2020届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
【2020年数学高考】江西省重点中学协作体2020届高三下学期第一次联考 数学(理).doc
江西省重点中学协作体2020届高三第一次联考试卷数学（理科）试卷满分150分 考试时间120分钟命题人：新余一中 吉安县中第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1 .设集合1{|0}2x A x x+=≥-，{1,0,1,2}B A B =-，则（ ）A ．}{1,0,1- B. }{2,1,0 C. }{2,1,0,1- D.}{2,1 2. 设复数21,z z 互为共轭复数， i z 311+=，则21z z ＝( )A ．－2＋iB ．4C ． －2D ．－2－i3. 已知数列{}n a 满足12(2)n n a a n --=≥，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A. 2n a n = B. 210n a n =+ C. 210n a n =- D. 24n a n =+ 4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方 形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 （ ） A.64πB.32πC.16π D. 8π5.若22cos()4θθπθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13 B ．23- C ．23 D ．13- 6. 已知函数22()log f x x x =+，则不等式0)1()1(<--f x f 的解集为（ ）A ．)2,0(B ．)2,1(-C ．)2,1()1,0(D ．(1,1)(1,3)-7.设向量a ，b 满足1,2==b a ，且)(b a b+⊥，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为( ） A ．1 B ．1- C. 21- D ．218. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有面中,面积最大的那个面的面积为( ) A.2B.C.9. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三下学期第一次联考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020学年高三第二学期第一次联考（理科）数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．23．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．15．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣27．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．28．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥011．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π二、填空题（共4小题）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），集合＝（﹣∞，0），则A∩B＝（﹣∞，﹣1），故选：C．2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．故选：C．3．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：易知1＜2ln2＜2，2+2ln2＞2，0＜（ln2）2＜1，∴c＜a＜b．故选：A．4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．5．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣2【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出S随i变化的周期以及程序结束后输出S的值．解：模拟执行如图所示的程序框图知，第一次循环，S＝4，i＝1；第二次循环，S＝2，i＝2；第三次循环，S＝2，i＝1；第四次循环，S＝2，i＝2；…；可知S随i变化的周期为2，当i＝2019时，输出S的值为2．故选：B．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．2【分析】根据题意，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，结合题意可得，解可得a、d的值，计算即的答案．解：根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，则有，解可得a＝24，d＝6，则a﹣2d＝12；即最少的一份面包个数为12；故选：B．8．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，可得P的坐标，再代入双曲线方程可得．解：如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，∴P（，c），将其代入﹣＝1，得﹣＝1，化简得：c4﹣8a2c2+4a4＝0，∴e4﹣8e2+4＝0，∴e2＝＝4±2，∵e＞1，∴e2＝4+2，∴e＝+1．故选：C．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】本题先平移，然后求出对称轴方程通式，＝﹣﹣φ，解出φ＝kπ﹣，进一步解出φ解：原式可变为y＝cos2（x++），∵2（x++）＝kπ，＝﹣﹣，∴φ＝kπ﹣，当k＝3时，φ＝．故选：C．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥0【分析】先解出命题对应的集合，根据充要性求出解．解：∵对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立，∴，即，解之得，则a≥1是的充分不必要条件，故选：B．11．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率．解：由题意可知：单位圆与直线f（m，n）＝（x﹣2）m+yn﹣存在交点，∴，即（x﹣2）2+y2≥2，结合图形，可知：P＝＝1﹣．故选：A．12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π【分析】如图．M是BC边中点，E是AC边中点，由AB⊥AC，可得M是△ABC的外心，作OM∥PA，利用线面垂直的判定与性质定理可得：O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．利用三角形中位线定理可得：ME∥AB，，ME⊥AC，再利用直角三角形的边角关系可得：MD，AM．可得：OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，进而得出结论．解：如图．M是BC边中点，E是AC边中点，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，作OM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，∴OM⊥AM，OM⊥MD，取，易得OA＝OP，∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．E是AC中点，则ME∥AB，，∴ME⊥AC，∵AD＝3DC，∴，∴，设PA＝2a，则OM＝a，OD2＝OM2+MD2＝a2+13，又，∴OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，∴πOA2+πr2＝（a2+25）π+12π＝44π，OA2＝（a2+25）π＝32π．∴．故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝1．【分析】利用|﹣|＝＝可得．解：|﹣|＝＝＝＝1，故答案为：1．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为﹣．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以＝15，解得a＝2，所以曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为﹣＝﹣＝﹣．故答案为﹣．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于3．【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质及|AC|＝2|AF|，可得直线AB的斜率，即求出直线AB的方程与抛物线联立，求出A，B的横坐标，再由抛物线的性质求出弦长AF，BF的值，求出比值．解：由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，分别过A，B作准线的垂线交于A'，B'，由抛物线的性质可得|AF|＝|AA'|，由|AC|＝2|AF|，所以可得|AC|＝|AA'|，所以∠A'AC＝60°，即直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为：y＝（x﹣1），联立直线与抛物线的方程，整理可得：3x2﹣10x+3＝0，解得：x1＝，x2＝3，所以|m＝|BF|＝x2+＝3+1＝4，n＝|AF|＝x1+＝+1＝，所以＝＝3，故答案为：3．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是{﹣1，1}．【分析】根据，构造新等式，求得b n＝b n﹣2，即可求得结论．解：因为①⇒a n+2a n﹣1﹣a n+1a n＝1，②两式相减可得：a n﹣1（a n+2+a n）＝a n+1（a n+a n﹣2）⇒b n＝b n﹣2，又由于a1＝a2＝a3＝1，得a4＝2⇒b1＝2，b2＝3，故：；∴b n+1﹣b n的取值范围是：{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长【分析】（1）由余弦定理可得：+＝+＝，化简即可证明结论．（2）4sin（C﹣）cos C＝1，利用和差公式、三角函数求值即可得出C．再利用余弦定理及其（1）的结论即可得出．【解答】（1）证明：由余弦定理可得：+＝+＝＝＝，∴c2＝ab．∴a，c，b成等比数列．（2）解：∵4sin（C﹣）cos C＝1，∴4（sin C cos﹣cos C sin）cos C＝1，化为：sin2C﹣cos2C＝2，∴sin（2C﹣）＝1，C∈（0，π）．∴2C﹣＝，解得C＝．由余弦定理可得：ab＝c2＝a2+b2﹣2ab cos＝9，∴a＝b＝3．∴△ABC的周长＝a+b+c＝9．18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．【分析】（1）推导出PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，由OM为梯形ABCE的中位线，得OM∥BC，BC⊥AB，从而OM⊥AB，进而AB⊥平面POM，AB⊥PM，且AB不与CE平行，PM⊥平面ABCE，由此能证明平面PCE⊥平面ABCE．（2）过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣E的余弦值．解：（1）证明：依题意可得：PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，而OM为梯形ABCE的中位线，有OM∥BC，BC⊥AB⇒OM⊥AB，且PO∩OM＝O，故：AB⊥平面POM，∴AB⊥PM，且AB不与CE平行，综上所述，PM⊥平面ABCE，∵PM⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面ABCE．（2）解：过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），E（1，1，0），，，，，设向量，则有，令y＝1，得：，同理：平面PAE的法向量，得，故二面角B﹣PA﹣E的余弦值为．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．，，，，，，，∴X的分布列为X0123456P（Ⅱ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P（元）．选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P（元）．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．【分析】（1）由题意可得点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点），即可求出点P的轨迹E的方程，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），根据韦达定理和斜率公式，化简整理即可证明解：（1）三角形ACP中，∠BAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴PB+PC＝PB+PA＝AB＝4，∴点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点）∴点P的轨迹E的方程为+＝1，（x≠±2）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），由，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴k1＝＝＝k﹣，同理可得k2＝k﹣，∵k3＝＝k﹣，∴k1﹣k3＝﹣，k2﹣k3＝﹣，∵k1﹣k3+k2﹣k3＝﹣+﹣＝1﹣•＝1﹣•＝0，∴＝﹣1为定值21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．【分析】（1）将m＝0代入函数解析式可得f（x）＝xe x﹣e x，导数研究函数的单调性情况，进而得出极值情况；（2）问题可转化为m＞e，且方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，依题意，联立，，并设，可得，进而得到，进一步构造函数，利用导数即可求得最大值．解：（1）当m＝0时，f（x）＝xe x﹣e x，f'（x）＝xe x，令f'（x）＝0得x＝0，故f（x）的减区间为（﹣∞，0]，增区间为[0，+∞）；所以当x＝0时，f（x）的极小值为﹣1，无极大值；（2）方程f（x）＝（x﹣1）（e x﹣mx）＝0等价于x＝1或e x＝mx，记函数，⇒g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上递减，（1，+∞）上递增，且当x＝0，e x≠mx，故：要使f（x）存在三零点，则需m＞e，方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，满足①，②，且0＜x1＜x2＝1＜x3，设，则联立方程①②，得：，则lnt＝x3﹣x1≤2，∴1＜t≤e2，代入x3＝tx1，得：lnt＝（t﹣1）x1，故，∴，记函数，对于y＝x2﹣1﹣2xlnx，当x＝1时，y＝0，且y′＝2x﹣2﹣2lnx≥0恒成立，故：当1＜x≤e2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以当t＝e2时，x1+x3取得最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程是（k为参数），平方后得，又，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0．（2）将曲线C化成参数方程形式为（α为参数），则d＝＝，其中，所以．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．【分析】（1）由a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），代入a2+b2配方法证明即可；（2）先求出0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，把要证明的式子左边转化为关于ab的式子，配方法证明即可．【解答】证明：（1）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，则a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），所以a2+b2＝（3﹣2b）2+b2＝5b2﹣12b+9＝5（b﹣）2+，当b＝时，a＝3﹣2b＝时，取等号，故结论成立；（2）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，故0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，所以a3b+4ab3＝ab（a2+4b2）＝ab[（a+2b）2﹣4ab]＝ab（9﹣4ab）＝﹣4（ab）2+9ab＝，当且仅当ab＝时，取等号，故命题成立．。
江西省2020届高三第一次大联考数学(理)试题(解析版)
江西省2020届高三第一次大联考数学（理）试题一、单选题1．设全集I R =，集合{}2|log ,1A y y x x ==>，{|B x y ==，则（ ）A.A B ⊆B.A B A ⋃=C.AB =∅D.I A C B ⋂=∅【答案】B【解析】通过函数的值域以及函数的定义域可得{}0A y y =>，{}|1B x x =≥，B A ⊆，然后对逐个选项判断即可.【详解】∵{}{}2log ,10A y y x x y y ===>，{{}|1|B x y x x ==≥=，由此可知B A ⊆，A B A ⋃=，A B B =，()I A C B ⋂≠∅，故选：B. 【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题. 2．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B【解析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】已知{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆， 所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题. 3．下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若，则”的否命题 B.命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C.命题“若x ＝1，则”的否命题D.命题“已知，若，则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 4．已知函数()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.[)4,+∞ B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题. 5．函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】取特殊值排除选项得到答案. 【详解】排除BD排除C故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.6．某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 A ．等于12.5 B ．12.5到12.6之间 C ．等于12.6 D ．大于12.6【答案】D【解析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 7．三个数0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是（ ） A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.8．对于实数x ，y ，若p ：4x ≠或1y ≠，q ：5x y +≠，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取特殊值6x =，1y =-,可知p ¿q ，利用逆否命题与原命题等价，可确定q ⇒p ,即可得出结论. 【详解】取6x =，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即p ¿q ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q 的必要条件. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.9．已知函数()()2ln 1f x m x x mx =++-在()1,+∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A.()4,+∞ B.(],4-∞C.(),0-∞D.()0,∞+【答案】B【解析】对函数求导可得()2221m x x f x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭'=+，根据函数的单调性可得()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，等价于2102m --≥，解出即可. 【详解】()()222'211x m x m f x x m x x +-=+-=++2221m x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+. 因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()1,+∞上恒成立， 即202m x --≥在()1,+∞上恒成立，等价于2102m --≥4m ⇒≤， 故选B. 