线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
6线性空间与线性变换
与A中的
对应，就记
在映射下的像， 在下的原像.
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的像的全体构成的集合称为的像集，记作 (A)，即
例
设A=R, B=R+, (x)=x2+3是R到R+的一个映
射, 它把 x 映射到 x2+3 , 7 是 -2在 下的像.
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定义6 设U,V是R上的两个线性空间，是V到U 上的一个映射，如果满足
(4) 对任何a∈R+，有 a a 1 a a 1 1 （a-1叫做a的负元素）；
(5) 1 a a a ; k (6) k ( a ) k a a (k ) a;
1
(7 ) (k ) a a
(k )
故
1 x1 0 x2 x3 0 x4 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 x1 x 2 x1 x2 x2 . 1 x3 x3 2 x4 x4
因此 f(x)在基
下的坐标为
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于是
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在线性空间Vn中取定一个基 ，则Vn中 的向量 与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之 间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性 组合的对应，即设 则
Vn与Rn有相同的结构，称为Vn与Rn同构。 一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保 持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
线性空间及线性变换
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
第六章线性空间与线性变换
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
线性空间与线性变换解析
线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。
线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。
通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。
一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。
1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。
二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。
若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。
2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中非常重要的两个概念。
它们是研究向量空间和所谓的线性方程组等问题的基础。
线性空间，是一个用于描述向量的抽象数学结构。
一个线性空间可以想象成一个由有限或无限个向量组成的集合，在该集合中，向量之间可以进行加法和数量乘法操作，同时满足若干条公理。
这些公理包括向量加法的交换律和结合律、数量乘法与向量加法的结合律以及分配律等，这些公理确保了线性空间可以执行向量的相加和数乘等操作。
线性变换，是一种将一个线性空间映射到它自身或另一个线性空间的函数。
线性变换使向量的属性得到保持，包括相对强度、方向和距离等。
例如，一个平面上的向量可以被平移、旋转、缩放或倾斜，这些操作可以表示为线性变换。
在应用线性变换时，我们可以将其表示为矩阵形式。
如果有一个线性变换L，将向量x映射到向量y，它可以表示为以下方程：Lx = y这个方程也可以表示为矩阵形式：[L]x = yL表示线性变换的矩阵，x和y分别是输入和输出向量。
矩阵[L]是一个m×n的矩阵，其中m和n分别是输入向量和输出向量的维数。
在对线性空间进行操作时，使用线性变换可以实现多种功能。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性变换来实现几何变换，例如旋转、缩放和平移。
另外，在信号处理和时间序列分析领域中，我们可以使用线性变换对信号进行变换，例如傅里叶变换和小波变换等。
另一个很重要的概念是线性方程组。
线性方程组是一个关于未知量的一组线性方程。
线性方程组通常可以表示为以下形式：a1x1 + a2x2 + … + anxN = b其中，a1，a2，an是已知系数，b是已知常数，x1，x2，xn是未知变量。
线性方程组可以求解出未知变量的值，这也是线性代数的核心问题之一。
总而言之，线性空间和线性变换是线性代数中的两个基础概念，它们在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中都得到了广泛应用。
对线性空间和线性变换的深入理解，有助于理解向量空间与线性方程组等相关问题，进而更好地解决实际问题。
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
线性空间和线性变换
线性空间和线性变换 什么是线性的？什么是空间？什么是变换？ 变换倒是容易理解，就是某种映射。
对于线性空间，有种似懂未懂的感觉，甚⾄对空间的概念就是三维坐标空间那样的空间。
之所以会有这种朦胧的感觉，是因为经常见到但⼜不认真地讨论分析过它。
先给出结论，然后再仔细说明。
⼀、结论 线性空间把集合，数域以及满⾜相应运算律的两种运算作为统⼀整体的⼀个概念。
