是〔〕A．B．〔1，+∞〕C．〔1，2〕D．22〕3．椭圆x+4y=1的离心率为〔A．B．C．D．4．椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是〔〕A．B．C．1D．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P〔，﹣4〕和Q〔﹣，3〕，那么此椭圆的方程是〔〕A．2=1B．+y2x+=1C．22D．以上均不对=1+y=1或x+6．P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，那么使∠F1PF2=90°的点P有〔〕A．4个B．2个C．1个D．0个7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是〔〕A．〔±，0〕B．〔0，±〕C．〔±，0〕D．〔±，0〕8．假设椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是〔0，4〕，那么实数k的值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣9．椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，那么P到另一焦点距离为〔〕A．9B．7C．5D．3二．填空题〔共6小题〕技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑10．〔2021?湖北模拟〕如图Rt △ABC 中，AB=AC=1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，那么这个椭圆的焦距长为_________ ．11．假设P 是椭圆 +=1上任意一点，F 1、F 2是焦点，那么∠F 1PF 2的最大值为 _________ ．12．F 1、F 2是椭圆 + =1的两个焦点， P 是椭圆上一点，那么 |PF 1|?|PF 2|有最_________值为 _________ ．13．经过两点 P 1〔 〕，P 2〔0， 〕的椭圆的标准方程 _________．14．焦距为 8，离心率为，那么椭圆的标准方程为 _________ ．15．点P 在椭圆 + =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，假设 PF 1⊥PF 2，那么点P 的坐标是_________ ．三．解答题〔共 5小题〕16．椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点〔1，2 〕，求椭圆的标准方程．17．中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两焦点间的距离为 ，假设椭圆被直线 x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣ ，求椭圆的方程．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑18．椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P〔1，〕，求该椭圆的方程．19．求适合以下条件的椭圆的标准方程：〔1〕焦点在x轴上，a=6，e=；〔2〕焦点在y轴上，c=3，e=．20．椭圆两焦点的坐标分别是〔﹣2，0〕，〔2，0〕，并且经过点〔2，〕，求椭圆方程．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑21.：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕ax 2+by 2=1与直线y=1﹣x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 1．〔2021?兴国县一模〕椭圆中点的直线的斜率为 ，那么 的值为〔 〕A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得 ax 2+b 〔1﹣x 〕2=1，〔a+b 〕x 2﹣2bx+b ﹣1=0，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，由韦达定理得 AB 中点坐标：〔 〕，AB 中点与原点连线的斜率k== = ．解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得 ax 2+b 〔1﹣x 〕2=1，〔a+b 〕x 2﹣2bx+b ﹣1=0，〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，，y 1+y 2=1﹣x 1+1﹣x 2=2﹣ = ，AB 中点坐标：〔〕，AB 中点与原点连线的斜率 k= = = ．应选A ．点评：此题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．〔2021?香洲区模拟〕方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是〔 〕A ．B ．〔1，+∞〕C ．〔1，2〕D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得焦点在y 轴上的椭圆方程中， x 2、y 2的分母均为正数，且y 2 的分母较大，由此建立关于 k 的不等式组，解之即得实数 k 的取值范围．技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑解答：解：∵方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴，解之得 1＜k ＜2实数k 的取值范围是〔 1，2〕应选：C点评：此题给出标准方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求参数k 的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于根底题．3．〔2007?安徽〕椭圆x 2+4y 2=1的离心率为〔 〕A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：把椭圆的方程化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2=b 2+c 2求出c 的值，利 用离心率公式e=，把a 与c 的值代入即可求出值．解答：x2解：把椭圆方程化为标准方程得：+=1，得到a=1，b= ，那么c== ，所以椭圆的离心率 e= = ．应选A点评：此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．4．〔2006?东城区二模〕椭圆 +=1的右焦点到直线 y= x 的距离是〔〕A ．B ．C ．1D ．考点：椭圆的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据题意，可得右焦点 F 〔1，0〕，由点到直线的距离公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，可得右焦点 F 〔1，0〕，y= x 可化为y ﹣ x=0，技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑那么d== ，应选B ．点评：此题考查椭圆的性质以及点到直线的距离的计算，注意公式的准确记忆．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P 〔，﹣4〕和Q 〔﹣，3〕，那么此椭圆的方程是〔 〕A ．B ．+y 2=1x 2+=1C ．D ．以上均不对+y 2=1或x 2+=1考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设经过两点 P 〔 ，﹣4〕和Q 〔﹣ ，3〕，的椭圆标准方程为 mx 2+ny 2=1〔m ＞0，n＞0，m ≠n 〕，利用待定系数法能求出椭圆方程．解答：解：设经过两点 P 〔 ，﹣4〕和Q 〔﹣ ，3〕，的椭圆标准方程为 mx 2+ny 2=1〔m ＞0，n ＞0，m ≠n 〕，代入A 、B 得， ，解得m=1，n=，∴所求椭圆方程为x 2+ =1．应选：B ．点评：此题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．6．P 为椭圆 + =1上的点，F 1、F 2为其两焦点， 那么使∠F 1PF 2=90°的点P 有〔 〕A ．4个B ．2个C ．1个D ．0个考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得出a 、b 、c 的值，由∠F 1PF 2=90°得出点P 在以F 1F 2为直径的圆〔除F 1 2〕，且r ＜b ，得出圆在椭圆内，点 P 不存在．