【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当120x x >>时，都有()()1212f x f x x x -<-成立，设tan 4a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.2c f π-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.c a b << C.b c a <<D.b a c <<【答案】D【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()2212log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，分析可得()f x 在()0+∞，上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】由于当120x x >>时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，故()f x 在0x >上为减函数，()tan 14a f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而0.22log 310π->>>，所以()()()0.12log 31f f f π-<<，即b a c <<.故答案为D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．11．已知函数()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B【解析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题. 12．不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()ln3,2 B.[)2ln3,2-C.(]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C【解析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可. 【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．二、填空题 13．函数3()ln 4f x x =的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4． 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间． 14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 【答案】10x y --=【解析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 15．以下说法中正确的是______. ①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减； ②函数11x y a +=+的图象过定点()1,2-；③若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<； ④方程3log 124x=的解是19x =； ⑤命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =+”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠+. 【答案】②④⑤【解析】对于①，举出反例()1f 和()1f -；对于②，将点()1,2-代入即可得结果；对于③，()f m ，()f n 中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质； 说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：如果()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确； 说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确； 说法⑤：命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =+”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠+.故⑤是正确的.综上，本题的答案为②④⑤. 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.16．已知函数()cos 3sin 2f x x x =--，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小值为______.【答案】 【解析】对函数进行求导得()()()3sin 24sin 3f x x x '=-+，令sin x t =，()()g t f x '=，根据()g t 的符号以及复合函数的单调性得到()f x 的单调性，进而可得函数的最值. 【详解】因为()cos 3sin 2f x x x =--，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()2sin 6cos 2sin 612sin f x x x x x '=-=--212sin sin 6x x =+-()()3sin 24sin 3x x =-+，令sin x t =，∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,1t x =∈， 令()()g t f x '=，则()()()3243g t t t =-+， ∴令()0g t =，则23t =，02sin 3x =， ∴当203t <<时，()0g t <，当213t <<时，()0g t >，∵函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数()f x 在区间()00,x 上递减，在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，∴当23t =，即02sin 3x =，0cos 3x =时，()min 6sin cos cos f x x x x =--=∴函数()f x 的最小值为，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题17．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13m ≤≤；（2）1m <或23m <≤.【解析】（1）p 为真命题时，任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定p ，q 一真一假，结合（1），再化简命题q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min 234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212x x m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；（1）若p 为真，则13m ≤≤；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p ，q 一真一假. 若q 为假命题，p 为真命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或23m <≤. 【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题. 18．已知函数()xf x e =.（1）若()24f a =，求实数a 的值； （2）设函数()()2xg x e kxk R =-∈，若()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】（1）ln 2a =；（2）24e k <. 【解析】（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围.【详解】（1）因为()224af a e ==，即：2a e =，所以ln 2a =.（2）由题意可知，()2xg x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x=在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，则()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上取得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=，∴24e k <.【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题. 19．设函数()()1xf x aex =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式； （2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e-，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()()21xf x ex =+，()242g x x x =++；（2）32t -≤≤-. 【解析】（1）两函数在0x =处有相同的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可（2）利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e-=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围. 【详解】 （1）()()'2xf x aex =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x =处有相同的切线， ∴()'02f a =，()'0g b =， ∴2a b =，()()002f a g ===， ∴2a =，4b =， ∴()()21xf x ex =+，()242g x x x =++.（2）由（1）得()()'22xf x e x =+.当2x >-时，则()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，则()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减， 而函数()()2min 22f x f e=-=-，∴[]2,1t t -∈+， 即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t -≤≤-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.20．已知函数()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.（1）求a 的值； （2）若存在0x 使得不等式()333x xxf k <⋅在[]1,1x ∈-成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()0,∞+.【解析】（1）二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a （2）分离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可. 【详解】（1）()()221f x x a a =-+-.当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意；当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =. （2）因为()2332313333x x x xx xxf k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，则221k t t >-+. 因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解.记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题. 21．已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）M 点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值. （2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解. 【详解】（1）的图象经过点,①,因为，则, 由条件，即②，由①②解得.（2）， 令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.22．已知函数()()224ln f x x ax x -=，a R ∈.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()2g x f x x =+，求证：当1a >时，在[)1,x ∈+∞上恒有()2332g x a a >-成立.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】（1）当0a =时，对函数()f x 求导可得()()()22ln 1,0,f x x x x '=+∈+∞，解不等式得单调性；（2）对函数()g x 求导可得()()()4ln 1g x x a x '=-+，求出()g x 的最小值为()222ln g a a a a =-，将()()g x g a ≥与()222ln 21a a aa ->--相结合可证得不等式. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当0a =时，()22ln f x x x =，()()4ln 222ln 1f x x x x x x =+=+'，令()0f x '>，即2ln 10x +>，解得12x e ->， 令()0f x '<，即2ln 10x +<，解得120x e -<<，∴函数()f x 的单调递减区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2224ln x a g x x x x -=+，()()44ln 242g x x a x x a x '=-+-+()()4ln 1x a x =-+，由[)1,x ∈+∞得，ln 10x +>，当()1,x a ∈时，()0g x '<，当(),x a ∈+∞时，()0g x '>， ∴函数()g x 在()1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，()()()22min 2ln g x g x g a a a a ===-极小值，∵1x >时，ln 1x x <-，∴()222ln 21a a a a ->--，即()()()22222ln 21g x g a a a a a aa ≥=->--2332a a =-.∴()2332g x a a >-成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到()222ln 21a a a a ->--，属于难题.。
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，集合{|1}B x y x ==-，则()R C A B =U （ ）A ．{|13}x x -剟B ．{}|3x x ≥C ．{}|1x x ≤-D ．{}1|x x ≥-【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，根据函数定义域的要求求出集合B ，再通过补集与并集的运算，可得到本题答案. 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{}|13R C A x x =-≤≤，由10x -≥，得集合{|1}B x x =≥，从而(){|1}≥-=U R x x C A B .故选：D 【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．设复数，则A ．iB ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：，．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．命题p ：曲线216y x =的焦点为()4,0；命题q ：曲线2241x y -=5；则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道,,a b c并求出其离心率，先判断命题p与命题q的真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.【详解】命题p中，曲线方程可化为21 16 =y x，其焦点坐标为1(,0)64，所以P为假命题，p⌝为真命题；命题q中，曲线方程可化为22114yx-=，对应的1551,1,422==+===ca c ea，所以q为真命题，所以p q⌝∧为真命题.故选：B.【点睛】本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.4．在ABC∆中，AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，4AB=，3AC=，则BCuuu v在CAu u u v方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC⊥u u u r u u u r，再结合图形求出BCuuu r与CAu u u r方向上的投影即可.详解：如图所示：Q AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，AB AC∴⋅=u u u v u u u v，∴AB AC⊥u u u r u u u r，又4AB=，3AC=，BC ∴u u u v 在CA u uu r 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vπ=-∠=-∠=-，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为223(2,2)a=∈，所以12a <<， 因为32(1,3)c =∈， 所以01c <<，又22log 5log 42b =>=， 所以c a b <<．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．6．下表是鞋子的长度与对应码数的关系如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为77.6y x =-.若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．40 B ．41C ．42D ．43【答案】C【解析】把人的身高代入方程77.6y x =-，可求出脚板长，再查表可得到本题的答案.【详解】令173=y 代入直线方程77.6y x =-，解得25.8=x ，所以脚板长为25.8()cm ，查表得穿的鞋子的码数应为42. 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题.7．函数3()x xx f x e e-=+（其中e 为自然对数的底数）在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案. 【详解】33()()()+e-----===-+Q x xx x x x f x f x e e e ，∴()f x 为奇函数，故其函数图象关于原点对称，故选项D 不正确；显然，当0x >时，()0f x >，故选项C 不正确；当3x =时，3333(3)1-=>+f e e，而选项B 的最大值小于1，故选项B 不正确；所以通过排除法，可得本题的答案为A. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.8．在正项数列{}n a 中，12a =，且点()()*1ln ,ln n n P a a n N +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】点P 代入直线方程化简可得{}n a 为等比数列，写出数列的前n 项和公式，解不等式可得本题的答案. 【详解】由题意得，1ln ln ln 20+-+=n n a a ，化简得12n na a +=，则2()*=∈n n a n N ，所以2(12)2(21)12-==--n n n S ，200>Q n S ，2(21)200∴->n ，得2101>n ，则n 的最小值为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】B【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径222112622R ++==，所以外接球的表面积226446πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（,,,a b c d N +∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为（ ） A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.12．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围. 【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D. 【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题13．若x ，y 满足0,10,10,y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为______【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，0）函数z ＝x ﹣2y 为y 22x z=-，由图可知，当直线y 22x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为：1． 故答案为1． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________． 【答案】-320【解析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数. 【详解】易知6(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .故答案为：-320 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15．