⼆、详细介绍 定义：设V是⼀个⾮空集合，F是⼀个数域。
（1）如果能定义⼀种V的元素间的运算，叫做加法：对于V中任意两个元素a,b,都有V中唯⼀的元素c与之对应；c称为a与b的和，记为c=a+b。
（2）另外，还能定义⼀种数域F的数与集合V的元素间的运算，叫做数乘：对于数域F中任⼀数k及集合V中任⼀元素a，都有V中唯⼀的元素d与之对应；d称为k与a的数积，记为 d=ka。
（3）并且以上两种运算具有如下性质：对于任意的a，b，c属于V及k，l属于F，满⾜...8个性质 则称V为数域F上的⼀个线性空间 定义中的加法及乘法运算统称为线性运算三、深⼊理解（1）线性空间亦称向量空间。
线性空间的元素⼜称为向量，零元素⼜称为零向量，负元素⼜称负向量。
（2）“加法”与“数乘”其实各是⼀种给定的规则，能成为线性空间定义要求的运算，除了规则的确定性之外，还要具备“运算结果仍在V中”这⼀条件，即要求集合V具备对加法运算和数乘运算的封闭性。
（3）复数域C是实数域R上的⼀个线性空间。
这⾥，加法是通常意义下的，数乘指实数乘复数。
但如果数乘选择 k。
a=1/2ka,k属于R，a属于C 1。
a=1/2a不满⾜其中⼀条性质，因此在这样的数乘意义下不能构成线性空间（4）集合不能构成复数域C上的线性空间。
通常意义下的数乘不满⾜（5）容易发现，很多例⼦中，构成线性空间时的两种运算都是在所涉及领域中通常的加法和数乘，正因为这样，线性空间的研究成果可以⽅便、有效地⽤于我们已经熟悉的许多领域、并且具有统⼀的、居⾼临下的指导作⽤。
第一章 线性空间与线性变换
xi ∈ P
(1.1.4)
称 x = (x1 , x2 ,L, xn ) T 是向量 α 在基 S 下的坐标， 且 x ∈ P.n
定理1 定理1.1.2 在 n 维线性空间 Vn 中，任一向量 在一个基下的坐标唯一.
V 这说明，当线性空间 Vn 的基 S 取定后， n 中任一
个向量的坐标是确定的,即假设 S = {α 1 ,α 2 ,L,α n }
定义1 定义1.2.2 如果 V1 + V2 中任一向量只能唯 一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间 V2 中的一个向量的和，则称 V1 + V2 是 V1 ,V2 • 的直和，记为 V1 ⊕ V2（或 V 1 + V 2 ）.
S 是线性无关向量组；
V
中任一向量都是 S 中向量的线性组合.
V
α 称 S 是 V 的一个基（底）， 1 ,α 2 ,L ,α n 称为V 的基
向量， S 中向量的个数 n ，称为线性空间 数,记为 dim(V ) = n。
的维
维数是 n 的线性空间 V 称为 n 维线性空间， 记为Vn . 假如 V 中存在任意多个线性无关的向量 时，称 V 为无限维线性空间. 如果 注： 定义1.1.3描述的基在线性空间中不唯一.
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此 没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它 的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可 能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所 以子空间的维数比原空间的维数小，即
dim(W ) ≤ dim(V )
下面讨论子空间的生成问题。
设 S = {α 1 ,α 2 ,L,α m } 是数域 P上的线性空间 V 中的一 个向量组，在 P 中任取 m 个数 k1 , k 2 , L, k m ， 做 S 中向 量的线性组合
第一章 线性空间与线性变换
an 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
(1) 含有零向量的向量组一定线性相关； (2) 整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； (3) 如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线
于是同可一得向量在13不24同的 基x1下10坐标11不同x2,
1 0 那1 它1们
有什么关系x呢3 ?10
1 1
x4
1 1
1 0
解得
x1
7, 3
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
基变换与坐标变换
设
1,
2
,
,
（旧的）与
例4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0, 0 0 , 1 0 , 1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4
在这两组基下的
解：设向量A在第一组基下的坐标为 ( x1, x2, x3, x4 )T
子空间的交与和
❖ 两个子空间的交: V1 V2 : V1 & V2 ❖ 两个子空间的和: V1 V2 z x y : xV1, y V2
❖ 子空间交与和的性质
若V1和V2都是V的子空间，则V1∩V2和V1+V2也是V的子空 间.
V1∩V2 = V2∩V1，V1+V2=V2+V1 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3) dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+ dim(V1∩V2)
第七章线性空间与线性变换
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间 l 。
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 A 的核空间或零空间，即
对于 (1,2 ), =(1,2 ) 及 k R ，定义
加法 (1+1 ,2 +2 +11)
数乘
k
(k1
,
k2 +
1 2
k(k
1)12 )
判断 V 是否构成 R 上的线性空间.
