第11章反常积分答案
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第十一章 反常积分
一、单选题（每题2分）
1、广义积分
dx
x x ⎰
∞
+-1
2
1
1=（ ）
A 、0
B 、2π
C 、4π
D 、发散
2、广义积分
dx x x ⎰
∞+-+2
2
21
=（ ）
A 、4ln
B 、0
C 、4ln 31
D 、发散
3、广义积分⎰+-2
02
34x x dx
=（ ）
A 、3ln 1-
B 、32ln
21 C 、3ln D 、发散
4、下列广义积分收敛的是（ ）
A 、
⎰
∞
+e
dx x x
ln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、
⎰∞
+e x x dx 2
)(ln D 、⎰∞+e
x x dx
21)(ln
5、下列广义积分发散的是（ ）
A 、
⎰∞
-0
dx
e x
B 、
⎰
π
2cos x dx C 、⎰-20
2x dx D 、⎰∞+-0dx e x
6、下列积分中（ ）是收敛的
A 、⎰∞
+∞-xdx sin B 、⎰-2
22sin π
πx dx C 、⎰∞+0dx e x D 、
⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）
A 、⎰-1
1sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02
dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx
8、⎰=-1
01
2
1dx e x x
（ ）
A 、e 1
B 、11-e
C 、e 1
-
D 、∞
9、已知
2sin 0
π
=⎰
∞
+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）
A 、0
B 、4π
C 、 2π
D 、π
10、广义积分=+⎰∞
+∞-dx x 2
11
（ ）
A 、0
B 、2π
C 、2π
-
D 、π
11、下列积分中绝对收敛的是（ ）
A 、
dx x x ⎰
∞
+1
2sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin
12、已知广义积分
dx
x ⎰∞+∞
-sin ，则下列答案中正确的是（ ）
A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞
+∞-dx x
B 、
dx
x ⎰
∞+∞-sin =
()
()()[]0
cos cos cos =∞--∞+-=∞
-∞+-x
C 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0
cos cos lim sin lim =+-=⎰
-+∞
→+∞
→b b xdx b
b
b b
D 、
dx
x ⎰∞+∞
-sin 发散
13、设广义积分
dx
e kb ⎰∞
+-0
收敛，则k （ ）
A 、0≥
B 、0>
C 、0<
D 、0=
答案：BCDCB DAABD ADB
二、判断题（每题2分）
1、当10<<λ时，无穷积分
dx x x
⎰
∞
+1
cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分
dx x x ⎰
∞
+1
sin λ绝对收敛； （ ）
3、若无穷积分()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界，
则无穷积分()()⎰∞+a
dx
x x f ϕ收敛； （ ）
4、若
()⎰∞+a
dx
x f 收敛，则
()0
lim =+∞
→x f x ； （ ）
5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞
+a dx x f 发散； （ ）
6、若
()
x f x +∞
→lim 不存在，则
()⎰∞
+a
dx
x f 发散； （ ）
7、若()x f 单调， ()⎰∞
+a dx x f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ； （ ）
8、若
()⎰
∞+a dx x f 收敛，则
()⎰
∞
+a
dx
x f 2收敛； （ ）
9、若
()⎰∞
+a
dx x f
2
，
()⎰∞
+a
dx
x g 2
收敛，则
()()⎰∞+a
dx
x g x f 收敛； （ ）
10、如果()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞
+a dx x g x f 收敛；（ ）
11、若
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，()0
lim =+∞
→x f x ，则
()⎰∞
+a
dx
x f 2收敛； （ ）
12、如果
()⎰
∞
+a
dx
x f 绝对收敛，()1
lim =+∞
→x g x ，则
()()⎰
∞+a
dx
x g x f 收敛；（ ）
答案：××× ××× ×
三、填空题（每题2分）
1、若无穷积分()⎰∞
+a dx x f 收敛，则
()=
⎰
∞++∞
→dx x f p
p lim
；
2、若无穷积分
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞
+b
dx
x f ；
3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())
0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x a
x λ，
若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰b
a dx x f ；
4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())
0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a
x λ，