数学建模《降落伞的选购问题》

降落伞的选购模型

摘要

本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下，使费用最少。为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行拟合，得出阻力系数k的值。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增函数（证明过程见建模与求解）。由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，伞的承载量最大。建立高度与时间，速度与时间的方程组，代入最大速度20m/s，高度500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞的半径），分别计算出每种伞的最大承载量。最后运用LINGO软件进行线性规划求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径为3m的降落伞6个时总费用最少为4932元。

关键字：线性规划、空气阻力系数、拟合

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~

一、问题的重述

为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。

表1

@

降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重

m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。

表2

（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。

二、模型的假设

1、假设空投物资的瞬时伞已打开。

2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。

3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。

4、降落伞和绳的质量可以忽略不计。

5、`

6、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。

三、符号说明

1、m 降落伞的负载重量

2、g 重力加速度

3、a 降落伞的加速度

4、k 空气的阻力系数

5、S 降落伞的伞面面积 7、 v 降落伞的速度 8、 -

9、 H 降落伞的位移

10、 h 降落伞离地高度

9、x1,x2,x3,x4,x5 分别为每种伞的个数

四、问题的分析

由题意可知每个伞的价格由三部分组成：三面费用C 1、绳索费用C 2、固定费用C 3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用C 2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即r L 2 ；固定费用为定值200。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值。要想确定选购方案，即共需半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规划，确定总费用和每种伞的个数。

要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析（如图二）。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数。

图一 图二

/

对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0的加速运动。因此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出阻力系数k 的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。最后用LINGO 软件进行线性规划算出问题要的结果。

五、建模与求解

（1）首先确定阻力系数K

为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。由假设5可知物体A 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。则物体A 在竖直方向上受到的合外力为：

kSv mg F -=合

由运动学方程：

ma F =合

得

;

m

kSv

mg m

F a -=

=

合

由物体位移H 和时间的二次微分等于加速度建立方程得:

m kSv

mg t d H d -=2

2

用MATLAB 解微分方程得：(程序见附录【1】)

222222)(S

k g m kS mgt e

S

k g

m t H t m

kS

-+=- 则

2

22222500)(S k g m kS mgt e

S

k g

m t h t m

kS

+--=-

|

对给定的数据以)(t h 为拟合函数进行拟合，r=3m,m=300kg,g=,22r S π=,得出 k= 。（程序见附录【2】）

（2）求解最大承载量

用速度对时间的微分等于加速度，且v 0=0建立方程组得：

m

kSv mg dt dv -= 00=v

用MATLAB 解得(程序见附录【3】)

kS

gme

kS gm t v m

kSt

--=

)(

：

由前面的)(t H 和)(t v 函数建立方程组得：

⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎨⎧-==-+=-=--h

H r S s k g m e s k g m ks mgt t H e ks mg ks mg t v m kst m

kst

5002)()(2222

222π

k=,g=,r=[2 3 4]

因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把)(t v 关系式中t 看做一个定值，则关于m 的方程为

kS

gme

kS gm m v m

kSt

--=

)(

从上式我们可以知道)(m v 是关于m 的单调递增函数（证明见附件【7】），并且如果存在平衡状态则必须满足kvs mg =，那么ks

mg

v =

而又通过对m

kst

e

ks

mg ks mg t v --=)( 分析，只有在ks

mg

t v t →

+∞→)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。因此，求最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度s m t v /20)(=,此时500)(=t H ，由方程组调用MATLAB 分别解得半径为r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量

)(r M 如下表：（程序见附录【5】）