如图所示的程序框图，满足||||2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为__________．【答案】12【解析】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，即可得到本题答案.【详解】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，而对应的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，因为3y x =是奇函数，所以其图象关于原点对称，并且正方形是中心对称图形，故阴影部分面积与正方形面积之比为：12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键.16．双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上且12tan 43F PF ∠=O 为坐标原点，则||OP =_______．5【解析】先根据双曲线的焦点三角形公式122tan2θ∆=F PF b S ，求出三角形面积，然后求p y ，把p y 代入2213yx -=，求得P x ，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点(,)P p P x y ，12F PF θ∠=，则tan 43θ=22tan2tan tan 24321tan 2θθθθ=⋅==-Q ，3tan 2θ∴=1,3,2===Q a b c ， 12233tan2θ∆∴===F PF b S P 作x 轴垂线，垂足为M ，则有12121||||4||23221∆=⨯==F PF F F M PM S P ，所以||3=PM ，即||3=P y ，23∴=Py ，代入2213y x -=得，22=P x ，22||||||325∴=+=+=OP PM OM . 故答案为：5【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.三、解答题17．在ABC ∆中，,,A B C 对应的边为,,a b c ，已知1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的值；（2）若4b =，6c =，求cos B 的值. 【答案】（1）3A π=；（2）27cos B =【解析】（1）通过正弦定理边角转化以及()sin sin B A C =+可求得角A ； （2）用余弦定理求边a ，再用余弦定理求角B. 【详解】（1）由条件1cos 2a C cb +=，得1sin cos sin sin 2A C C B +=，又由()sin sin B A C =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.因为sin 0C ≠，得1cos 2A =，故3A π=； （2）在ABC ∆中，Q 4b =，6c =，3A π=，由余弦定理得，222222cos =4+6-246cos283π=+-⨯⨯=a b c bc A ，故27a =， 所以22227cos =22276+-==⨯⨯a c b B ac 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题.18．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）在（1）的条件下，若DE CF ∥，求二面角D AF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）先证AF ⊥平面BDE ，得到AF DE ⊥，结合AE DE ⊥，可证得DE ⊥平面ABFE ；（2）以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF 与面ACF 的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角D AF C --为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案. 【详解】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，∴DE ⊥平面ABFE . （2）在图2中，由（1）知ED ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角则()2,0,0A ，()0,2,0F ，()0,2,2C ，()0,0,1D ，()2,2,0AF =-u u u r ，()2,0,1AD =-u u u r ，()0,0,2FC =u u u r.设平面ADF 的一个法向量为()111,,n x y z =r，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得111122020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨取1x =，得()1,1,2n =r ，设平面ACF 的一个法向量为()222,,m x y z =u r，由00m AF m FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22222020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,0m =u r ，3cos ,3||||26⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r m n m n m n 由图可得，二面角D AF C --3【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量法求二面角.19．已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()23S n n 2n =+ 【解析】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠， 所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L2(321)323()22nn n n +-=⋅=+ 当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a L -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+L ()23n n 2=+ 综上：()23S n n 2n =+ 【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）910；（2）见解析. 【解析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯11311554100+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=. 则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元).【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题. 21．（本小题满分14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为AOB ∠的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o 【解析】试题分析：（I）设椭圆方程为).0(12222>>=+b a b y a x ……1分因为,22c e a ==所以,(,,2c 据题意点在椭圆上则,121222=+b a c于是.1,121212==+b b解得 ……4分 因为.2,1,1,2222====-=a c b c a c a 则 (5)分 故椭圆的方程为.1222=+y x ……6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由坐标原点O 到直线l((A B A B 或, ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,∴=90AOB ∠o, ……8分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y , ……9分∵原点O 到直线l的距离为3=2232(1)m k =+（）, ……10分222221,(21)4220.2x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩由得 ……11分22222(4)4(21)(22)8(21)km k m k m ∆=-+-=-+,将（）式代入得22328=0=16803k m +∆>∆+>，或, ……12分2121222422,.2121km m x x x x k k -+=-=++221212121222222222()()()2242.212121y y kx m kx m k x x km x x m m km m k k km m k k k =++=+++---=⋅+⋅+=+++2222212122222223220212121m m k m k x x y y k k k ----+=+==+++, ……13分∴=90AOB ∠o综上分析，AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o. ……14分【考点】本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用. 点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零. 22．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()()123f x f x f x ==，()123x x x <<，试证：314x x -<. 【答案】（1）单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3；（2）见解析【解析】（1）求导，令()0f x '>，可得增区间，令()0f x '<，可得减区间，要注意函数定义域为()0,∞+；（2）构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈，求导后得，()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增，利用函数的单调性可得()(2)f x f x <-在()0,1上恒成立，因为()()()2112f x f x f x =<-，所以212x x >-，即122x x +>①；同理，构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈，可证236x x +<②，结合①②，结论可证. 【详解】（1）由题设知函数()f x 的定义域为()0,∞+且3(1)(3)()4x x f x x x x'--=-+=故当(0,1)(3,)x ∈⋃+∞时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3； （2）由（1）知：123013x x x <<<<<，先证122x x +>. 构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈则2(1)(3)(1)(1)6(1)()()(2)2(2)x x x x x F x f x f x x x x x '''---+-=+-=+=-- 故()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增 所以()(1)0()(2)F x F f x f x <=⇒<-在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，得()()()2112f x f x f x =<-，又21,2(1,3)x x -∈且函数()f x 在()1,3上单调递减故212x x >-，即122x x +> ①再证236x x +<.构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈2(1)(3)(5)(3)2(3)()()(6)6(6)x x x x x G x f x f x x x x x '''-----=+-=+=--故()0G x '>在()1,3上恒成立，即()()(6)G x f x f x =--在()1,3上单调递增所以()(3)0()(6)G x G f x f x <=⇒<-在()1,3上恒成立， 又()21,3x ∈，得()()()3226f x f x f x =<-， 又32,6(3,)x x -∈+∞且函数()f x 在()3,+∞上单调递增 故326x x <-，即236x x +< ② 结合①②得：314x x -< 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大.第 21 页共 21 页。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三(下)第一次联考数学试卷(理科)(有答案解析)
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.2.i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则A. 1B.C.D. 23.已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩单位：分进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A. 4B. 3C. 2D. 15.现有编号为、、的三个三棱锥底面水平放置，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为A. 0B. 2C. 4D.7.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A. 46B. 12C. 11D. 28.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.9.函数的图象左移个单位后关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.10.在下列选项中，选出一个“对于，都有恒成立”的充分不必要条件A. B. C. D.11.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点P的坐标满足的概率为A. B. C. D.12.已知三棱锥满足底面ABC，在中，，，，D 是线段AC上一点，且，球O为三棱锥的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为，且，，则______．14.展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线和圆及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为______ ．15.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若，记，，则等于______．16.已知数列满足：，，数列满足：则的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且证明：a，c，b成等比数列若，且，求的周长18.已知矩形ABCD中，，，在AD上取一点E满足现将沿CE折起使点D移动至P点处，使得．求证：平面平面ABCE；求二面角的余弦值．19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器。
2020届江西省瑞金市四校联盟高三第一次联考试题数学(理)试题(解析版)
2020届江西省瑞金市四校联盟高三第一次联考试题数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．1 B ．i -C ．iD ．1-【答案】A【解析】利用复数的模、复数的除法运算求得z ，由此求得z 的共轭复数，进而求得z 的共轭复数的虚部. 【详解】由(1)|1|2z i +=+=得()()()()2121211112i i z i i i i ⋅-⋅-====-++-，所以1z i =+，虚部为1. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.3．下列说法正确的个数是（ ）①. “()00f =”是“定义在R 上函数()f x 是奇函数”的充要条件②. 若p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<③. “若6πα=，则1sin 2α=”的逆否命题是错误的 ④. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】逐一分析选项，对应①可根据特殊函数直接判断是否成立， ②根据特称命题的否定形式直接判断； ③根据原命题和逆否命题的关系判断真假； ④根据复合命题的真假判断方法直接判断. 【详解】对于①()00f =时，函数()f x 不一定是奇函数，如()2f x x =，x ∈R ，∴错误；对于②命题p ：0x R ∃∈，20010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --≤，∴错误；对于③，因为若6πα=，则1sin 2α=正确，所以它的逆否命题也正确，∴错误； 对于④若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴错误； 故选：A. 【点睛】本题考查有关命题的判断，意在考查基本概念和基本知识和基本判断方法，属于基础题型.4．P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1||||PF PQ +的最小值为( )A ．1B ．25+C ．45+D ．1【答案】D【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则12PF PQ PF PQ +=+d ≥（d 为点2F 到渐近线0x -=1=），即1PF PQ+的最小值为1；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图90后从事互联网行业者岗位分布图A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案】B【解析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】>,故A正确；对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的⨯=<,故B错误；56%39.6%22.176%41%对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的⨯=>,故C正确；56%12.3% 6.888%3%对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的⨯=<,故D正确,56%13.2%7.392%10%【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题. 7．函数ln ||cos x y x x x=+的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【解析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项. 【详解】()ln cosxf x x x x =+，定义域为{}|0x x ≠，()()ln cos x f x x x f x x ⎡⎤-=-+=-⎢⎥⎣⎦，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除,B C 两个选项.()ln πππ0πf =-+<，排除D 选项，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.8．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A ．964B ．449C ．225D ．27【答案】B【解析】求得120ADB ∠=︒，在ABD V 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD V 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=Q ，224()749DEF ABC S S ∴==V V ．【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．已知圆O 的半径是22，点P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP ⋅=u u u r u u u r，则()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C【解析】画出图形，根据2OA OP ⋅=u u u r u u u r，求得2cos OP POA=∠u u u r ，并求出0cos 1POA <∠≤，从而得出()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值.【详解】如图所示，因为22OA =，所以22cos 2OA OP OP POA ⋅=∠=uu r uu u r uu u r，所以222cos OP POA =<∠u u u r ，且1cos 14POA <∠≤，所以()22221252842cos 2OA OPOA OA OP OP POA +=+⋅+=++≥∠u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,当cos 1POA ∠=时取等号，所以()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.10．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 11．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m 的取值范围是33⎣； ②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π； ④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. A ．