高二数学最新课件-苏教版高二数学不等式的应用 精品
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高中数学第3章不等式3.4-3.4.2基本不等式的应用课件苏教版必修5
解：设 BC＝a m(a≥1.4)，CD＝b m.
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
连接 BD，则在△CDB 中，
题型 3 用基本不等式解应用题
[典例 3] 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．
(1)现有 36 m 长的材料，每间虎笼的长、 宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[变式训练] 4.某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8 m，C 为 AB 的中点，B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5 m，∠BCD＝60°，已知 建筑支架的材料每米的价格一定，问：怎样设计 AB，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？
命题：函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间(－∞，－ a]， [ a，＋∞)上为增函数，在区间[－ a，0)和(0， a]上为 减函数．
证明：设 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋ax11－x12＝ x11x2(x1－x2)(x1x2－a)．
题型 1 用基本不等式证明 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，且不全相等．若 abc＝1， 求证： a＋ b＋ c<1a＋1b＋1c. 分析：可以从左⇒右，也可以从右⇒左．注意“1”的适 时代换．
第3章 不等式
1．如果用 x，y 来分别表示矩形的长和宽，用 l 来表 示矩形的周长，S 来表示矩形的面积，则 l＝2(x＋y)，S ＝xy．
2．在上题中，若面积 S 为定值，则由 x＋y≥2 xy， 可知周长有最小值，为__4___S__．
知识点 1 基本不等式及其注意问题
(1)a＋2 b是两个正数 a 与 b 的算术平均数， ab是两个 正数的几何平均数， ab≤a＋2 b表明两个正数 a 与 b 的几 何平均数不大于算术平均数．此性质可推广到三个及三 个以上的情况．注意熟悉和掌握下列结论：
高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件(共37张PPT)
请同学们尝试用数学符号将下面的原理补充完整.
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
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高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
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高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
【优质课件】苏教版必修5高二数学第3章《不等式》优秀课件.pptx
3.二元一次不等式表示的平面区域的判定 对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax ＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数 Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平 面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地， 当C≠0时，常取原点作为特殊点．
利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；
呈重点、现规律
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等 式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和 运用不等式的八条性质．
4.求目标函数最优解的方法 通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应 的点往往是可行域的顶点． 5.运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各 项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三 相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
高中数学 3.4.2基本不等式的应用课件 苏教版必修5
16
题型2 用基本不等式求最值
例 2 a＞0，b＞0，a＋b＝4，求a＋1a2＋b＋b12的最小值．
分析：利用基本不等式求最小值．
栏
目
解析：∵a＋b＝4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.
链
接
又 a2＋b2≥2ab，∴16－2ab≥2ab，即 ab≤4.
∴a＋1a2＋b＋b12≥a＋1a＋2b＋b12＝4＋2a4b2≥4＋2442＝225.
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12
典例解析
栏 目 链
接
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13
题型1 用基本不等式证明
例 1 若 a，b，c＞0，求证：21a＋21b＋21c≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
分析：由于式子是关于 a、b、c 对称的，若将21a与b＋1 c比较就破
栏 目
链
坏了对称性，得不出要证明的结论，因此去证明
接
41a＋41b＋41b＋41c＋41c＋41a≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
证明：∵x4＋y4≥2x2y2，两边同时加上 x4＋y4 得 2(x4＋y4)
≥(x2＋y2)2，①
又∵x2＋y2≥2xy，两边同时加上 x2＋y2 得
2(x2＋y2)≥(x＋y)2⇒x2＋y2≥（x＋2 y）2，②
由①②即得 x4＋y4≥12×212＝18，
∴x4＋y4≥81.
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栏 目 链 接
、≥10＋2 9xy·yx＝16.
当且仅当9xy＝yx且9x＋y1＝1 时，即 x＝12，y＝4 时取“＝”号．∴
当 x＝12，y＝4 时，x＋y 有最小值 16.
