圆系方程的应用

圆系方程的应用

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。

一、常用的圆系方程有如下几种：

1、过直线与圆的交点的圆系方程:

2、过两圆和圆的交点的圆系方程：

Ps:当时，得到两圆公共弦所在直线方程

在遇到过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，灵活选取上述各种圆系方程，可简化繁杂的解题过程。

二、圆系方程在解题中的应用：

1、利用圆系方程求圆的方程：

例1 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

方法一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式；2．用标准式。

（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）方法二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：

1．两交点的中垂线与直线相交；

2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；

3．两圆心连线与直线相交。

方法三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。

以下是利用方法三解题的一个例子

例：求经过两圆和

2

23

3y

x ＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方

程．

解：由题可设所求圆的方程为：

（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０

∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２

故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2

222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

2、利用圆系方程求参数的值：

例：已知圆与直线相交于

两点，

为坐标原点，若

，求实数

的值。

分析：此题最易想到设出

，由

得到

，

利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出

在以

为直径的圆

上。而

刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地

简化运算过程。 解：过直线与圆

的交点的圆系方程为：

，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线

上，则

，解之可得

又满足方程①，则

故

3、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：

例：求过两圆和

的交点且面积最小的圆的方

程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆和

的公共弦方程为

，即

过直线与圆

的交点的圆系方程为

，即

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心

必在公共弦所在直线

上。即

，则

代回圆系方程得所求圆方程

4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：

例： 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）

中，任意两个圆的位置关系如何？

解：圆系方程可化为：2

2y x +＋10y ＋20＋k （2x ＋4y ＋10）＝０

∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020100

10422

2y y x y x 即

⎩⎨⎧=++=++5)5(05222y x y x 易知圆心（０，-５）到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆2

2)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆2

2)5(++y x ＝５相切，即上述方程组有且只

有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．

总之，在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。