①② B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】B【解析】根据函数()f x 相邻对称轴之间的距离为2π，求得函数的最小正周期，从而求得ω，再利用辅助角公式，求得函数的解析式，逐项分析，即可求解.【详解】由题意，函数()sin cos )f x x m x x ωωωϕ=+=+，其中tan m ϕ=， 因为函数()f x 相邻对称轴之间的距离为2π，可得最小值周期为T π=， 又由22Tπω==，所以2ω=±， 当2ω=时，则())f x x ϕ=+，对于①中，由函数()f x 在0x x =出取得最大值，可得022,2x k k Z πϕπ+=+∈，解得022,2k x k Z πϕπ=+-∈，所以001tan(22)2tan 2m k x x ππ=+-=， 又由0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以01tan 2x ∈，即01tan 2m x =∈，所以是正确的；对于②中，不妨令m =，则()2sin(2)3f x x π=+，可解得一个012x π=，那么()f x 的图象向左平移04x 个单位后得到函数2sin[2()]2sin 233y x x ππ=++=-，此时函数为奇函数，所以是不正确的；对于③中，由于()f x 的周期为π，可得函数()f x 的周期为2π，即函数()()y f x f x =+的最小正周期应满足max{,}2T πππ≥=，所以是正确的；对于④中，()()))y f x f x x x ϕϕ=+=++),sin(2)00,sin(2)0x x x ϕϕϕ⎧⎪++≥=⎨+<⎪⎩， 由③可知函数的最小正周期为π，由函数()f x 在0x x =处取得最大值可知，在其后14T 上满足sin(2)0x ϕ+≥，而当超过这区间的时候，存在sin(2)0x ϕ+<的情况， 即当00,43x x x ππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭时，函数值一直为0，显然不止一个零点，所以是错误的. 当2ω=-时，同理可验证得到以上结论， 综上可得正确的是①③. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角恒等变换的化简，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于难题.12．已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ） A ．a b = B ．a b <C ．a b >D ．,a b 的大小关系不确定 【答案】A【解析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系. 【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x e x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x e x -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题.二、填空题13．若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）． 【答案】64【解析】先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和 【详解】由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：64 【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和14．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了()*n n N ∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 的值为______. 【答案】3【解析】根题意，建立等差数列的模型，利用等差数列的性质以及前n 项和公式，即可求解. 【详解】设该设备第n 年营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以2n a n =，可得设备使用了n 年的营运费用总和为2(22)2n n n T n n +==+万元， 设第n 年的盈利总和为n S ，则2211()9109n S n n n n n =-+-=-+-，所以年平均盈利额为2109910()104n S n n n n n n -+-==-+≤-=，当且仅当9n n=时，即3n =时，取得等号， 即年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 的值为3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了与数列相关的实际应用问题，其中解答中根据条件利用等差数列的通项公式和求和公式，求得年平均盈利总额的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15．已知抛物线2:8E x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于,A B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =______. 【答案】9 【解析】【详解】由题意，抛物线2:8E x y =，可得4P =，焦点为(0,2)F ， 因为A 为线段CF 的中点，可得(22,1)-，则240(22)AF k ==--， 所以直线AF 的方程为224y x =+， 联立方程组22248y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得222160x x --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1222x x +=，可得12122()454y y x x +=++=， 所以12549AB y y p =++=+=. 故答案为：9.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、双空题16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设BP x =，()0,23x ∈.（1）下列说法中，正确的编号为______.①截面多边形可能为六边形；②3322f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；③函数()f x 的图象关于3x =对称. （2）当3x =时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】①③ 9π【解析】（1）运用正方体的对角线的性质和对称性，得到截面为正三角性或正六边形，计算即可得到结论；（2）确定外接圆的球心在OP 上，运用勾股定理求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得对角线长为23， 对于①中，由线面垂直的判定定理和性质，可得1BD ⊥平面1AB C ，当截面经过111111,,,,,A B B C CC BC AB AA 中点时，此时得到的截面垂直与1BD ，且为正六边形，所以截面多边形可能为六边形，所以是正确的； 对于②中，当3x =时，可得截面为等边EFG ∆，如图所示， 设等边EFG ∆的边长为a ，可得33PF a =，22BF a = 在直角BPF ∆中，可得222BFPF BP =+，即222233()()()232a a =+， 解得322a =，所以截面EFG ∆的周长3292322y =⨯=，所以②不正确；③根据正方体的对称性，可得函数()f x 的图象关于3x = （2）由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得对角线长为3当3x =时，可得点P 恰为对角线1BD 的中点，则P 在底面上的射影为AC 的中点O '， 由球的性质，可得球心O 在O P '上，设球的半径为R ，可得222()OP R OB R -+=，即222(1)(2)R R -+=，解得32R =， 所以三棱锥PABC 为外接球的表面积为22344()92S R πππ==⨯=. 故答案为：①③，9π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，正方体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用结合体的几何结构特征和正方体的性质进行分析是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.四、解答题17．在ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知3sin()sin sin ()-=-≠A C a A c C a c ．（1）求边AC 的长；（2）若60B ︒∠=，D 为边BC 上的点且AB AD =，试求AD DC +的最大值． 【答案】（1）43（2）8【解析】（1）由正弦差角公式展开，并结合正弦定理与余弦定理将角化为边，化简后结合a c ≠即可求得b ，即为边AC 的长；（2）根据题意可得120ADC ︒∠=，结合余弦定理及基本不等式，即可求得AD DC +的最大值． 【详解】（1）根据正弦差角公式展开可得可得43sin cos 43cos sin sin sin -=-A C A C a A c C ， 结合正弦定理化简可得2243cos 43cos a C c A a c -=-．由余弦定理代入可得22222222434322a b c c b a a c a c ab cb+-+--=-，()()222243∴-=-a c b a c ，a c ≠Q ，43∴=b ，即43AC =．（2）AB AD =Q ，120︒∴∠=ADC ，由2222cos120︒=+-⋅AC AD CD AD CD ，得22222()3()(43)()()44AD CD AD CD AD CD AD CD AD CD +-=--⋅≥--=8AD CD ∴+≤，当且仅当AD CD =时，等号成立， ∴+AD CD 的最大值为8．【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，正弦差角公式及基本不等式的应用，属于中档题.18．如图,已知四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=︒,5,7SA SD SB ===,点E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF SC λ=u u u v u u u v,SA //平面BEF .（1）求实数λ的值;（2）求二面角S BE F --的余弦值. 【答案】（1）见解析（225【解析】试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结AC BE G =I ，连结GF ，可得//SA FG ，根据~GEA GBC ∆∆，可得比例关系，和平行线比例关系可得λ；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明SE ⊥平面ABCD ，所以以点E 为原点建立如图坐标系，分别求两个平面,SBE BEF 的法向量，根据cos ,m n <>r r求值.试题解析：（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G ⋂=， 则平面SAC ⋂平面EFB FG =，SA Q //平面EFB ，SA ∴//FG ， GEA ∆Q ∽GBC ∆，12AG AE GC BC ∴==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=； （Ⅱ）5,,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=Q ，又2,60AB AD BAD ==∠=︒Q ，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()1,0,0,3,0,0,0,2A B S ，平面SEB 的法向量()1,0,0m EA ==u u u r r ， 设平面EFB 的法向量(),,n x y z =r，则()(),,3,000n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=r，()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=u u u r u u ur r r ，令1z =，得()2,0,1n =r，25cos ,m n m n m n⋅∴==⋅r rr r r r2519．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率32e=，且经过点1(3,)2，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若2PCD PEFS S∆∆=，求点P的坐标．【答案】（1）2214xy+=（2）2)【解析】（1）利用椭圆的离心率和经过的点13,2⎫⎪⎭，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标，同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．【详解】（1）因22221(0)x ya ba b+=>>的离心率3e=13,2⎫⎪⎭，所以22232311,4caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得24a=，21b=．所以椭圆标准方程为2214xy+=．（2）由（1）知椭圆方程为2214xy+=，所以直线l方程为2x=，()0,1C，()0,1D-．设()2,P m，0m>，则直线PC的方程为112my x-=+，联立方程组2211,21,4m y x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x -++-=，所以E 点的横坐标为()24122E m x m m --=-+；又直线PD 的方程为112m y x +=- 联立方程组2211,21,4m y x x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x ++-+=，所以F 点的横坐标为()24122F m x m m +=++．由2PCD PEF S S ∆∆=得11sin 2sin 22PC PD DPC PE PF EPF ⋅∠=⨯⋅∠， 则有2PC PDPE PF⋅=⋅，则()()22202024141222222m m m m m m --⋅=-++--+++， 化简得4442m m+=，解得22m =，因为0m >，所以m =， 所以点P的坐标为(． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.20．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系．如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于[)25,30，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．（1）求今年9月份这种水果一天需求量X （单位：公斤）的分布列和数学期望； （2）设9月份一天销售特产水果的利润为Y （单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为n （单位：公斤）为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）见解析（2）3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900 【解析】（1）根据题意可知9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（2）结合（1）的分布列，分别讨论当35005000n ≤≤和20003500n ≤<时，利润的数学期望，即可求出期望的最大值以及期望最大时n 的值． 【详解】解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，()41420000.290P X +===，()3635000.490P X ===， ()211550000.490P X +===于是X 的分布列为：X 的数学期望为：20000.235000450000.44800EX =⨯+⨯+⨯=．． （2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑20005000n ≤≤， 当35005000n ≤≤时， 若气温不低于30度，则4Yn =；若气温位于[25,30)，则()3500435003245003Y n n =⨯--⨯=-；若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()()2211424500314000312600119005555EY n n n n =⨯+⨯-+-=-≤ 当20003500n ≤<时， 若气温不低于25度，则4Yn =；若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()41134140003280011900555EY n n n =⨯+-=+<； 所以3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900． 【点睛】本题考查分布列以及数学期望的求法，属于中档题． 21．已知函数()()2ln 142x a R f a x x =-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设4a =，且0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：11cos224tan x x e e -<<. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 单调递减；当0a >时，在上()f x 单调递增，在(,)2+∞上()f x 单调递减； （2）证明见解析. 【解析】（1）求得函数的导数()244f x a x x-'=，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）的单调性，根据()()12f x f x <，化简可得22121()122x x x e x -<，得到221(sin cos )2sin cos x x x ex-<，再利用三角函数则111cos 2(,)224x -∈--，所以11cos224x e e --<，代入即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()2ln 142x a R f a x x =-∈，则()24,044a a x x x x xf x -'=-=>， 当0a ≤时，()0f x ¢<，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，当(0,2x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x ¢<，函数()f x 单调递减. （2）当4a =时，()()21ln 2x x f a R x =-∈， 由（1）可知，()f x 在(0,1)上单调递增，设12,(0,1)x x ∈且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 化简可得2211221ln ()2x x x x <-，所以22121()122x x x e x -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin cos 1x x <<<，所以221(sin cos )2sin cos x x x ex-< ，即1cos22tan x x e-<，又因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得1cos 2(,1)2x ∈， 则111cos 2(,)224x -∈--，所以11cos224x e e --<， 综上可得：11cos224tan x x e e -<<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求曲线'C 的极坐标方程； （2）若过点A 且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值.【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）54【解析】(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2213x y +=， 将曲线C上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入()()22''1x y +=得'C 的方程为：221x y +=.化为极坐标方程为：1ρ=.（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为直线l 过点A 且倾斜角为6π， 设直线l的参数方程为3212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22:1C x y +=得：2504t -+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，则121254t t t t +==. 所以1254AM AN t t ⋅==. 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值；(2)将1代换为11124a b c ++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 所以1m =. （2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。
江西省重点中学盟校2020届高三数学下学期第一次联考试题理
(1)当m＝0时，求函数f(x)的极值：
(2)若函数f(x)存在三个零点x1，x2，x3，满足x1<x2<x3，x3－x1≤2，求x1＋x3的最大值。
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率。记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?