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21
方法二 ∵9x＋y1＝1，∴y＝x－x 9.∴x＋y＝x＋x－x 9＝x＋x－x－9＋9 9
题型2 用基本不等式求最值
例 2 a＞0，b＞0，a＋b＝4，求a＋1a2＋b＋b12的最小值．
分析：利用基本不等式求最小值．
栏
目
解析：∵a＋b＝4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.
链
接
又 a2＋b2≥2ab，∴16－2ab≥2ab，即 ab≤4.
∴a＋1a2＋b＋b12≥a＋1a＋2b＋b12＝4＋2a4b2≥4＋2442＝225.
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12
典例解析
栏 目 链
接
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13
题型1 用基本不等式证明
例 1 若 a，b，c＞0，求证：21a＋21b＋21c≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
分析：由于式子是关于 a、b、c 对称的，若将21a与b＋1 c比较就破
栏 目
链
坏了对称性，得不出要证明的结论，因此去证明
接
41a＋41b＋41b＋41c＋41c＋41a≥a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a.
证明：∵x4＋y4≥2x2y2，两边同时加上 x4＋y4 得 2(x4＋y4)
≥(x2＋y2)2，①
又∵x2＋y2≥2xy，两边同时加上 x2＋y2 得
2(x2＋y2)≥(x＋y)2⇒x2＋y2≥（x＋2 y）2，②
由①②即得 x4＋y4≥12×212＝18，
∴x4＋y4≥81.
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栏 目 链 接
、≥10＋2 9xy·yx＝16.
当且仅当9xy＝yx且9x＋y1＝1 时，即 x＝12，y＝4 时取“＝”号．∴
当 x＝12，y＝4 时，x＋y 有最小值 16.
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方法二 ∵9x＋y1＝1，∴y＝x－x 9.∴x＋y＝x＋x－x 9＝x＋x－x－9＋9 9
高中数学 第一部分 第三章 3.4 第二课时 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
的正数，则 lgx＋lgy 的最大值是________． (2)(2011· 华南师大附中模拟)已知 x>0，y>0，且 x＋ 1 1 4y＝1，则x＋ y的最小值为________．
[思路点拨] 根据所给条件， 结合基本不等式可 求其最值．
[精解详析] (1)∵x>0，y>0 ∴4＝2x＋y≥2 2xy. 当且仅当 2x＝y＝2 时取等号． ∴xy≤2. ∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg 2.
第 三 章 不 等 式
第 二 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二 考点三
基 本 不 等 式 的 应 用
把握热 点考向
应用创 新演练
第二课他们比赛谁能更快地到学校，他们约定：同时从家里
出发，甲一半路程跑步，另一半路程步行，乙用一半
时间跑步，用另一半时间步行，并且甲、乙两人跑步 的速度一样快，步行的速度也一样快，
问题1：若甲、乙两人跑步的速度为v1，步行 的速度为v2，家距学校的距离为s，怎样表示他们 由家到学校的时间？
提示：设甲到学校的时间为 t1，乙到学校的时间为 sv1＋v2 s s t2，则 t1＝2v ＋2v ＝ 2v v 1 2 1 2 2s t2＝ v1＋v2
[一点通]
利用基本不等式求最值的关键是获得
定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当 的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本 不等式的条件．
4 1．(2012· 成都高二检测)设 x>0，则函数 y＝x＋ 的最小 x 值是__________．
解析：∵x>0， 4 ∴x＋x≥2 4 x· x＝4.