、F技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑解答：解：∵椭圆 +=1中，a=4，b=2 ，∴c= =2；∴焦点F 1〔﹣2，0〕，F 2〔2，0〕；又∵∠F 1PF 2=90°，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆 x 2+y 2=4上〔除F 1、F 2〕，又∵r=2＜2 =b ，∴圆被椭圆内含，点 P 不存在．点评：此题考查了椭圆的标准方程与圆的标准方程的应用问题，解题时应灵活利用∠F 1PF 2=90°，是根底题．7．椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是〔 〕A ．〔±，0〕B ．〔0，±〕C ．D ．〔±，0〕〔±，0〕考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆方程化为标准方程，再利用 c=即可得出．解答：解：椭圆4x 2+9y 2=1化为，a 2=，b2=，∴c= =∴椭圆的焦点坐标为〔 ± ，0〕．应选：C ．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．8．假设椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点坐标是〔 0，4〕，那么实数 k 的值为〔〕A ．B ．﹣C ．D ．﹣考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦点坐标为〔 0，4〕可得k ＞0，化椭圆方程为标准式，求出 c ，再由c=4得答案．技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑解答：解：由2kx 2+ky 2=1，得 ，22椭圆2kx+ky=1的一个焦点坐标是〔0，4〕，∴ ， ，那么 ， ．∴ ，解得 ．应选：C ．点评：此题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的标准方程，是根底题．9．椭圆 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3，那么P 到另一焦点距离为〔 〕A ．9B ．7C ．5D ．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出 a 的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a ，把a 的值代入即可求出常数的值得到 P 到两焦点的距离之和，由 P 到一个焦点的距离为3，求出P 到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆 ，得a=5，那么2a=10，且点P 到椭圆一焦点的距离为 3，由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a ﹣3=10﹣3=7．应选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．二．填空题〔共 6小题〕10．〔2021?湖北模拟〕如图 Rt △ABC 中，AB=AC=1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上，且这个椭圆过 A 、B 两点，那么这个椭圆的焦距长为 ．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设另一焦点为D，那么可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到答案．解答：解析：设另一焦点为D，Rt△ABC中，AB=AC=1，∴BC=AC+AD=2a，AC+AB+BC=1+1+=4a，∴a=又∵AC=1，∴AD=．在Rt△ACD中焦距CD==．故答案为：．点评：此题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系．11．假设P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，那么∠F1PF2的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求得a和b的大小，进而利用椭圆的根本性质，确定最大角的位置，求出∠F1PF2的最大值．解答：解：根据椭圆的方程可知：+=1，∴a=2，b=，c=1，由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，此时△F12PF是正三角形，技术资料.整理分享WORD格式.可编辑∴∠F12的最大值为．PF故答案为：．点评：此题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，那么|PF1|?|PF2|有最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=8，再由根本不等式，即可求得|PF1|?|PF2|的最大值．解答：解：椭圆+=1的a=4，那么|PF1|+|PF2|=2a=8，那么|PF122，|?|PF|≤〔〕=16当且仅当|PF1|=|PF2|=4，那么|PF1|?|PF2|有最大值，且为16．故答案为：大，16点评：此题考查椭圆的定义和性质，考查根本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于根底题．13．经过两点P〔〕，P〔0，〕的椭圆的标准方程=1．12考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为mx 2+ny2=1〔m＞0，n＞0，m≠n〕，把两点P1〔〕，P2〔0，〕代入，能求出结果．解答：解L：设椭圆方程为mx 22+ny=1〔m＞0，n＞0，m≠n〕把两点P1〔〕，P2〔0，〕代入，得：，技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑解得m=5，n=4，∴椭圆方程为 5x 2 2，即=1．+4y =1 故答案为：=1．点评：此题考查椭圆的标准方程的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．14．焦距为 8，离心率为，那么椭圆的标准方程为 ，或 ．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦距是 8，离心率，先求出 a=5，c=4，b ，由此能求出椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的焦距是 8，离心率 ，∴ ，解得a=5，c=4，b 2=25﹣16=9，∴椭圆的标准方程为 ，或 ．故答案为： ，或 ．点评：此题考查椭圆的标准方程的求法，是根底题，解题时要防止丢解．15．点P 在椭圆 +=1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，假设PF 1⊥PF 2，那么点P 的坐标是〔3，4〕，〔3，﹣4〕，〔﹣3，4〕，〔﹣3，﹣4〕 ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标， 根据PF 1⊥PF 2 得=0，与椭圆方程联立解得即可．解答：解：由椭圆+ =1，得F 1〔﹣5，0〕，F 2〔5，0〕技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑设P 〔x ，y 〕，=0，①2即〔x+5〕〔x ﹣5〕+y=0因为P 在椭圆上，所以+=1，②两式联立可得x=±3，P 〔3，4〕，P 〔3，﹣4〕，P 〔﹣3，4〕，P 〔﹣3，﹣4〕故答案为：P 〔3，4〕，P 〔3，﹣4〕，P 〔﹣3，4〕，P 〔﹣3，﹣4〕．点评：此题主要考查了椭圆的几何性质，向量的应用．三．解答题〔共 5小题〕16．椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点〔1，2 〕，求椭圆的标准方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：C 的离心率为，且过点〔1，2〕，即可求得先假设椭圆的方程，再利用的椭圆椭圆C 的方程．解答：解：设椭圆方程为，椭圆的半焦距为 c ，∵椭圆C 的离心率为 ，∴，∴ ，①∵椭圆过点〔1，2 〕，∴ ②由①②解得：b 2=，a 2=49∴椭圆C 的方程为．点评：此题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题的关键是待定系数法．17．