2013高考数学(理)一轮复习教案：第一篇 集合与常用逻辑用语第1讲 集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算

【2013年高考会这样考】

1．考查集合中元素的互异性．

2．求几个集合的交、并、补集．

3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．

【复习指导】

1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．

基础梳理

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅ B(B≠∅)．

(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．

(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

3．集合的基本运算

(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．

(4)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；

②A∩A＝A，A∩∅＝∅；

③A∪A＝A，A∪∅＝A；

④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.

一个性质

要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．

两种方法

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

三个防范

(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．

(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A ∪B等于()．

A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}

解析B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}．

答案 D

2．(2011·浙江)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )． A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 解析 ∵∁R P ＝{x |x ≥1}∴∁R P ⊆Q . 答案 C

3．(2011·福建)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )． A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i ∈S

解析 ∵i 2＝－1，∴－1∈S ，故选B. 答案 B

4．(2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是

( )．

A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)

C ．[－1,1]

D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]． 答案 C

5．(人教A 版教材习题改编)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.

解析 A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2. 答案 2

考向一 集合的概念

【例1】►已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [审题视点] 分m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3两种情况讨论． 解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.

当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合乎题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－3

2

或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－

32时，m ＋2＝12≠3合乎题意．所以m ＝－32答案 －32

集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所

求结果是否正确．

【训练1】 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋2}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．

解析 若a ＋2＝3，a ＝1，检验此时A ＝{－1,1,3}，B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．若a 2＋2＝3，则a ＝±1.当a ＝－1时，B ＝{1,3}此时A ∩B ＝{1,3}不合题意，故a ＝1. 答案 1

考向二 集合的基本运算

【例2】►(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝

⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ＝4t ＋1

t

－6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝________.

[审题视点] 先化简集合A ，B ，再求A ∩B . 解析 不等式|x ＋3|＋|x －4|≤9等价于

⎩⎨⎧ x ≥4，x ＋3＋x －4≤9或⎩⎨⎧ －3

x ≤－3，－x －3＋4－x ≤9，

解不等式组得A ＝[－4,5]，又由基本不等式得B ＝[－2，＋∞)，所以A ∩B ＝ [－2,5]．

答案 {x |－2≤x ≤5}

集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴图

示法求解．

【训练2】 (2011·江西)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

x －2x ≤0，则A ∩B

＝( )． A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0

D ．{x |0≤x ≤1}

解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0