不等式的应用 江苏教育版-PPT课件
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2
例2.壁画最高点离地面14米，最低 离地面2米，若从离地面1.5米处观 此画，问离墙多远时，视角最大？
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3
例3.某种汽车购车时费用为10万元，每年的 保险、养路、汽油等费用共9千元，汽车的 年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2 千元，第二年为4千元，第三年为6千元， ……问这种汽车使用几年后报废最合算？（ 即汽车的年平均费用为最低）。
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9
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7
例7. 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件 是：
①建1米新墙的费用为a元；
②修1米旧墙的费用是a/4元；
③拆去1米旧墙用所得的材料建1米新墙的费用为a/2元，经讨论有两种方案：
A:利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房的一面边长；
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4
例4．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机 共3600台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付 运费400元。贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入 电视机的总价值（不含运费）成正比。若每批购入400台， 则每年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有 24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排 每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由 。
用多少天应当报废？
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例6. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在
此地段内的车距d正比于车速v（km/小时） 的平方与车身长S（m）的积，且最小车距不 得少于半个车身长。假定车身长均为S(m)， 且 车 速 为 50(km/h) 时 ， 车 距 恰 为 车 身 长 S 。 问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使 此地段的车流量Q最大。
【优质课件】苏教版必修5高二数学3.4.1基本不等式的证明优秀课件.pptx
4
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是______.
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4
呈重点、现规律
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
因此，当x＝2时，函数有最小值6. 反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件： (1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)； (3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)； (4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到.
因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
当堂测·查疑缺
法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把
过程中留的空填正确？
要证：
(a>0，b>0)，①
只要证：a＋b≥______，②
要证②，只要证a＋b－________≥0，③
要证③，只要证(________－________)2≥0.④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.
思考4 证明不等式还有一种和思考3中的证明步骤相反的方 法，叫做综合法.即从已知条件或已知结论出发，逐步推出要 证明的结论.如何用综合法证明
答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
例1 设a，b为正数，证明下列不等式：
反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条 件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现 “1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式， 要注意等号能否同时成立.
b
探究点二 基本不等式的应用
中小学精编教育课件
内容
Contents
Page 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是______.
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4
呈重点、现规律
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
因此，当x＝2时，函数有最小值6. 反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件： (1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)； (3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)； (4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到.
因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
当堂测·查疑缺
法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把
过程中留的空填正确？
要证：
(a>0，b>0)，①
只要证：a＋b≥______，②
要证②，只要证a＋b－________≥0，③
要证③，只要证(________－________)2≥0.④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.
思考4 证明不等式还有一种和思考3中的证明步骤相反的方 法，叫做综合法.即从已知条件或已知结论出发，逐步推出要 证明的结论.如何用综合法证明
答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
例1 设a，b为正数，证明下列不等式：
反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条 件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现 “1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式， 要注意等号能否同时成立.
b
探究点二 基本不等式的应用
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内容
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01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
苏教版高二数学选修4-5 平均值不等式 课件(25张)
答 案 :A
-6-
§3 平均值不等式
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
2 .三 元 均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”
的 方 法.
-13-
§3 平均值不等式
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1.
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 “a>b>0”是“ab<������2+2 ������2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,������2+2 ������2 > 22������������=ab 成立,当 ab<������2+2 ������2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.
≤
������������ ≤ ������+������ ≤
2
最新苏教版必修5高二数学3.4.2《基本不等式的应用》ppt课件
第3章 不等式
内容
Contents
Page 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
明目标、知重点
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
(2)设 0<x<23，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 解 ∵0<x<23，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即
x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
明目标、知重点
方法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时上式取等号，
明目标、知重点
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3
＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2
3－4 x·3－x＋3＝－1，
当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
明目标、知重点
内容
Contents
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01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
明目标、知重点
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
(2)设 0<x<23，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 解 ∵0<x<23，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即
x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32. ∴函数 y＝4x(3－2x)(0<x<32)的最大值为92.
故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
明目标、知重点
方法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时上式取等号，
明目标、知重点
(2)已知 x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值；
解 ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋x－3＋3
＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2
3－4 x·3－x＋3＝－1，
当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取等号.
∴f(x)的最大值为－1.
明目标、知重点
高二数学不等式的应用 苏教版名师课件
———实际应用题
例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小 时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部 分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例 系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域；
A
bc
O
Ca
B
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
34
能使宣传画所用的纸张面积最小？
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______
2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞))，x求2x实n1x数(xn的1) 值
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶到 乙(地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车每小时 的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度(千米/小时)的平方成正比，比 例 系数为1/100；固定部分为a元。(1)把全程运输成 本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并 指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本 最小，汽车应以多大的速度行驶？
例1.某工厂建造一个无盖的 长方形 贮藏水池,其容积为4800m2 ,深度为
3m, 如果池底每1m 2的造价为150元, 池壁每1m 2的造价为120元, 如何设 计水池,才能使总造价最低 ,最低 造价是多少?