中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两焦点间的距离为 ，假设椭圆被直线 x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣ ，求椭圆的方程．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑考点：椭圆的标准方程．分析：首先，设椭圆的标准方程为：=1〔a＞b＞0〕，然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．解答：解：设椭圆的标准方程为：=1〔a＞b＞0〕，∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是﹣，∴弦的中点的纵坐标是﹣，设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕．那么有+=1①=1②①﹣②，化简得+=0③x1+x2=2×〔﹣〕=﹣，y1+y2=2×〔〕=﹣，且=﹣1，∴由③得a 2=2b2，又由题意2c=，有c=，那么可求得c 2= =b2，a2=，∴椭圆的标准方程为：+=1．点评：此题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求〞的思想．18．椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P〔1，〕，求该椭圆的方程．技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为 〔a ＞b ＞0〕，由得 ，由此能求出椭圆方程．解答：解：设椭圆方程为〔a ＞b ＞0〕，由得 ，解得 ，b 2=1，∴椭圆方程为 ．点评：此题考查椭圆方程的求法，是根底题，解题时要认真审题， 注意椭圆性质的合理运用．19．求适合以下条件的椭圆的标准方程：1〕焦点在x 轴上，a=6，e=；2〕焦点在y 轴上，c=3，e=．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕由离心率公式，求得c ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，即可得到椭圆方程；〔2〕由离心率公式，求得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，即可得到椭圆方程．解答：解：〔1〕a=6，e= ，即 ，解得c=2，b 2=a 2﹣c 2=32，那么椭圆的标准方程为：=1； 〔2〕c=3，e=，即，解得，a=5，b 2=a 2﹣c 2=25﹣9=16．那么椭圆的标准方程为：=1．技术资料.整理分享WORD 格式.可编辑点评：此题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于根底题． 20．椭圆两焦点的坐标分别是〔﹣2，0〕，〔2，0〕，并且经过点〔2，〕，求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：直接根据焦点的坐标设出椭圆的方程，再根据点的坐标求出结果． 解答：解：椭圆两焦点的坐标分别是〔﹣2，0〕，〔2，0〕， 所以：设椭圆的方程为： 由于：椭圆经过点〔2，〕， 那么：， 且a 2=b 2+4，那么：，解得：．椭圆方程为： ．点评：此题考查的知识要点：椭圆方程的求法，属于根底题型．21.以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，那么 A 点的轨迹是椭圆，其方程为：x 2y 21。
高二数学椭圆测试题带答案
高二数学圆锥曲线椭圆测试题带答案一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、在平面直角坐标xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为（）A.181622=+y x B.12422=+y x C. 1182422=+y x D. 191622=+y x 2、已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为1F ,2F ,离心率为33，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为34，则C 的方程为( )A.12322=+y x B.1322=+y xC.181222=+y x D.141222=+y x 3、曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 的 （ ） A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等4、图，1F ，2F 是椭圆1C :1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是( )A.2B.3C.23D.265、已知椭圆110222=-+-m y m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于（ ） A.8B.7C.6D.56、已知()2,4是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( ) A.02=-y xB.042=-+y xC.0432=++y xD.082=-+y x7、设1F ,2F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，与直线b y =相切的⊙2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线1EF 与⊙2F 的切点，则椭圆的离心率为（ ）A.23B .33 C.35D.458、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ） A.0个 B.1个C.2个D.3个9、椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为1F ,2F ，过1F 作直线l 交C 于A ,B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且︒=∠902B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ） B.221-C.12-D.2210、设椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是C 上的点,212F F PF ⊥,︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为( ) A.63B.31C.21D.3311、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32C.95D.3512、已知1A ,2A 分别为椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，椭圆C 上异于1A ,2A 的点P 恒满足9421-=⋅PA PA k k ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.94B.32C.95D.35二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知1F ,2F 是椭圆11222=+++k y k x 的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ,B 两点，若2ABF ∆的周长为8，则k 的值为__________ 14、短轴长为52，离心率32=e 的椭圆两焦点为1F ,2F ，过1F 作直线交椭圆于A ,B 两点，则2ABF ∆的周长为__________15、直线01=-+y x 交椭圆122=+ny mx 于A ,B 两点，过原点与线段,AB 中点直线的斜率为22，则=n m__________16、在平面直角坐标系xOy 中，经过点()2,0且斜率为的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q .则k 的取值范围为__________．三、解答题(每小题10分,共2小题20分) 17、已知椭圆1422=+y x 与直线l :0=+-λy x 相切．（1）求λ的值；（2）设直线:m 054=+-y x ，求椭圆上的点到直线m 的最短距离．18、已知椭圆4422=+y x 与斜率为1的直线l 交椭圆于A ,B 两点．(1)求弦AB 长的最大值；(2)求ABO ∆面积的最大值及此时直线l 的方程(O 为坐标原点)高二数学椭圆测试题答案解析第4题答案D第4题解析解答：第5题答案A第6题答案D第6题解析第7题答案C第7题解析第8题答案C第8题解析第9题答案C第10题答案D第10题解析第11题答案D第11题解析第12题答案D第12题解析第13题答案2第13题解析第14题答案12第14题解析第15题答案22第17题答案第18题答案。