由 可得 ， ， ，………6分
， ， ， ，
，………………8分
因为 ………………10分
，所以 为定值.………………12分
21解：
（1）当 时， ， ………………1分
令 得 故： 的增区间为 ；减区间为 ………………3分
所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。…………4分
（2）方程 等价于 或 …………5分
所以 成等比数列……………………………………………6分
（2）由 ……8分
由余弦定理得： ，又 ，所以 ……………………10分
于是得： ……………………………………11 分
所以 的周长为 .…………………………………………………………12分
18解：（1）依题意可得： ，
分别取线段 的中点 ，连接 的三边，
20.(本小题满分12分)
已知△ABC中，B(－1，0)，C(1，0)，AB＝4，点P在AB上，且∠BAC＝∠PCA。
2023年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 若集合，则( )A. B. C. D.2. 若复数z是方程的一个根，则的虚部为( )A. 2B. 2iC. iD. 13. 袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中、华、道、都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”、“都”两个字的小球都被取到，则停止取球.现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中、华、道、都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果.现经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 231 021 122 203 012231 130 133 231 031 123 122 103 233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为( )A. B. C. D.4. 已知等差数列的前n项和，若，则( )A. 150B. 160C. 170D. 与和公差有关5. 法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为C：，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6. 阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D.7. 如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，，，平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为，则点A到平面BCE的距离为( )A.B.C.D.8. 若正项递增等比数列满足：，则的最小值为( )A. B. 2 C. D. 49. 已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为( )A. B. C. D. 010. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.11.已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，设，，若，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.12. 定义在R上的函数与的导函数分别为和，满足，，且为奇函数，则( ) A. B. C. D.13. 设向量满足，则______ .14. 设，若且，则取值范围为______ .15. 已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是______ 写出一个满足条件的圆的方程即可16. 若时，关于x的不等式恒成立，则正整数n的取值集合为______ 参考数据：，，17. 在中，已知求；若D是AB边上的一点，且，求面积的最大值.18.如图，在梯形ABCD中，，，现将沿AC翻折成直二面角证明：；若，二面角余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值.19. 中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用.中药可以起到改善平常上呼吸道的症状，同时可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以达到治疗新型冠状病毒肺炎的作用.某地种植药材收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的药材的箱数单位：十箱与成本单位：千元的关系如下：x34679y78y与x可用回归方程其中为常数，且精确到进行模拟.若农户卖出的该药材的价格为500元/箱，试预测该药材10箱的利润是多少元；利润=售价-成本据统计，4月份的连续20天中农户每天为甲地可配送的药材的箱数的频率分布直方图如图，用这20天的情况来估计相应的概率.通过频率分布直方图计算农户每天平均可配送的药材的箱数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表；一个运输户拟购置3辆小货车专门运输农户为甲地配送的该药材，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该药材，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利400元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试计算此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据：设，则参考公式：对于一组数据…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 设抛物线C：的焦点为F，过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，抛物线在A，B两点切线交于点P，当直线AB垂直y轴时，面积为求抛物线的方程；若，求直线AB的方程.21. 已知函数，讨论函数极值点的个数；存在直线与与曲线共有五个不同的交点，求a的取值范围.注：是自然对数的底数22. 在直角坐标系xOy中，笛卡尔叶形线的参数方程为为参数，曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.写出的普通方程与的极坐标方程；若与有公共点，求a的取值范围.23. 已知a，b，c都是正数，且，证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，则故选：求出集合B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，即，解得或，当时，，当时，，故的虚部为故选：根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可知，恰好取球三次就停止的有：023，203，123，共3组随机数，故恰好取球三次就停止的概率为故选：根据已知条件，先求出满足题意的随机数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则，故故选：根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆C：上，，即，椭圆的离心率故选：由题意可知，点在圆C：上，代入后结合隐含条件求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当时．输出的数据为31，故选分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：AB为圆O的直径，，，，，平面ABC，AC，平面ABC，，，，CD，平面BCD，平面BCD，，CD，平面ACD，平面ACD，F为CD中点，连接EF，FB，如图，E为AD的中点，，，平面BCD，平面BCD，，异面直线BE与AC所成角为，，，，，，，，E到平面ABC的距离为，，故选：F为CD中点，异面直线BE与AC所成角为，可得，由已知条件求解所需线段的长，设点A到平面BCE的距离为h，由，能求出点A到平面BCE的距离．本题考查异面直线所成角、点到平面距离公式、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，由于数列是正项递增等比数列，则，由于，则有，变形可得，则，又由，，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，即的最小值为故选：据题意，设等比数列的公比为q，将变形可得，由此可得，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等比数列的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知：正方体的外接球的球心为O，正方体的外接球的直径，则O为AB的中点，所以，且，故，由于，所以的最小值故选：首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．10.【答案】C【解析】解：设冬季去了一眼望三国为事件A，夏季去了一眼望三国为事件B，则，，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为，故选：先利用古典概型的概率计算公式求出，，再利用互斥事件的概率加法公式求解即可．本题考查互斥事件的概率加法公式和古典概型的概率计算公式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，设的内切圆的圆心为I，设内切圆I与x轴的切点为H，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，，，为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，，，，，，，，，，，，双曲线的渐近线方程为，故选：设的内切圆的圆心为I ，设内切圆I 与x 轴的切点为H ，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，从而可得，，从而可得H 为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，从而再根据题意建立方程，化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，双曲线焦点三角形的内切圆的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】A【解析】解：，，则，，，即，，令，则，解得，①，，又为奇函数，，即②，由①+②得③，④，由③-④得，是周期为4的周期函数，令，由②得，解得，令，由③得，令，由③得，，，故选：利用导数的定义可得，结合题意可得，令，求出c，根据奇函数的性质可得是周期为4的周期函数，可求出，即可得出答案．本题考查导数的定义和抽象函数的应用，考查转化思想，考查赋值法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：已知向量满足，则，则，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．14.【答案】【解析】解：，若且，不妨，，所以，显然时，差值取得最小值，因为，所以，所以取值范围为故答案为：利用已知条件，结合余弦函数的图象的特征，转化求解取值范围即可．本题考查余弦函数的图象与性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：函数，是R上的增函数，且是奇函数，故满足的点，满足，即，故有，即，故点在直线上．再根据有且只有一个点在圆C上，故圆C和直线相切，故圆的方程可以为，故答案案为：由题意可得是单调递增的奇函数，点在直线上，再根据直线与圆相切，可得一个圆C的方程．本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：令，则，又因为，所以，所以在上单调递增，易知函数在单调递减，单调递增，其中，则，即恒成立，又因为，，，所以，设，则，，令，函数定义域为，，令，解得，，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以，即当时，有，所以，可得，即，又在上单调递增，当时，，时，，时，，只有和时，有恒成立，所以满足条件的n的取值集合为故答案为：不等式恒成立，则函数的最小值大于0，利用导数研究函数单调性，由，有恒成立，结合参考数据计算即可．本题考查了转化思想、导数的综合运用及恒成立问题，也考查了计算能力，属于难题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，即，又因为，可得；因为因为，则，可得，则，因为，，整理可得，当且仅当时取等号，可得，所以，所以面积的最大值为【解析】由题意及正弦定理可得，再由余弦定理可得，可得的值，再由C角的范围，可得C角的大小；由向量的关系可得，平方，由余弦定理及均值不等式，可得ab的最大值，代入三角形的面积公式，可得面积的最大值．本题考查正余弦定理的应用及均值不等式的应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AB的中点E，连接CE，，四边形ADCE是平行四边形，，，，即，又平面平面ACB，且两平面的交线为AC，平面PAC，又平面PAC，；解：由知，，取AC的中点O，则，，且，OC，OE，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，易得平面PAC的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，由，取，得，，故，二面角余弦值为，，解得，则，设异面直线PC与AB所成角为，则，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为【解析】取AB的中点E，连接CE，证明，由平面平面ACB，得平面PAC，可证；取AC的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，设，由二面角余弦值为，利用向量法求a的值，再由向量法求异面直线PC与AB所成角的余弦值．本题考查了线线垂直的证明以及二面角和异面直线所成的角的计算，属于中档题．19.【答案】解：，，，，，所以，所以又，所以，所以10箱药材，时，千元，即该水果10箱的成本为4860元，故该水果10箱的利润为元，所以农户每天平均可配送125箱药材；根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：箱数P该运输户购3辆车时每天的利润为Y元，则Y的可能取值为1200，600，0，其分布列为：Y12006000P，故此项业务每天的利润平均值为900元．【解析】根据公式可求得，，从而得到，当时求得，进而求得利润；利用频率分布直方图估计平均数的计算公式可求；根据频率分布直方图，可求该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表，进而求得分布列，最后根据均值的计算公式求得此项业务每天的利润平均值即可．本题考查由频率分布直方图估计平均，简单离散型随机变量分布列的应用，属于中档题．20.【答案】解：由，得，则有，直线轴时，不妨设，曲线C在点A处切线PA的斜率为，切线方程为：，同理切线PB的方程为：，联立方程得，则，得抛物线的方程；设直线AB方程：，，，与抛物线方程联立方程组得：，则有，，由，得，则有，所以，切线AP方程：，切线BP方程：，联立得，，，又，得，又，所以，，所以，则直线AB方程：或【解析】直线AB垂直y轴，设，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，再由面积为4，求出，得抛物线的方程；直线AB方程：，，，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，与抛物线方程联立，韦达定理可证，，得，由，解出k，得直线AB的方程．本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．21.【答案】解：函数，，的定义域为，求导得，令，所以函数在上单调递增，，，所以函数在上有唯一的零点，，而，，若，由，，得，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，当时，恒有成立，当且仅当时取等号，在上单调递增，无极值，若时，由，得或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，所以当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．由知，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，当时，，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有2个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，由，得，，，令，当时，，所以函数在上单调递增，，由得，令，，，所以函数在上单调递增，所以，则，当时，在上单调递增，直线，与曲线最多只有两个不同的交点，不符合题意，当时，函数在，上单调递在，在上单调递减，当时，函数取得极小值，当时，取得极大值，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有两个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，，所以当时，由得，单调递增，由得，单调递减，，所以不等式，不成立，综上所述，，所以a的取值范围为【解析】求出函数的导函数，再分类讨论函数的零点个数．按a的取值求出的极值，结合函数的图象特征列出不等式，求解作答．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：在曲线的参数方程中，当时，，当时，，于是，整理得，显然满足上式，因此，所以的普通方程是，的极坐标方程是；把代入得：，与的极坐标方程联立整理得：，因为，即，即有，，则，，不妨令，因此，所以a的取值范围是【解析】消去的参数方程中参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得的极坐标方程；求出的极坐标方程，再与的极坐标方程联立，结合三角函数性质求解作答．本题考查了参数方程和普通方程，极坐标方程间的转化，属于中档题．23.【答案】证明：因为a，b，c都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等，故成立；因为a，b，c都是正数，且，所以，，，由柯西不等式可得，即，当且仅当，即，，时取等号，因为a，b，c都是正数，所以有，得证．第21页，共21页【解析】由已知可得，再利用基本不等式证明即可；由已知可得，，，再利用柯西不等式证明即可．本题主要考查不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．。