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为 b 的空白, 如何选取纸张的尺寸 , 才能 使纸的用量最少 ?
（97理-22题)甲乙两地相距S千米，汽车从甲 地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小 时，已知汽车每小时的运输成本t（以元为 单位）由可变部分和固定部分组成：可变部 分与速度(千米/小时)的平方成正比，比例 系数为b；固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域；
A
bc
O
Ca
B
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小
如果要求 [ 2 , 3]， 那么为何值时
34
能使宣传画所用的纸张面积最小？
（2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
(2)x, y R,已知2x 2y 4,那么
••• 1 1 不小于 ______
2x 2y
(的3)值已域知是函[数9，f +(x∞))，x求2x实n1x数(xn的1) 值
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶到 乙(地,速度不得超过100千米/小时,已知汽车每小时 的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度(千米/小时)的平方成正比，比 例 系数为1/100；固定部分为a元。(1)把全程运输成 本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并 指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本 最小，汽车应以多大的速度行驶？
高中数学 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
即 x=1 时,取“=”. 故 f(x)的最大值为-1.
一
二
三
2.若正实数 x,y 满足 +
4 ������
16 =1,则 ������
x+y 的最小值是
.
答案: 36
4 16 ∴x+y=1· (x+y)= + (x+y) ������ ������ 4������ 16������ 4������ 16������ =20+ + ≥20+2 · ������ ������ ������ ������ 4 16 解析: ∵ + =1, ������ ������
2
一
二
三
迁移与应用
1 1 2 2 4 (2)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. ������-3 1 解: (1)∵0<x< ,∴1-2x>0. 2 2 1 1 2������+1-2������ y= · 2 x· (1-2x)≤ · 4 4 2 1 1 1 = × = . 4 4 16
1.(1)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值.
预习交流1 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
������2 有最大值为 . 4
提示: 不一定.如 ������ 2 + 2 + 为定值 1,但当 ������ 2 + 2 =
1 ������2 +2 1 ������2+2
1
������2 +2
中,虽然 ������ 2 + 2与
1
������2 +2
3.4.2 基本不等式的应用
高中数学苏教版必修五《基本不等式的综合运用》课件
(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当__x___y 时,xy有最 大 值是 p2 (简记:和定积最大)
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
【系列课件】数学必修Ⅴ苏教版3.4.2基本不等式的应用(16张)
题型一
题型二
题型三
题型一
1 ������
利用基本不等式证明不等式
1 ������
【例 1】 已知 a,b 都是正数,且 a+b=1, 求证: 1 + 1+ ≥9.
分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基 本不等式进行证明即可.
题型一
题型二
题型三
证明:因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 同理
������2 +������ ab≤ 2
2
,4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2 等.
1
2
2.基本不等式
如果 a,b 为正实数,那么 2 ≥ ������������, 当且仅当a=b 时,式中等号成立. 说明: (1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系,对它的准确 理解应抓住两点:一是其成立的条件是a,b都是正数;二是“当且仅当 a=b”时等号成立. (2)它还可以描述为: 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每 吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一 次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?
1 1 1
1
1
1
1
1
1
������
������
������
������
1 ≥9. ������
题型一
题型二
题型三
题型二
实际应用题
苏教版高二数学选修4-5 不等式的应用 课件(21张)
解 :(1)∵0<x<1,∴-lo g2x>0,-lo5g2 ������>0,
∴(-log2x)+
-5
log2������
≥2
(-log2������)·
-
5 log2
������
=2
5,
即-
log2
������
+
5 log2
������
≥2
5,∴log2x+lo5g2������≤-2
5,
当且仅当 log2x=lo5g2������,即 x=2 5时取“=”,
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
反思利用不等式解决实际问题时,首先要认真审题,分析题意,建立合理 的不等式模型,最后通过基本不等式解题.
