2019-2020学年北京市十一学校高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷

副标题

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列叙述中，错误的一项为()

A. 棱柱的面中，至少有两个面相互平行

B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形

C. 棱柱的两底面是全等的多边形

D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

2.下列函数中，在定义域内为奇函数，且在(0,+∞)上为减函数的是()

A. f(x)=log2x

B. f(x)=2−x2

C. f(x)=3−x

D. f(x)=−x3

4

3.圆锥的高缩小为原来的1

3

，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的()

A. 2

3B. 3

2

C. 4

3

D. 3

4

4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m//β“是“α//β”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.双曲线x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是

F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于

M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()

A. √6

B. √3

C. √2

D. √3

3

6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=10，则结合a的

值解三角形有两解的为()

A. a=8

B. a=9

C. a=10

D. a=11

7.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，

则该三棱锥的正视图可能是()

A. B.

C. D.

8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为底面ABCD上

的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是

()

A. 线段

B. 圆弧

C. 椭圆的一部分

D. 抛物线的一部分

二、填空题（本大题共7小题，共22.0分）

9.圆x2+y2−2x−2y+1=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是______．

)的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则10.若将函数f(x)=sin(2x+π

4

φ的最小正值是______．

11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①BM与DE平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个结论中，正确的是______．

12.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线

准线的距离之和的最小值为______．

13.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AD1B=π

3

，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为______

14.已知函数f(x)=ax2−1的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线x+8y=0垂直，若

数列{1f(n)}的前n项和为S n，则S n=______．

15.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为 1，

记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区

间是______；最大值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）

16.已知函数f(x)=sin2ωx+√3sinωx⋅sin(ωx+π

2

)−1(ω>0)的相邻两条对称轴之

间的距离为π

2

．

(1)求ω的值；

(2)当x∈[−π

12,π

2

]时，求函数f(x)的值域．

17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，满足a1=b1=2，

2a2=b2，S2+T2=13．

(1)求数列{a n}，{b n}通项公式；

(2)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和H n．

18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底

面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD 的中点．

(1)证明：EF//平面PAC；

(2)证明：AF⊥PC．

19.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的右焦点F(√3,0)，点M(−√3,1

2

)在椭圆C上．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为

P，如果△OAB的面积为λ|AB|+4

2|OP|

(λ为实数)，求λ的值．

20.已知函数f(x)=a(x−2lnx)−1

2

x2+2x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；

正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；

故选：D．

根据棱柱的定义可知ABC对，正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错；

考查棱柱的定义，以及对空间几何体棱柱的理解；

2.【答案】D

【解析】解：A.f(x)的定义域为(0,+∞)，函数为非奇非偶函数；

B.f(−x)=2−(−x)2=2−x2=f(x)，则f(x)是偶函数，不满足条件；

C.f(x)为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；

D.f(−x)=−(−x)3

4=x3

4

=−f(x)，则f(x)是奇函数，当x>0时，函数f(x)为减函数，

满足条件．

故选：D．

根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积的求法，是基础的计算题．

设一个圆锥的底面半径为r，高为h，利用圆锥体积公式求其体积，再求出变换后的圆锥的体积，则答案可求．

【解答】