江西省重点中学盟校2020届高三下学期第一次联考理科数学答案
由余弦定理得： ,又 ,所以 ……………………10分
于是得： ……………………………………11 分
所以 的周长为 .…………………………………………………………12分
18解：（1）依题意可得： ,
分别取线段 的中点 ,连接 的三边,
则 , ,而 为梯形 的中位线,
有 , ,……………2分
所以点 的轨迹 的方程为 .………………4分
注：答轨迹为椭圆,但方程错,给3分；不答轨迹,直接写出正确方程,得4分（ 未写出,这次不另外扣分）.
（2）如图,设 , ,可设直线 方程为 ,则 ,………………5分
由 可得 , , ,………6分
, , , ,
,………………8分
因为 ………………10分
,所以 为定值.………………12分
19．解：（1） 所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6. ………1分
, ,
, ,
, ,
,………3分（注：此步骤中,写对任意一个可得1分,全对得2分）
∴ 的分布列为
0
1
2
3
4Hale Waihona Puke 56……………………5分
（2）选择延保方案一,所需费用 元的分布列为：
7000
9000
11000
13000
15000
P
…………7分（注：此步骤中, 取值全对可得1分）
(元). …………8分
选择延保方案二,所需费用 元的分布列为：
10000
11000
12000
P
…………10分（注：此步骤中, 取值全对可得1分）
(元). ………………………11分
∵ ,∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分
2020届江西省上饶市高三上学期第一次联考数学(理)试题word版含解析
2020届江西省上饶市高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．设复数z 满足是虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A ．B ．C ．D ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ）A ．4034B ．2017C ．1008D ．10104．设则 A ． B ． C ． D ．5．为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男、女至少各有一人,则不同的选法共有A ．140种B ．70种C ．35种D ．84种6．已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A． B．4 C．6 D．9．若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是A．1 B． C． D．10．已知的最大值为A，若存在实数、，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A． B． C． D．11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．212．在正方体中，边长为，面与面的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为A． B． C． D．二、填空题13．若a，b为正实数，且，则的最小值为______14．等差数列的前项和为，，，则________.15．已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为______．16．已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．三、解答题17．已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ， 60DAB ∠=o ， 2AD =， 1AM =， E 为AB 的中点.（1）求证： //AN 平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ，若不存在，请说明理由.20．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．21．已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.22．平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．(Ⅰ)求直线的极坐标方程；(Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求．23．已知函数．解不等式；若关于x的不等式在R上的解集为R，求实数a的取值范围．2020届江西省上饶市高三上学期第一次联考数学（理）试题参考答案一、单选题1．设复数z满足是虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【详解】解：设，由，得，即，，解得，．复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是A． B． C． D．【答案】C【解析】阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可．【详解】解：图中阴影部分表示的集合，由， 则， 则． 故选：C ．【点睛】 正确理解集合M 、N 所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ）A ．4034B ．2017C ．1008D ．1010【答案】B【解析】点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，所以100810102a a +=. ()()1201710081010201720172017220172017222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选B.4．设则 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴，即b ＜a ．又．∴b ＞c ．综上可知：a ＞b ＞c【考点】对数值大小的比较5．为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男、女至少各有一人,则不同的选法共有A ．140种B ．70种C ．35种D ．84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B．点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．6．已知平面向量的夹角为，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：结合题意设出的坐标，求出的坐标，从而求出的模即可．详解：平面向量的夹角为，且，不妨设=（1，0），=（，），则=（，﹣），故| |=1，故选：A．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由算法流程图所提供的算法程序可知：当时，，运算程序结束，所以当时运算程序不再继续，故应填，应选答案A。
【数学】江西省临川2020届高三上学期第一次联考 理科数学试题(扫描版含答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，集合{|1}B x y x ==-，则()R C A B =U （ ）A ．{|13}x x -剟B ．{}|3x x ≥C ．{}|1x x ≤-D ．{}1|x x ≥-【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，根据函数定义域的要求求出集合B ，再通过补集与并集的运算，可得到本题答案. 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{}|13R C A x x =-≤≤，由10x -≥，得集合{|1}B x x =≥，从而(){|1}≥-=U R x x C A B .故选：D 【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．设复数，则A ．iB ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：， ．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．命题p ：曲线216y x =的焦点为()4,0；命题q ：曲线2241x y -=5；则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道,,a b c并求出其离心率，先判断命题p与命题q的真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.【详解】命题p中，曲线方程可化为21 16 =y x，其焦点坐标为1(,0)64，所以P为假命题，p⌝为真命题；命题q中，曲线方程可化为22114yx-=，对应的1551,1,422==+===ca c ea，所以q为真命题，所以p q⌝∧为真命题.故选：B.【点睛】本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.4．在ABC∆中，AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，4AB=，3AC=，则BCuuu v在CAu u u v方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC⊥u u u r u u u r，再结合图形求出BCuuu r与CAu u u r方向上的投影即可.详解：如图所示：Q AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，AB AC∴⋅=u u u v u u u v，∴AB AC⊥u u u r u u u r，又4AB=，3AC=，BC ∴u u u v 在CA u uu r 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vπ=-∠=-∠=-，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为223(2,2)a=∈，所以12a <<， 因为32(1,3)c =∈， 所以01c <<，又22log 5log 42b =>=， 所以c a b <<．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．6．下表是鞋子的长度与对应码数的关系如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为77.6y x =-.若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．40 B ．41C ．42D ．43【答案】C【解析】把人的身高代入方程77.6y x =-，可求出脚板长，再查表可得到本题的答案.【详解】令173=y 代入直线方程77.6y x =-，解得25.8=x ，所以脚板长为25.8()cm ，查表得穿的鞋子的码数应为42. 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题.7．函数3()x xx f x e e-=+（其中e 为自然对数的底数）在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案. 【详解】33()()()+e-----===-+Q x xx x x x f x f x e e e ，∴()f x 为奇函数，故其函数图象关于原点对称，故选项D 不正确；显然，当0x >时，()0f x >，故选项C 不正确；当3x =时，3333(3)1-=>+f e e，而选项B 的最大值小于1，故选项B 不正确；所以通过排除法，可得本题的答案为A. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.8．在正项数列{}n a 中，12a =，且点()()*1ln ,ln n n P a a n N +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】点P 代入直线方程化简可得{}n a 为等比数列，写出数列的前n 项和公式，解不等式可得本题的答案. 【详解】由题意得，1ln ln ln 20+-+=n n a a ，化简得12n na a +=，则2()*=∈n n a n N ，所以2(12)2(21)12-==--n n n S ，200>Q n S ，2(21)200∴->n ，得2101>n ，则n 的最小值为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】B【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径222112622R ++==，所以外接球的表面积226446πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（,,,a b c d N +∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为（ ）A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.12．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围. 【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D. 【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题13．若x ，y 满足0,10,10,y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为______【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，0）函数z ＝x ﹣2y 为y 22x z=-，由图可知，当直线y 22x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为：1． 故答案为1． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________． 【答案】-320【解析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数. 【详解】易知6(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .故答案为：-320 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15．如图所示的程序框图，满足||||2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为__________．【答案】12【解析】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，即可得到本题答案.【详解】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，而对应的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，因为3y x =是奇函数，所以其图象关于原点对称，并且正方形是中心对称图形，故阴影部分面积与正方形面积之比为：12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键.16．双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上且12tan 43F PF ∠=O 为坐标原点，则||OP =_______．