2019-2020学年高中数学人教B版选修1-1学业测评：2-1-2.1 椭圆的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A．5,3，45B．10,6，45C．5,3，35D．10,6，35【解析】椭圆方程可化为x29＋y225＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4，∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝ca＝45.故选B.【答案】 B2．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于( )A.3B.3 2C.83D.23【解析】∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca ＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.【答案】 B3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝1【解析】因为2a＝18,2c＝13×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为x281＋y272＝1.【答案】 A4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△F AB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )【导学号：25650051】A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14【解析】由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，又e>0，故所求的椭圆的离心率为5－12.故选B.【答案】 B5．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1，则实数k的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫163，＋∞D ．(0,2) 【解析】 当焦点在x 轴上时，e 2＝c2a2＝4－k4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，1，解得0＜k ＜3. 当焦点在y 轴上时， e 2＝c2a2＝k －4k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，1，解得k ＞163.综上可知选C.【答案】 C 二、填空题6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝13，2a ＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝42，c ＝2，∴椭圆方程为x236＋y232＝1或y236＋x232＝1.【答案】x236＋y232＝1或y236＋x232＝1 7．已知椭圆x2k ＋8＋y29＝1的离心率为12，则k 的值为________.【解析】 当k ＋8＞9时，e 2＝c2a2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；当k ＋8＜9时，e 2＝c2a2＝9－k －89＝14，k ＝－54.【答案】 4或－548．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】 设P 点到x 轴的距离为h ，则 S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|h ，当P 点在y 轴上时，h 最大，此时S △PF 1F 2最大， ∵|F 1F 2|＝2c ＝8，∴h ＝3，即b ＝3. 【答案】 3 三、解答题 9．椭圆y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)的两焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．【解】 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a －c ＝2－3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2，c ＝3，b 2＝1，∴椭圆的方程为y24＋x 2＝1.10.如图2-1-4所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．图2-1-4【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°， 所以|MF 1|＝2|MF 2|， |F 1F 2|＝32|MF 1|.而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3，所以2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33.[能力提升]1．(2016·长沙一模)已知P 是椭圆上一定点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若∠PF 1F 2＝60°，|PF 2|＝3|PF 1|，则椭圆的离心率为( ) 【导学号：25650052】A.3－12B.3－1C ．2－3D ．1－32【解析】 由题意可得△PF 1F 2是直角三角形，|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c .点P 在椭圆上，由椭圆的定义可得e ＝c a ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c c ＋3c＝3－1.【答案】 B2．若点O 和点F 分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 由题意得F (－1,0)， 设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－x204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 故选C. 【答案】 C3．椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________．【解析】 由题意得a －ca ＋c ＝14，解得c ＝35a .又短轴长为2b ，则2b ＝8，即b ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫35a 2＝16，则a 2＝25.故椭圆的标准方程为y225＋x216＝1.【答案】y225＋x216＝14．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率．【解】(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。
（完整）高二数学椭圆试题（有答案）
（完整）⾼⼆数学椭圆试题（有答案）⾼⼆数学椭圆试题⼀：选择题1.已知⽅程表⽰焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1⼜∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的⽅程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（）A．B．C．D．解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准⽅程：由于，∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=．故选B．4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从⽽b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹⽅程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的⽅程是故选B．6．