线性代数专升本秋季考试

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[2016年秋季]

线性代数(专升本)2016年秋季考试

总分：100分

得分：0分

1. 论行列式及其运算

（1）行列式是在什么情况下引入的记号？为什么要引进行列式？行列式中行与列的地位是否

相同？

（2）如何计算行列式是线性代数中的一个基本问题，常用的计算方法有:化三角形法、递推法、降阶法、拆项法等等.请问什么是降阶法？

（3）克莱姆法则是求解线性方程组的一种常用的方法，请问用克莱姆法则求解线性方程组对方程组有哪两个要求？如果条件不满足，则应如何解决？(20分)2. 论矩阵及其运算

（1）矩阵与行列式一样，是在解线性方程组时引入的一种记号，那么它们最大的区别是什么？（2）在矩阵的运算中，两个矩阵可以相加的条件是什么？两个矩阵可以相乘的条件是什么？请任意给出两个矩阵为例，说明在矩阵乘法中

AB 不等于BA.

(3)

一个阶方阵可逆的定义是什么？通常有哪几种方法求矩阵的逆矩阵？

(20分)

3. 论向量组的线性相关性及其应用

（1）向量组的线性相关性是线性代数中的重要概念，对于如何判定一组向量是否相关本课程给出了很多的判定定理.下面就最简单的两种情况，请问：①如果向量组中只有一个向量，应如何

判定它的相关性？②如果向量组中只有两个向量，则又应该如何判定它们的相关性呢？（2）已知

中的向量组 线性无关，向量组

，

，

　线性相关，试判定未知参数k 应该取什么值？

(20分)

一、问答题

参考答案：解答要点:

（1）行列式是在解线性方程组时引进的一种记号，有了行列式的定义，克莱姆法则可以表示的

更简单.在一个行列式中行列的地位是相同的，可由行列式与它的转置行列式相等的性质证明

.（2）降阶法即是行列式按行按列展开的方法，一个

阶的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式

的乘积之和，即化为

个

阶的行列式之和

，

或

；

（3）用克莱姆法则求解线性方程组对方程组有两个要求：1是要求方程组中方程的个数必需等于变量的个数；

2是要求由方程组的系数组成的行列式不能为零.

这两个条件中有一个不满足，则克莱姆法则失效，此时应考虑用矩阵去解决.解题思路：

参考答案：解答要点

（1）最大的区别在于：行列式是一个数，外表是方形的，矩阵是一个数表，外表不一定是方形的.

（2

）两个矩阵可以相加的条件是：同型矩阵才能相加；两个矩阵可以相乘的条件是：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数.

证明AB 不等于BA

的例子可以任意（略）.

(3) 矩阵可逆的定义是:对方阵，若存在方阵，使

（单位矩阵）则称

矩阵可逆，且；具体可用行列式判别，如果

，则

不可逆，如果

，则

可逆；

解题思路：

参考答案：（1）对一个向量而言，如果该向量等于零，则称其为线性相关，否则不相关；对两个向量而言，如果两向量对应坐标成比例，则称这两个向量线性相关，否则不相关.

4. 请描述非齐次线性方程组

的解的结构定理(即什么条件下无解？什么条件下有唯一解

？什么条件下有无穷多组解，此时解由哪两部分组成？)。(10分)

5. 请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组 有无穷多组解，则非齐次线性方程组

是否也必有无穷多组解？(10分)6. 论特征值与特征向量

(1) 设A

为ｎ阶方阵，是A 的特征值，ｘ是A 的关于

的特征向量，则A

、

、ｘ必须满足什么

条件？

应如何求得？

(2)

ｎ阶方阵A 必有ｎ个特征值

:

，则这ｎ个特征值满足哪两条性质？(20分

)（2）由线性相关的定义，知存在不全为零的数

，使

，

即 ，

再由

线性无关，得

，

因为　相关，所以　

有非零解，

故系数行列式=0，得　。

解题思路：

参考答案：的解的结构定理：（1）当时，方程组无解； （2）当

时，方程组有解；且

时，有唯一解，

时，有无穷多组解，此时解由齐次通解＋非齐次特解组成；解题思路：

参考答案：答案是不一定必有无穷多组解。由解的结构定理可知， 有无穷多解，则其秩

必有

，但仅此并不能保证

有无穷多组解，因为不能保证

，所以

非齐次线性方程AX ＝ｂ也可能无解。解题思路：

参考答案：解答要点

(1)特征值与特征值向量必须满足关系式

；并且是通过解特征多项式求出所

有的特征值

，通过解线性方程组

求出所有的特征向量

；

(2) 阶方阵必有个特征值，这个特征值必须满足两条性质:（1）；（2）

。

解题思路：