5【解析】先根据双曲线的焦点三角形公式122tan2θ∆=F PF b S ，求出三角形面积，然后求p y ，把p y 代入2213yx -=，求得P x ，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点(,)P p P x y ，12F PF θ∠=，则tan 43θ=22tan2tan tan 24321tan 2θθθθ=⋅==-Q ，3tan 2θ∴=1,3,2===Q a b c ， 12233tan2θ∆∴===F PF b S P 作x 轴垂线，垂足为M ，则有12121||||4||23221∆=⨯==F PF F F M PM S P ，所以||3=PM ，即||3=P y ，23∴=Py ，代入2213y x -=得，22=P x ，22||||||325∴=+=+=OP PM OM .故答案为：5【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.三、解答题17．在ABC ∆中，,,A B C 对应的边为,,a b c ，已知1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的值；（2）若4b =，6c =，求cos B 的值. 【答案】（1）3A π=；（2）27cos B =【解析】（1）通过正弦定理边角转化以及()sin sin B A C =+可求得角A ； （2）用余弦定理求边a ，再用余弦定理求角B. 【详解】（1）由条件1cos 2a C cb +=，得1sin cos sin sin 2A C C B +=，又由()sin sin B A C =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.因为sin 0C ≠，得1cos 2A =，故3A π=； （2）在ABC ∆中，Q 4b =，6c =，3A π=，由余弦定理得，222222cos =4+6-246cos283π=+-⨯⨯=a b c bc A ，故27a =， 所以22227cos =22276+-==⨯⨯a c b B ac 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题.18．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）在（1）的条件下，若DE CF ∥，求二面角D AF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）先证AF ⊥平面BDE ，得到AF DE ⊥，结合AE DE ⊥，可证得DE ⊥平面ABFE ；（2）以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF 与面ACF 的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角D AF C --为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案. 【详解】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，∴DE ⊥平面ABFE .（2）在图2中，由（1）知ED ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0F ，()0,2,2C ，()0,0,1D ，()2,2,0AF =-u u u r ，()2,0,1AD =-u u u r ，()0,0,2FC =u u u r.设平面ADF 的一个法向量为()111,,n x y z =r，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得111122020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨取1x =，得()1,1,2n =r ，设平面ACF 的一个法向量为()222,,m x y z =u r，由00m AF m FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22222020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,0m =u r ，3cos ,||||26⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r m n m n m n 由图可得，二面角D AF C --为锐角，所以它的余弦值为33【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量法求二面角.19．已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()23S n n 2n =+ 【解析】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解. 【详解】（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L2(321)323()22nn n n +-=⋅=+ 当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a L -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+L ()23n n 2=+ 综上：()23S n n 2n =+ 【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）910；（2）见解析. 【解析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯11311554100+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=.则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元). 【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题. 21．（本小题满分14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为AOB ∠的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o 【解析】试题分析：（I）设椭圆方程为).0(12222>>=+b a b y a x ……1分因为,22c e a ==所以,(,,2c 据题意点在椭圆上则,121222=+b a c于是.1,121212==+b b解得 ……4分 因为.2,1,1,2222====-=a c b c a c a 则 (5)分 故椭圆的方程为.1222=+y x ……6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由坐标原点O 到直线l((A B A B 或, ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,∴=90AOB ∠o, ……8分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y , ……9分∵原点O 到直线l的距离为3=整理得2232(1)m k =+（）, ……10分222221,(21)4220.2x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩由得 ……11分22222(4)4(21)(22)8(21)km k m k m ∆=-+-=-+,将（）式代入得22328=0=16803k m +∆>∆+>，或, ……12分2121222422,.2121km m x x x x k k -+=-=++221212121222222222()()()2242.212121y y kx m kx m k x x km x x m m km m k k km m k k k =++=+++---=⋅+⋅+=+++2222212122222223220212121m m k m k x x y y k k k ----+=+==+++, ……13分 ∴=90AOB ∠o综上分析，AOB∠的大小为定值，且=90AOB ∠o . ……14分【考点】本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用. 点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零. 22．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()()123f x f x f x ==，()123x x x <<，试证：314x x -<. 【答案】（1）单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3；（2）见解析【解析】（1）求导，令()0f x '>，可得增区间，令()0f x '<，可得减区间，要注意函数定义域为()0,∞+；（2）构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈，求导后得，()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增，利用函数的单调性可得()(2)f x f x <-在()0,1上恒成立，因为()()()2112f x f x f x =<-，所以212x x >-，即122x x +>①；同理，构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈，可证236x x +<②，结合①②，结论可证. 【详解】（1）由题设知函数()f x 的定义域为()0,∞+且3(1)(3)()4x x f x x x x'--=-+= 故当(0,1)(3,)x ∈⋃+∞时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3； （2）由（1）知：123013x x x <<<<<，先证122x x +>. 构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈则2(1)(3)(1)(1)6(1)()()(2)2(2)x x x x x F x f x f x x x x x '''---+-=+-=+=--故()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增 所以()(1)0()(2)F x F f x f x <=⇒<-在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，得()()()2112f x f x f x =<-，又21,2(1,3)x x -∈且函数()f x 在()1,3上单调递减故212x x >-，即122x x +> ①再证236x x +<.构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈2(1)(3)(5)(3)2(3)()()(6)6(6)x x x x x G x f x f x x x x x '''-----=+-=+=--故()0G x '>在()1,3上恒成立，即()()(6)G x f x f x =--在()1,3上单调递增所以()(3)0()(6)G x G f x f x <=⇒<-在()1,3上恒成立， 又()21,3x ∈，得()()()3226f x f x f x =<-， 又32,6(3,)x x -∈+∞且函数()f x 在()3,+∞上单调递增 故326x x <-，即236x x +< ② 结合①②得：314x x -< 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大.第 21 页共 21 页。
江西省重点中学协作体高三第一次联考试卷数学（理）试题
江西省重点中学协作体高三第一次联考试卷数学(理)试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.满分150分.考试用时120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}}{2,0A x x x B x x x ===->，则AB =（ ）．A ．[0,1]B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞- 2．若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为( )．A ．7-B ．71- C . 7 D .7-或17-3．下列说法中，正确的是（ ）A ． 命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是假命题.B ．设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是 “αβ⊥” 成立的充分不必要条件.C ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对任意2,0x R x x ∈-<”. D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件.4．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的两个端点与抛物线24x by =-的焦点构成一个等边三角形，则此双曲线的离心率为（ ） A 23B 3C ．2D ．35．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．126．设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这五个数据依次输入右边程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）A ．2S =，即5个数据的方差为2 B. 2S =，即5个数据的标准差为2222主视图左视图俯视图(第5题图)C. 10S =，即5个数据的方差为10D. 10S =，即5个数据的标准差为107．设函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0(B .)(x f 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C .)(x f 的一个对称中心是)0,125(πD . 将)(x f 的图象向右平移||ϕ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象.8．已知集合{}0,2M =，数列{}n a 满足(1,2,3,)n a M n ∈=，设100122100333a a a W =+++，则W 一定不属于区间（ ） A ．[)0,1 B ．(]0,1 C ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦9．如图，有一条长度为1的线段MN ，其端点,M N 在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度最接近于（ ） A.8 B.11 C.12 D.1010．已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 为区域120230x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+->⎩内的任意三点，又已知二元函数(1)4(,)3x k y kf x y x +-+-=+（其中k 为参数），若以112233(,),(,),(,)f x y f x y f x y 的值为三边长的三角形总是存在的，则实数k 的取值范围是（ ）A ． (0,3)B . []3,0C . (0,)+∞D . [)∞,0开始5>i结束输出SS =1=2(20)i S S x =+-5S S =÷1i i =+是输入i x(第6题图)1i =A ABD ·N P (第9题图)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.11.在35(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是 .12.如图，OAB 由y 轴，直线1y =及曲线2y x =(0x ≥)围成，假设随机向该区域内投点，该点落在区域内每个位置是等可能的.现随机向区域投一点P ，则直线OP 的斜率小于1的概率是 .13. 设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且,,AB AC AD 两两相互垂直,用123,,S S S 分别表示,,ABC ABD ACD ∆∆∆的面积，则123S S S ++的最大值是 ．14.如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为2，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅的取值范围为__________.三、选做题(本小题满分5分)15.考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分..A (坐标系与参数方程选做题)曲线4cos ρθ=与曲线cos 23ρθ=+的交点间距离为 ..B (不等式选讲选做题)关于x 的不等式112+-<-+a a x x 的解集为空集，则实数a 的取值范围为 .