⽅程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解：根据两点间的距离公式可得：表⽰点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表⽰点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的⽅程为：．故选D．7．设θ是三⾓形的⼀个内⾓，且，则⽅程x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰的曲线是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（，），从⽽cosθ＜0，从⽽x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰焦点在y轴上的椭圆．故选D．8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直⾓三⾓形，则椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：设点P在x轴上⽅，坐标为，∵△F1PF2为等腰直⾓三⾓形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离⼼率e=故选D9.从椭圆上⼀点P向x轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），⼜A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离⼼率为e，则e2====，∴椭圆的离⼼率e=．故选C．10.若点O和点F分别为椭圆的中⼼和左焦点，点P为椭圆上的任意⼀点，则的最⼤值为（）A．2B．3C．6D．8解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以==，此⼆次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最⼤值，故选C．11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的⼀个焦点，若椭圆上存在⼀点P，满⾜以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另⼀个焦点F′，由题意知，OM=b，⼜OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，⼜MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，⼜OF=c，直⾓三⾓形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，⼜a2﹣b2=c2，可求得离⼼率e==，故答案选B．12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离⼼率e=（）A．B．C．D．解：由题意可得直线AB的⽅程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0）∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c则∴a2=3b2∴a2=3a2﹣3c2即3c2=2a2∴=故选B13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的⼀点，且|PF1||PF2|的最⼤值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离⼼率的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，1）D．[，]解：∵|PF1|?|PF2|的最⼤值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离⼼率e的取值范围．故选A．14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离⼼率的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代⼊得，根据椭圆的⼏何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，⼜e＜1，故该椭圆离⼼率的取值范围是．故选B．⼆：填空题15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上⼀点，且．若△PF1F2的⾯积为9，则b=3．解：由题意知△PF1F2的⾯积=，∴b=3，故答案为3．16．若⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4＜k＜7．解：∵+=1表⽰焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞7﹣k＞0．∴4＜k＜7．故k的取值范围是4＜k＜7．故答案为：4＜k＜7．17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=2，3，6．解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t此时c2=t2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．解：利⽤椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆⼼，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离⼼率为．解：设切线PA、PB互相垂直，⼜半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直⾓三⾓形，故，解得，故答案为．20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的⽅程是．解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线⽅程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆⽅程为故答案为三：解答题21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上⼀点．（1）求|PF1|?|PF2|的最⼤值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的⾯积为，求b的值．解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|?|PF2|≤=100，∴|PF1|?|PF2|有最⼤值100．（2）∵a=10，|F1F2|=2c．设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4c2②，由①2﹣②得3t1?t2=400﹣4c2，所以由正弦定理可得：=．所以c=6，∴b=8．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另⼀个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离⼼率；（Ⅱ）已知△AF1B的⾯积为40，求a，b 的值．解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°?a=2c?e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三⾓形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°（2a﹣m）2=m2+a2+am．?m=．△AF1B⾯积S=|BA||F1F2|sin60°=40a=10，∴c=5，b=5．23.已知中⼼在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）是否存在平⾏于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的⽅程；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，可设椭圆C的⽅程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从⽽有，解得c=2，a=4，⼜a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的⽅程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其⽅程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另⼀⽅⾯，由直线OA与l的距离4=，从⽽t=±2，由于±2?