-11-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
∴2=2������ + 3������≥2 ���6���������,即
xy≥6
当且仅当 2
������
=
3 ������
,即������
=
2,������
= 3 时取“
=
”号
.
∴xy 的最小值为 6.
答 案 :6
-3-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
§5 不等式的应用
-1-
§5 不等式的应用
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
苏教版高二数学不等式的应用
希望的样子活下去，职业家庭哪一个不是顺共有的规则行运？几人可率性而为？从渴望爱情欲望鲜活的少年，变成扭曲压抑的中年，再到麻木分裂的老年，人的 一生还有别的出路？ 365玩球 关山难越，谁悲失路之人？ 2、 火烧的云，天边散淡。归鸟衔走的太阳映一汪盈盈湖中。 夜，已临。孤清的音，丝丝柔柔，在静谧草蔓，星河深处，反复漾，直漾天际。流光点点，时间的长河回环那曾经的一缕深情，月璧影沉，一灯，一影，还有一个梦…… 宗次郎的月霞草第一次听。在虾米的音曲里相遇。 月柔静，霞低眉，草蔓漾……被熏染的晚辉没有悲怆，与孤光清冷的月晕静静淡淡。如梁遇春先生的迟起。 毛姆在《月亮和六便士》里，让他的主人于庸常的物质生活之上，遇了一个迷人的精神异域，满地都是六便士，独独地只有他，抬首见了月亮。 我愿是月，为你，再圆满一次。蒋勋的愿实现了吗？他是真幸运！ 这个世界的顶空，一直有一颗月亮，它不耀眼，却散发宁静而平和的光。 女作家MarcelineLoridan-Ivens也有一天突然地发现，她对安娜说：在我50岁的时候，有一天下楼后发现周围的男人不再看我，不再把我当作一个约会对象。那一天她觉得自己终于自由了，真正成为 自己。
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2018/6/26
b
B
江苏省东台中学高一数学备课组
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小 2 3 如果要求 [ , ]， 那么为何值时 3 4 能使宣传画所用的纸张 面积最小？
———实际应用题
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
例1.某工厂建造一个无盖的长方形 贮藏水池, 其容积为4800m , 深度为 3m, 如果池底每1m 的造价为 150元, 池壁每1m 的造价为 120元, 如何设 计水池, 才能使总造价最低, 最低 造价是多少?
2 2 2
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为b 的空白, 如何选取纸张的尺寸, 才能 课组
例3.(1)如图,在足球比赛中,AB表示甲方球 门,乙方边锋带球沿直线EO向甲方球门靠 近，假设乙方边锋在点C射门,则ACB称 为命中角。设EOAB，OA=a，OB=b(a>b>0) 问CO为何值时命中角最大？ y
A B O C E x
读题——建模——求解——评价
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
(2)已知 : tan x 3 tan y(0 y x ) 2 • • 求u x y的最值
例4.(1)求周长为 12的直角三角形 • • 面积的最大值
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
审题 ——建模 ——求解 ——评价
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
函数
图象
p f ( x ) x ( p 0) x
性质
定义域 值域 单调性
奇偶性
渐近线
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
小结：
质疑：
作业：
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
(2) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周 长为24，把它关于AC对折起来，AB 折过去以后，交DC于点P，设AB=x， 求 的最大面积及相应的 x值。 ADP
12-x
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
xx
例2、若直角三角形的内切圆 半径为 1，求其面积的最小值
A c O C a
2
的值域是[9，+∞)，求实数n的 值
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶 到乙地 ,速度不得超过100千米/小时,已知汽车 ( 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 固定部分组成:可变部分与速度(千米/小时)的 平方成正比，比例系数为1/100；固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定 义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应 以多大的速度行驶？
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过C千米/小时，已知汽 车每小时的运输成本t（以元为单位）由可 变部分和固定部分组成：可变部分与速度 (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b； 固定部分为a元。 （1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域； （2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
(2) x, y R,已知2 2 4, 那么 1 1 • • • 不小于 ______ 2 2
x y x y