四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量(3sin 2,cos 2),(cos 2,cos 2)m x x n x x ==-. (1)若75(,)2412x ππ∈，13,25m n ⋅+=-求cos 4x ； （2）设ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对应的角的大小为x ，若关于x 的方程12m n k ⋅+=有且仅有一个实数根，求k 的值.AABBCM NNDE (第14题图)y xOA B(第12题图)17. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD 且1AB BC DA ===，2CD =，其侧棱长均为2， M 为棱PA 的中点.(1)设CD 的中点为O ，连PO ，证明PO ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A DM B --的余弦值.18. （本小题满分12分）某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：“每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”.现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：请假次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15根据上表信息解答以下问题：(1)从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该小学任选两名职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列. (1)若12lg lg lg nn b b b a n+++=(其中11,0,n b b n N *=>∈)，试求数列{}n a 的公差d 与数列{}n b 的公比q 之间的关系式；P MA B CD O(第17题图)(2)若311222n n n a b a b a b n ++++=，且18a =，试求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.20. （本小题满分13分）已知椭圆22184x y +=，过点(1,1)P 作直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 平分线段MN .(1)试求直线l 的方程；(2)设直线AB 平行于直线l ，且与椭圆交于,A B 两点，连AP 交椭圆于另一点C ，连BP 交椭圆于另一点D ，求证//AB CD .21. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x ax x =+-（R a ∈,a 为常数）.（1）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x 的值； (2) 当1-=a 时，若方程()bf x x=有实根，求b 的最小值； （3）设 ()()xF x f x e -=⋅，若()F x 在区间(]1,0上是单调函数，求a 的范围.ABBP MNNlxOy·(第20题图)江西省重点中学协作体高三第一次联考试卷数学(理)试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 12345678910 答案CABCBACCBB本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.11. 9- 12. 1413. 8 14.[)+∞,5三、选做题(本小题满分5分)15..A 2 .B ((0,1)四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16. （本小题满分12分） 【解】（1）1sin 462m n x π⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭……………4分 由条件有3462x πππ≤-≤，故10343664cos 4cos -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x ……………6分 （2）由余弦定理有2222cos b a c ac x =+-，又2b ac =，从而22(12cos )2ac x a c ac +=+≥1cos 2x ⇒≥0,3x π⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦……………8分 由此可得74666x πππ-<-≤，结合图象可得1m =或12-.……………12分 17. （本小题满分12分） 【解】（1）2223,PO PC PD PO DC OP OA PA PO OA ⎫==⇒⊥⎪⇒⎬+=⇒⊥⎪⎭PO ⊥平面ABCD .…………6分(2)取AB 的中点M ，分别以,,OM OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则3131313(,0),(,0),(0,1,0),(224A B D M ---，设面DAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则31333(,,0),(,,)22442DA DM ==，令 11121113102033304x y DA n DM n x y z +=⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩+=，取13y =-，则1111x z =⎧⎨=⎩，故面DAM 的一个法向量为1(1,3,1)n =-.同理可求得面DBM 的一个法向量为2(3,3,0)n =-.从而12315cos ,523n n ==⋅.……………………12分 18. （本小题满分12分）【解】(1) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<<，所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以681212824549245P =+=6分 (2) 从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===， 1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===， 115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ0 1 2 3P272249 1049 349ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分19. （本小题满分12分） 【解】(1)(1)1212lg()1lg lg 2n n n nn b q n a q q n---===，111()lg lg 222n n n n d a a q q +-=-=-=.………………6分 (2)由311222n n n a b a b a b n ++++= ①得4112211(1)2n n n a b a b a b n ++++++=+ ②②-①得311(2)2n n n a b n +++=+.由于18n a nd +=+，故31(2)28n n n b nd+++=+，从而[]212(3)(8)(2)8(1)n n b n nd b n n d ++++=+++(*)由于{}n b 是等比数列，故(*)式右端应恒为常数，设为q ，由此可得222(616)48(83)2(8)dn d n qdn q d n q d +++=++++根据上述恒等式可得24q d =⎧⎨=⎩，8(1)444n a n n ∴=+-=+，nn b b 221=⇒=………………12分 20. （本小题满分13分）【解】(1)设1122(,),(,)M x y N x y ，则221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212y y x x -=--.l ∴的方程为11(1)2302y x x y -=--⇒+-=.…………6分(2)设:2AB x y m +=，再设AP PC λ=，由此得(1,1)(1,1)A A C C x y x y λ--=--11(1)1(1)1A C A C A C AC x x x x y y y y λλλλλλ+-⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=-+-⎩⎪=⎪⎩.由于点,A C 均在椭圆上，且点A 在直线AB 上，故有2228C C x y +=2222(1)2(1)8A A x y λλλλ+-+-⇒+=22222(1)2(1)2(1)4(1)28A A A A x x y y λλλλλ⇒+-++++-++=223(1)2(1)8(1)m λλλ⇒+-+=-.由0λ>3(1)28(1)2115m m λλλ⇒+-=-⇒=-.设BP PD μ=，同理有2115m μ=-，故有λμ=，从而有//AB CD . …………13分21. （本小题满分14分）【解】(1)由1()2f x x a x'=+-知曲线()x f y =在点()00,y x P 处的切线为:()0020000ln 12x ax x x x x a x y -++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=，将原点O 代入,经化简得01ln 020=-+x x .易知函数()1ln 2-+=x x x u 在区间()+∞,0上为递增函数, 注意到()01=u ,故10=x . …………4分(2) 当1-=a 时,()x x x x f ln 2--=.由()()()xx x x x x f 121112+-=--='知:函数()x f y =在区间()1,0上递减,在区间()+∞,1上递增.所以()()01=≥f x f ,()0,>=x x xf b ,0≥∴b 即b 的最小值为0. …………8分 (3)()()212ln xx a x a xx F x e-+-+-+'=. 设()()x x a x a x x h ln 122+-+-+-=,则()a xx x x h -+++-='21122.易知()x h '在(]1,0上是减函数,从而()()a h x h -='≥'21. …………9分当02≥-a ,即2≤a 时,()0≥'x h ,()x h 在区间(]1,0上是增函数. ()()0,01<∴=x h h 在(]1,0上恒成立,即()0≤'x F 在(]1,0上恒成立.()x F ∴在区间(]1,0上是减函数,所以 2≤a 满足题意. …………11分②当02<-a ,即2>a 时,设函数()x h '的唯一零点为0x ，则()x h 在()0,0x 上递增,在()1,0x 上递减,又()()0,010>∴=x h h . ()x F ∴在()1,0x 上递增.注意到()0<-a e h ,()x F ∴在()ae-,0上递减.这与()x F 在区间(]1,0上是单调函数矛盾.所以2>a 不合题意.综合①②得,2≤a . …………14分。
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C． D．
【答案】A
【解析】分析函数 在 处的取值，以及该函数在区间 函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
对于函数 ，当 时， ，即该函数图象过原点，排除B选项；
当 时， ，则 ，排除D选项.
当 时， ，所以，函数 不是奇函数，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据题意分别算出 和 ，再利用条件概率公式计算即可.
【详解】
由题知：事件 ：甲和乙至少一人选择庐山共有： 种情况，
事件 ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，
共有 种情况，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.
2020届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】首先化简 ，得到 ，再求出 ，判断对应的点位于的象限即可.
【详解】
因为 ，所以 .
所以 ，对应的点为 ，位于第四象限.
构造函数 ，则 ，
所以，函数 为偶函数，
当 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，则该函数在 上单调递减，
，
由 得 ，
即 ，即 ，则 ，
由于函数 在 上单调递减，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数 是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
综上所述，不可能的是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．已知 ，则 的展开式中的 的系数为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先根据微积分定理得到 ，再求出 展开式的通项 ，即可得到答案.
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如：用十六进制表示， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先计算出 的值，再根据十六进制的含义表示出结果.
【详解】
解：∵ ，
余 ，
余 ，
∴用十六进制表示为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题.
2．设全集 ， ， ，则 （）
A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【解析】求出集合 、 ，利用补集和并集的定义可求得集合 .
【详解】
或 ，
， 或 ，
因此， 或 .
故选：B.
【点睛】
本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B.
【详解】
由题知： ，因为 ，所以 .
所以 展开式的通项 .
令 ，得： .பைடு நூலகம்
故展开式中的 的系数为 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.
7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山 个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件 ：甲和乙至少一人选择庐山，事件 ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 （）
3．已知等差数列 的公差为 ， ，若 是 和 的等比中项，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先根据题意得到 ，再转化为 ，计算 即可.
【详解】
由题知： ，即： ，
整理得： .
因为 ，所以 ，解得 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题
4．函数 的大致图象为（）
11．已知 的面积为 ， ， 为线段 上一点， ，点 在线段 和 上的投影分别为点 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先利用三角形的面积公式得到 ，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得 ，之后应用三角形面积公式求得结果.
【详解】
因为 的面积为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
10．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，若 ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数 在 上单调递增，进而可得出该函数在 上单调递减，将所求不等式变形为 ，可得 ，可得出 ，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
由 可得 ，
【详解】
解： ，
则 ，
，
此时 ，故A错误；
当 时， ，故B错误；
当 时， ，故C正确；
当 ，则 ，
因为函数 在 上不是单调函数，
则函数 在区间 上单不是单调函数，故D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.
9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字 和字母 共 个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
8．把函数 的图像先向右平移 个单位，得到函数 的图像，再将 的图像上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到函数 的图像，则下列说法正确的是（）
A．函数的最小正周期为
B． 是函数 图像的一个对称中心
C．函数 图像的一条对称轴方程为
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】C
【解析】由三角公式可得 ，再通过平移变换及周期变换得到 ，再利用三角函数的性质逐一判断即可.
5．已知 ，则下列结论中一定不正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分 、 和 ，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论.
【详解】
分以下三种情况讨论：
①当 时，由换底公式可得 ， ， ，可得 ；
②当 时，由换底公式得 ， ， ，可得 ；
③当 时，由换底公式可得 ， ， ，可得 .