函数单调性(北师大版)

图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单 独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在
单调性问题。
思 考
：
强调定义中x1,x2的任意 性
t T 1 -3 2 -6 3 -9 4 5 6 7 8 -12 -15 -18 -21 -24
t∈{1,2,3,4,5,6,7,8}; 递减
1.证明函数f ( x) x 1在R上为增函数.
3
2.已知函数f ( x ) x 2 2 x 3， (1)根据图像写出函数f ( x )的单调区间； (2)证明f ( x ) x 2 2 x 3在区间( ,1] 是增函数；
不是,当x1=-1,x2=1时，有f(x1)<f(x2)
例题讲解
例2 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明. 解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图 在R上是上升的,函数是R上的增函数. y y=3x+2 证明: 任取x1,x2∈R,设x1<x2, 取值
所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) 作差 =3(x1-x2), 变形
如果y=f(x)在区间A上是增加或是减少的， 那么称A为单调区间
单调函数 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是 增加的或是减少的，那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性. 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
问题3：怎样用数学语言表达函数值y随x的增减 变化呢? 1.单调性概念
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数 x1,x2∈A, 当x1<x2时, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 都有f(x1)<f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 上是减少的,有时也称函数 增加的,有时也称函数y=f(x)在区间 y=f(x)在区间A上是递减的.区 A上是递增的.区间A为函数的增区 间A为函数的减区间 间 图像特征：从左往右看图像上升 从左往右看图像下降
(3)当函数f ( x)在区间(, m]是增函数时， 求实数m的取值范围。
课堂小结，知识再现
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质. 2、判断函数单调性的方法：
（1）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是 上升的，减函数图象是下降的. （2）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤： 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论 .
x1 x2 x1 x2 0 定号
5 4 3
2 1 O1 2 x
下结论 即 f(x1)<f(x2) 单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.
练习
1，判断下列函数在给定集合或区间上的单调性: (1)y=-5x,x∈[2,7]; 递减 (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈(3,4);递增 (3)
【教学难点】：函数单调性概念的形成过程
及准确表述与理解， 难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的 数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入， 直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体 现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
【教学方法】
采用合作交流，探究学习相结合的教学 方法。指导学生读图，从图中获得信息以 形成概念，再通过典型例题与探究题，深 化对概念的理解与应用．
1.3.1.1函数的单调性
y
0
x
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函 数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调 性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比 较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年 的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在 这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思 想将贯穿于我们整个高中数学教学。
(2) y 2 x
A
(3) y x 2 1
y
1
B A
Hale Waihona Puke Baidu
y
B
1
y
A
1
B
0
1
x1 x2
x
x1 x2
0
1
x
10 1
1 x1 x2
x
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？ 图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
函数的增减性是 针对给定区间来讲的， 离开了区间就不能谈函数的单调性
例题讲解 1 例1 说出函数 f ( x) x 的单调区间,并指 明在该区间上的单调性.
解 (-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这 1 f ( x ) 两个区间上函数 减少. x 函数
1 f ( x) x
是减函数吗?
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．
【教学过程】 函数值有什么变化规律？
问题1 分别作出下列函数图像，并且观察当自变量变化时，
(1) y 2 x 1
【教学目标】
使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明 一些简单函数在给定区间上的单调性。
【教学重点】： 理解函数单调性的概念，以
及用定义证明函数的单调性．
为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为： 作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？ → 在这种变化趋势下， x与函数值y是如何相互影响的？ →你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？