统计学第六版贾俊平

k阶矩 。
(5)v k
1 n
n
(Xi
i1
X)k，
称为样本
k阶中心矩
。
n
n ( X i X )3
(6) 3
i1
3,
n ( X i X )2 2
i1
称
为
3
样
本
偏
度
。
n
n ( X i X )4
(7) 4
i1 n
3,
[ ( X i X )2 ]2
i1
称 4为样本峰度 。
统计学(第6版)
6. 1 统计量
❖定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。
❖对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
~ χ2(n1)
Xμ
σ/ n
n(Xμ)~ t(n1)
(n1)S2 σ2
1 n1
s
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2.设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ1，σ2)， Y～N(μ2，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，Y1，
Y2， …，Ym是来自Y的样本，记
X
1 n
证明：
X
1 n
n i1
Xi
因为Xi服从正态分布,
所以 X
也服从正态分布
E(X)1
n
n i1
EXi
X~N (,2),
n
D(X)n12
n
2
D(Xi)
i1
n
即 X / n~N (0,1)
6 - 22
由S2
1 n1
n i1
(Xi
X)2，
得(n1)S2 σ2
n i1
Xi
σ
X2
(n1)S2 σ2
n
X i,Y
i1
1 m
m
Yi
i1
E(X Y ) 1 2
2 2 D (X Y ) D (X ) D (Y )
nm
X
Y
~
N
(1
2,
2 n
2) m
( X Y ) ( 1 2 ) ~ N (0, 1) 1 1 nm
S x 2
1 n 1
n
(X i
i1
X )2,
S y2
1 m 1
6 - 15
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 1 2 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
n
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
X
2 i
服从自由度
为n的 2 分布。
i1
❖所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
❖1,1
❖1,2
❖1,3
❖1,4
2
❖2,1
❖2,2
❖2,3
❖2,4
3
❖3,1
❖3,2
❖3,3
❖3,4
4
❖4,1
❖4,2
❖4,3
❖4,4
6 - 29
统计学(第6版)
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
计算出各样本的均值，如下表。
由度为m和n的 2 分布
Y~2(m ) Z~2(n )
则称
X
Y/m nY Z / nm Z
（6. 5）
X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为 F(m,n)，简记为X～F(m,n) 。
6 - 25
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
F分布的性质：
1.若X ~ F(m, n)分布，则数学期望 和方差为
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
6 - 11
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
m
xi M 1xi 1.01.51 64.02.5
m
(xi x)2
2 i1 x
M
(1.02.5)2 (4.02.5)2 0.6252
16
n
式中：M为样本数目
结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
第6章 统计量及其抽样分布
第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态 分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出 一些常用统计量的抽样分布。
6 -2
统计学(第6版)
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的分布 6.6 两个样本均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
6 -9
R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。统计(第6版)6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的 信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为 充分统计量。 因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
6 -3
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6 -5
统计学(第6版)
定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n,
都能导出统计量T(X1,X2, …,Xn)的分布的数学表达式, 这种分布称为精确的抽样分布。
精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 χ 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。
6 - 13
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
t分布的密度函数是 一个偶函数，因此 图形是关于t 0对 称的.
当n充分大时, 其图形 类似于标准正态变量 概率密度的图形.
所以当n足 ，t够 分大 布时 近似 1于 )分； N布 (0,
但对于n 较 t,分 小布 的与分 N布 (0相 ,1差 ) 很
6 - 20
第一个 观察值
❖1 ❖2 ❖3 ❖4
6 - 30
16个样本的均值（x） 第二个观察值
❖1
❖2
❖3
❖1.0
❖1.5
❖2.0
❖1.5
❖2.0
❖2.5
❖2.0
❖2.5
❖3.0
❖2.5
❖3.0
❖3.5
❖4 ❖2.5 ❖3.0 ❖3.5 ❖4.0
统计学(第6版)
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
所有样本均值的均值和方差
参数。
6 -7
统计学(第6版)
6 -8
6. 1 统计量
6.2.2 常用统计量（当n充分大时）
(1) X
1 n
n i1
X i是样本的均值
。
( 2 )S 2 1 n
n
(X i X )2 是样本方差
i1
。
(3)V S 是样本的离散系数 。 X
(4 )m k
1 n
n
X
k，
i
i1
称 m k为样本
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
1.设X1，X2，…Xn是来自正态分布N(μ,σ2)的一个样本，
X
1 n
n i1
Xi
S2n11in1(Xi X)2
则
n ( X ) ～ t(n-1)
（6. 3）
S
称为服从自由度为(n-1)的t分布。
6 - 21
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 1 统计量
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
6 -6
统计学(第6版)
6. 1 统计量
【例6. 1】设X1, X2, , Xn是从总体X中抽取的个 一样本，则
X
1 n
n i1
Xi
S2
1 n 1
n
(Xi
i1
X）2
n
都是统计量，而 [(Xi E(X）2],[(Xi E(X）]/ D(X都) i1