二阶与三阶行列式分析

(1) (2)
两式相减消去 y , 得
(a1b2 – b1a2) x = c1b2 – b1c2;
类似地, 消去 x , 得 (a1b2 – b1a2) y = c2a1 – c1a2; 当(a1b2 – b1a2) 0时, 方程组的解为:
c1b2 b1c2 x a1b 2 - b1a 2
若依次提取其中的三项：
a1 , a2 , a3
a2 b1 b3 b1 a3 c3 b2 c1 c1 c2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1
c2 a1 b3 c3
b2
c2 c3
• 则我们说这就是将原行列式按照第一列展开 了。其中记：
A1
b2 b3
c2 c3
, A2
b1
c1
b3 c3
(6)
记
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
(7)
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(7)式称为由数表(6)所确定的三阶行列式.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
三阶行列式的计算
a1
(1)沙路法 D a2
b1 b2 b3
c1 c2 c3
a3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3 a1b2 c3 b1c2 a3 c1a2b3
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
c b a b aa 1 1 11 c 11 b 11 D D x D Dy c b a22 b22 c aa 22 b2 2 则该二元一次方程组的解(3)式 a1c2 c1a2 c1b2 b1c2 y x a1b2 a2b1 a1b2 a2b1
1 0 1 2 3 5
1 1 a 1 1 1 1 a
• 课堂习题： 将下列行列式按照第二行以及第三列展 开，并算出最终结果。
3
1 2 3 1
2 0 2 3
2 0 1 3 4 2 1 5 6
课堂小结
1、三阶行列式的定义 2、三阶行列式的计算
（1）对角线法则或沙路法 （2）按某一行或列展开
1 2 -4 D -2 2 1 . -3 4 -2
解: 按对角线法则, 有 D = 12(–2) + 21(–3) + (–4)(–2)4
– (–4)2(–3) – 2(–2)(–2) – 114 = –4 – 6 + 32 – 24 – 8 – 4 = –14
•
课堂练习： 计算行列式的值 ：
2 1
4
0
1
0
1 0 1 2 3 5
1 1 a 1 1 1 1 a
三阶行列式按行（或列）展开
• 我们已经知道，按照 对角线法则计算，我们有：
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2c1,
当 D0 当 D 0 时，分两种情况： 1. 假如 D1 , D2 中至少有一个不为0，则由于 D x Dx , D y Dy 恒不成立，故方程组无解。 2. 假如 Dx Dy 0 ，则方程有无数多组解。 时，方程组只有一组解：x Dx , D
y Dy D .
课堂练习：
• 分析： 通过消元的方法可以逐步减少未知 数，最终达到求解方程的目的。 • 思考： 是否可以把这个过程模式化公式化 以简便计算过程？
一、二阶行列式的引入
观察二元一次方程组的解法，步骤如下 用消元法解二元一次方程组:
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
(1)b2: (2)b1: a1b2x + b1b2y = c1b2, b1a2x + b1b2y = b1c2,
3 12 12 2 14, 21, Dy Dx 2 1 1 1
Dy 21 Dx 14 x 2, y 3. 7 7 D D
课堂练习
• 展开并化简行列式：
1
3
4 2
• 解二元一次方程组：
a 1
1 a
4 x 2 y 3 3x y 2
1. 试判断下列二元一次方程组的解的情况
4 x 2 y 3 18x 9 y 5
2. 试讨论下列二元一次方程组的解的情况
mx 4 y m 2 x my m
二、三阶行列式
定义: 设由9(33)个数排成3行3列的数表
a1 b1 a2 b2 a3 b3 c1 c2 c3
1.5x 0.7 y 0.5 0 2.2 x 0.6 y 1.4 0
行列式的值与解的个数
a1 x b1 y c1 对于二元一次方程组 而言： a2 x b2 y c2 a b1 a1 c1 c1 b1 有: D 1 Dx Dy c2 b2 a 2 c2 a2 b2
a1c2 c1a2 y a1b2 a2b1
(3)
由方程组(1)的四个系数确定 定义: 由4(22)个数排成二行二列(横排称行, 竖排 称列)的数表 a1 b1 (4) a b
2 2
则表达式 a1b2 – a2b1 称为由数表(4)所确定的 二阶行列式, 并记作
a1
b1
b2
a2
(5)
即
D
, A3
b1 b2
c1 c2
以上三个二阶行列式称作余子式，带有 符号的余子式即相应元素
a1 , a2 , a3 的代数
余子式。
同理，三阶行列式可以按其他的任意一 行或一列进行展开。计算结果也是一样的。 请按照第二列展开，看看结果如何？
•
课堂练习： 计算行列式的值（按行或列展开）：
2 1
4
0
1
0
即
D a1b2c3 b1c2 a3 c1a2b3
c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3 .
(2)对角线法则
a1
b1
c1 c2 c3
a2 a3
b2 b3
a1b2c3 b1c2 a3 c1a2b3 c1b2 a3 b1a2c3 a1c2b3 .
例2: 计算三阶行列式
a1 a2
b1 b2
= a1b2 – a2b1
二阶行列式的计算——对角线法则 a1 b1 主对角线 = a1b2 – a2b1 a2 b2 副对角线 a x b y c 1 1 1 对于二元一次方程组 a2 x b2 y c2
若记
(1)
a1 D a2
b1 b2
D称为方程组(1)的系数行列式.
c1 b1 Dx c2 b2 可表示为: x , a1 b1 D a2 b2
(3)
a1 D y a2 y a1 D a2
c1 c2 . b1 b2
注意: 分母都为原方程组的系数行列式.
例: 解二元一次方程组
3x 2 y 12 2x y 1
解:
3 2 = 3 – (–4) = 7 0, D 2 1
二阶与三阶行列式
• 问题的引出： 求解方程组：
2 x 3 y 1 4 x y 3
x y z t 1 2 x y 3z 2t 2 x 4 y z t 0 3x 2 y 2 z 3t 1
x y z 0 2 x y z 1 x 2 y 2z 3