[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离⼼率；（2）设点P（0，﹣1）满⾜|PA|=|PB|，求E的⽅程解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，⼜2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的⽅程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满⾜⽅程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2所以E的离⼼率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从⽽故椭圆E的⽅程为．25.设椭圆的左焦点为F，离⼼率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．解：（I）根据椭圆⽅程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离⼼率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的⽅程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，⼜A（﹣，0），B（，0），∴=（x1﹣，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．26.设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的⽅程；（Ⅱ）是否存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的⽅程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的⽅程为（2）假设存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线⽅程为y=kx+m解⽅程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以⼜8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆⼼在原点的圆的⼀条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满⾜或，⽽当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．因为，所以，①当k≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”．2当k=0时，27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上⽅的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）求线段MN的长度的最⼩值；（3）当线段MN的长度最⼩时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的⾯积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的⽅程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的⽅程为y=k（x+2），从⽽，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从⽽即，（6分）⼜B（2，0）由得，∴，（8分）故⼜k＞0，∴当且仅当，即时等号成⽴．∴时，线段MN的长度取最⼩值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：⼜所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最⼩值．（3）由（2）可知，当MN取最⼩值时，此时BS的⽅程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的⾯积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平⾏于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．⼜因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满⾜条件．（14分）。
高二数学椭圆测试题(含答案)
高二数学椭圆测试题（一）一.选择题（每小题5分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若直线1y kx =+和椭圆2241x y +=相切, 则2k 的值是………………………[ C ]A.1 / 2B.2 / 3C.3 / 4D.4 / 52.椭圆221mx ny +=与直线x ＋y －1＝0交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为 ,则 的值是…………………………………………………………………[ B ] A ．B ．C D ．3．椭圆22221x y a b+=上对两焦点张角为90的点可能有………………………………[ C ] 4．12,B B 是椭圆短轴的两端点,过左焦点1F 作长轴的垂线,交椭圆于P,若12|FF |是1|OF|和12|B B |的比例中项,则1|PF|:2|OB |的值是……………………………………………[ B ]5．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是…………………………………………………………………………[ A ]A ．B ．C ．D ． 6．设A(－2，F 为椭圆221612x y ＋＝1的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|AM|＋2|MF|取最小值时，点M 的坐标为…………………………………………………………………[ C ]A ．(0，B ．(0，－C ．D ．(－二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上）7．椭圆22259x y +＝1上有一点P 到左准线的距离为2.5，则P 到右焦点的距离为 ． 8． 9． 10.P 是椭圆2243x y ＋＝1上的点，F 1和F 2是焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值和最小值分别是________ 1．8 2．1/2 3．(6, 4．k max ＝4，k mix ＝3 A.4 B.24 C.02,4 D.个个或个个或个个还有其它情况3B C D 若椭圆的一个焦点到相应准线的距离为离心率为则椭圆的半短轴长为用分数表示5, 2, 5. ()432212(4,)(8,):1,1449,________.x y A y B C y B +=若点、、是椭圆上的三点它们关于右焦点的三条焦点半径长成等差数列那么点的坐标是±±±34±n m三.解答题（11,12题每题15分,13题20分,满分50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）11.已知椭圆的焦点在坐标轴上，短轴的一个端点与两焦点构成正三角形，若焦点到椭圆的最短距离为解:如图所示，设点P (0x ，0y )为椭圆上位于第一象限的任一点，其到焦点距离20||PF a ex ＝－，显然0x a ＝时，2||PF最小，故有a c －b ，a ＝2c ，解之得a ＝，b ＝3． 故221129x y ＋＝与221912x y ＋＝为所求椭圆方程． 12． 设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为2，并且椭圆与圆x 2+y 2-4x-2y+52=0交于A 、B 两点，若线段AB 的长等于圆的直径．(1)求直线AB 的方程；(2)求椭圆的方程． 