三、线性空间的基本性质
定理12 如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1) 线性空间V 中的零向量 是唯一的。
例14 集合 T1 {x x [x1, x2, 0]T , x1, x2 R} 是向 量空间。它是 R3 在 ox1 x2 平面上的投影子空间。
例15 R3 中过原点的直线是R3 的一个子空间。
判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性， 以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子 集是否为线性空间，就比较方便了。
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl) (M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
分析： 容易验证 1, 2, 3 线性无关，因此
也是 P[ x]3 的基。 由高等数学中的泰勒公式，可知
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因此 f(x)在基
下的坐标为
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于是
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在线性空间Vn中取定一个基
，则Vn中
的向量 与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之
间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性
组合的对应，即设
则
Vn与Rn有相同的结构，称为Vn与Rn同构。 一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在
它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保
持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。
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定理2 R上的两个有限维线性空间同构当且 仅当它们的维数相等。
同构主要是保持线性运算的对应关系，因此， Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并 且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但 Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备， 如内积。
因为0(anxn+…+a1x+a0)=0W，即W对数乘不封闭。
例 n个有序实数组成的数组的全体
Sn={x=(x1,x2,…xn)| x1,x2,…xn∈R} 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘
k•(x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0) 不构成R上的向量空间。
因为1x=0 ，不满足运算规律（5） 返回
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定义4 设
是线性空间Vn的一个基，对
于任一元素
，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使
x1,x2,…xn这组有序数就称为 在基 1,2 , n 下的坐
标，记作(x1,x2,xn)。
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例 在线性空间P[x]3中， 就是P[x]3的一个基， P[x]3的维数是4， P[x]3中的任一多 项式
第六章 线性空间与线性变换
第一节 线性空间的定义与性质 第二节 维数、基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 第四节 线性变换 第五节 线性变换的矩阵
§6.1 线性空间的定义与性质
定义1 设V是一个非空集合，R为实数域，如果
对任意两个元素 ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V
与之对应，称为与 的和，记作
；对于任
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性质１ 零元素是唯一的。
假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何
∈V，有 ＋01＝ ， ＋02＝ ，于是特别有
02＋01＝02，01＋02＝01
故
01＝01＋02＝02＋01＝02
性质２ 任一元素的负元素是唯一的。
（ 的负元素记作 ） 假设 有两个负元素 与 ，即
于是
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例 在全体实函数组成的线性空间中，所有实系
数多项式组成V的一个子空间.
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§6.2 维数、基与坐标
定义3 在线性空间V 中，如果存在n个元素 满足：
(1)
线性无关；
(2) V 中任一元素 都可由
线性表示，
那么，
就称为线性空间V 的一个基，n称为
线性空间V的维数。
维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。
(1) a b ab ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c) ;
(3)R+中的元素1满足： a 1 a 1 a
（1叫做R+的零元素）；
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(4) 对任何a∈R+，有 a a1 a a1 1
（a-1叫做a的负元素）；
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例 正实数的全体，记作R＋，定义加法、数乘运算为 a b=ab(a,b∈R＋)，k·a=ak（k∈R,a∈R+）.
验证R+对上述加法与数乘运算构成R上的线性空间.
证 实际上要验证十条. 对加法封闭：对任意a,b∈R＋，有a b＝ab∈R＋；
对数乘封闭：对任意k∈R,a∈R＋，有k·a＝ak∈R＋；
(5) 1 a a1 a ;
(6) k ( a) k a ak (k ) a;
(7) (k ) a a(k ) aka ak a k a a;
(8) k (a b) k (ab) (ab)k akbk ak bk
k a k b.
因此，R＋对于上面定义的运算构成R上的线性空间.
为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).
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凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称
为线性运算；凡定义了线性运算的集合，称为向量空
间（或线性空间）。 注 •向量不一定是有序数组； 意 •向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭； ： •向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不
一定是有序数组的加法及数乘运算。
例 实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记
为P[x]n，即P[x]n ={anxn+…+a1x+a0|an, an-1,…a1, a0∈R} P对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量
空间。
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例 实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即
W={anxn+ an-1xn-1 +…+a1x+a0|an, an-1,…a1, a0∈R ， 且 an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成 R 上的向量空间。
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性质３ 因为 所以
又因为 所以
而
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性质4 如果
,那么
或者
。
假设 ，那么
定义2 R上线性空间V的一个非空子集合W,如果
对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W
为V的线性子空间（简称子空间）。 定理1 线性空间V的非空子集W构成V的子空间
的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那
么V 就称为无限维的。
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若知
为V的一个基，则对任何
，
都有一组有序数x1,x2,…xn使：
并且这组数是唯一的(否则
线性相关)。
反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn 中元素：
这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在 着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示α.
一个数k∈R与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个
元素 ∈V 与之对应，称为k与 的积，记为
两种运算满足以下八条运算规律
（对任意
∈ V , ∈R）：
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(3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何
∈V，都有
；
(4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ,使
（ 称为 的负元素）；
V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称