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
x nx (3)已知函数 f ( x) x 1 ( x 1)
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
1）利用基本不等式求最值的条件为 “一正，二定，三相等” 2）解决实际问题注意： 审题——建模——求解——评价 3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
不等式的应用体现在整个中学数学中， 如集合问题，方程（组）的解的讨论， 函数的定义域，值域，单调性，以及 三角，解几，数列，复数，立几中的 最值等
b
B
江苏省东台中学高一数学备课组
(2001年）设计一幅宣传画，要求画 面面积为4840cm2，画面的宽与高的 比为λ（ λ〈1），画面的上、下各留 8cm空白，左右各留5cm空白，怎样 确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 画所用纸张面积最小 2 3 如果要求 [ , ]， 那么为何值时 3 4 能使宣传画所用的纸张 面积最小？
———实际应用题
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
例1.某工厂建造一个无盖的长方形 贮藏水池, 其容积为4800m , 深度为 3m, 如果池底每1m 的造价为 150元, 池壁每1m 的造价为 120元, 如何设 计水池, 才能使总造价最低, 最低 造价是多少?
2 2 2
2018/6/26
江苏省东台中学高一数学备课组
例2.如图, 一份印刷品的排版面积 (矩形)为A,它的两边都留有宽为b 的空白, 如何选取纸张的尺寸, 才能 课组
例3.(1)如图,在足球比赛中,AB表示甲方球 门,乙方边锋带球沿直线EO向甲方球门靠 近，假设乙方边锋在点C射门,则ACB称 为命中角。设EOAB，OA=a，OB=b(a>b>0) 问CO为何值时命中角最大？ y
A B O C E x
读题——建模——求解——评价
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
(2)已知 : tan x 3 tan y(0 y x ) 2 • • 求u x y的最值
例4.(1)求周长为 12的直角三角形 • • 面积的最大值
2018/6/26
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审题 ——建模 ——求解 ——评价
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
函数
图象
p f ( x ) x ( p 0) x
性质
定义域 值域 单调性
奇偶性
渐近线
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小结：
质疑：
作业：
2018/6/26
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(2) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周 长为24，把它关于AC对折起来，AB 折过去以后，交DC于点P，设AB=x， 求 的最大面积及相应的 x值。 ADP
12-x
2018/6/26
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xx
例2、若直角三角形的内切圆 半径为 1，求其面积的最小值
A c O C a
2
的值域是[9，+∞)，求实数n的 值
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例.甲乙两地相距200千米,汽车从甲地匀速行驶 到乙地 ,速度不得超过100千米/小时,已知汽车 ( 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 固定部分组成:可变部分与速度(千米/小时)的 平方成正比，比例系数为1/100；固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定 义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应 以多大的速度行驶？
2018/6/26
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甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过C千米/小时，已知汽 车每小时的运输成本t（以元为单位）由可 变部分和固定部分组成：可变部分与速度 (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b； 固定部分为a元。 （1）把全程运输成本y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定 义域； （2)为了使全程运输成本最小,汽车应以 多大的速度行驶？
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
(2) x, y R,已知2 2 4, 那么 1 1 • • • 不小于 ______ 2 2
x y x y
(1) 若正数a,b满足ab≥a+b+3, 则a+b的最小值是________
x nx (3)已知函数 f ( x) x 1 ( x 1)
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
1）利用基本不等式求最值的条件为 “一正，二定，三相等” 2）解决实际问题注意： 审题——建模——求解——评价 3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
2018/6/26 江苏省东台中学高一数学备课组
不等式的应用体现在整个中学数学中， 如集合问题，方程（组）的解的讨论， 函数的定义域，值域，单调性，以及 三角，解几，数列，复数，立几中的 最值等