解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=,由c e a ==222a b c =+得224a b =, 设()()1122,,,A B x y x y ,由于线段AB 的长等于圆的直径,所以线段AB 的中点为圆心（2,1）,且AB =则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,两式相减得 ()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-,()()2121221212b x x y y x x a y y -+-=-+,又12122212x x y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩,所以()()222122*********b x x b b a a b y y -+--===-+,121212y y x x -=--,直线AB 的方程为y=-12x+2； （2）由222212214y x x y bb ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩,消去x 得222440y y b -+-=,12212242y y b y y +=⎧⎪∴-⎨=⎪⎩, ()221224b y y ∴=--,又()12122x x y y -=--,所以()()2212124x x y y =--,AB ∴==又AB =()251024b ∴=-, 223,12b a ∴==,所求椭圆的方程为212x +23y =1.13．设椭圆22x a +22y b =1的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 1、A 2．(1)P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=600，求ΔF 1PF 2的面积；(2)若椭圆上存在一点Q ，使∠A 1QA 2=1200，求椭圆离心率e 的取值范围．解：（1）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S 12PF F ∆=12r 1r 2sin ∠F 1PF 2，由r 1+r 2=2a ， 4c 2=r 12+r 22-2cos ∠F 1PF 2，得r 1r 2=21221cos b F PF +∠．代入面积公式，得S 12PF F ∆=1212sin 1cos F PF F PF ∠+∠b 2=b 2tan ∠122F PFb 2．（2）设∠A 1QB=α，∠A 2QB=β，点Q(x 0，y 0)(0<y 0<b)．tan θ=tan(α+β)= tan α+tanβ1-tan αtanβ= 000022021a x a x y y a x y -++--=0222002ay x y a +-．∵202x a +202y b =1，∴x 02=a 2-22a b y 02．∴tan θ=0222022ay a b y b -- =2202ab c y-2ab 22y 02b ， 即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0，∴3e 4+4e 2-4≥0，解之得e 2≥23e<1为所求．。
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专题2.1 椭圆单元测试(B 卷提升篇）（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·山东省淄博实验中学高二月考）“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意，方程22175x ym m +=--表示一个椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得57m <<且6m ≠， 所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--”的必要不充分条件，故选C.2．（2019·黑龙江高三月考（理））若方程 221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是（ ） A ．5(,2)3B ．(2,)+∞C ．5(,)3+∞D ．5(,2)(2,)3+∞【答案】A 【解析】由题,因为221351x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,所以1350a a ->->,即523a <<故选：A3．（2019·宝鸡中学高二期中（文）） 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A ．13B ．12 C ．23D ．34【答案】B 【解析】 不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 24b = 12c e a ⇒==，故选B. 4．（2020·广东仲元中学高三月考（理））在椭圆22142x y +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，这样的点P 有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C 【解析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,i B 对1F 、2F 张开的角θ最大，2b =，2a =，c =90θ=︒．这样的点P 有两个；当1PF x ⊥轴或2PF x ⊥轴时，也满足题意．这样的点P 有4个； 因此△12F PF 为直角三角形，则这样的点P 有6个． 故选：C ．5．（2019·福建省建瓯市芝华中学高二期中）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．13C ．12D 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2| m ，故离心率e ＝12122332F F c m a PF PF ===+选D. 6．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，是椭圆上的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若是正三角形，可得，即，，即，，即：，解得．故选：B ．7．（2019·石嘴山市第三中学高二月考（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】C 【解析】因为3AB =，所以232AF =，又12||2F F ， 所以在直角三角形12AF F 中，222211235||||||2()22AF F F AB =+=+=，因为1253||||4222AF AF a +=+==，所以2,1,3a c b === 所以椭圆的方程为：22143x y +=.8．（2019·浙江高二期中）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．23【答案】B 【解析】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴6c e a ==． 故选：B ．9．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率为( )A ．6 B ．23C ．12D ．22【答案】A 【解析】将2by =代入椭圆方程得：3,2b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又椭圆焦点(),0F c 3,22b BF c a ⎛⎫∴=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭90BFC ∠= 22222222233310444442b ac BF CF c a c a c a -∴⋅=-+=-+=-= 22223c e a ∴== 63e ∴=故选：A10．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设， 所以，选C.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2016·浙江高三期中（理））已知曲线22212x y k k+=-．当曲线表示圆时k 的取值是 ；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是 ． 【答案】2或-1；2k >或1k <-；01k <<． 【解析】因为曲线22212x y k k+=-，所以曲线表示圆时，满足条件：22k k -=，解之得2或-1；当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足条件：22k k ->即2k >或1k <-，故应填2或-1；2k >或1k <-．12．（2019·浙江高二期中）已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____． 【答案】2 【解析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝6=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2.13．（2018·浙江高三专题练习）已知椭圆22214x y b+= (0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.12【解析】 由题意得a ＝2；由椭圆的定义知2248AF BF AB a ＋＋＝＝， 所以228()3AB AF BF ＝－＋≥， 又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以223b a=，解得b 2＝3，故b=3，2311()142c b e a a ==-=-=． 答案：3，1214．（2019·辽宁高二期中）已知12,F F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点且11||2||AF BF =，2||||AB BF =，则椭圆C 的离心率为____；若3a =，则椭圆方程为__________.【答案】322196x y +=【解析】设1122AF BF m ==，则有223BF a m AB m =-==， 所以2a m =，所以A 即为椭圆短轴的一个端点，设为上顶点，在12AF F ∆中，222124cos 22a c a AF F a c+-∠=⋅⋅，在12BF F ∆中，2221219444cos 1222a c a BF F a c +-∠=⋅⋅， 所以有2222221944440122222a c a a c a a c a c +-+-+=⋅⋅⋅⋅， 整理得：223a c =，所以33c e a ==； 当3a =时，3,6c b ==，则椭圆的方程为：22196x y +=；故答案是：33；22196x y +=.15．（2018·浙江省宁波市鄞州中学高二期中）已知圆C ：和点，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程为______；若直线l 与M 点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l 的方程是______．【答案】【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点M 的坐标为，的垂直平分线交CQ 于点M ，又半径，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为 ， 设直线l 交椭圆与，两点，AB 的中点为，，，则，，作差得：，，直线l 的方程是：，即：．故答案为：，．16．（2017·浙江余姚中学高二月考）若椭圆22:1123x y C +=的弦被点(2,1)P 平分，则这条弦所在的直线l 的方程是______，若点M 是直线l 上一点，则M 到椭圆C 的两个焦点的距离之和的最小值等于______. 【答案】240x y +-= 4655【解析】设l 斜率为k ，椭圆22:1123x y C +=的弦被点()2,1P 平分，由点差法得到14OP K K ⋅=-，12OP K = 得到K=12-，代入已知的中点P 的坐标得到直线方程为240x y +-=；设点(),M x y , 则M 到椭圆C 的两个焦点距离，先找点2F 关于240x y +-=的对称点为’2174F (,)55,连接’21F F ，交直线于点M ，此时距离之和最小，最小值为2221324465|F F |=()()555+=. 故答案为：(1) 240x y +-= (2)465. 17．（2014·浙江高三期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆上，点P 满足(λ∈R)，且，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】15 【解析】，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2018·上海高二期末）已知动圆M 既与圆1C ：2240x y x ++=外切，又与圆2C ：224960x y x +--=内切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.【答案】2213632x y += 【解析】1C ：()2224x y ++=，2C ：()222100x y -+=，设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，则112122212410MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩， ∴M 是以1C 、2C 为焦点，长轴长为12的椭圆，∴221236a a =⇒=，22232b a c =-=， ∴所求轨迹方程为2213632x y +=.19．（2019·洛阳市第一高级中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】(1)221164x y +=；(2) 240x y +-=，5【解析】(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=．(2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--，∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=.由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．20．（2019·浙江高二期中）已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O，求出直线l 的方程．【答案】(1)22 143x y +=．(2) 22y x =±- 【解析】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b ac a b c ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，，()222121212221616434144343k k x x x x x x k k -⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭， 2122143413243OAB k S OM x x k -=⋅-==+， 解得5k =±，直线l 的方程为52y x =±-． 21．（2019·黑龙江高二期中（理））如图1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，211AF F F =．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B △的面积为403a ，b 的值．【答案】（1）12e =；（2）10a =，53b =【解析】（1）112AF F F =，2a c ∴=12c e a ∴==； （2）设2BF m =，则12BF a m =-，1122AF F F =AF =，故三角形12AF F 是等边三角形，121218018060120F F F F B A =-=-∴∠∠=在三角形12BF F 中，222121221212|2cos BF B F F F BF F F F F B ︒=+-∠，22221(2)()2a m m a am ∴⋅--=+-， 35m a ∴=， 1AF B △面积11sin 602BA F A S ︒=，1325a a a ⎛⎫∴⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 10a ∴=，5,c b ∴==．22．（2020·辽宁高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，b =则有22212c a ⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=； （2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =可得AB =12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k +=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+， ()()()222222221682114114AOB k t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116kt k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+. 令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOB p p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2.。